Estatística - Resumo teórico 5.0

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ECO 1721 - Introdução à Estatística Econômica 
 
5 - Algumas Distribuições Discretas Importantes 
Resumo Teórico 
Professores: Thadeu Keller Filho e Juarez Figueiredo 
 
5.1 Distribuição de Bernoulli 
 Seja A um acontecimento de probabilidade positiva. Chama-se “Prova de Bernoulli 
 sobre A” a experiência aleatória que consiste em verificar se A ocorre ou não em 
 uma única observação. 
 Considere-se uma Prova de Bernoulli sobre um acontecimento A, cuja probabilida-
 de será indicada por p. Defina-se a seguinte variável aleatória: 
 
0 seA nãoocorre
X
1 seAocorre

 

 
 A função de probabilidade de 
X
tem por expressão: 
 
 X
q x 0
p x
p x 1

 

 onde 
q 1 p 
 
 Neste caso diz-se que X possui distribuição de Bernoulli de parâmetro p e escreve- 
 se: 
X
 Bernoulli(p) 
 Prova-se que 
 E X p
 
 Var X pq
 
Prova-se que a função geratriz de momentos é 
t
X (t) q pM e  
 
 
5.2 Distribuição Binomial 
 Considerem-se n (n=1,2,3,...) provas de Bernoulli, independentes, sobre um aconte-
 cimento A de probabilidade p. Represente-se por 
X
o número de ocorrências de 
 A nas n provas. 
 A função de probabilidade de X tem a seguinte expressão 
   x x n-xX np x C p q para x 0,1,2,...,n 
 onde 
q 1 p 
 
 Neste caso, diz-se que X possui Distribuição Binomial de parâmetros n e p e escre-
 ve-se: 
 X  Binomial (n,p) 
 Prova-se que 
 E X np 
 
 Var X npq
 
Prova-se que a função geratriz de momentos é 
n
t
X (t) p qM e   
 
2 
 
 Tendo em vista sua definição, uma variável aleatória X com distribuição binomial 
 de parâmetros n e p pode ser interpretada como uma soma de n variáveis aleatórias 
 
jX (j 1,2,3,...,n)
independentes com distribuição de Bernoulli de parâmetro p: 
 
1 2 nX X X ... X   
 
 
5.3 Distribuição Geométrica 
 Considere-se uma sequência de provas de Bernoulli, independentes, sobre um acon- 
tecimento A de probabilidade p. Represente-se por 
X
 o número de provas realiza-
das até ocorrer, pela primeira vez, o acontecimento A. 
 A função de probabilidade de X tem a seguinte expressão 
 
  x 1Xp x pq x 1,2,3,...
 
 onde 
q 1 p 
 
 Neste caso, diz-se que X possui Distribuição Geométrica de parâmetro p e escre-
 ve-se: 
 X  Geométrica (p) 
 Prova-se que 
 
  1
1
E X p
p
 
 e 
  2
2
q
Var X q p
p
 
 
Prova-se que a função geratriz de momentos é t
X t
p
(t) onde q 1 p
1 q
e
M
e
  

 
 
5.4 Distribuição de Pascal 
 Considere-se uma sequência de provas de Bernoulli, independentes, sobre um acon- 
tecimento A de probabilidade p. Represente-se por 
X
 o número de provas realiza-
das até ocorrer, pela r-ésima vez, o acontecimento A. 
 A função de probabilidade de X tem a seguinte expressão 
 
  r -1 r x-rX x-1p x C p q para x r, r 1, r 2, r 3,...    
 onde 
q 1 p 
 
 Neste caso, diz-se que X possui Distribuição de Pascal (ou Binomial Negativa) de 
 parâmetros r e p e escreve-se: 
 X  Pascal (r, p) 
 Prova-se que 
 
  1
r
E X r p
p
 
 e 
  2
2
r q
Var X r q p
p
 
 
Prova-se que a função geratriz de momentos é rt
X t
p
(t)
1 q
e
M
e
 
 
 
 
 Tendo em vista sua definição, uma variável aleatória X com distribuição de Pascal 
 de parâmetros r e p pode ser interpretada como uma soma de r variáveis aleatórias 
 
jX (j 1,2,3,..., r)
independentes com distribuição geométrica de parâmetro p: 
3 
 
 
1 2 rX X X ... X   
 
 
 
5.5 Distribuição Hipergeométrica 
 Considere-se um conjunto de N elementos dicotomizado por um atributo A, sendo 
que m elementos possuem o atributo A. Selecionam-se n elementos desse conjunto, 
ao acaso e sem reposição. Represente-se por X a variável aleatória que expressa o 
número eventual de elementos que possuem o atributo A entre aqueles seleciona-
dos. 
 A função de probabilidade de X tem a seguinte expressão 
 
 
 
n xx
m N m
X n
N
C
p x para x inteiro tal que Max(0,n N +m) x Min (n,m)
C
C


   
 
 Neste caso, diz-se que X possui Distribuição Hipergeométrica de parâmetros N, m e 
n e escreve-se: 
 X  Hipergeométrica (N, m, n) 
 Prova-se que 
 
 
m
E X n
N

 e 
 
m m N n
V X n 1
N N N 1
  
    
  
 
 5.6 Aproximação de uma Distribuição Hipergeométrica por uma Distribuição Bi-
nomial 
 Nas considerações iniciais para a determinação da distribuição hipergeométrica foi 
estabelecido que a seleção de n elementos do conjunto com N elementos era sem 
reposição. Se tal seleção fosse realizada com reposição de cada elemento observado 
a distribuição seria binomial com parâmetros n e 
m
p
N

. Quando n é pequeno 
quando comparado a N pode-se aproximar a distribuição hipergeométrica por uma 
distribuição hipergeométrica. Em geral, a aproximação é boa se 
n
0,1
N

 e é muito 
boa se 
n
0,05
N

. 
 
5.7 Distribuição de Poisson 
 Diz-se que uma variável aleatória X do tipo discreto possui distribuição de Poisson 
 de parâmetro 

 se sua função de probabilidade tem por expressão: 
 
 x
x
X
α
p (x) para x 0,1,2,3,... onde α > 0
x!
e
 
  
 
 
4 
 
 Escreve-se: 
X
 Poisson
 α
 
 Prova-se que 
 E X α
 e 
 V X α
 
Prova-se que a função geratriz de momentos é  tα 1
X (t)
e
M e


 
5.8 Aproximação de uma Distribuição Binomial por uma Distribuição de Poisson 
 Se 
X
 Binomial (n,p), prova-se que 
 
x
αx x n x
p qn
n
np α
α
lim para x 0,1,2,....
x!
C e


 
  
 
 
 
 Assim, para n “grande” e p “pequeno”, tem-se: 
 x(np)npx x np q x 0,1,2,3,.....n
x!
C x e 
 
 São condições suficientes para uma boa aproximação: 
 np 3 e p 0,1 ou nq 3 e q 0,1    
5.9 Cálculo de Probabilidades relativas a uma Distribuição de Poisson, 
 por Recorrência 
 Xp (x)
= x
α α
x!
e
 
  
 
 para 
x 0,1, 2 ,3, .....
 
 
    αXP X 0 p 0 e
  
 
 
  
 
 
X
X
α x 1
/ x 1 !
α x
/ x!
αp x+1 α
x 1,2,3,...
p x x 1
α
e
e
 


 
   
 
 
 
 
   X X
α
p x+1 p x para x 1,2,3,...
x 1
 
  
 
 
 
5.10 Aplicações de uma Distribuição de Poisson 
 Uma variável aleatória de Poisson é utilizada habitualmente como um modelo 
probabilístico para o número de ocorrências de certo evento que é disperso de for-
ma independente e homogênea em determinado espaço. São exemplos de aplica- 
ções de uma distribuição de Poisson: 
 número de estrelas visíveis por telescópio em setores do espaço sideral; 
 número de partículas alfa emitidas em um minuto por uma substância radioativa; 
 número de mutações em filamentos de DNA; 
 número de bombas voadoras lançadas sobre Londres durante um mês, na Segun-
da Guerra Mundial; 
 número diário de acidentes de carro ocorridosem determinada região; 
5 
 
 número de falhas de uma máquina durante um mês; 
 número de defeitos em uma chapa de aço; 
 número de bactérias presentes em uma lâmina para microscópio; 
 distribuição espacial de pequenas cidades em regiões rurais; 
 número de chegadas de aeronaves em um aeroporto, durante um dia; 
 número de veículos que cruzam diariamente determinada ponte; 
 número de erros tipográficos na composição de uma página de jornal; 
 número de chamadas em uma central telefônica durante um minuto; 
 número de terremotos em certo local durante um ano; 
 número de acidentes de trabalho em uma fábrica durante um mês; 
 número de clientes que chegam a uma agência bancária durante um período de 
tempo. 
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