Resolução do Portifólio 3 geometria analitica ufc virtual ead

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Portifólio 3
Geometria Analítica
Tutor.: Prof. Me. Breno Sampaio
1. - (33) Determine uma equação da reta r que:
(a) passa pelos pontos P(3,−1, 1) e Q(2, 1, 2)
(b) passa pelo ponto P(4, 1, 0) e contém representantes do vetor u = (2, 6,−2).
Solução: 1 :
(a) Inicialmente tomando o vetor PQ temos
−−→
PQ = (−1, 2, 1). Daí, temos que a
reta r é dada por

x = 3 − t
y = −1 + 2t
z = 1 + t
,∀t ∈ R
(b) Como a reta r contém representantes do vetor u = (2, 6,−2) então u é o
vetor diretor de r. Assim, a reta é dada por

x = 4 + 2t
y = 1 + 6t
z = −2t
,∀t ∈ R
2. - (36) Determine se os pontos P = (1, 1, 1) e Q = (0,−1, 0) pertencem à reta r que
passa pelo ponto A = (1, 1,−1) e é paralela ao vetor v = (1, 2,−1).
Solução: 2 :
A reta r é dada por

x = 1 + t
y = 1 + 2t
z = −1 − t
,∀t ∈ R
Subistituindo o pontoP = (1, 1, 1) temos

1 = 1 + t⇒ t = 0
1 = 1 + 2t⇒ t = 0
1 = −1 − t⇒ t = −2
Portanto,P < r.
Subistituindo o ponto Q = (0,−1, 0) temos

0 = 1 + t⇒ t = −1
−1 = 1 + 2t⇒ t = −1
0 = −1 − t⇒ t = −1
Portanto,
Q ∈ r
3. - (40) Escrever as equações das retas que contêm a diagonal do paralelogramo de
vértices A = (1,−1, 2), B = (2, 3,−4), C = (2, 1,−1) e D = (1, 1,−1).
Solução: 3 :
1
Primeiro vamos localizar os lados do paralelogramo, ou seja, procurar os vetores
paralelos.
AB = (1, 4,−6); AC = (1, 2,−3); AD = (0, 2,−3); BC = (0,−2, 3); BD = (−1,−2, 3) e
CD = (−1, 0, 0).
Daí, podemos concluir queACDB eADCB, Seguindo uma disposição dos vértices
do paralelogramo, temos algo na forma ACBD assim, temos diagonais AB e CD.
Logo, para diagonal AB temos r :

x = 1 + t
y = −1 + 4t
z = 2 − 6t
,∀t ∈ R
e para diagonal CD temos s :

x = 2 − l
y = 0
z = 0
,∀l ∈ R
Para diagonal AB podemos ter
4. - (43) Sejam r : X = (1, 0, 2) + (2l, l, 3l) e s : X = (0, 1,−1) + (t,mt, 2mt) duas retas.
Determinar:
(a) O valor de m para que as retas sejam complanares (não sejam reversas).
(b) Para o valor de m encontrado, determine a posição relativa entre r e s.
Solução: 4 : Considere as retas r e s escritas na forma r : X = A+ldr e s : X = B+tds.
Onde A = (1, 0, 2) e B = (0, 1,−1) são pontos pertencentes a r e s respectivamente,
sendo dr = (2, 1, 3) e ds = (1,m, 2m) os vetores diretores de r e s respectivamente.
(a) As retas são coplanares se os vetores
−→
dr ,
−→
ds e
−→
AB forem coplanares, ou
melhor se
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 1 3
1 m 2m
1 −1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇒ 6m + 2m − 3 − 3m − 3 + 4m = 0⇒ m = 23
(b) Basta agora verificar a posição dos vetores diretores, como dr = (1, 0, 2),
ds = (1, 2/3, 4/3) e não existindo um λ ∈ R∗ tal que dr = λds segue que as retas são
concorrentes, e como dr • ds = 1 · 23 + 0 · 23 + 2 · 43 = 23 + 83 = 103 podemos dizer que
as retas apesar de serem concorrentes, não são perpendiculares.
5. - (49) Sejam A = (1, 2), B = (0, 1) e r a reta x − 2y = 3. Determine C ∈ r tal que
d(A,C) + d(C,B) seja a menor possível.
Solução: 5 : Primeirom, Vale lemnbrar: "A menor distância entre dois pontos é o
segmento que os liga"e "um triângulo isosceles tem dois lados congruentes."Isso
é o que usaremos para resolver esse exercíco.
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Como a figura acima mostra, devemos refletir um dos pontos sobre a reta para
encontrar seu simétrico no lado oposto, como isso fica fácil encontrar o ponto P
procurado.
Logo, escrevendo a reta r : x − 2y − 3 = 0 temos que a reta s : 2x + y − 1 = 0 é
perpendicular a r e passa pelo pontoB = (0, 1). r e s tem o pontoP = (1,−1) comum.
Com isso, passando uma paralea ao eixo x passando pelo pnto P temos que os
triângulos BPD e B′PD′ são congruentes e assim encontramos as coordenadas do
ponto B′ = (2,−3). Sendo o triângulo BCB′ isosceles, segue que d(B′,C) = d(B,C).
Assim C é o encontro da reta r com a reta que contém os pontos A e B′, que no
caso é 5x+ y−7 = 0. Como o ponto comum das retas x−2y−3 = 0 e 5x+ y−7 = 0
é (17/11,−8/11). Portanto C = (17/11,−8/11).
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