Estatística - Resumo teórico 1.2

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Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 1 – Axiomas 
e Teoremas Fundamentais do Cálculo de Probabilidades 
 
Parte 2 – Probabilidades em Espaços Amostrais Finitos e Equiprováveis Página 7 
 
Espaços Amostrais Finitos e Equiprováveis (RT 1 – Seção 1.4 - Item 1.4.6) 
Teorema da Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis 
 
Exemplo 6 (ex. 1.7) 
 
 
 10
5
7
___
22
V
B
A





 ___ 
 1 2 10 1 2 5 1 2 7S v ,v ,..., v ,b ,b ,...,b ,a ,a ,...,a
e seleção de uma bola 
a) 
 
10
P V
22

 
b) 
     
10 7 17
P V A P V P A
22 22 22
    
 
c) 
   
7 15
P A 1 P A 1
22 22
    
 
 
Exemplo 7 (ex 1.8) 
 
 
 
2
4
___
6
V
B



 
,
 
A coleção de bolas e o espaço amostral podem ser representados por: 
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e Teoremas Fundamentais do Cálculo de Probabilidades 
 
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 1 2 3 4 1 2C b ,b ,b ,b ,v ,v
 e seleção de duas bolas sem reposição 
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 1 1 2 1 3 1 4 1
1 2 2 2 3 2 4 2 1 2
S {(b ,b ), (b ,b ), (b ,b ), (b ,b ), (b ,b ), (b ,b ), (b , v ), (b , v ), (b , v ), (b , v )
(b , v ), (b , v ), (b , v ), (b , v ), (v , v )}
 
Então: 
a) 
 
6
P B,B
15

 
b) 
 
1
P V,V
15

 
c) 
 
8
P B,V
15

 
 
Exemplo 8 (ex. 1.9) 
Um raciocínio possível é o seguinte: há três resultados a considerar – 0, 1 ou 2 caras. 
Logo, uma representação possível para o espaço amostral é 
1
S {0,1,2}, então p
3
 
 
Porém, essa solução está errada, pois nessa representação de espaço amostral os 
resultados não são equiprováveis. 
A solução correta é a seguinte. 
2 1
S {CC,CK,KC,KK} então p
4 2
  
 , onde C = “coroa” e K = “cara” 
Portanto, ao se empregar o teorema da situação clássica deve-se ter o cuidado de utilizar 
uma representação do espaço amostral na qual os resultados sejam todos equiprováveis. 
 
 
 
 
 
 
 
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Parte 2 – Probabilidades em Espaços Amostrais Finitos e Equiprováveis Página 9 
 
Exemplo 9 (ex. 1.10) 
 
 
 10
8
7
___
25
V
B
A





 
,
 
 1 2 10 1 2 8 1 2 7C v ,v ,...,v ,b ,b ,...,b ,a ,a ,...,a
 
Nesse exercício pode-se, a princípio, representar o espaço amostral considerando ou não 
a ordem de escolha das bolas. 
Então: 
a) 
a-i) Empregando-se uma representação do espaço amostral em que se considera a ordem 
 2
10
a 2
25
A 10.9
p
A 25.24
 
 
a-ii) Empregando-se uma representação do espaço amostral em que não se considera a 
ordem 
 
2
10
a 2
25
10.9
C 10.92.1
p
25.24C 25.24
2.1
   
b) Neste item torna-se mais conveniente empregar uma representação do espaço 
amostral em que a ordem seja considerada, pois o evento cuja probabilidade se quer 
calcular exige isso 
 1 1
10 7
b 2
25
A A
p
A

 
 
 
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c) 
c-i) Empregando-se uma representação do espaço amostral na qual a ordem é 
considerada 
 2 2 2
10 8 7
c 2
25
A + A + A
p
A

 
c-ii) Empregando-se uma representação do espaço amostral na qual não se considera a 
ordem 
 2 2 2
10 8 7
c 2
25
C +C +C
p
C

 
 
Exemplo 10 (ex. 1.11) 
Como as escolhas são feitas com reposição da primeira bola na urna, pode haver 
repetição de bola escolhida. Nesse caso, convém considerar a ordem. Portanto: 
a) 2
10
2
25
AR
AR
 
b) 1 1
10 7
2
25
AR AR
AR
 
c) 2 2 2
10 8 7
2
25
AR AR AR
AR
 
 
 
Exemplo 11 (ex. 1.12) 
 
 4 R - reis
4 D - damas
44 O - outras cartas
___
52





 
, , , ,
 
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E = “o jogador recebe duas damas e três reis” = 
D D R R R
, , , ,
 
 
 
 
 
2 3
4 4
5
52
C C
P(E) P "o jogador receber duas damas e tres reis"
C
 
 
 
Exemplo 12 (ex. 1.13) 
 
 
 
 
, , , ,
 
 
 
O cálculo pode ser realizado diretamente, considerando as três alternativas existentes 
quanto ao número de reis recebidos: dois reis, três reis ou quatro reis. 
2 3 3 2 4 1 i 5-i4
4 48 4 48 4 48 4 48
5 5 5 5
i 252 52 52 52
C C C C C C C C
P("o jogador receber pelomenosdois reis")
C C C C
   
 
Ou, alternativamente, empregando o teorema do evento complementar e considerando o 
evento no máximo um rei, isto é: nenhum rei ou somente um rei. 
P("o jogador receber pelomenosdois reis") 1 P("o jogador receber nomáximoumrei")  
 0 5 1 4 i 5-i1
4 48 4 48 4 48
5 5
i=052 52
C C +C C C C
1 1
C C
   
 
 
 
 
 
 
 
4 R
48 R
___
52



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Exemplo 13 (ex. 1.14) 
 
 
 
 
, , , ,
 
 
Então, tem-se: 
a) P(“todos os alunos pertençam a uma mesma classe”) = P(“todos os alunos 
pertencerem à classe A” ou “todos os alunos pertencerem à classe B” ou “todos os 
alunos pertencerem à classe C”). Então 
 5 5 5
35 40 25
5
100
C C C
C
 
 
b) P(“exatamente dois alunos pertencerem à classe C”) = P(“dois alunos pertencerem à 
classe C e os outros três alunos não pertencerem a essa classe). Então 
 2 3
25 75
5
100
C C
C
 
c) P(“dois alunos pertencerem à classe A, dois alunos à classe B e o outro à classe C”) 
 2 2 1
35 40 25
5
100
C C C
C
 
 
Exemplo 14 (ex. 1.15) 
O jogo da Quina, uma das loterias da Caixa Econômica Federal, tem as seguintes 
características: 
i) a extração (ou resultado) da loteria consiste na seleção, ao acaso e sem reposição, de 
cinco bolas de uma urna que contém 80 bolas numeradas de 1 a 80 (esses números são 
comumente chamados “dezenas”). 
ii) as apostas são realizadas pela marcação em um talão próprio (chamado comumente 
“volante”) de 5, 6 , 7 ou 8 desses números (“dezenas”). 
35 A
40 B
25 C
___
100





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Parte 2 – Probabilidades em Espaços Amostrais Finitos e Equiprováveis Página 13 
 
iii) o número de pontos que um apostador faz é igual ao número de “dezenas” apostas 
por ele que venham a ser sorteadas (selecionadas) na realização da extração lotérica. 
Pode-se resolver esse problema facilmente empregando um modelo de escolha de bolas 
em uma urna, semreposição, como é mostrado a seguir. 
 
 
 
 
N A (apostadas)
80 N B (nãoapostadas)
___
80


 
 
, , , ,
 
 
x 5-x
N 80-N
5
80
C C
P fazer x pontos em N apostas para x 0,1,2,3,4,5 e N 5,6,7,8
C
  