Equações Diferenciais - Área 3, Resumo

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CURSO GUSTAVO VIEGAS 
MATEMÁTICA 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS – ÁREA 3 
 
RESUMO TEÓRICO 
 
Equação de Cauchy-Euler 
A EDO 
 
 
tem solução no formato , em que m é determinado 
na equação auxiliar 
 
 
(Caso 1) Raízes reais distintas 
Com  raízes da equação auxiliar, 
 
 
 
 
(Caso 2) Raízes reais iguais 
Com raiz dupla da equação auxiliar, 
 
 
 
 
(Caso 3) Raízes imaginárias 
Com , , raízes da equação auxiliar, 
 
 
Série de Potências 
 
Considere a equação diferencial linear de segunda ordem 
com coeficientes variáveis 
 (*) 
 
Definição Uma função f é analítica num ponto se 
pode ser representada por uma série de potências em 
 com raio de convergência positivo. 
 
 
 
 
 
 
Definição Um ponto é um ponto ordinário da 
equação diferencial (*) se f e g são analíticas em . 
Na prática, basta verificar se os seguintes limites são 
finitos. 
 
 
 
 
 
 
Um ponto que não é ordinário é dito ponto singular da 
equação. 
 
Teorema Se é um ponto ordinário da equação 
diferencial (*), então podemos obter duas soluções LI na 
forma de série de potências 
 
 
 
 
 
 
Note que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método de Frobenius 
 
Definição Um ponto singular da equação (*) é dito 
ponto singular regular se e 
 são 
analíticas em . 
Na prática, basta verificar se os seguintes limites são 
finitos. 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema Se é um ponto singular regular da equação 
(*) então podemos obter uma solução da forma 
 
 
 
 
 
 
Note que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema de Fuchs Sejam e (  ) as raízes da 
equação indicial. Então 
 
(Caso 1) Raízes que não diferem por um inteiro 
Existem duas soluções linearmente independentes para (*) 
na forma 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(Caso 2) Raízes que diferem por um inteiro positivo 
Existem duas soluções linearmente independentes para (*) 
na forma 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (C pode ser zero) 
 
(Caso 3) Raízes iguais 
Existem duas soluções linearmente independentes para (*) 
na forma 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação de Bessel 
 
A EDO 
 
 
tem solução 
 , se p > 0 não é inteiro. 
 
 , se p  0 é inteiro. 
 
A função de Bessel é limitada, enquanto que a função de 
Newman é ilimitada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação de Legendre 
 
A EDO 
 
 
para n  ℕ e x  [– 1, 1] tem, por solução limitada, 
 
N Equação Polinômio de 
Legendre 
0 
 
1 
 
2 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
Uma fórmula de recorrência que gera os polinômios de 
Legendre é, para n ≥ 1, 
 . 
 
 
Série de Fourier Legendre 
 
Sejam e contínuas por partes em [–1, 1]. Então 
 
 
 
 
 
com