Resolução do Portifólio 4 geometria analitica ufc virtual

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Portifólio 4
Geometria Analítica
Tutor.: Prof. Me. Breno Sampaio
1. - (51) Calcule a distância entre as duas retas paralelas: 3x+4y−15 = 0 e 3x+4y−3 =
0.
Solução: 1 :
As retas r : 3x + 4y − 15 = 0 e s : 3x + 4y − 5 = 0 são paralelas. pois tem o mesmo
vetor normal n = (3, 4). Como o ponto P = (−5, 5) ∈ s segue que
d(s, r) = d(P, r) =
|3 · (−5) + 4 · 5 + (−15)|√
32 + 42
=
10
5
= 2
2. - (52) Há dois pontosna reta y = 2x que distão 4 unidades da reta 12y = 5x + 2.
Encontre a soma das abscissas desses pontos.
Solução: 2 :
Os pontos são da forma P = (x, 2) ja que y = 2 logo,
d(P, r) =
|5 · x − 12 · 2 + 2|√
52 + (−12)2 = 4
Logo, |5x − 22| = 4 · 13 = 52 Daí, se 5x − 22 = 52 ⇒ x = 74
5
e se 5x − 22 = −52 ⇒
x = −6. Assim, −6 + 74
5
=
44
5
3. - (54) Calcule a distância entre as retas X = (2,−6) + t(2,−4) e X = (7, 2) + t(−1, 2).
Solução: 3 :
Observe que as retas r : X = (2,−6) + t(2,−4) ⇒ r : 2x + y + 2 = 0 e s : X =
(7, 2)+ t(−1, 2)⇒ s : 2x+ y− 16 = 0 são paralelas, pois tem o mesmo vetor normal
n = (2, 1). Assim
d(s, r) =
|2 − (−16)|√
22 + 12
=
18√
5
=
18
√
5
5
4. - (56) Determine a equação da circunferência que passa nos pontos (0, 0), (3, 6) e
(7, 0).
1
Solução: 4 :
Como a equação de uma circunferência tem forma x2 + y2 +Ax + By + C = 0 com
A = −2a, B = −2b e C = a2 + b2 − r2. Substituindo os pontos dados na equação,
segue que
C = 0
3A + 6B + C = −45
7A + C = −49
Daí,A = −7, B = −4 eC = 0. Portanto a circunferência pedia é γ : x2+y2−7x−4y =
0.
5. - (58) Escreva as equações reduzidas da parábola com vértice na origem para cada
um dos dados abaixo:
(a) foco: (8,0);
(b) diretriz: y = 2;
(c) eixo de simetria: eixo Oy e um ponto da parábola: (5, 10);
(d) um ponto da diretriz: (4, 7) e o eixo de simetria: eixo Ox;
(e) dois pontos da parábola: (6, 18) e (6,−18);
Solução: 5 :
Lembrando que se a parábola tem vértice na origem, sua equação reduzidas
podem ser:
y2 = 4px y2 = 4px x2 = −4py
x2 = −4py
Onde p é metade da distância do foco a diretriz.
(a) Como foco está em (8, 0) a parábola está voltada para direita com p = 8,
assim temos a equação y2 = 32x.
(b) Como a diretriz á y = 2 a parábola está voltada para baixo com p = 2,
assim temos a equação x2 = −8y.
(c) Como eixo de simetria é Oy e (5, 10) é um ponto da parábola, segue que a
paráblo tem concavidade para cima e equação x2 =
5
2
y.
(d) Como ponto (4, 7) está na parábola, segue que ela tem concavidade para
baixo oupara esquerda, sendoOx seu eixode simetria, segue que sua concavidade
está para esquerda e p = 4, com isso a parábola tem equação y2 = −16x.
(e) Como os pontos (6, 18) e (6,−18) pertencem a parábola, segue que ela
apresenta eixo de simetria em Ox e concavidade para direita logo apresenta
equação y2 = 54x.
2