EDO Lista1

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Universidade Federal de Sergipe - CCET - DMA
Disciplina: Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias - 2014.2
Prof.: Fa´bio dos Santos
Primeira Lista de Exerc´ıcios
1. Classificar as seguintes EDO’s (ordem e linearidade).
a) (1 + y2)
d2y
dt2
+ t
dy
dt
+ y = et.
b)
d2y
dt2
+ sin(t+ y) = sin t
c)
d3y
dt3
+ t
dy
dt
+ (cos2t)y = t3
d)
dy
dx
=
√
1 + (
d2y
dx2
)2
2. Verificar as func¸o˜es dadas constituem soluc¸o˜es das respectivas EDO’s.
a) t2
d2y
dt2
+ 5t
dy
dt
+ 4y = 0, t > 0; y1(t) = t
−2, y2(t) = t−2 ln t.
b)
d2y
dt2
+ y = sec t, 0 < t <
pi
2
; y = (cos t) ln cos t+ t sin t.
c)
dy
dt
− 2ty = 1; y = et2
∫ t
0
e−s
2
ds+ et
2
.
d)
dy
dt
= y2 − 1; y = 1 + ce
2t
1− ce2t , c = const. arbitra´ria.
3. a) Verifiue que para cada constante real c , y = cx + c2 e´ uma soluc¸a˜o para a EDO
y = xy′ + (y′)2.
b) Determine um valor de k para que y = kx2 seja uma soluc¸a˜o particular para a equac¸a˜o
diferencial y = xy′ + (y′)2.
4. Determinar os valores de r para os quais a EDO dada tem soluc¸o˜es da forma y = ert.
a)
dy
dt
+ 2y = 0.
b)
d3y
dt3
− 3d
2y
dt2
+ 2
dy
dt
= 0.
1
c)
d2y
dt2
+
dy
dt
− 6y = 0.
5. Determinar os valores de r para os quais a EDO dada tem soluc¸o˜es da forma y = tr para
t > 0.
a) t2
d2y
dt2
+ 4t
dy
dt
+ 2y = 0.
a) t2
d2y
dt2
− 4tdy
dt
+ 4y = 0.
6. Resolva o PVI
dy
dx
= y3; y(0) = 0.
7. Resolver o PVI
dy
dx
= y2; y(0) = 1,
e determinar o maior intervalo no qual existe a soluc¸a˜o.
8. Resolva as equac¸o˜es diferenciais dada por separac¸a˜o de varia´veis.
a)
dy
dx
= sin 5x.
b)
dy
dx
= (x+ 1)2
c) dx+ e3xdy = 0
d)
dy
dx
=
xy + 3x− y − 3
xy − 2x+ 4y − 8
e) 2
dy
dx
− 1
y
=
2x
y
9. Resolva os PVI’s
a) (e−y + 1) sinxdx = (1 + cosx)dy; y(0) = 0.
b) x2
dy
dx
= y − xy; y(−1) = −1.
10. Determine se a func¸a˜o dada e´ homogeˆnea e especifique o grau de homogeneidade quando
for o caso.
a) f(x, y) = cos
x2
x+ y
2
b) f(x, y) =
x3y − x2y2
(x+ 8y)2
c) f(x, y) =
lnx3
ln y3
11. Suponha que M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 seja uma equac¸a˜o homogeˆnea. Mostre que a
substituic¸a˜o x = vy transforma a equac¸a˜o em uma com varia´veis separa´veis.
12. Resolva a equac¸a˜o diferencial dada usando uma substituic¸a˜o apropriada.
a) (x− y)dx+ xdy = 0.
b) (x+ y)dx+ xdy = 0.
c)
dy
dx
=
y
x
+
x
y
.
d) (x2 + xy − y2)dx− xydy = 0.
13. Resolva os PVI’s
a) y3dx = 2x3dy − 2x2ydx; y(1) = 21/2.
b) (x+ (xy)1/2)
dy
dx
+ x− y = x−1/2y3/2; y(1) = 1.
14. Determinar se as seguintes equac¸o˜es sa˜o exatas. Para as que sa˜o exatas obtennha a
soluc¸a˜o geral.
a) (2x+ 3)dx+ (2y − 2)dy = 0.
b)
dy
dx
= −ax+ by
bx+ cy
, b 6= 0.
c) (yexy cos 2x− 2exy sin 2x+ 2x)dx+ (xexy cos 2x− 3)dy = 0.
15. Mostrar que qualquer equac¸a˜o separa´vel tambe´m e´ exata.
16. Resolva a equac¸a˜o diferencial dada sujeita a` condic¸a˜o inicial indicada.
a) (x+ y)2dx+ (2xy + x2 − 1)dy = 0; y(1) = 1.
a)
3y2 − x2
y5
dy
dx
+
x
2y4
= 0; y(1) = 1.
17. Obtenha k tal que a equac¸a˜o diferencial dada seja exata.
3
a) (y3 + kxy4 − 2x)dx+ (3xy2 + 20x2y3)dy = 0.
b) (6xy3 + cos y)dx+ (2kx2y2 − x sin y)dy = 0.
18. Resolva a equac¸a˜o diferencial dada encontrando um fator integrante apropriado.
a) (2y2 + 3x)dx+ 2xydy = 0.
b) (10− 6y + e−3x)dx− 2dy = 0.
19. Resolva o PVI
a)
dy
dx
= (−2x+ y)2 − 7; y(0) = 0.
b)
dy
dx
= y(xy3 − 1); y(0) = 0.
20. Ache a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial dada.
a)
dr
dθ
+ r sec θ = cos θ.
b) x2
dy
dx
+ x(x+ 2)y = ex.
21. Um termoˆmetro e´ levado para fora de um quarto, onde a temperatura ambiente e´ 50F .
Apo´s 1 minuto, o termoˆmetro marca 550F , e apo´s 5 minutos, 300F . Qual era a temperatura
inicial do quarto?
22. O iso´topo radioativo de chumbo, Pb-209, decai a uma taxa proporcional a` quantidade
presente no instante t e tem uma meia-vida de 3, 3 horas. Se houver 1 grama de chumbo
inicialmente, quanto tempo levara´ para que 90% do chumbo decaia?
23. Sabe-se que a populac¸a˜o de uma comunidade cresce a uma taxa proporcional ao nu´mero
de pessoas presentes no instante t. Se a populac¸a˜o dobrou em cinco anos, quanto levara´ para
triplicar? E para quadruplicar?
24.Datac¸a˜o por Carbono. Uma importante te´cnica na pesquisa arqueolo´gica e´ a da
datac¸a˜o pelo carbono. E´ uma te´cnica para a determinac¸a˜o da idade de madeiras e de
remanescentes de plantas, e tambe´m de ossos de animais ou de homens, ou de artefatos que se
encontrem enterrados num mesmo n´ıvel arqueolo´gico. O procedimento foi desenvolvido pelo
qu´ımico norte-americano Willard Libby (1908−1980), no in´ıcio dos anos 50 e levou a receber
o preˆmio nobel de qu´ımica de 1960. A datac¸a˜o pelo carbono se baseia no fato de alguns
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restos de madeiras ou de vegetais conterem trac¸os residuais de carbono 14, que e´ um iso´topo
radioativo do carbono. Este iso´topo se acumula durante a vida da planta e decai a partir
da sua morte. Em virtude de a meia-vida do carbono 14 ser longa (aproximadamente 5.568
anos), remanescentes do nucl´ıdeo permanecem presentes na amostra em trac¸os mensura´veis
depois de milhares de anos. Libby mostrou que se uma pequenina frac¸a˜o da quantidade
original de carbono 14 estiver presente, medic¸o˜es apropriadas de laborato´rio da proporc¸a˜o
de carbono 14 remanescente pode ser feitas com boa exatida˜o. Em outras palavras, se Q(t)
for a quantidade de carbono 14 no instante t e Q0 a quantidade original, pode-se medir a
grandeza Q(t)/Q0 a menos que ela seja muit´ıssimo pequena. A te´cnica atual de medic¸a˜o
permite a adoc¸a˜o deste me´todo para determinar intervalos de tempo ate´ cerca de 100 mil
anos, quando enta˜o a quantidade remanescente de carbono 14 presente na amostra e´ de
4.10−6 vezes a quantidade original.
a) Admitindo que Q obedec¸a a` equac¸a˜o diferencial, Q′ = −rQ, determinar a constante de
desintegrac¸a˜o r do carbono 14.
b) Achar a expressa˜o de Q(t) para qualquer instante t, com Q(0) = Q0.
c) Vamos admitir que se analisa uma amostra de madeira na qual a quantidade residual de
carbono 14 seja 20% da quantidade original. Determinar a idade desta amostra.
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