Material de apoio - CALCULO NUMERICO

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UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSÕES
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO - DECC
ENGENHARIA CIVIL - NOTURNO – 2016 – sexta-feira/noite
ENGENHARIA CIVIL - DIURNO - 2016– sexta-feira/noite
ENGENHARIA ELÉTRICA – 2016 – quinta-feira/noite
10-415 - C ÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL
CADERNO DE APOIO 
Profª Eliani Retzlaff 		
e-mail: elianir@san.uri.br 
 
	
santo ângelo - Agosto, 2017
PLANO DE ENSINO DE CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL
	DADOS DE IDENTIFICAÇÃO
	CURSO:
	ENGENHARIAS: CIVIL e ELÉTRICA 
	DISCIPLINA:
	CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL 
	DEPARTAMENTO:
	CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA – DCET
	CÓDIGO: 10-415
	PROFESSOR:
	ELIANI RETZLAFF
	NÚMERO DE HORAS:
	60 h/a
	T: 45/40
	P: 15/20
	CRÉDITOS:
	04
	EMENTA DA DISCIPLINA
	Erros. Zeros de funções. Interpolação polinomial. Sistemas lineares: Métodos para solução de equações e sistemas não-lineares. Integração numérica. Introdução a soluções de equações diferenciais ordinárias.
	OBJETIVOS DA DISCIPLINA
	GERAL:
Propiciar ao aluno metodologias/conhecimentos para a resolução de diversos problemas que envolvam a utilização do computador como ferramenta de cálculo.
	ESPECÍFICOS:
Entender, saber quando aplicar, como utilizar e como implementar diversos métodos numéricos apropriados para: achar as raízes de equações algébricas e transcendentes; resolver sistemas de equações lineares; fazer ajustes de curvas; fazer interpolação; realizar integração numérica.
	CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
	1. ERROS EM PROCESSOS NUMÉRICOS: 1.1 Alguns conceitos que constituem a solução de problemas por meio de métodos numéricos; 1.2 Erros; 1.2.1 Erros da Fase de Modelagem; 1.2.2. Erros na conversão de bases; 1.3 Erros de Representação; 1.3.1. Aritmética de ponto flutuante; 1.3.2. Propriedades do sistema de ponto flutuante; 1.3.3. Regiões de Overflow e Underflow; 1.4 Erros Absoluto e Relativo; 1.5. Erros de Truncamento; 1.6. Erros de Arredondamento e Erros de Truncamento em Aritmética de ponto flutuante; 1.5 Propagação de Erros.
2. ZEROS DE FUNÇÕES: 2.1 Conceitos e definições; 2.1.1 Zeros de uma Função; 2.1.2 Processo Iterativo; 2.1.3 Determinação da Raiz; 2.2 Localização e Refinamento; 2.2.1 Localização de Raízes Isoladas; 2.3 Processos Iterativos; 2.3.1 Método da Dicotomia ou Bissecção; 2.3.2 Método de Newton, Newton-Raphson ou das Tangentes; 2.3.3 Método da Iteração Linear; 2.4 Implementação Computacional de Métodos. 
3. SISTEMAS LINEARES: 3.1 Conceitos e Definições; 3.2 Matrizes Associadas a um Sistema; 3.3 Método de Gauss e Gauss-Jordan; 3.3.1 Algoritmo da Triangulação de Gauss; 3.3.2 Algoritmo da Diagonalização de Gauss-Jordan; 3.4 Métodos Iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel; 3.5 Refinamento de Soluções; 3.6 Implementação Computacional de Métodos.
4. SISTEMAS NÃO-LINEARES: 4.1 Introdução; 4.2 Método de Newton; 4.3 Implementação Computacional do Método.
5. INTERPOLAÇÃO: 5.1 Interpolação Linear; 5.2 Interpolação Polinomial; 5.3 Interpolação de Lagrange; 5.4 Interpolação de Newton para diferenças divididas; 5.5 Implementação Computacional de Métodos 
6. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA; 6.1 Introdução; 6.2 Método dos Trapézios; 6.3 Método de Simpson; 6.4 Quadratura Gaussiana; 6.5 Implementação Computacional de Métodos. 
7. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EDO'S: 7.1 Introdução; 7.2 Método de Euler; 7.3 Método de Runge-Kutta; 7.4 Implementação Computacional de Métodos.
	METODOLOGIA DE ENSINO
	Os conceitos teóricos serão expostos dentro de um contexto aplicado. Será utilizado o laboratório de informática, utilizando-se da planilha Excel, bem como Implementação Computacional de Métodos Utilizando o MathCad e ou Matlab.
	ATIVIDADES DISCENTES
	Aplicação dos métodos na resolução de exercícios individuais e/ou em grupo sem e com a utilização de recursos tecnológicos.
	PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO
	Serão realizadas duas provas constituindo as notas P1 e P2; A prova será realizada com consulta somente a um formulário de uma folha tamanho A4 (frente e verso) escrito à mão e deverá ser entregue junto com a prova.
 Em caso de perda de uma das provas o acadêmico deverá procurar o professor até no máximo 2 (conforme manual acadêmico) dias úteis após a data de realização da prova para realizar a prova de reposição.
	BIBLIOGRAFIA BÁSICA
	BARROSO, L. C. Cálculo Numérico com Aplicações. 2ª ed., São Paulo: Harbra, 1987.
CLAUDIO, D. M.; MARINS, J. M. Cálculo Numérico Computacional. 2ª ed., São Paulo: Atlas, 1994.
RUGGIERO, M.A.G.; LOPES, V.L.da R. Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais. 2ª ed., São Paulo: Makron Books, 1997.
	BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
	CUNHA, M. Cristina C. Métodos numéricos. São Paulo: UNICAMP, 1993.
Amos, GILAT,, and SUBRAMANIAM, Vish. Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas: Uma Introdução com Aplicações Usando o MATLAB. Bookman, 2008. http://integrada.minhabiblioteca.com.br/books/9788577802975 (também disponível na biblioteca)
SPERANDIO, Décio; MENDES, João Teixeira; SILVA, Luiz Henry Monken e. Cálculo numérico: características matemáticas e computacionais dos métodos numéricos . São Paulo: Pearson, 2003.
FRANCO, Neide Bertoldi. Cálculo numérico. São Paulo: Pearson, 2007.
SADOSKY, Manuel. Cálculo Numérico e Gráfico. Rio de Janeiro: Interciência, 1980.
	ATENDIMENTO AOS ALUNOS
	À combinar horários.
Plano de Ensino Cálculo Numérico Computacional - Profª Eliani Retzlaff 
introdução
O cálculo numérico é o conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada.
 Abrange resolver problemas de Álgebra Linear e Não-Linear, de Estatística e Análise de Dados, de Cálculo Diferencial e Integral, assim como para outros métodos matemáticos, a partir de métodos numéricos. Estes servem de aplicações na área da engenharia, como exemplos: Cálculo de cabos entre postes; Cálculo de canais pela fórmula de Strickler (hidráulica); Cálculo de fundações (blocos e tubulações); Previsão da população futura de uma cidade para dimensionamento de sistemas de saneamento; Cálculo de volumes de jazidas para terraplenagem e pavimentação; Cálculo de esforços; Cálculo de momentos de inércia; Cálculo de estruturas com inércia variável; Determinação da deformação de uma viga; Simulações numéricas de problemas de previsão numérica do tempo; Simulações de escoamentos em torno de perfis aerodinâmicos, com reações químicas, de sistemas multifásicos, entre outros.
ERROS EM PROCESSOS NUMÉRICOS 
Alguns conceitos que constituem a solução de problemas por meio de métodos numéricos
Para a solução de um problema da ciência ou da engenharia deve-se ter em mente o modelo que representa a situação física. Esse modelo matemático poderá ser resolvido por métodos numéricos quando os métodos analíticos falham ou são trabalhosos.
Os métodos numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas. Por este fato, antes da sua utilização é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se pretende obter a solução numérica desejada e ainda conhecer as fontes de erros, para que se possam eliminar, ou pelo menos, controlar o seu valor.
Esquema do processo:
Métodos Numéricos
Resolução
Modelagem
Modelagem: é a fase de obtenção do modelo matemático que descreve o comportamento do sistema físico.
Resolução: é a fase de obtenção da solução através da aplicação de métodos numéricos - objetivo de estudo do Cálculo Numérico.
Método Numérico: Se define como um algoritmo que vai produzir um ou mais valores numéricos, ou seja, são métodos de convergência que apresentam uma sequência de cálculos simples, porém repetitivos.
Assim, os métodos numéricos:
Aplicam-se onde os métodos exatos falham ou são trabalhosos
Um problema de Matemática pode ser resolvido analiticamente, mas esse método pode se tornar impraticável com o aumento do tamanho do problema.
Exemplo: solução de sistemas de equações lineares.A existência de problemas para os quais não existem métodos matemáticos para solução (não podem ser resolvidos analiticamente)
Exemplos:
a) certas equações polinomiais de graus maiores ou transcendentes (equações com termos exponenciais, logaritmos ou trigonométricos)
b) certas integrais, como exemplo: .
c) equações diferenciais parciais não lineares
Primam pela simplicidade, sendo que o resultado é possível de refinamento até obter-se a precisão desejada.
São conhecidos há muito tempo, mas atualmente encontram larga aplicação valendo-se da evolução dos processos computacionais.
Cálculo Direto: calculam a solução de um problema em um número finito de passos.
Cálculo Iterativo: realizam sucessivas aproximações que convergem para a solução exata em seu limite. Um teste de convergência é especificado para decidir quando uma solução suficientemente precisa foi encontrada.
Algoritmo: conjunto predeterminado e bem definido de regras e processos destinados à solução de um problema, com um número finito de etapas, ou seja, é um caminho para solução de um problema.
	O algoritmo também representa o rascunho para programas (Software), pois sua linguagem é intermediária à linguagem humana e às linguagens de programação, sendo então, uma boa ferramenta na validação da lógica de tarefas a serem automatizadas.
Programa: É a formalização de um algoritmo em uma determinada linguagem de programação, segundo suas regras de sintaxe (conjunto de regras que determinam quais construções são corretas) e semântica (descrição de como as construções sintaticamente corretas são interpretadas ou executadas), de forma a permitir que o computador possa entender a sequência de ações.
Iteração: repetição sucessiva de um processo. Um método iterativo se caracteriza por envolver os seguintes elementos:
Aproximação inicial: consiste em uma primeira aproximação para a solução do problema numérico.
Equação de recorrência: equação por meio da qual, partindo da aproximação inicial, são realizadas as aproximações sucessivas para a solução desejada.
Teste de parada: é o instrumento por meio do qual o procedimento iterativo é finalizado.
Pesquisar:
1- Qual o objetivo do Cálculo Numérico?
2- Apresente aplicações nas quais se torna necessário a produção de resultados numéricos.
3- Quais os passos necessários para a obtenção de uma solução numérica?
Erros 
Partindo da premissa que os métodos numéricos possibilitam a obtenção de aproximações para o que deveria ser valores exatos, a consequência inerente a tais soluções é a inclusão de uma componente de erro aos resultados obtidos.
Na solução desses problemas relacionados:
Ao modelo: os modelos são na grande maioria idealizados, pois temos que aceitar certas condições que simplificam o problema para torná-lo tratável, buscando incluir suas características a fim de reduzir os erros nesta fase a um nível aceitável.
 
Aos dados e parâmetros: além de equações e relações, um modelo matemático também contém dados e parâmetros que, frequentemente, são medidos experimentalmente, e portanto, aproximadas. As aproximações nos dados podem ter grande repercussão no resultado final.
A truncatura: muitas equações têm soluções advindas de um processo infinito, que por sua vez não pode ser completado tendo que ser truncado, resultando assim no erro de truncatura ou truncamento.
Ao arredondamento relacionado ao cálculo: Quer os cálculos sejam efetuados manualmente quer obtidos por computador ou numa calculadora, somos conduzidos a utilizar uma aritmética de precisão finita, ou seja, apenas podemos ter em consideração um número finito de dígitos. O erro devido a desprezar os outros e arredondar o número é designado por erro de arredondamento.
Erros na Conversão de Bases
 Sistemas de numeração e sua representação
Um sistema de numeração nos informa sobre o valor da quantidade, sua magnitude. Já o sistema métrico nos informa sobre a unidade de referência da medida. Um sistema de numeração é determinado fundamentalmente pela sua base.
Sistema de numeração Decimal (ou de base 10):
Quando falamos em sistema decimal, estamos estabelecendo que a nossa base de contagem é o número 10, pois o sistema decimal possui um alfabeto de 10 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Pode-se constatar que o valor atribuído a um símbolo depende da posição em que ele se encontra no conjunto de símbolos que está representando um número, onde cada casa vale 10 vezes mais que aquela que está imediatamente a sua direita e 10 vezes menos que a que está a sua esquerda
Exemplo 1: O número 245 assinalando um símbolo a cada casa, indicando o valor de cada casa, teremos:
	Valor da casa
	10³ = 1000
	10² =100
	101=10
	100 = 1
	10-1 = 0,1
	10-2 = 0,01
	Dígitos
	0
	2
	4
	5
	0
	0
O significado de cada dígito em determinada posição é o valor da casa multiplicado pelo valor do dígito e a quantidade representada é a soma de todos os produtos.
x = (245)10 = 2.102 + 4.101 + 5.100 
Exemplo 2: O número 3547,21, pode ser representado da seguinte forma:
x = (3547,21)10 = 3.103 + 5. 102 + 4.101 + 7. 100 + 2. 10-1 + 1. 10-2 = 3000 + 500 + 40 + 7 + 0,2 + 0,01
Sistema de numeração Binário (ou de base 2):
No sistema binário, os símbolos 0 e 1, representam os valores numéricos, onde, cada casa vale 2 vezes mais que aquela que está imediatamente a sua direita e 2 vezes menos que a que está a sua esquerda. Observe o seguinte esquema:
	Valor posicional
	...
	24
	23
	22
	21
	20
	2-1
	2-2
	2-3
	2-4
	...
	Equivalente em decimal
	...
	16
	8
	4
	2
	1
	1/2
	1/4
	1/8
	1/16
	...
Se b0, b1, b2, etc., são os valores (0 ou 1) que se coloca em cada posição, a quantidade representada valerá:
… + b424 + b323 + b222 + b121 + b020 + b-12-1 + ...
Para evitar a representação mediante o somatório, adota-se a convenção de separar mediante vírgulas as casas 20 e 2-1, de tal modo que a representação fique: 
... b4 b3 b2 b1 b0, b-1 b-2 …
Em que bi = 0 ou 1.
Exemplo: o número binário 10011,01 representa a quantidade:
	Valor da casa
	24=16
	23=8
	22=4
	21=2
	20=1
	2-1=1/2
	2-2=1/4
	Dígitos
	1
	0
	0
	1
	1
	0
	1
x = (10011,01)2 = 1.24 + 0.23 + 0.22 + 1.21 + 1.20 + 0.2-1 + 1.2-2 = 16 + 2 + 1 + 1/4 
Os computadores atuais representam os números internamente no formato binário, como sequência de zeros e uns. 
Em geral, a partir da base β, todos os números podem ser expressos pelo Teorema Fundamental da Numeração:
an. β n +...+ a2. β 2 + a1. β 1 + a0. β 0 + a-1. β -1 + a-2. β -2 + ... + a-m. β –m,
onde n e m são números inteiros e os ai são os elementos da base.
De forma simplificada: , onde i indica a posição em relação à vírgula.
Esta representação de X é única e é chamada de representação de X na base β, representada como (X).
Exemplo: (11001)2 = 1.24 + 1.23 + 0.22 + 0.21 + 1.20 
Exercício 01: Represente os números nas respectivas bases:
Capítulo 1: Erros em Processos Numéricos 	 4
Capítulo 1: Erros em Processos Numéricos 	 22
(3407)10 =
(1059,7)10 =
(10101)2 =
(1001,101)2 =
(0,1101)2 =
2.2.2 Conversão de bases
É o processo de converter valores de um sistema de numeração para outro.
Base qualquer em decimal:
 Basta fazer a representação do número pelo Teorema Fundamental da Numeração.
Exemplos: 
(11001)2 = 1.24 + 1.23 + 0.22 + 0.21 + 1.20 = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = (25)10
(1202,01)3 =
Exercício 02: Converta os seguintes números de base binária para base decimal: 
(110111)2 =
(11,0101)2 =
(101101)2 =
(11010,101)2 =
(0,01011)2 =
Base decimal em binário: 
É feito em duas etapas:
Para a parte inteira – utiliza-se o quadro de valores ou mediante divisões inteiras sucessivas por 2, tomando-se os restos das divisões no sentido ascendente.
Exemplo 1: Converter o número de base decimal 197,125 para base binária.
Para inteiros:
 Dividir até que o último quociente seja menor que a base(197)10 = (11000101)2
Para parte fracionária usa-se o método das multiplicações sucessivas por 2, usando a parte inteira do resultado para compor o valor binário e a parte fracionária para realizar novas multiplicações, até que o resultado seja 1 ou se alcance um número satisfatório de casas decimais.
Para 0,125:
0,125 x 2 = 0,25
0,25 x 2 = 0,5
0,5 x 2 = 1,0
Logo: 0,12510 = 0,0012	
Portanto, (197,125 )10 = (11000101,001)2
Exemplo 2: Converter 0,1875 em binário:
0,1875 x 2 = 0,3750
0,3750 x 2 = 0,7500
0,7500 x 2 = 1,5000
0,5000 x 2 = 1,0000
Portanto, 0,187510 = 0,00112
Exemplo 3: Converta o número (0,1)10 na base 2. Resp.: (0,0001100110011...)2
Observação: um número real entre 0 e 1 pode ter representação finita no sistema decimal, mas infinita no sistema binário.
Como visto, um número pode ter representação finita em uma base e não-finita em outra. Assim, os dados de entrada são enviados ao computador pelo usuário no sistema decimal; toda esta informação é convertida para o sistema binário, e as operações todas serão efetuadas neste sistema. Os resultados finais serão convertidos para o sistema decimal e, finalmente, serão transmitidos ao usuário. Todo este processo de conversão é uma fonte de erros que afetam o resultado final dos cálculos.
Exercícios 03: 
Resolva o exemplo 2 utilizando-se da Planilha Excel e observando o algoritmo que segue.
Algoritmo:
Passo 0:		x1 = x; k = 1
Passo 1:	
	Calcule 2.xk 
		Se 2.xk = 1, faça: dk = 1
		Caso contrário, faça: dk = 0
Passo 2:		Faça xk+1 = 2xk - dk, 
Se xk+1 = 0, pare.
		Caso contrário:
Passo 3:		k = k+1
		Volte ao passo 1
E então: 0,d1d2d3...dk
Do exemplo 1:
	K
	Xk
	2.Xk
	dk
	Xk+1= 2.Xk - dk
	1
	0,125
	0,25
	0
	0,25 – 0 = 0,25
	2
	0,25
	0,5
	0
	0,5 – 0 = 0,5
	3
	0,5
	1,0
	1
	1,0 – 1 = 0 (pare!)
Converta os seguintes números de base decimal para base binária: 
 = 
 = 
 = 
 = 
=
=
Determine o inteiro positivo x que verifica a igualdade (10101)x =(651)10
Erros de Representação dos Números
Aritmética de ponto flutuante: 
Atualmente, um computador ou calculadora representa um número real (inteiro ou não-inteiro) num sistema denominado aritmética de ponto flutuante. Nesta notação, os valores são armazenados em uma forma compacta (conhecida como forma canônica): o sinal do número, a parte fracionária também chamada de mantissa e uma área para armazenar o expoente.
 0,12345 x 106 Expoente
 mantissa
Desta forma, é possível representar grandes números no computador, mas esta facilidade tem seu preço: os valores em ponto flutuante perdem em precisão. 
Como o espaço de armazenamento é limitado, não é possível armazenar todos os números reais e sim intervalos discretos. Quanto maior for o espaço disponível para armazenamento, maior será a faixa e a precisão dos números armazenados.
Os computadores atuais utilizam base binária com tamanho de palavra de 32 bits ou 64 bits. Se for baseado no padrão IEEE754, define a representação com tamanho de palavra de 32 bits, chamado de precisão simples, e com palavra de 64 bits chamado de precisão dupla, a divisão do tamanho da palavra é assim definido:
Precisão Simples: 32 bits ou 4 bytes
1 bit é reservado para o sinal do número (positivo ou negativo);
8 bits são utilizados para armazenar um número inteiro que é o expoente da base;
23 bits são utilizados para a mantissa.
Precisão Dupla: 64 bits ou 8 bytes
1 bit é reservado para o sinal do número (positivo ou negativo);
11 bits são utilizados para armazenar um número inteiro que é o expoente da base;
52 bits são utilizados para a mantissa.
Considerando um sistema de ponto flutuante como um subconjunto dos números reais cujos elementos tem a representação:
Onde:
é chamada de mantissa 
base em que a máquina opera (binária, decimal, hexadecimal, etc..);
precisão t da máquina (nº de dígitos do sistema de representação);
limites do expoente de ();
di: são números inteiros contidos no intervalo 0 di < (β-1); i = 1, 2, ..., t; d1 0;
Se d1 0, diz-se que o número está normalizado.
A mantissa é fracionária nesta representação (<1). E, para assegurar representação única para cada , faz-se a normalização no sistema de forma que para .
Exemplos:
Representação de números em aritmética de ponto flutuante:
	Número na respectiva base 
	Representação em ponto flutuante
	Mantissa
	Base
	Expoente
	(5532)10
	0,5532 x 104 (corrigir a ordem de grandeza através da multiplicação)
	0,5532
	10
	4
	(-55,32)10
	- 0,5532 x 102
	- 0,5532
	10
	2
	(0,00233)10
	0,233 x 10-2
	0,233
	10
	-2
	(100)10
	0,1 x 103
	0,1
	10
	3
	(100)10 = (1100100)2
	0,1100100 x 27= 0,1100100 x 2111
	0,11001
	2
	111
Usualmente, procura-se representar um sistema de ponto flutuante por 
 F(β, t, , ), 
onde e são respectivamente o menor e o maior expoente, β é a base e t é a precisão.
Numa máquina hipotética cujo sistema de representação utilizado seja: F(2, 10, -15, 15). Cada dígito é chamado de bit, portanto nessa máquina são utilizados 1 bit para o sinal da mantissa, 10 bits para a mantissa, 1 bit para o sinal do expoente e 4 bits para o expoente, resultando no total de 16 bits. Está estabelecido que o sinal positivo assume o dígito “0” e o negativo assume o dígito “1”. O número decimal 25 é representado na forma:
2510 = 110012 = 0, 11001*25 = 0, 11001*2101
	0
	1
	1
	0
	0
	1
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	1
	0
	1
 								 
Sinal da Mantissa Mantissa 	 Sinal do Expoente Expoente 
Exercícios 04: 
Usando a mesma máquina do exemplo anterior, represente 3,510 e -7,12510.
Alguns exemplos de máquinas: 
HP48: F(10, 12, -498,500)
IBM 360/370: F(16, 6, -64, 63)
B6700: F(8, 13, -51, 77) 
Cray 1: F(2, 48, -8192, 8191)
Padrão IEEE
Alguns exemplos de máquinas: 
HP48: F(10, 12, -498,500)
IBM 360/370: F(16, 6, -64, 63)
B6700: F(8, 13, -51, 77) 
Cray 1: F(2, 48, -8192, 8191)
Um caso real:
Em 04/06/1996, na Guiana Francesa, o lançamento do foguete Ariane 5 falhou por uma limitação da representação numérica (quantidade insuficiente de bits). Houve um erro na trajetória, 36,7 segundos após o lançamento, seguido de explosão. Prejuízo: US$ 7,5 bilhões.
Propriedades do sistema de ponto flutuante:
Menor número em módulo: 0,1*
Maior número: 0, *
A mantissa está contida no intervalo [0.1, 1) e o número máximo de mantissas positivas é dado por:
O número máximo de expoentes possíveis é:
Se x ∈ F , então − x ∈ F e a cardinalidade (número de elementos) de F é:
 +1
Exemplo: Considere uma máquina que opere no sistema F(2, 3, -1, 2) 
O menor exatamente representável: 	
					
O maior exatamente representável: 	
0,111*22 = 
Número máximo de mantissas positivas possíveis: 
, que são: 0,100; 0,101; 0,110 e 0,111.
O número máximo de expoentes possíveis:
, que são: -1, 0, 1, 2
Número de elementos positivos representáveis:
Desta forma, têm-se os seguintes números positivos: 
(0,100 x 2-1)2 = (0,01)2 =
(0,100 x 20)2 = (0,1)2 =
(0,100 x 21)2 = (1)2 =
(0,100 x 22)2 = (10)2 =
E assim sucessivamente
Então:
	
	Mantissa
	e
	0,100
	0,101
	0,110
	0,111
	-1
	
	
	
	
	0
	
	
	
	
	1
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
Número total de elementos exatamente representáveis:
Pode-se perceber pela tabela que a cardinalidade do sistema de ponto flutuante, é igual ao dobro do número de elementos positivos (por causa dos negativos) mais um (o zero), ou
Ou 
Simplesmente 2*mantissas*expoentes possíveis + um (o número zero)
Regiões de Overflow e Underflow:
Devido a representação dos números em A.P.F., pode ocorrer também o erro relacionado aos limites do expoente. Se o expoente “e” da base não pertencer ao intervalo (), x não pode ser representado em F,então tem-se os casos de erro de:
Overflow, se e > , o número é muito grande para ser representado (ultrapassa a capacidade máxima)
Underflow, se e < , no número é pequeno demais para ser representado (ultrapassa a capacidade mínima)
Do exemplo anterior, podem-se observar quais as regiões que ocorrem o overflow e o underflow. 
Observe que, se o expoente for maior que 2 ou menor que -1, não se tem representação no conjunto formado pela aritmética de ponto flutuante. No primeiro caso, tem-se o overflow, no segundo caso, tem-se o underflow. 
Representação das regiões: RU = (−1/ 4;0) ∪ (0;1/ 4) e RO = (−∞;−7 / 2) ∪ (7 / 2;+∞)
a) Representação por Corte ou Truncamento: Desprezam-se os algarismos que ficam acima da (t+1)-ésima casa decimal. Onde t representa o número de dígitos da mantissa. Observe que esta forma de representação pode gerar um grande erro de arredondamento. 
b) Representação por Arredondamento: Nesta representação, x é representado pelo elemento do sistema de ponto flutuante que estiver mais próximo dele, diminuindo ao máximo o erro de arredondamento.
Se o valor do algarismo que fica na (t+1)-ésima cada decimal for menor do que 5 arredondamos o número desprezando-se todos os algarismos após a t-ésima casa decimal;
Se for maior ou igual a 5 soma-se 1 ao algarismo na t-ésima casa decimal e desprezam-se os algarismos restantes. 
Exemplo: Em F(10, 4, -98, 100), as quantidades 0.333333, 0.123952, 0.348446 e 0.666... são representadas por corte, respectivamente, como 0.3333, 0.1239, 0.3484 e 0.6666 (observe que apenas consideramos os primeiros dígitos do número) e são representados por arredondamento, respectivamente, por 0.3333, 0.1240, 0.3484 e 0.6667 (observe que quando o próximo dígito é maior que 5, o último algarismo é aumentado de uma unidade).
Nota: Não se deve confundir representação por truncamento e representação por arredondamento com erro de truncamento e erro de arredondamento. 
Exercícios 05: 
Encontrar a representação dos números abaixo em um sistema de números de aritmética de ponto flutuante, de três dígitos significativos, com e .
	Número
	Representação
	Arredondamento
	
	Truncamento
	1,45
	 
	
	
	 
	10,054
	 
	
	
	 
	-231,15
	 
	
	
	 
	2,72822
	 
	
	
	 
	0,000008
	 
	
	
	 
	6524582,4
	 
	
	
	 
Considerando uma máquina hipotética, F(2, 10, -15, 15), represente o número x:
x = 23
x = -7,125
Considere a representação binária de 0,6 e 0,7. Se esses dois números forem representados na aritmética F(2, 2, -1, 2 ), de que forma eles serão representados e qual o respectivo decimal?
Encontre todos os elementos positivos (em base dez), a cardinalidade, a região de overflow e a região de underflow para o sistema de ponto flutuante F(3,2,-2,2).
	
	Mantissas
	e
	
	
	
	
	
	
	-2
	
	
	
	
	
	
	-1
	
	
	
	
	
	
	0
	
	
	
	
	
	
	1
	
	
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	
	
Dado F(10, 3, -2, 2), represente o número x: 
x1 = 0,35
x2 = -1,15
x3 = 0,0122
x4 = 0,0003
x5 = 1234,5 
Dado F(2, 10, -15, 15), represente o número x: 
x1 = 0,35
x2 = -1,15
x3 = 0,122
x4 = 0,0003
x5 = 1234,5 
Erros Absoluto e Relativo
Erro Absoluto
É a diferença em módulo, entre um valor exato x e o valor aproximado, ou seja:
EAx = ||
Cota para o erro: 
EAx só poderá ser determinado se x for conhecido com exatidão, caso contrário, costuma-se trabalhar com uma cota (ou limitante) que permitirá, mesmo não conhecendo o erro, saber que está entre dois valores conhecidos.
Um número > 0 é uma cota para EAx, se EAx < .
 
Exemplo 1: Para π(3,14; 3,15): EAπ = ||< 0,01
Exemplo 2: Tem-se duas situações: 
1ª - uma pessoa teve uma proposta de trabalho onde foi lhe oferecido x = R$ 8.530, 20, no entanto na hora de assinar a carteira de trabalho = R$ 8.530,00. 
2ª – Um acadêmico obteve sua nota no portal de y = 6,8. Recebendo a prova o mesmo verificou uma questão não corrigida e sua média passaria a = 7,0.
Calcule o erro absoluto nas duas situações.
EAx =
EAy =
Obviamente o resultado é o mesmo nos dois casos, porém, é necessário comparar a ordem de grandeza de x e y, que é medido pelo erro relativo.
Erro Relativo
Serve para prescrever a precisão de um cálculo. É definido como o erro absoluto dividido pelo valor aproximado, ou seja:
Exemplo 1: O erro relativo pode transmitir perfeitamente os resultados do exemplo anterior:
O erro percentual é dado por . 
Observa-se que o número que tem menor erro relativo, terá maior precisão. Logo o peso de aproximação em ___ é maior do que em ___.
ER		precisão da medida		(inversamente proporcional)
Exemplo 2: O erro relativo considerando-se as medidas aproximadas a’= 2112,9; e’= 5,3 e |EA| = 0,1:
Então, o número a é representado com maior precisão que o número b.
Exemplo 3: Um erro de 1km na medida da distância entre a terra e a lua é menos significativo que um erro de 1cm na realização de uma cirurgia cerebral via um robô.
Exercícios 06:
Suponha que tenhamos um valor aproximado de 0.00004 para um valor exato de 0.00005. Calcular os erros absoluto, relativo e percentual para este caso.
Suponha que tenhamos um valor aproximado de 100000 para um valor exato de 101000. Calcular os erros absoluto, relativo e percentual para este caso.
Considerando os dois casos acima, onde se obteve uma aproximação com maior precisão? Justifique sua resposta.
Você caminha de uma árvore para outra e estima que elas estão 9 metros distantes uma da outra. Esse é o valor experimental (aproximado). Em seguida, você volta ao local com uma fita métrica, mede a mesma distância e descobre que, na verdade, elas estão 10 metros de distância uma da outra. Esse é o valor real. 
Calcule o erro absoluto 
Calcule o erro relativo e o erro percentual 
Erros de Truncamento
Surgem, em geral, quando um processo algoritmo é infinito e utiliza-se uma parte finita do mesmo.
Exemplo: Cálculo do valor de ex pela série: 	
 		
Erros de Truncamento e Arredondamento em um Sistema de Aritmética de Ponto Flutuante
1.6.1 Operações aritméticas de ponto-flutuante
Na soma e subtração, os expoentes dos dois operandos devem ser iguais. Para tal, ajusta-se ao maior dos dois expoentes e, então, basta calcular.
Na multiplicação e a divisão os números devem ser representados em A.P.F. e calculadas como segue:
Exemplos: 
 Suponha-se que as operações abaixo sejam processadas em uma máquina com 4 dígitos significativos e fazendo-se: x = 0.937*104 e y= 0.1272*102 dois elementos de F(10,4, -98,99). Calcule:
x + y efetuando truncamento;
x + y = 0,937.104 + 0,1272.10² = 0,937.104 + 0,001272.10².10² = (0,937 + 0,001272).104
x + y = (0,938272).104 
x + y = (0,9382 + 0,000072).104
x+y = (0,9382 + 0,72.10-4).104 = 0,9382.104 + 0,72.100
fx+y = 0,9382 e gx+y = 0,72
logo: x + y = 9382
x+y efetuando arredondamento;
como gx+y = 0,72 > ½
x + y = 0,9383.104 = 9383
x.y efetuando truncamento;
x.y = 0,937.104 . 0,1272.10² = (0,1191864).106
x.y = (0,1191 + 0,0000864).106
x.y = (0,1191 + 0,864.10-4).106 = 0,1191.106 + 0,864.10
fx.y = 0,1191 e gx+y = 0,864
logo: x.y = 119100
x.y efetuando arredondamento.
como gx.y = 0,864 > ½
x.y = 0,1192 . 106 = 119200
Exercícios 07:
Seja o sistema F(10, 3, -5, 5). Faça as seguintes operações:
(11,4 + 3,18) + 5,05 
11,4 + (3,18 + 5,05)
3,18 * (5,05 + 11,4)
3,18 * 5,05 + 3,18 * 11,4)
OBS.: as operações aritméticas nem sempre são associativas e nem distributivas. O resultado das expressões a) e b), e das expressões c) e d) deveriam ser iguais mas, devido ao arredondamento após cada operação, apresentaram diferenças.
1.6.2. Erros de Truncamento e Erros de Arredondamento
Considere um sistema que opera em sistema de ponto flutuante de base 10, e seja x:
Sendo: e – número de dígitos inteiros
	 t – número de dígitos significativos
Exemplo: Para t = 4 e x = 234,57,tem-se: 
		X = 0,23457.103 = (0,2345+ 0,00007).103 = 0,2345.103 + 0, 7.10-1
fx = 0,2345 e gx = 0,7
No truncamento, gxx10e-t é desprezado e 	
EAx = ||=
Visto que 
pois 0,1 é o menor valor possível para fx.
No arredondamento simétrico (forma mais utilizada):
Se :
		EAx = ||=
e
Se :
 EAx = ||=
EAx = 
e
Dessa forma, uma vez que as máquinas digitais apresentam erros devido ao tipo de armazenamento (truncamento e arredondamento), ao calcularmos os erros relativos (ou absolutos) devemos adicionar um termo para contabilizar esse erro extra (δ).
O erro relativo em uma dada aproximação numérica (δ) será no mínimo sempre maior do que um certo fator diferente de zero:
 
onde t = número de dígitos da mantissa.
Quando se utiliza o arredondamento os erros cometidos são menores que no truncamento, no entanto o arredondamento requer um maior tempo de execução e por esta razão o truncamento é mais utilizado. A demonstração de que no arredondamento incorremos em erros menores que no truncamento pode ser encontrada no livro de Cálculo Numérico da Márcia Ruggiero e Vera Lopes.
		
Propagação de Erros
	Erros descritos anteriormente podem influenciar o desenvolvimento de um cálculo, ou então ocorrem ao se efetuar operações com números já afetados por algum erro.
Propagação dos erros absolutos:
Propagação dos erros relativos:
O erro relativo final das operações é obtido a partir da combinação dos erros relativos da operação adicionado ao erro devido ao tipo de armazenamento numérico (δ):
 
Exemplo: Suponha-se que as operações abaixo sejam processadas em uma máquina com 4 dígitos significativos e fazendo-se: x = 0.937*104 e y= 0.1272*102 dois elementos de F(10,4, -98,99). Calcule:
Calcule o erro absoluto e o erro relativo de x e de y, efetuando arredondamento
x = 0.937*104
 = 0.937*104
y= 0,001272*104
= 0,0013*104
Calcule o erro relativo para x+y, por arredondamento.
Exercícios 08:
Considere o sistema F(10,3,-5,5) e x = 234,56, calcule fx e gx.
Com as operações em F(10,2,-5,5). Sejam x = 4,32 e y= 0,064, calcular x + y, com truncamento e com arredondamento.
Considere uma aritmética de ponto flutuante F(10,2,-5,5). Sejam x = 875 e y =3172. Calcular x + y e também x * y.
Suponhamos que as operações indicadas nos itens a. e b. sejam processadas numa máquina com 4 dígitos significativos. Fazendo-se: x1 = 0.3491×104 e x2 = 0,2345×100, tem-se:
(x2 + x1) – x1
x2 + (x1 – x1)
Em um sistema com as seguintes características F(10, 4, -6, 6), os números x = 17534, y = 21178 e z = 75904 são armazenados. Calcule:
Os erros absolutos
Os erros relativos
O valor da expressão (x + y)/z e o erro relativo final da operação. 
ZEROS DE FUNÇÕES
Em muitos problemas práticos de aplicação matemática de Ciências e Engenharia, por exemplo: cálculo de valores extremos de uma função indicativa de um fenômeno físico, como temperatura, energia, etc., ou as raízes de um polinômio característico para a obtenção dos autovalores e autovetores de uma matriz, extremamente importantes na análise do comportamento dos sistemas dinâmicos; há a necessidade de se determinar um número xr para o qual:
 é raiz de f(x)
Equações Algébricas (ou Polinomiais):
A variável aparece submetida a operações algébricas, repetidas um número finito de vezes. Se x é esta variável, tem-se:
onde:
Equações Transcendentes:
	A variável aparece submetida a operações não algébricas em pelo menos um termo da equação. Nestas equações, em pelo menos um termo, aparecem funções como: exponenciais, logarítmicas, trigonométricas, etc.
Aplicação: 
Equilíbrio de Mecanismos:
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES
As equações algébricas de 1° e 2° Graus, certas classes de 3° e 4° graus e algumas equações transcendentes podem ter suas raízes calculadas exatamente por métodos analíticos, mas para polinômio de grau posterior a quatro e para a grande maioria das equações transcendentes o problema só pode ser resolvido por métodos que aproximam as soluções.
Embora esses métodos não determinem as soluções exatas, as raízes podem ser calculadas com a exatidão que o problema determine, desde que certas condições de f sejam satisfeitas.
Localização de Zeros de Funções – problemas e gráficos
Construir o gráfico da função na planilha Excel: 
O preço à vista de um carro é de R$ 40.000,00, mas pode ser vendido a prazo em 48 prestações mensais de R$ 1.650,00. Nessas condições, qual a taxa de juros mensal que estaria sendo cobrada? Da financeira tem-se: , que:
	, logo: f(i) = 0
Uma haste delgada de comprimento 2R e peso P está presa a um cursor em B e apoiada a um cilindro R. Sabendo que o cursor pode se deslocar livremente ao longo de sua guia vertical, determine o valor de correspondente ao equilíbrio. Despreze o atrito. Considere como critério de parada |f(xn)|<0,00001.
A função h(x) = x.sen(x) é utilizada no estudo de oscilações forçadas sem amortecimento. Encontre o valor de x ∈ [0, 2] onde a função assume o valor h(x) = 1. 
A área As da parte sombreada, com em radianos, é dada por: . Se A = 3,6m² e r = 3m, para determinar o ângulo θ, a equação deve ser resolvida para θ. Desta forma, tem-se: 
 
Então, pode-se escrever que e, 
A corrente elétrica em um circuito varia o tempo conforme a seguinte expressão: 
	Determinar o tempo no qual a corrente se iguala à metade do seu valor inicial (Quando t = 0). 
Teorema de Bolzano
Para que uma função seja contínua y = f(x) tenha no mínimo uma raiz no intervalo [a, b], é suficiente, que ele tenha valores de sinais opostos nos limites deste intervalo, ou seja, f(x) assume valores de sinais opostos nos pontos extremos do intervalo fechado [a,b].
Observando o gráfico seguinte:
f(b)
f(a)
Se , então o intervalo conterá no mínimo uma raiz (ou um n° ímpar de raízes).
Se , então, a f(x) não tem nenhuma raiz real no intervalo ( ou o n° de raízes será par).
A raiz x será definida e única se a derivada f`(x) for contínua e conservar o sinal dentro do intervalo [a, b].
y = f(x)			f(a).f(b) < 0				xr[a, b]f(xr) = 0
Refinamento
Para calcular uma raiz, duas etapas devem ser seguidas:
Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [a,b], o menor possível, que contenha uma e somente uma raiz da equação f(x) = 0;
Técnicas de Isolamento de Raízes:
Para isolar os intervalos que contenham raízes, além do Teorema de Bolzano (procedimento analítico), podemos utilizar um recurso gráfico, ou o isolamento através de tabelas, então:
Isolamento através de Tabelas:
	Observamos as mudanças de sinais da função f(x), quando for atribuído valores para a variável x. Verifique o exemplo, f(x) = x3 – 9x +3,
	x
	
-
	-100
	-5
	-3
	-1
	0
	1
	2
	3
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Tem-se que, ( , ) , ( , ) e ( , )
Visualização Gráfica – método gráfico: Se possível a subdivisão da função dada em outras duas funções, pode simplificar muitas vezes a representação gráfica: 
ou seja, os valores de x para os quais vale a igualdade de g(x) e h(x), são aproximações das raízes de f(x), logo: o zero da função se encontra no ponto x da intersecção das duas novas funções.
Do exemplo anterior:
Exercício: Como visto, o Método Gráfico, consiste em traçar o gráfico da função f(x) com o objetivo de determinar o intervalo [a, b] que contenha uma única raiz, então, encontre (isole) os intervalos onde as raízes da função transcendente estão localizadas.
 (lembrar que: para valores reais, calculadoras em rad)
Procedimento analítico:
Seja f(x) contínua em [a, b], então:
Se f(a).f(b) < 0, um número ímpar de raízes neste intervalo;
Se f(a).f(b) > 0, ou um número par de raízes neste intervalo;
supondo que f(x) e f’(x) sejam contínuas em [a, b] e que o sinal de f’(x) se mantenha constante, então:
Se f(a).f(b) < 0 uma únicaraiz em [a, b];
Se f(a).f(b) > 0 raiz real em [a, b];
Observação: o fato de f’(x) manter o sinal constante em [a, b], implica que f(x) poderá ser crescente ou decrescente em [a, b].
Se f’’(x) indica a direção da concavidade da curva:
Se f’’(x) > 0 concavidade voltada para cima;
Se f’’(x) < 0 concavidade voltada para baixo;
Exemplo de uma função qualquer: 
Com relação a primeira raiz: 
As funções f(x) e f´(x) são contínuas no intervalo x [-2; -1,5]
a = -2 e b = -1,5; f(a) = f(-2) 4,32 > 0 e f(b) = f(-1,5) - 0,388 < 0; 
f´(x) < 0, para x [a, b] o sinal de f´(x) se mantém constante e f(a).f(b) < 0: uma única raiz em [a, b] = [-2; -1,5]
f´´(x) > 0, para x [a, b] concavidade voltada para cima.
Outros exemplos:
b
b
a
xr
a
	xr
							
xr
xr
b
a
a
b
						
Capítulo 2: Zeros de Funções 
 		 23
Capítulo 2: Zeros de Funções: Localização de raízes	 28
Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até o grau de exatidão requerido, através de métodos iterativos, que são as sequências de instruções que são executadas passo a passo, algumas repetidas em ciclos (iterações).
Métodos Iterativos para se obter Zeros de Funções Algébricas e Transcendentes
São métodos numéricos para determinação de raízes.
A. Método da Bisseção (ou Dicotomia) – Método de quebra
Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a,b] e f(a).f(b) < 0. (Supor uma única raiz no intervalo) e = precisão.
Divide-se o intervalo [a,b] ao meio, obtém-se xo. Então tem-se dois sub-intervalos, [a , xo ] e [xo , b] a serem considerados.
Se f(xo) = 0, então a , caso contrário, a raiz estará no sub-intervalo onde a f(x) tem sinais opostos nos pontos extremos, ou seja, f(a) . f(xo) < 0, por exemplo. 
O novo intervalo que contém a é dividido ao meio novamente e obtém-se o ponto x1 e assim sucessivamente até que se tenha uma aproximação para a raiz com a margem de erro desejada.
A1. Interpretação geométrica do método:
 y
a
X0
X2
b
X1
x3 = xr
f(x)
x
 
A2. Critério de Parada:
Capítulo 2: Zeros de Funções: Método da Bisseção 
		 32
|a-b|< 
|xn – xn-1|< 
|f(xn)| < 
Número de iterações 
Erro relativo
A3. Algoritmo:
Dada função f(x):
	 enquanto	 faça
			 
			 se 	 então:
				
				 ; ( passa a ser b ou b recebe o valor de x)
				 senão
				 ; ( passa a ser a)	
			 fim se;
	 fim enquanto;
Exemplo: Aplicação do método da bisseção no cálculo da raiz da função f(x) = ex - 3x, localizada no intervalo [0; 1], aplicando o critério de parada |a – b| < 10-5.
y
x
	n
	a
	b
	xn
	f(a)
	f(b)
	f(xn)
	| a – b | < erro
	0
	0,00000
	1,00000
	0,50000
	1,00000
	-0,28172
	0,14872
	1,00000
	1
	0,50000
	1,00000
	0,75000
	0,14872
	-0,28172
	-0,13300
	0,50000
	2
	0,50000
	0,75000
	0,62500
	0,14872
	-0,13300
	-0,00675
	0,25000
	3
	0,50000
	0,62500
	0,56250
	0,14872
	-0,00675
	0,06755
	0,12500
	4
	0,56250
	0,62500
	0,59375
	0,06755
	-0,00675
	0,02952
	0,06250
	5
	0,59375
	0,62500
	0,60938
	0,02952
	-0,00675
	0,01116
	0,03125
	6
	0,60938
	0,62500
	0,61719
	0,01116
	-0,00675
	0,00214
	0,01563
	7
	0,61719
	0,62500
	0,62109
	0,00214
	-0,00675
	-0,00232
	0,00781
	8
	0,61719
	0,62109
	0,61914
	0,00214
	-0,00232
	-0,00009
	0,00391
	9
	0,61719
	0,61914
	0,61816
	0,00214
	-0,00009
	0,00103
	0,00195
	10
	0,61816
	0,61914
	0,61865
	0,00103
	-0,00009
	0,00047
	0,00098
	11
	0,61865
	0,61914
	0,61890
	0,00047
	-0,00009
	0,00019
	0,00049
	12
	0,61890
	0,61914
	0,61902
	0,00019
	-0,00009
	0,00005
	0,00024
	13
	0,61902
	0,61914
	0,61908
	0,00005
	-0,00009
	-0,00002
	0,00012
	14
	0,61902
	0,61908
	0,61905
	0,00005
	-0,00002
	0,00001
	0,00006
	15
	0,61905
	0,61908
	0,61906
	0,00001
	-0,00002
	0,00000
	0,00003
	16
	0,61905
	0,61906
	0,61906
	0,00001
	0,00000
	0,00001
	0,00002
	17
	0,61906
	0,61906
	0,61906
	0,00001
	0,00000
	0,00000
	0,00001
	18
	0,61906
	0,61906
	0,61906
	0,00000
	0,00000
	0,00000
	0,00000
Este resultado (0,61906) é exato com 5 casas decimais. Observar que quando os critérios de convergência são atingidos, os valores de a, b e xn são iguais com cinco casas decimais.
EXERCÍCIOS:
Traçar o gráfico da função f(x) com o objetivo de determinar o intervalo [a,b] que contenha a raiz da e refine pelo método da bisseção com precisão <10-2 e critério de parada | xn+1 – xn |<.
	n
	a
	b
	xn
	f(a)
	f(b)
	f(xn)
	
| xn+1 – xn |<
	0
	
	
	
	
	
	
	
	1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Uma partícula dentro de um campo magnético tem sua velocidade descrita pela função V(t) = 2t3 – 3t2 + t – 1 (SI). Determine em que instante sua velocidade será de 61,125m/s.
O preço à vista de um carro é de $ 36.484,17, mas pode ser vendido a prazo em 48 prestações mensais de $ 1.580,00. Nessas condições, qual a taxa de juros mensal que estaria sendo cobrada?
Da financeira tem-se: , que:
	, logo: f(i) = 0
Construir o gráfico da função na planilha Excel:
= 
A4. Número de Iterações:
A cada iteração o intervalo é dividido ao meio, e na enésima iteração o comprimento do intervalo será , ou seja, para um dado intervalo [a,b] são necessárias, no mínimo n iterações para se calcular a com a margem de erro desejada.
Usando como critério de parada |a-b|< , pode-se saber com antecedência o número de iterações a serem feitas:
 			
A5. Convergência do Método da Bisseção:
A convergência é garantida, a aproximação não sai do intervalo inicial, esse intervalo é cada vez dividido por dois;
A convergência é muito lenta: para ganhar uma casa decimal (base 10), precisa-se de 3 a 4 passos.
Não exige o conhecimento de derivadas;
O método deve ser usado para diminuir o intervalo que contém a raiz.
Capítulo 2: Zeros de Funções: Método da Bisseção 
		 33
Métodos de ponto fixo
São métodos que começam suas iterações de uma aproximação inicial x0, como Newton-Raphson e Iteração Linear.
B.1. Método de Newton-Raphson (ou Método das Tangentes):
	Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a,b] (que f(a).f(b) < 0), e xr o seu único zero neste intervalo; as derivadas com e também devem ser contínuas. Graficamente, temos:
O método de Newton é equivalente a substituir um pequeno arco da curva y = f(x) por uma reta tangente, traçada a partir de um dos pontos (a ou b) da curvatura.
Neste caso, é traçado a partir de Bo[xo, f(xo)], uma reta tangente a curva y = f(x), que intercepta o eixo x no ponto x1. Do ponto B1 traçamos outra reta tangente a curva e o processo se repete até que se encontre xr = xn, com tolerância requerida.
Geometricamente, podemos mostrar que:
, daí tem-se:		=>	
, onde:						
Por indução: 	, para n = 0, 1, 2,..
B.1.1. Critério de parada:	, ou 
B.1.2. Convergência do Método de Newton-Haphson e o melhor extremo:
Observe que ao partir do ponto A, o ponto [a, b], então o método não convergiria por A.
Logo, o método garante convergência desde que:
f’(x) e f’’(x) sejam não nulas e preservem o sinal em [a, b];
xo seja tal que f(x).f’’(x) > 0
O método requer o conhecimento da forma analítica de f’(x), mas sua convergênciaé extraordinária.
Exemplo: Calcular novamente a raiz da função f(x) = ex - 3x, localizada próxima ao valor x = 0 pelo método iterativo de Newton-Raphson, com precisão 10-5 e critério de parada |xn+1 - xn|< erro.
 
	n
	xn-1
	f(xn-1)
	f'(xn-1)
	xn
	|xn - xn-1|< erro
	1
	0,00000
	1,00000
	-2,00000
	0,50000
	-----
	2
	0,50000
	0,14872
	-1,35128
	0,61006
	0,11006
	3
	0,61006
	0,01036
	-1,15946
	0,61900
	0,00894
	4
	0,61900
	0,00007
	-1,14294
	0,61906
	0,00006
	5
	0,61906
	0,00000
	-1,14282
	0,61906
	0,00000
A raiz calculada após 4 iterações é igual a 0,61906 com erro menor do que 10-5. 
Comparando-se este resultado com o obtido pelo método da bisseção, observa-se que a convergência do método da bisseção foi muito mais lenta do que a do método de Newton-Raphson. 
EXERCÍCIO:
Resolva o problema de Equilíbrio de Mecanismos - Uma haste delgada de comprimento 2R e peso P está presa a um cursor em B e apoiada a um cilindro R. Sabendo que o cursor pode se deslocar livremente ao longo de sua guia vertical, determine o valor de correspondente ao equilíbrio. Despreze o atrito. Use o Método de Newton. Considere como critério de parada |f(xn)|<0,00001.
Obter a raiz cúbica de 5, usando o método Newton-Raphson, sendo o erro = 10-3.
Resp.: A raiz é 1,710
A equação de Kepler, usada para determinar órbitas de satélites, é dada por M = x – E.sen x. Dado que E = 0,2 e M = 0,5, obtenha a raiz da equação de Kepler, usando o método de Newton, fazer 4 iterações, retendo 4 dígitos decimais para o valor de x.
Capítulo 2: Zeros de Funções: Método de Newton-Raphson 
		 35
C1. Método da Iteração Linear
Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a, b] e seja xr uma raiz desta função, sendo xr (a, b), tal que f(xr) = 0.
Inicialmente determina-se um intervalo I, onde o zero de f(x) esteja isolado, em seguida, por um artifício algébrico, pode-se transformar f(x) = 0 em duas funções que lhe sejam equivalentes, da forma x = g(x), ou seja: y1 = x e y2 = , onde g(x) é chamada de função de iteração.
B.2.1. Interpretação geométrica do método da iteração linear:
Busca-se a intersecção da reta x com a curva g(x), e assim o método transforma o problema de se encontrar uma raiz da equação f(x) = 0 na busca do ponto em que x = g(x).
 
xr
Sendo x0 a primeira aproximação da raiz xr, calcula-se g(x0). Faz-se então, x1 = g(x0), x2 = g(x1), x3 = g(x2) e assim vai gera-se uma seqüência de aproximação para a raiz pelo algoritmo:
	para n = 0, 1, 2, ...
B.2.2. Convergência do método 
	Dependendo da função g(x) escolhida, a relação de recorrência pode ou não fornecer uma sequência convergente, desta forma, o Teorema que segue pode estabelecer condições suficientes, porém não necessárias para garantir melhor extremo.
Teorema: Seja xr um zero de uma função f(x), isolada em um intervalo I=[a,b], e seja g(x) uma função tal que g(xr) = xr. Se:
g(x) e g´(x) são funções contínuas em I
Logo, o método tem sucesso quando | g'(x) | < 1 em todo intervalo. O extremo mais rápido para iniciar o método é aquele para o qual o módulo da primeira derivada é menor.
Se |g’(a)| < |g’(b)| então x0 = a, senão x0 = b.
Observe graficamente o problema e verifique que existem funções g(x) que não são indicadas para a escolha.
Casos de convergência: Seja f(x) = x3 - 5x + 3, as possíveis funções de iterações ((x)):
1. 
2. 
3. 
4. 
B.2.3. Critério de Parada: 		
 ou 
Considerações finais:
A maior dificuldade neste método é encontrar uma função de iteração que satisfaça à condição de convergência;
Teste de | g'(x) | < 1 pode levar a um engano se x0 não estiver suficientemente próximo da raiz. A velocidade de convergência dependerá de |g'(x)|: quanto menor este valor maior será a convergência;
Devemos observar que o teste de erro ( |xn - xn-1 | < erro ) não implica necessariamente que | xn - xr| < erro, conforme vemos na figura abaixo:
EXERCÍCIOS:
Calcular a raiz real da função f(x) = x2 + e3x - 3, entre o intervalo [0, 1], usando o Método da Iteração Linear. Fazer 6 iterações.
Calcular o ponto de máximo da função h(x) = - x2 + 2.sen(x). (a) Faça o gráfico da função e identifique o ponto de máximo; (b) Sabendo que o ponto máximo ou mínimo de uma função é determinado quando igualamos a derivada a zero, primeiramente defina o intervalo que contenha a raiz em f´(x). (c) Aplique o método da Iteração linear, use como critério de parada .
Calcular a raiz real da equação f(x) = entre [0,5; 1], com erro < 0,001, pelo MIL.
2. Zeros de Funções: Método da Iteração Linear	 36
2. Zeros de Funções: Método da Iteração Linear	 39
 
Resolução de problema: IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL 
A área A da parte sombreada, com em radianos, é dada por: . Se A = 3,6m² e r = 3m, para determinar o ângulo θ, a equação deve ser resolvida para θ. Desta forma, tem-se: 
 
Então, pode-se escrever que e, 
Técnicas de Isolamento de Raízes:
Isolamento através de Tabela e gráfico:
Por meio de valores dados ao θ, é possível verificar que a solução está entre 1,7 e 1,8, pois é onde a função muda de sinal. Também pode ser visto que f(θ) está mais próximo de zero quando θ = 1,8, logo a raiz dessa função é próxima 1,8.
Do problema, tem-se: 
Com relação a raiz: 
As funções f(θ) e f´( θ) são contínuas no intervalo θ [1,7; 1,8]
a = 1,7 e b = 1,8; f(a) = f(1,7) 0,412 > 0 e f(b) = f(1,8) - 0,118 < 0;
 
f´(θ) < 0, para θ [a, b] o sinal de f´(θ) se mantém constante e f(a).f(b) < 0: uma única raiz em [a, b] = [1,7; 1,8]
f´´(θ) < 0, para θ [a, b] concavidade voltada para baixo.
Utilize os métodos numéricos para encontrar as raízes. Critério de parada |f(xn)|<0,0001.Desenvolver no Excel e no Mathcad.
resumo:
Bisseção: 	
	n
	a
	b
	xn
	f(a)
	f(b)
	f(xn)
	
|f(xn)| < 
	0
	
	
	
	
	
	
	
Newton-Raphson: 	Escolha do x0:
	n
	xn
	f(xn)
	f ´(xn)
	xn+1
	
f(xn+1))| < 
	0
	
	
	
	
	
Iteração linear: 	para n = 0, 1, 2, ...	Convergência: | g'(x0) | < 1
	n
	Xn
	xn+1
	
|f(xn+1)| < 
	0
	
	
	
CONSTRUIR JUNTOS!
Exercícios
 		 40
Implementação Computacional
 	 	 43
SIMULADO - AVALIAÇÃO - Cálculo Numérico Computacional
Considere o sistema de ponto flutuante, no qual o primeiro bit representa o sinal do número, os próximos quatro representam a mantissa, o seguinte representa o sinal da característica e os dois últimos representam a característica, ou seja, F(2,4,-8,8) 
a) Quantos são os números possíveis de serem representados nesse sistema?
b) Quais os erros de underflow e de overflow do sistema em questão?
Considere o sistema de representação de uma máquina com palavra de 32 bits, no qual o primeiro bit é do sinal do número, os 24 seguintes são a mantissa, o vigésimo sexto é o sinal da característica e os seis últimos são a característica. Diga qual o valor, em base decimal, do número:
Em um sistema com as seguintes características F(10, 4, -6, 6), os números x = 12534, y = 20178 e z = 72804 são armazenados. Calcule o valor da expressão y/z e o erro relativo final da operação. 
(a) Verifique que a função f(x) = 2x -3x = 0 possui dois zeros: um no intervalo [0,1] e outro no intervalo [3,4]. (b) Obtenha os zeros dessa função em um dos intervalos usando o método da bissecção. O critério de parada é o limite de 3 iterações.
A função h(x) = x.sen(x) é utilizada no estudo de oscilações forçadas sem amortecimento. Encontre o valor de x ∈ [0, 2] onde a função assume o valor h(x) = 1. Utilize o método da bisseção, Newton-Raphson e IteraçãoLinear. Como critério de parada utilize o número máximo de 3 iterações.
Considerando um pórtico em L invertido, com comprimentos L e L/2 respetivamente, com um apoio flexível de rotação, para determinar o ângulo θ correspondente ao equilíbrio quando um peso P é apoiado em sua extremidade, conforme indicado na figura, sendo K o fator da mola,
A equação resultante durante o desenvolvimento da solução é:
(K/PL).θ = 0,5.cosθ+senθ
Considerando L = 5; K = 13,5 e P = 2. Determine θ. Faça no mínimo 10 iteração, utilizando o método da iteração linear.
Calcular o ponto de máximo da função f(x) = - 5x – 1/3.e-x +10. (a) Defina o intervalo que contenha o ponto de máximo. (b) Aplique o método de Newton. Utilize como critério de parada o número máximo de 3 iterações.
Simulado
 		 42
3. SELA – SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ALGÉBRICAS
Considere o sistema linear A.x = B, de equações com n equações e n incógnitas, escrito na usualmente na forma:
Usando notação matricial, o sistema linear pode ser representado por AX = B.
onde
A = (aij): coeficientes; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n ou i,j = 1,...,n
X = (xj): incógnitas; j = 1, 2, ...,n
B = (bi ): constantes; i = 1, 2,... ,n
Ou ainda:
; i = 1,2 , .., n
A resolução de um sistema linear consiste em calcular os valores de xj, j = 1, 2, ..., n, caso eles existam, que satisfaçam as n equações simultaneamente, e a garantia de solução única é que det(A) ≠ 0.
3.1 Classificação Quanto ao Número de Soluções
	Um sistema linear pode ser classificado quanto ao número de soluções em:
· Compatível: existe solução	
- determinado - o sistema linear tem solução única (determinante diferente de zero)
- indeterminado - o sistema linear admite infinitas soluções
· Incompatível: o sistema linear não admite solução.
Quando todos os termos independentes forem nulos, isto é, se bi = 0, i = 0, 1, ..., n, o sistema é dito homogêneo. Todo sistema homogêneo é compatível, pois admitirá pelo menos a solução trivial (xj = 0, j = 0, 1, 2, ..., n).
Capítulo 3: SELA – Notação e classificação
 	 44
3.2. Métodos Diretos
	São métodos que permitem obter a solução do sistema realizando-se um número finito de operações aritméticas. Assim, o esforço computacional necessário para se obter uma solução do sistema é perfeitamente previsível. Esta solução seria exata se não fosse a presença de erros de arredondamento. Dentre os métodos diretos mais comuns estão:
3.2.1. Método de Eliminação de Gauss:
 	Consiste na transformação da matriz expandida (matriz de coeficientes acrescida da coluna de termos independentes) em matriz triangular, superior ou inferior, seguida de um processo de substituições sucessivas para explicitar a solução do sistema. Esta transformação em matriz triangular (ou escalonamento) é obtida através da aplicação sucessiva de operações elementares sobre linhas (ou sobre colunas) na matriz expandida, buscando a eliminação seletiva de elementos não nulos para torná-la uma matriz triangular. 
	No algoritmo do método de eliminação de Gauss é necessário que aii≠0, esse elemento é chamado de pivô.
Considere o sistema:
 (sistema original)
;		;		
1º) Montamos inicialmente a matriz ampliada (ou expandida): 
2º) Triangularização:
Fase 1: () elemento pivô: a11
Objetivo: eliminar a incógnita da 2ª, 3ª, ..., nª equação.
Subtrair da 2ª equação a 1ª multiplicada por , ou seja: 
Subtrair da 3ª equação a 1ª multiplicada por , ou seja: 
Subtrair da nª equação a 1ª multiplicada por , ou seja: 
Assim, obtemos a matriz ampliada 
	
Fase 2: () elemento pivô: a22
Objetivo: eliminar a incógnita da 3ª, 4ª, ..., nª equação.
Subtrair da 3ª equação a 2ª multiplicada por : 
Subtrair da 4ª equação a 2ª multiplicada por ;
Subtrair da nª equação a 2ª multiplicada por ;
Então, obtemos a matriz ampliada 
Ao final da fase n-1, teremos: 
 
OBS: caso o elemento aii = 0, fazer troca de linhas ou colunas.
Uma matriz triangular superior é aquela em que os elementos abaixo da diagonal são zero: 
uma matriz triangular inferior é aquela em que os elementos acima da diagonal são zero: 
3º). Processo de retrosubstituição sucessiva:
De forma que o sistema seja triangular superior, cuja solução pode ser facilmente obtida. Assim a solução do sistema é também solução do sistema original, já que ambos são equivalentes.
Para ordem n, tem-se: 
 
Para: i = n-1, n-2, ..., 1, tem-se:
Exemplo: Resolver o seguinte sistema de equação:
1º). Geração da matriz expandida:
2º). Triangularização:
- correspondente a primeira coluna (k = 1):
- correspondente a segunda coluna (k = 2):
3º). Processo de retrosubstituição sucessiva:
IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL:
Programa para resolver um sistema pelo Método de Gauss sem pivotamento: 
Pode-se também associar o método de eliminação de Gauss a um processo de pivotamento, parcial ou total, que promove uma troca seletiva de linhas (ou colunas), visando tomar pivôs (elementos das diagonais principais) com maior módulo possível, e assim procurando evitar a presença de pivôs nulos.
Exemplo 1: Resolver o seguinte sistema de equações lineares pelo método de eliminação de Gauss sem pivotamento adotando operações aritméticas com 4 (quatro) dígitos significativos e arredondamento ponderado.
 	
Na forma matricial tem-se
	
1º). Geração da matriz expandida:
	
2º). Triangularização correspondente a primeira coluna (k = 1):
 
 
3º). Triangularização correspondente a segunda coluna (k = 2):
 
 
4º). Processo de retrosubstituição sucessiva:
	Após a triangularização analisa-se o sistema de equações equivalente, gerado a partir do processo de eliminação empregado:
	
Logo:
	x3 = -0,9412/(-0,3891)			x3 = 2,419
	x2 = ( 1 – 0,4899x3 ) / 1,666	 	x2 = -0,1110
	x1 = ( - 0,784x2 – 0,279 x3 ) /(-0,421) 	x1 = 1,396
	Portanto, a solução do sistema correspondente ao exemplo 2 é:
	S = { 1,396; -0,1110; 2,419}
	Se os resíduos (r = |b – A.x|) de cada uma das equações do sistema linear proposto forem avaliados, normalmente são obtidos valores residuais não nulos das equações, decorrentes de erros de arredondamento.
 
Por ex:	
	
Neste caso, também pode ser calculado o erro exato, dado por 
erro = | Xexato - Xaproximado |. A solução exata foi encontrada através da calculadora gráfica CFX-9850G:
Xexato1 = 1,396286256
Xexato2 = - 0,111080218
Xexato3 = 2,419080304
	
Avaliando o erro utilizando a precisão de 4 dígitos significativos, que foi utilizada até aqui em todas as operações. temos:
Xexato1 = 1,396 
Xexato2 = - 0,1111
Xexato3 = 2,419
 	E o erro exato obtido foi:
Erro1 = | 1,396 – 1,369 | = 0,000
Erro2 = | -0,1111 - (-0,1110) | = 0,0001
Erro3 = | 2,419 – 2,419 | = 0,000
Exemplo 2: Resolver o seguinte sistema de equações lineares pelo método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial utilizando operações aritméticas com 4 (quatro) dígitos significativos e arredondamento ponderado.
									
Na forma matricial tem-se
	
1º). Geração da matriz expandida:
	
2º). Pivotação parcial, correspondente ao primeiro pivô (k=1):
	(i). Busca do maior elemento em módulo da coluna k = 1:
	
 i = 2 
	
(maior módulo da coluna k=1 está na linha i = 2).
	(ii). troca de linhas:
		(Troca da linha L1 com L2 e vice-versa)
	(iii). Matriz pivotada:
	
3º). Processo de triangularização, correspondente ao primeiro pivô (k=1):
	
	
Obs.: Note que as operações elementares aplicadas acima eliminam os elementos abaixo da diagonal principal na primeira coluna. A operação de eliminação acontece sempre que se subtrai de cada linha,a linha do pivô multiplicada pelo elemento a ser eliminado divida pelo elemento pivô.
4º). Pivotação Parcial, correspondente ao segundo pivô (k=2):
	(i). Busca parcial do maior módulo da coluna k = 2 (busca a partir da segunda linha e da segunda coluna, pois a primeira coluna já foi anulada)
	
	(maior módulo da coluna k=2 já está na linha i = 2)
	(ii). Não é necessário a troca de linhas, pois a matriz já está pivotada.
5º). Processo de triangularização, correspondente ao segundo pivô (k=2):
 
6º). Processo de retrosubstituição sucessiva:
	Primeiramente analisa-se o sistema de equações equivalente, gerado a partir do processo de eliminação empregado:
	
	Logo:
	x3 = -0,9410/ (-0,3890)			x3 = 2,419
	x2 = ( 0,9397 – 0,4606x3 ) / 1,566	 	x2 = -0,1113
	x1 = ( 1 – 0,832 x2 – 0,193 x3 ) /0,448 	x1 = 1,397
Portanto a solução do sistema dado no exemplo 3 é:
	S = { 1,397; -0,1113; 2,419}
	Os resíduos ( r = | b - A x | ):
	Neste caso, também pode ser calculado o erro exato, dado por: erro = | Xexato - Xaprox.|, através da solução exata encontrada na calculadora:
Xexato1 = 1,39628656...
Xexato2 = - 0,11108021803
Xexato3 = 2,4190803038
	
Utilizando a precisão de 4 dígitos significativos, temos:
Xexato1 = 1,396 
Xexato2 = - 0,1111
Xexato3 = 2,419
 	E o erro exato obtido foi:
Erro1= | 1,396 – 1,397 | = 0,001
Erro2= | -0,1111 - (-0,1113) | = 0,0002
Erro3= | 2,419 – 2,419 | = 0,000
 
Obs.: Note que com o processo de pivotamento parcial:
Eliminam-se os possíveis pivôs nulos, caso a matriz de coeficientes seja não singular (determinante diferente de zero);
Também consegue-se uma redução nos efeitos de erros de arredondamento (diminuição da perda de significação), destacada na avaliação do erro exato.
I	
Alternativamente, pode-se implementar o método de eliminação de Gauss usando a pivotação total, que é computacionalmente mais eficiente, induzindo um menor erro de arredondamento acumulado, de forma a se obter soluções computacionalmente mais estáveis em relação às perturbações introduzidas por erros de arredondamento. No pivotamento total, ou completo, procura-se o elemento de maior módulo dentre todos os elementos disponíveis na matriz de coeficientes, promovendo trocas de linhas e/ou colunas conforme a necessidade. Para avaliar as consequências destas trocas de linhas e colunas deve-se interpretar os elementos da matriz expandida em termos das equações do sistema, assim:
	Troca de linhas implica apenas em trocar a ordem na apresentação das equações;
	Troca de colunas implica na troca da ordem de apresentação das variáveis (incógnitas) do sistema.
Exercício: Resolver o seguinte sistema de equações lineares, usando a pivotação total e operações aritméticas com 4 (quatro) dígitos significativos e arredondamento ponderado.
		
Considerações:
Pelos resíduos encontrados nos exemplos acima, nota-se que o resíduo nem sempre é um bom elemento para certificarmos a exatidão da solução, pois embora encontremos resíduos menores no método sem o uso do pivotamento, comparativamente aos métodos que se utilizaram de pivotamento parcial e total, a solução do sistema normalmente é mais exata nos métodos com pivotação. 
Nas operações elementares sobre linhas aplicadas no método de Gauss, aparece uma operação de divisão pelo pivô. Sabemos que na maioria das operações de divisão são gerados erros de arredondamentos, então ao longo do processo de eliminações sucessivas, estes erros de arredondamento vão se acumulando, pois os resultados obtidos em um estágio do processo de eliminação serão usadas no estágio seguinte.
3.1.2. Método de Gauss-Jordan:
 	Consiste na transformação da matriz expandida em matriz diagonal (normalizada com coeficientes unitários), que é equivalente a matriz identidade. Esta transformação é obtida através da aplicação sucessiva de operações elementares sobre linhas (ou sobre colunas), buscando a eliminação seletiva dos elementos não nulos externos a diagonal principal. Também pode ser associado a um processo de pivotamento, parcial ou total.
Exemplo 1: Resolver o seguinte sistema de equações lineares usando o método de Gauss-Jordan com pivotamento parcial:
	
OBS: operações aritméticas com 4 (quatro) dígitos significativos e arredondamento ponderado.
Na forma matricial tem-se:
	
1º). Geração da matriz expandida:
	
2º). Pivotação parcial, correspondente ao primeiro pivô (k = 1):
	(i). Busca do maior módulo da coluna k = 1
		k=1
i = 2 
	
(o elemento de maior módulo está na linha i = 2).
	(ii). troca de linhas:
	 (Troca da linha L1 com a linha L2 e vice-versa)
	(iii). Matriz pivotada:
	
Obs.: até aqui o processo é idêntico a eliminação de Gauss.
3º). Processo de normalização do primeiro pivô (k=1):
	
	
4º). Processo de diagonalização, correspondente ao primeiro pivô (k = 1):
	
	
5º). Pivotação Parcial, correspondente ao segundo pivô (k=2):
	(i). Busca parcial do maior módulo da coluna k = 2 (busca a partir da segunda linha e segunda coluna, pois a primeira coluna já foi anulada)
	 k=2
 
	
(elemento de maior módulo da coluna k=2 está na linha i = 3).
	(ii). troca de linhas:
 (Troca da linha L2 com a linha L3 e vice-versa)
6º). Processo de normalização do segundo pivô (k=2):
	 
	
7º). Processo de diagonalização, correspondente ao segundo pivô (k = 2):
	
	
9º). Processo de normalização do terceiro pivô (k = 3):
	
	
10º). Processo de diagonalização, correspondente ao terceiro pivô (k = 3):
	
	
	Analisando o sistema de equações equivalente, gerado a partir do processo de eliminações sucessivas, tem-se o seguinte sistema:
	
Obs.: Note que cada equação representa explicitamente uma incógnita, ou seja, o vetor b de termos independentes modificado guarda a própria solução do sistema. Assim,
	X3 = 3.069
	x2 = - 4.288
	x1 = 1.100
	Logo: 	S = {3,069;- 4,288;1,100}
Utilizando MathCad:
O comando rref resulta a forma final de Gauss-Jordan
Método LU – Decomposição
Considerando o sistema linear AX = B, o processo de fatoração LU consiste na decomposição da matriz A num produto de duas matrizes triangulares e a seguir, resolver os dois sistemas triangulares que conduzirão à solução do sistema original (Utilizando a idéia básica da eliminação de Gauss).
 	A vantagem de utilizar o processo de fatoração é que pode-se resolver qualquer sistema linear que tenha A como matriz dos coeficientes. Se o vetor B for alterado, a resolução do novo sistema será quase que imediata. A fatoração LU é um dos processos de fatoração mais utilizados. 
L = Matriz triangular inferior com diagonal unitária
U = Matriz triangular superior.
Obtenção da Matriz LU:
Considere o sistema:
 (sistema original)
;		;		
Sendo A uma matriz de ordem 3:
Fase 1:
Fase 2:
 Logo: 
 	 L * U = A
Exemplo 1: Resolver o sistema linear pelo método da fatoração LU:
1) 
	X1=
	1
	
	
	
	
	
	
	
	
	X2=
	1
	
	
	
	
	
	
	
	
	X3=
	1
	
	
	
	
	
	
	
	
Exercício:
Resolver os sistemas lineares pelo método da fatoração LU:
 
	
	
Capítulo 3: SELA – Métodos Diretos 
 	 45
Capítulo 3: SELA: Métodos diretos
 		 58
MÉTODOS ITERATIVOS
 Os sistemas lineares de médio e grande porte são em geral esparsos, ou seja, quando a matriz A dos coeficientes possui uma grande porcentagem de elementos nulos. A resolução desses sistemas pelo método de Gauss não é aconselhável, pois o método não preserva a esparsidade (muitos elementos nulos podem se tornar não nulos).
Existem métodos que usam apenas os elementos da matriz A original:estes métodos são algoritmos simples para converter qualquer vetor x em outro vetor x, que depende de x, A, b, preservando a esparsidade da matriz A e apresentam uma vantagem sobre o método de Gauss que é de apresentar uma relativa insensibilidade ao crescimento de erros de arredondamento. Esses métodos pertencem à classe dos métodos iterativos para a resolução de sistema linear, como Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. 
 MÉTODO ITERATIVO GAUSS-JACOBI
Cada coordenada do vetor correspondente à nova aproximação é calculada a partir da respectiva equação do sistema, utilizando-se as demais coordenadas do vetor aproximação da iteração anterior.
Considere o sistema linear:
Supondo , isola-se o vetor mediante a separação pela diagonal da matriz dos coeficientes.
ou
 	 i = 1,2,...,n 					(1)
	Para se resolver A.x = B por Jacobi, toma-se uma solução inicial T, isola-se a i-ésima incógnita xi na i-ésima equação e aplica-se para se tentar obter a seqüência convergente.
CRITÉRIO DE PARADA:
O processo iterativo é repetido até que o vetor x (k+1) esteja suficientemente próximo do vetor x(k).
Então, veja quatro testes dentre os critérios mais comuns:
(i). i = 1,2,3,...,n
	Corresponde à máxima diferença absoluta entre valores novos e antigos de todas as variáveis.
(ii). i = 1,2,3,...,n
	Corresponde à máxima diferença relativa entre valores novos e antigos de todas as variáveis.
(iii). Computacionalmente também é usado como teste de parada um número máximo de iterações.
(iv). i = 1,2,3,...,n
	Corresponde ao maior resíduo dentre todas as equações, onde 
Exemplo 1: Resolver o seguinte sistema pelo método de Jacobi.
Montando as equações evolutivas para as variáveis do sistema tem-se:
	
Valor inicial: 
	xi\k
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	
	
	
	
	0,901
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	0,901
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	0,704
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Pode-se notar que a seqüência evolutiva obtida para as variáveis está convergindo para a solução S, que no caso é dada por S = {1,1,1}.
	Neste ponto é necessário estabelecer um critério de parada que determine o quão próxima da solução exata está a seqüência convergente .
Pelo 1º critério: , temos:
	Portanto, neste exemplo, o critério alcançado é .
Obs.: Note que, neste exemplo, o processo iterativo é do tipo oscilatório, onde as variáveis aumentam e diminuem alternativamente. Este efeito prejudica a convergência, tornando o processo lento.
Condições Suficientes para a Convergência do Método de Gauss-Jacobi:
Teorema: Seja o sistema linear e seja:
Se , então o método G-J gera uma seqüência convergente para a solução do sistema dado, independentemente da escolha da aproximação inicial .
Observe que esta é uma condição suficiente, se for satisfeita o método converge, entretanto se não for satisfeita nada se pode afirmar.
Exemplo 2: Seja a matriz do exemplo dado anteriormente:
Tem-se a convergência garantida para qualquer vetor inicial.
Exemplo 3: Seja o sistema de equações lineares:
		 	
 
As condições de convergência do teorema não são satisfeitas, entretanto o Método de Gauss-Jacobi gera uma seqüência convergente para a solução exata . Se as condições de suficiência não são satisfeitas, não significa que o método não possa convergir.
Exemplo 3:
Considere o sistema linear:
		
As condições do teorema não são satisfeitas. Uma solução possível é permutar as equações. Seja no exemplo permutar a primeira equação com a segunda equação:
As condições passam a ser satisfeitas e a convergência é garantida para qualquer vetor inicial. Este tipo de procedimento nem sempre é possível.
Exercício: Resolver o sistema de equações lineares, pelo Método de Gauss-Jacobi com solução inicial e tolerância .
MÉTODO ITERATIVO GAUSS-SEIDEL
Cada coordenada do vetor correspondente à nova aproximação é calculada a partir da respectiva equação do sistema, utilizando-se as coordenadas do vetor aproximação da iteração anterior, quando essas ainda não foram calculadas na iteração corrente, e as coordenadas do vetor aproximação da iteração corrente, no caso contrário, ou seja, o processo iterativo consiste em: partindo-se de uma aproximação inicial (arbitrária) , obter-se aproximações x(1) , x(2) , . . . x(n), através das relações recursivas dadas por:
 	 i = 1,2,...,n 	(2)
A operacionalização é semelhante à do método de Jacobi, porém, utiliza-se sempre o último vetor obtido em cada nova iteração.
Continua-se a gerar aproximações até que a condição de parada dado. 
Exemplo 1: Resolver o seguinte sistema pelo método de Gauss-Seidel:
Solução: Montando as equações evolutivas para as variáveis do sistema temos:
	
Atenção: as equações evolutivas se utilizam dos valores disponíveis mais atualizados.
Valor inicial: 
	xi\k
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	
	
	
	
	0,901
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	0,901
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	0,704
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Pelo 1º critério: , temos:
Obs.: Note que, no mesmo exemplo, o processo iterativo correspondente a aplicação do Método de Gauss-Seidel também é um processo oscilatório, porém neste caso tem-se um processo de convergência um pouco mais rápido, por que no método de Gauss-Seidel são tomados os valores disponíveis mais atualizados.
Estudo da Convergência do Método de Gauss-Seidel:
Existem dois critérios de suficiência para a convergência do Método de Gauss-Seidel. O critério de linhas e o critério de Sassenfeld. O critério de linhas é o mesmo da Método de Gauss-Jacobi.
Critério de Linhas
Seja o sistema linear, com A dimensão e seja:
Se , então o método Gauss-Seidel gera uma seqüência convergente para a solução do sistema dado, independentemente da escolha da aproximação inicial .
A matriz que satisfizer o critério de linhas é chamada de diagonal dominante estrita.
Critério de Sassenfeld:
Seja o sistema linear, com A dimensão e seja:
e para :
Define-se .
Se , então o Método de Gauss-Seidel gera uma sequência convergente para a solução do sistema, qualquer que seja o vetor inicial. Além disso, quanto menor for o valor de mais rápida é a convergência.
Exemplo 2: Verificar as condições de convergência do Método de Gauss-Seidel no sistema abaixo:
Critério de Linhas
 não satisfaz.
Critério de Sassenfeld
 não satisfaz.
Como a convergência do Método de Gauss-Seidel é fortemente dependente da posição das equações, pode-se trocar a posição das equações.
Tentativa 1: Troca-se a primeira equação pela terceira equação.
Critério de Linhas
 não satisfaz.
Critério de Sassenfeld
 não satisfaz.
Tentativa 2: Troca-se a primeira coluna pela terceira coluna na equação anterior.
Critério de Linhas
 satisfaz.		 não satisfaz.
Critério de Sassenfeld
 satisfaz.	 satisfaz.	 satisfaz.
Com a última modificação o sistema passa a ser convergente para qualquer vetor inicial. Modificações desse tipo são puramente acadêmicas e são difíceis de serem realizadas em sistemas reais. Principalmente pelas dimensões dos problemas, resultando num grande esforço computacional, e das incertezas quanto a sua eficiência. 
Exemplo 3: Verifique a convergência do sistema abaixo pelo critério de linhas e Sassenfeld.
Critério de Linhas:		 Não satisfaz
Critério de Sassenfeld: 	 Satisfaz
Exemplo 4: Verifique a convergência do sistema abaixo pelo critério de linhas e Sassenfeld.
Capítulo 3: SELA – Métodos Iterativos
 	 59
Capítulo 3: SELA: Métodos Iterativos
 		 65
Exercícios: 
Para uma construção, um engenheiro civil precisa de 4800, 5800 e 5700 m3 de areia, cascalho fino e cascalho grosso, respectivamente. Estes materiais podemser obtidos de três diferentes misturas cujas composições são, em porcentagem:
	Mistura 
	Areia(%)
	Cascalho Fino(%)
	Cascalho Grosso(%)
	1
2
3
	55
25
25
	30
45
20
	15
35
55
Quantos metros cúbicos de cada mistura são necessários para satisfazer os requisitos do engenheiro? Utilizar eliminação de Gauss.
Encontrar as soluções dos sistemas, utilizando o método Gauss-Seidel, com precisão 10-2:
, com X(0) =[0,0,0]t
, com X(0) = [1,3,1,3]t
Resolver o sistema pelo método iterativo Gauss-Seidel, sendo e o erro , k = 10.
Resolva os sistemas lineares abaixo, conforme o método indicado, considerando operações aritméticas com 4 (quatro) dígitos significativos e arredondamento ponderado.
Método de Eliminação de Gauss
Resposta: X = [1 2 3]T
Seja f(x) = ax2 + bx+ c. Determine a, b e c sabendo-se que f(-4) = 0, f(-1) = -3 e f(2) = 12.
Resposta: f(x) = x2 + 4x
Método de Gauss com pivotamento total: 
Métodos iterativos (Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel). Use X(0) = [1 1 1]T para calcular X(5) . 
Considerando o circuito
Tem-se o sistema: . Utilize o método de pivotamento de Gauss para determinar o vetor I, considerando E0 genérico.
Resolver o sistema linear pelo método da fatoração LU: 
ELABORAR PROGRAMA PARA 
GAUSS-JACOBI		b. GAUSS-SEIDEL
	
	
SELA – Exercícios
 	 66
SELA – Exercícios
 		 67
4 SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO-LINEARES (ALGÉBRICAS E TRANSCEDENTAIS)
A solução de um sistema não-linear consiste em determinar pontos no subespaço do problema que solucione o conjunto de equações. Os pontos de solução estão na intersecção das curvas que representam as equações. 
Exemplo:
A extensão do problema de encontrar uma solução de uma única equação real é procurar uma solução para um sistema de equações não-lineares.
Observação: vamos nos restringir a sistema com igual número de equações e variáveis.
Método de Newton-Raphson para Sistemas de Equações Não-Lineares
Seja o sistema de equações não-lineares:
O sistema pode ser representado de forma vetorial: , onde:
Do Método de Newton para equações escalares, a cada iteração determina-se a reta tangente ao gráfico da função no ponto inicial. 
No caso de sistemas de equações, determina-se o hiperplano tangente ao politopo determinado pelos sistemas de equações no ponto inicial. 
Então na forma de vetores e dado ponto , temos:
.
onde:
é chamada de matriz Jacobiana, é a matriz das derivadas parciais. Observe que como não existe divisão por matrizes multiplica-se pela inversa da mesma.
De forma genérica torna-se:
Exemplo: Resolver o sistema de equações não-lineares utilizando o Método de Newton-Raphson para um vetor inicial e erro |F(X)| < 10-4
Na Planilha Excel: 
Para calcular a J-1, selecione as 6 células que irão formar a matriz inversa, digite = MATRIZ.INVERSO(seleciona a matriz J) e pressione ctrl shift enter.
Para calcular J-1(X(k))*F(X(k)), selecione a coluna e linhas que será o resultado da multiplicação, digite =MATRIZ.MULT(selecione a matriz J-1;selecione a matriz F) e e pressione ctrl shift enter.
Método de Newton-Raphson para Sistemas de Equações Não-Lineares 	 68
Método de Newton-Raphson para Sistemas de Equações Não-Lineares 		 70
4. Interpolação Polinomial
A classe de funções mais usada na interpolação são os polinômios, por serem fáceis de derivar, integrar e calcular.
Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma outra função p(x), escolhida à priori entre uma classe de funções definidas (polinômios), que satisfaça algumas propriedades. A função p(x) é usada em substituição à função f(x). 
A necessidade de efetuar esta substituição surge quando são somente conhecidos os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor de um ponto não tabelado, ou quando a expressão da função tal que operações como diferenciação e integração são difíceis (ou impossíveis) de serem realizadas. 
Considere o seguinte problema:
A tabela abaixo que relaciona calor específico da água e temperatura:
	Xi, com i = 0,1,..,7
Temperatura (oC)
	
20
	
25
	
30
	
35
	
40
	
45
	
50
	
55
	Calor específico
	0,99907
	0,99852
	0,99826
	0,99818
	0,99828
	0,99849
	0,99878
	0,99919
 
A partir desses dados, calcular:
O calor específico da água a 32,5º C
A temperatura a qual o calor específico é 0,99837.
Equacionando:
Considerar n+1 valores distintas: x0, x1, ..., xn (nós da interpolação) e os valores de f(x) nesses pontos: f(x0), f(x1), ..., f(xn).
Determinar a função p(x) tal que:
	p(x0)=f(x0)
	p(x1)=f(x1) 
	....
	p(xn)=f(xn)
Graficamente: se n = 5
p(x)
As três formas de interpolação a seguir tem o objetivo de determinar os coeficientes do polinômio interpolador
pn(x) = a0+a1x+...+anxn
que interliga os n+1 pontos conhecidos [xi, f(xi)] e a imposição básica é a seguinte:
f(xk) = pn(xk); k=0,1,...,n
4.1. Obtenção do polinômio interpolador a partir da solução de um sistema linear de n equações e n incógnitas.
Considerando pn(x)= a0+a1x+...+anxn , com a condição f(xk)=pn(xk); onde k=0,1,...,n produz o sistema seguinte de n+1 equações, n+1 variáveis:
Na forma matricial, tem-se:
					A . α = f
A: Matriz de Vandermonde (abscissa dos pontos)
a: vetor de incógnitas (coeficientes do polinômio)
f: vetor conhecido (ordenada dos pontos)
Se as abscissas x0, x1, ...,xn são pontos distintos (, ) e det A0, o sistema admite uma solução única, o que implica no fato de que qualquer outro método de interpolação resultará no mesmo polinômio.
Tal sistema é linear e pode ser resolvido por métodos numéricos como a eliminação de Gauss.
Exemplo 1: Encontrar o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da tabela:
	x
	-1
	0
	2
	f(x)
	4
	1
	-1
Considerando p2(x) = a0+a1x+a2x2, temos o sistema:
Exemplo 2: Calcular o número de habitantes de Santo Ângelo em 2003, considerando os valores dados pela tabela a seguir, considerando os pontos: 2002, 2004, 2005 e 2006.
Fonte: Dados do IBGE
Ou:
Exercício: A tabela informa o número de carros (x mil) que passam por um determinado pedágio em um determinado dia:
	Horário
	10:00
	10:30
	11:00
	11:30
	12:00
	12:30
	No. Carros
	2,69
	1,64
	1,09
	1,04
	1,49
	2,44
Faça o gráfico para verificar qual a tendência da curva.
Estime o número de carros que passariam pelo pedágio às 11:10, usando sistemas lineares para encontrar um polinômio interpolador p(x) que estima o número de carros em função do tempo. Use uma reta como função interpoladora.
Faça a mesma estimativa, mas utilizando uma parábola como polinômio interpolador. 
Agora, faça a mesma estimativa, mas utilizando um polinômio de grau maior possível como polinômio interpolador. 
Solução: letra d
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL POR SELA: 
 
Matriz de Vandermonde:
Resolvendo o SELA por Eliminação de Gauss:
Interpolação Polinomial 	 71
Polinômio Interpolador por SELA		 78
4.2. Forma de Interpolação de Lagrange
	Pode-se determinar mais facilmente o polinômio interpolador sem resolver o SELA, utilizando os polinômios de Lagrange.
Seja o polinômio de grau n que deve passar por n+1 pontos, considerando P(x) na forma:
P(x) = Ao(x-x1)(x-x2)....(x-xn) + A1(x-xo)(x-x2)....(x-xn) + ... + An(x-xo)(x-x1)....(x-xn-1) = y (1)
Cada um dos termos é por sua vez um polinômio degrau “n”.
Sendo constantes a serem determinadas satisfazendo as condições: 
x = xo, P(xo) = yo
x = x1 P(x1) = y1
x = x2, P(x2) = y2			(2)
…….
x = xn P(xn) = yn
Então, tem-se substituindo (2) em (1):
yo = Ao(x0-x1)(x0-x2)....(x0-xn) Ao =
y1 = A1(x1-xo)(x1-x2)....(x1-xn) A1 = 		(3)
y2 = A2(x2-xo)(x2-x1)....(x2-xn) A2 =
....................................
yn = An(xn-xo)(xn-x1)....(xn-xn) A2 =
Com (3) em (1), tem-se:
Se; 
Reduzindo a:
Ou ainda:
 (fórmula interpoladora de Lagrange)
Obs.: Quanto maior o grau do polinômio interpolador, melhor sua precisão.
Exemplo 1: Encontrar o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da tabela:
	x
	-1
	0
	2
	f(x)
	4
	1
	-1
Exemplo 2: Encontre o polinômio interpolador pelo método de Lagrange e calcule o número de habitantes de Santo Ângelo em 2003, considerando os valores dados anteriormente pela tabela de crescimento populacional de Santo Ângelo, considerando os pontos: 2002, 2004, 2005 e 2006.
Forma de Interpolação de Lagrange	 79
Forma de Interpolação de Lagrange		 81
4.3. Forma de Interpolação de Newton
Considerando os n+1 pontos (x0, f(x0)), ..., (xn, f(xn)) e o polinômio interpolador pn(x). Newton propôs de representar o polinômio pn(x) da forma:
		pn(x) = d0 + d1(x-x0) + d2(x-x0).(x-x1) +...+ dn(x-x0)...(x-xn-1)
Os coeficientes dk, k = 0,...,n são diferenças divididas de ordem k entre os pontos (xj, f(xj)), j = 0,...,k
4.3.1. Operador diferenças divididas:
f(x) é uma função tabelada em x0,...,xn.
Os operadores de diferenças divididas são definidos por:
	
	Ordem 0
	Ordem 1
	Ordem 2
	
	
Ordem 
	
	
=d0
	
=d1
	
	
	
	
	
	
	
=d1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
=dn
Exemplo: Encontrar o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da tabela:
	x
	-1
	0
	2
	f(x)
	4
	1
	-1
	x
	Ord 0
	Ord 1
	Ord 2
	-1
	4
	
	
	0
	1
	-3
	
	2
	-1
	-1
	2/3
pn(x) = d0 + d1(x-x0) + d2(x-x0).(x-x1) +...+ dn.(x-x0)...(x-xn-1)
Exercícios:
A Lei de Ohm diz que a queda de voltagem através de um resistor ideal é linearmente proporcional à corrente elétrica que passa por esse resistor (V = Ri, onde R é a resistência elétrica). Contudo, resistores reais podem não obedecem à lei de Ohm. Suponha que você obteve medidas precisas para V e i mostradas na tabela abaixo (que sugerem uma relação não linear entre V e i): 
	i
	-1
	-0.5
	-0.25
	0.25
	0.5
	1
	V
	-637
	-96.5
	-20.5
	20.5
	96.5
	637
Utilizando-se de um polinômio de interpolação de grau 2, encontre:
V para i = 0,6
i para V = 110
A tabela abaixo representa alguns valores da função . Usando o polinômio interpolador de Newton, interpole por meio de uma polinomial interpoladora de quarta ordem.
	
	
	0
0,1
0,2
0,3
0,4
	0
0,09983
0,19867
0,29552
0,38941
A tabela abaixo relaciona o calor específico da água em função da temperatura. Calcular o calor específico da água a uma temperatura de 25ºC, usando um polinômio de 3º grau e: (trabalhar com cinco decimais)
	Temperatura (ºC)
	Calor Espacífico
	20
30
45
55
	0,99907
0,99826
0,99849
0,99919
A fórmula de Lagrange.
A fórmula de Newton.
Considere a seguinte tabela de valores
	x
	1
	1,2
	1,4
	1,7
	1,8
	g(x)
	0,21
	0,32
	0,48
	0,56
	0,78
Dar o correspondente polinômio de interpolação pelo método polinomial, ou de Newton, ou pelo de Lagrange, e também o valor aproximado para x = 1,3.
A velocidade V(m/s) de um foguete lançado do solo foi medida 4 vezes, t segundos após o lançamento, e os dados foram registrados na tabela abaixo. Expresse o polinômio e calcule usando um polinômio de 4º grau, a velocidade aproximada do foguete após 25 segundos do lançamento.
	Tempo (s)
	0
	8
	20
	30
	45
	Velocidade (m/s)
	0
	52,032
	160,450
	275,961
	370,276
De um velocímetro de um automóvel foram obtidas as seguintes leituras de velocidade instantânea:
	t(min)
	0
	5
	10
	15
	V(Km/h)
	23
	10
	28
	35
Determinar o polinômio interpolador de grau maior possível;
Calcular a velocidade correspondente a 10 min.
A figura a seguir mostra o esboço do leito do rio. A partir de uma linha reta, próxima a uma das margens, foram medidas distâncias (em m) entre esta linha reta e as duas margens do rio, de 15 em 15 metros, a partir de um ponto tomado como origem. Tais dados foram registrados na tabela a seguir. Determinar o valor aproximado da largura do rio nos pontos que distam 10, 20, 40 e 50 metros da origem (tomados na linha reta).
	X
	0
	15
	30
	45
	60
	y(M1)
	50,00
	86,00
	146,00
	73,50
	50,00
	y(M2)
	112,50
	154,50
	195,00
	171,00
	95,50
Polinômio Interpolador por Newton 	 82
Interpolação Polinomial: Exercícios		 84
5. Integração Numérica
Sabe-se do Cálculo Diferencial e Integral que se f(x) é uma função contínua em [a, b], então esta função tem uma primitiva neste intervalo, ou seja, existe F(x) tal que:
 = F(x) + C, com F’(x) = f(x);
demonstra que, no intervalo [a, b],
 (1)
A integral definida em (1) representa a área sob a curva f(x) entre x = a e x = b.
Do ponto de vista analítico existem diversas regras, que podem ser utilizadas na prática, caso não, deve-se recorrer ao método numérico.
A necessidade de solução numérica ocorre quando:
Em tipos de integrandos f(x), não conhecidas suas primitivas F(x); 
Para aqueles em que a obtenção da primitiva, embora viável, é muito trabalhosa;
Caso em que não se possua a expressão analítica de f(x), conhecido apenas em alguns pontos, num intervalo [a, b], ou ainda através de um gráfico.
 A integração numérica pode trazer ótimos resultados quando outros métodos falham.
Ideia básica:
Fazer a substituição da função f(x) por um polinômio que aproxime razoavelmente no intervalo [a, b]. Assim o problema fica resolvido pela integração de polinômios, o que é trivial de se fazer.
5.1. Fórmulas de Newton-Cotes
Empregam valores de f(x), onde os valores de x são igualmente espaçados, ou seja, a idéia de polinômio que aproxime f(x) razoavelmente é que este polinômio interpole f(x) em pontos de [a, b] igualmente espaçados. 
Considerando a partição do intervalo [a, b] em subintervalos, de comprimento h, [xi, xi+1], i = 0, 1, ..., n-1. Assim xi+1 - xi = h = (b - a)/n.
5.1.1 Regra dos Trapézios (n = 1, 2 pontos conhecidos)
Considerando a Fig. 1, pelos dois pontos do extremo do intervalo, faz-se passar uma reta e a integral de f(x) é aproximada pela área sob esta reta.
Graficamente, tem-se: 
Fig. 1
A área de cada trapézio é: 
A soma destas áreas será uma aproximação para 
Numericamente: A regra dos trapézios é obtida aproximando-se f por um polinômio interpolador do 1º grau. Se for usado a fórmula de Lagrange para expressar o polinômio p1(x) que interpola f(x) em x0 e x1 temos:
Exemplo: Calcular pela Regra dos Trapézios e depois analiticamente o valor de e comparar os resultados.
Regra do Trapézio Repetida
Seja o intervalo finito [a, b] no eixo x que é particionado em n subintervalos igualmente espaçados [xi, xi+1], com x0 = a e xn = b e hi = xi+1 - xi. Seja f uma função contínua ou simplesmente Riemann integrável, cuja integral não é conhecida.
Para h suficientemente pequeno, I pode ser aproximado pela regra do trapézio repetida, ou seja:
 
, com x 0 = a e x n = b
 
Exemplo: Calcular pela Regra dos Trapézios com n = 6 (subdividindo o intervalo de integração em 6 subintervalos) e depois analiticamente o valor de e comparar os resultados. 
h = (3,6 – 3)/6 = 
	xi
	f(xi)
	3
	
	3,1
	
	3,2
	
	3,3
	
	3,4
	
	3,5
	
	3,6
	
Regra 1/3 de Simpson (n=2, três pontos conhecidos)
É um método similara regra do trapézio, porém melhor. No método de Simpson calculamos a área do trapézio sob uma parábola entre xi e xi + 1 . O intervalo [a , b] tem que ser dividido num número par de subintervalos.
Então, a integral é aproximada pela integral da curva de segundo grau que interpola a função nos valores a, (a+b)/2 e b.
ou 
O polinômio escolhido para aproximar a função é o polinômio de Lagrange de grau 2. Seja p2(x) o polinômio que interpola f(x) nos pontos x0 = a, x1 = x0 + h e x2 = x0 + 2h = b:
Resolvendo as integrais, tem-se:
Exemplo: Seja f(x) uma função conhecida apenas nos pontos tabelados a seguir. Utilizando a regra de Simpson, encontrar uma aproximação para . 
Regra 1/3 de Simpson Repetida
Como no caso da regra dos trapézios, para diminuir o erro cometido na aproximação da integral, podemos subdividir o intervalo inicial em n intervalos de mesmo comprimento. Para poder aplicar 1/3 de Simpson, a condição é que n seja par.
Supondo 9 pontos conhecidos:
		(1)
 Somando-se todos os termos de (1), tem-se: 
Generalizando para n+1 pontos (n par), tem-se: 
Exemplo 1: Adicionando alguns pontos na tabela do exemplo anterior tem-se:
Recalcular pela regra de Simpson Repetida.
Exemplo 2:
Calcular a , aplicando: (sugestão: faça n=6)
a regra do trapézio;
a regra de Simpson de 1/3. 
Solução:
Construção da tabela de valores da f(x)
	I
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	
	0
	/12
	2/12
	3/12
	4/12
	5/12
	6/12
	f(xi)
	0
	0,2588
	0,5
	0,7071
	0,8660
	0,9659
	1
Cálculo da integral
Regra do Trapézio
 
= 0,9943
Regra de Simpson de 1/3
 
		=1,0000038
Obs: O valor mais próximo, com a mesma quantidade de pontos tabelados, é dado pela regra de Simpson.
Atividades:
 Calcular aplicando a regra dos trapézios, com:
n = 2		b. n = 4
A seguinte tabela de valores reproduz alguns valores da função y = f(x)
	X
	0
	0,25
	0,5
	0,75
	1
	f(x)
	0,6
	0,751
	0,938
	1,335
	2,4
Calcular pela regra de Simpson com:
n = 2			b. n = 4
A velocidade v de um foguete lançado do chão verticalmente, foi tabelada como se segue 
	t (seg)
	0
	5
	10
	15
	20
	V (m/s)
	0
	60.0
	180.1
	341.6
	528.4
Usando a regra 1/3 de Simpson calcular a altura do foguete após 20 segundos.
A figura a seguir mostra o esboço do leito de um rio. A partir de uma linha reta, próxima a uma das margens, foram medidas distâncias (em m) entre esta linha reta e as duas margens do rio, de 15 em 15 metros, a partir de um ponto tomado como origem. Tais dados foram registrados na tabela a seguir. Determinar o valor aproximado da largura do rio no ponto que dista 10, 20, 40 e 50 metros da origem (tomados na linha reta). Calcule a área limitada entre 15 e 60 metros.
	X
	0
	15
	30
	45
	60
	y(M1)
	50,00
	86,00
	146,00
	73,50
	50,00
	y(M2)
	112,50
	154,50
	195,00
	171,00
	95,50
Capítulo 5: INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
 	 86
Capítulo 5: INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
 		 91
5.2. Método da Quadratura Gaussiana
Para este método, precisamos conhecer a forma analítica da função e não mais necessita de intervalos igualmente espaçados como nas fórmulas de Newton-Cotes.
Segue um critério bem definido, com o objetivo de fornecer resultados exatos para polinômios, pois dois pontos, por exemplo, podem ser escolhidos de tal maneira que a área do trapézio seja a mais próxima possível da área sob a curva.
x
f(x)
f(x1)
f(x0)
x1
x0
Seja a solução numérica da integral:
A solução pelo método é dada pela fórmula geral:
 (1)
sendo que os coeficientes e os pontos são definidos a partir da premissa de exatidão citada acima.
Etapas do Método
Inicialmente o intervalo de integração deve ser mudado de [a,b] para [-1,1] para normalizar a solução e resultar em pontos padronizados. Pode-se conseguir através da troca de variáveis x para t, em que precisamos entender como x se relaciona com t:
Da equação da reta: 	y – y0 = tg α *(x- x0)
 (2)
 (3)
 (4)
Substituindo as expressões (3) e (4) na expressão (1), chega-se a:
 (5)
Fixar um número n (inteiro positivo), tal que, se f(x) for um polinômio de grau até a ordem (2n-1), a solução numérica da integral será exata, ou seja, quando F(t) = 1, t,t2, t3, etc. 
 (6)
Os valores de e , para i = 0, 1, 2,....., n-1, são as incógnitas a serem determinadas e são independentes da função escolhida.
Determinação das Incógnitas e para o caso particular de n=2:
O resultado da integração deve ser exato para polinômios de grau até três. A expressão para este caso resulta em:
 (8)
Para a determinação das incógnitas , , e , independentes da função F(t), necessita-se de quatro equações. Como essas incógnitas independem da função F(t), escolhe-se as funções elementares , . 
Tem-se as seguintes equações:
 , (9)
Que explicintando, tem-se;
 (10)
Solucionando as integrais, chega-se ao sistema de 4 equações e 4 incógnitas não-lineares, em que podem existir múltiplas soluções. 
 (11)
Uma solução particular pode ser obtida impondo-se um requisito adicional, de escolher os pontos t0 e t1 localizados simetricamente em relação a t = 0 (t0 = - t1). A solução do sistema de equações não-lineares (11) resulta em:
 
Tem-se como solução aproximada da integral:
Esta solução é exata para polinômios de grau até três.
Da mesma forma, pode-se encontrar o valor dos parâmetros para um número n de pontos. Na tabela abaixo apresenta-se para n=1,2,3 e 4.
Tabela de Parâmetros para n = 1, 2, 3 e 4
	n (nº de pontos)
	
Pontos de Gauss 
	
Coeficientes (pesos)
	2
	
	
	3
	
	
	4
	
	
Exemplo 1: Utilizando o Método da Quadratura Gaussiana, determinar o valor da integral , com n=2.
Deve-se normalizar os intervalos de integração de . Para tanto, faz-se a mudança de variáveis:
Substituindo, tem: 
Exemplo 2: Utilizando o Método da Quadratura Gaussiana, determinar o valor da integral , com n=2.
Deve-se normalizar os intervalos de integração de . Para tanto, faz-se a mudança de variáveis:
Substituindo, tem:
Exemplo 3: Utilizando o Método da Quadratura Gaussiana, determinar o valor da integral , com n=3.
Deve-se normalizar os intervalos de integração de . Para tanto, faz-se a mudança de variáveis:
Substituindo, tem:
Exercício ??:
Aproxime a integral utilizando (a) a Regra do Trapézio e (b) a Regra de Simpson. (Arredonde a resposta para três algarismos significativos.)
A curva de carga típica de uma cidade é dada pela figura que segue, seja as medidas de potência a cada hora:
	Hora
	MW
	Hora
	MW
	Hora
	MW
	Hora
	MW
	1
	30
	7
	40
	13
	42
	19
	39
	2
	28
	8
	39
	14
	38
	20
	45
	3
	29,8
	9
	33
	15
	34
	21
	50
	4
	32
	10
	32,5
	16
	30
	22
	44
	5
	33
	11
	31
	17
	29
	23
	40
	6
	38
	12
	39
	18
	31
	24
	30
Estime o consumo de energia diário dessa cidade utilizando: 
a) Trapézio 
b) Regrade 1/3 de Simpson 
c) Compare os resultados.
Calcule a integral . Utilize 4 casas decimais, por:
Regra de Trapézios, com n = 5.
Quadratura Gaussiana com três pontos.
Integração Numérica: Método da Quadratura Gaussiana 	 93
Integração Numérica: Método da Quadratura Gaussiana 		 99
Métodos Numéricos para Solução de Equações Diferenciais Ordinárias – EDO´s DE 1ª ORDEM
	A equação diferencial de primeira ordem é uma equação que pode ser escrita na forma: 
Onde: 
x é a variável independente e y a variável dependente
A solução da equação diferencial é a função y(x) = f(x), tal que f’(x) = f(x,y(x))
O cálculo da solução envolve a integração de y’(x) para obter y(x)
A solução de uma equação diferencial é geralmente uma família de funções. 
A condição inicial é usualmente necessária na ordem para especificar uma única solução. 
O uso de métodos numéricos se torna necessário quando não é possível obter a solução analítica, ou muitas vezes requerem soluções muito complicadas.
Exemplo 1: y’ = x2 + y2 não pode ser resolvida em termos de funções elementares
Solução Numérica de um Problema de Valor Inicial (PVI) de 1ª ordem
Supondo que: 
onde x é a variável independente.
Exemplo 2: Uma lancha se desloca numa lagoa com velocidade de 10m/s. Em dado instante seu motor é desligado; a lancha sofre com isso uma redução de velocidade proporcional à resistência da água. Sabendo-se que ao cabo de 5s sua velocidade é de 8m/s, qual será a velocidade que a lancha adquire aos 8s?
to = 0 vo = 10 	t1 = 5s v1 = 8m/s	 t = 8s	 v= ?
 
 
Equação diferencial ordinária de 1ª ordem:
Pela forma analítica obteve-se a solução geral:
Com a condição inicial: 
	 
Solução particular:
Para t = 8s:
	
Podemos verificar outros valores:
	As técnicas numéricas mais comuns para resolver equações diferenciais ordinárias, são o método de Euler e o método de Runge-Kutta.
	Tanto o método de Euler quanto o método de Runge-Kutta aproximam a função utilizando-se da expansão em série de Taylor.
	
Métodos Numéricos para Solução de EDO´s:
	 100
Métodos Numéricos para Solução de EDO´s
		 102
6.1.1 Método de Euler para EDO’s de primeira ordem
	Lembrando que a série de Taylor é uma expansão que pode ser usada para aproximar uma função cujas derivadas são definidas no intervalo contendo a e b. A expansão por série de Taylor para f(b) é:
	f(b) = f(a) + (b - a) f ’(a) + (b - a)2 f ’’(a) + ... + (b - a)n f(n)(a) + ...
 2!
	Para o método de Euler utiliza-se da expansão de Taylor de primeira ordem:
f(x1) f(x0) + (x1 - x0) f ’(x0)
onde: 
h é o tamanho do passo; xn são os pontos da malha; n é o número de passos; yn é uma aproximação para a solução teórica de y(xn), ou seja: yn y(xn) 
Forma da EDO: y’(x) = f(x,y) sujeita à condição inicial y(x0) = y0 
	Encontrar uma aproximação numérica para uma EDO é encontrar pontos (xn, yn) que estão perto da equação diferencial. Uma solução de tal equação é uma sequência {y0, y1, y2, y3, …, yn-1, yn}
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÉDODO DE EULER:
Consiste em aproximar a solução y(x), no sentido de uma linearização, por meio de suas tangentes. Suponha então que y(x) é a solução analítica da curva ilustrada abaixo.
y1
Y(x1)
y0
x0
x1
Y(x)
	
	Como conhecemos a derivada da função em qualquer ponto, temos que: 
y1 = y0 + h. y´(x0) 	y1 = y0 + h. f(x0,y0)
	Generalizando, obtemos a seguinte equação: yn+1 = yn + h.f(xn,yn) que é a expressão do Método de Euler.
	
Exemplo: 
y'(x) = x - y +2
	f(x, y(x)) = x - y + 2
	
	x0 =
	0
	
	h =
	0,2
	y(x0) =
	2
	
	malha = 
	[0, 1]
	k
	xk
	yk
	y'(x)=f(x,y(x))
	yk+1 = yk + h.f(xk, yk(x))
	0
	0
	2,00000
	0,00000
	2,00000
	1
	0,2
	2,00000
	0,20000
	2,04000
	2
	0,4
	2,04000
	0,36000
	2,11200
	3
	0,6
	2,11200
	0,48800
	2,20960
	4
	0,8
	2,20960
	0,59040
	2,32768
	5
	1
	2,32768
	0,67232
	2,46214
OBS:
x1, ..., xn igualmente espaçados (xk+1-xk=h) (condição não necessária mas útil) e calcula-se yk=y(xk) para cada ponto usando as informações dos pontos anteriores. 
Se para determinar yk precisamos somente de yk-1, o método é de passo simples. Se precisamos de mais valores, o método é de passo múltiplo.
No caso de PVI, temos uma aproximação inicial para y(x0), o método é auto-iniciante. 
Exercício:
Dada a Equação Diferencial Ordinária, com o passo h = 0.2:
y’(x) + 2.y(x) = 0; ∀x ∈ [0, 1]
y (0) = 1
Determine a solução numérica aproximada pelo Método de Euler (Método das Tangentes) 
Calcule a solução exata de forma analítica da EDO e compare com as soluções aproximadas obtidas nos itens anteriores.
Métodos Numéricos para Solução de EDO´s: Método de Euler
	 103
Métodos Numéricos para Solução de EDO´s: Método de Runge-Kutta
		 104
6.1.2. Método de Runge-Kutta
Método de Euler Aperfeiçoado (ou Runge-Kutta de 2ª Ordem):
Runge-Kutta de 4ª Ordem
Exercícios:
Determine a solução numérica aproximada da seguinte Equação Diferencial Ordinária, com o passo h = 0.2:
y’(x) + 2.y(x) = 0; ∀x ∈ [0, 1]
y (0) = 1
Método de Euler (Método das Tangentes) 
Método de Euler Aperfeiçoado (ou Runge-Kutta de 2ª Ordem)
Método de Runge-Kutta de 4ª ordem.
Sabendo-se que a solução exata da equação é y(x) = e−2x , compare com as soluções aproximadas obtidas nos itens anteriores.
Considere a equação diferencial ordinária, dada por:
x.y’(x) – x².y(x) – 2 = 0 	∀x ∈ [1, 2]
y(1) = 3
Fazendo h = 0,1, determine a solução aproximada.
Método de Euler (Método das Tangentes) 
Método de Euler Aperfeiçoado (ou Runge-Kutta de 2ª Ordem)
Método de Runge-Kutta de 4ª ordem.
Compare as soluções por meio de um gráfico.
Métodos Numéricos para Solução de EDO´s: Método de Runge-Kutta
	 105
 	 106
Implementação do Método de Newton-Raphson na Planilha Excel
 		 76