Aula 8 CÁLCULO 1 VALORES MÁXIMO MÍNIMO

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1
 AULA 8 
VALORES MÁXIMO E MÍNIMO
STEWART, James. Cálculo. 7. Ed. São Paulo: Cengage Learning, 2014. 
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APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO.
INTRODUÇÃO.
Algumas das aplicações mais importantes do Cálculo Diferencial são os problemas de otimização. Esses problemas podem ser reduzidos a encontrar os valores máximo ou mínimo de uma função.
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Vemos que o ponto mais alto no gráfico da função f mostrado na figura é o ponto (3, 5). Em outras palavras, o maior valor de f é f (3) = 5. Da mesma forma, o menor valor é f (6) = 2. 
 
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Dizemos que f (3) = 5 é o máximo absoluto de f e
f (6) = 2 é o mínimo absoluto. 
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A Figura mostra um gráfico de uma função f com máximo absoluto em d e mínimo absoluto em a. Se considerarmos apenas os valores de x próximos de b [por exemplo, se restringirmos nossa atenção ao intervalo (a, c)], então f (b) é o maior destes valores de f (x) e é chamado de valor máximo local de f. Da mesma forma, f (c) é chamado de valor mínimo local de f .
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Por exemplo, na figura observamos que
f (4) = 5 é um valor mínimo local, pois é o menor valor de f no intervalo I. Não é o mínimo absoluto porque f (x) tem valores menores quando x está próximo de 12 (no intervalo K, por exemplo). 
Na verdade, f (12) = 3 é tanto o mínimo local quanto o mínimo absoluto. De forma análoga, f (8) = 7 é o máximo local, mas não é o máximo absoluto porque f tem valores maiores perto de 1. 
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Condição necessária para
extremos locais 
(Teorema de Fermat)
Se f tiver um máximo ou mínimo local em c e se f’(c) existir, então f´(c) = 0.
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Condição necessária para extremos locais (Teorema de Fermat)
Seja f tiver um máximo ou mínimo local em c e se f’(c) existir, então f´(c) = 0.
Exemplo 01
Se f (x) = x³, então f ‘(x) = 3x², logo f ‘(0) = 0. Porém f não tem máximo nem mínimo em 0, como podemos ver em seu gráfico. 
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Condição necessária para extremos locais (Teorema de Fermat)
Seja f tiver um máximo ou mínimo local em c e se f’(c) existir, então f´(c) = 0.
Exemplo 02
A função f (x) = | x | tem seu valor mínimo (local e absoluto) em 0; mas o valor não pode ser encontrado por considerar f ‘(x) = 0, porque f ‘(0) não existe. (Veja a figura).
 
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NÚMEROS CRÍTICOS E PONTOS CRÍTICOS
Se c for um número no domínio da função f(x) e se f’(c) = 0 ou f’(c) não existir, então c será chamado de número crítico de f. O ponto correspondente (c, f(c)) no gráfico de f(x) é chamado ponto crítico de f(x).
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x
f(x)
-8
-24
-7
35
-6
66
-5
75
-4
68
-3
51
-2
30
-1
11
0
0
0,1
-0,429
0,2
-0,712
0,3
-0,843
0,4
-0,816
0,5
-0,625
1
3
1,5
11,625
2
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Para determinar extremos absolutos de uma função contínua em intervalo fechado [a,b], devemos seguir o seguinte roteiro:
1) Ache todos os números críticos c para função f no intervalo aberto ]a,b[.
2) Calcule f(c) para cada número crítico c obtido no item 1).
3) Calcule f(a) e f(b)
4) O maior dos valores dos itens 2) e 3) é o valor máximo absoluto, e o menor dos valores dos itens 2) e 3) é o valor mínimo absoluto.
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Valor máximo absoluto (global): (-1, 2)
Valor mínimo absoluto (global): (-2, -1)
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1
 AULA 8 
COMO AS DERIVADAS AFETAM A FORMA DE UM GRÁFICO
STEWART, James. Cálculo. 7. Ed. São Paulo: Cengage Learning, 2014. 
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TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA
O sinal da derivada primeira (f’) pode ser usado para determinar onde (intervalo) uma função f é crescente e decrescente. 
f(x) é crescente nos intervalos em que
f’(x) > 0
f(x) é decrescente nos intervalos em que
f’(x) < 0
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TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA
Exemplo 06
Determine os intervalos em que a função f(x) = x² é crescente e decrescente.
 
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Intervalo
Número de teste c
Sinal de f’(c)
Conclusão
x< 0
- 1
f’(-1) = -2(< 0 )
f(x) édecrescente
x> 0
1
f’(1) = 2(> 0 )
f(x) é crescente
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TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA
Exemplo 07
Determine os intervalos em que a função 
f(x)= 2x³ + 3x² - 12x - 7 é crescente e decrescente.
 
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Intervalo
Número de teste c
Sinal de f’(c)
Conclusão
x< -2
- 3
f’(-3) = 4(> 0)
f(x) écrescente
- 2 < x< 1
0
f’(0) = - 2(< 0)
f(x) é decrescente
x > 1
2
f’(2) = 4(> 0)
f(x) é crescente
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x
f(x)
-3
2
-2
13
-1
6
0
-7
1
-14
2
-3
Teste da segunda derivada
Suponha que a derivada primeira e a derivada segunda de uma função existam no entorno do ponto c e que f’(c) = 0. Nesse caso,
Se f’’(c) < 0, existe um máximo local (relativo) no ponto x = c;
Se f’’(c) > 0, existe um mínimo local (relativo) no ponto x = c;
Se f’’(c) = 0, o teste não permite chegar a nenhuma conclusão.
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35
36
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x
f(x)
-2
-1
-1,5
1,375
-1
2
-0,5
1,625
0
1
0,33
0,814
0,5
0,875
38
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40
x
f(x)
-3
-18
-2
-2
-1
2
0
0
1
-2
2
2
3
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DEFINIÇÃO
Se o gráfico de f estiver acima de todas as suas tangentes no intervalo I, então f é chamada côncava para cima em I. Se o gráfico de f estiver abaixo de todas as suas tangentes em I, então f é chamada côncava para baixo em I.
 
Exemplo 10
Determine onde a curva da função
f(x) = x³ - 2 tem concavidade voltada para cima e para baixo.
 
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46
x
f(x)
-3
-29
-2
-10
-1
-3
0
-2
1
-1
2
6
3
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PONTO DE INFLEXÃO.
Um ponto P na curva y = f(x) é chamado ponto de inflexão se f é contínua no ponto e a curva mudar de côncava para cima para côncava para baixo ou vice-versa em P.
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PONTO DE INFLEXÃO.
Um ponto P na curva y = f(x) é chamado ponto de inflexão se f é contínua no ponto e a curva mudar de côncava para cima para côncava para baixo ou vice-versa em P.
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