Estatística - Resumo teórico 6.0

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ECO 1721 - Introdução à Estatística Econômica 
6-Algumas Distribuições Contínuas Importantes 
Resumo Teórico 
Professores: Thadeu Keller Filho e Juarez Figueiredo 
6.1 Distribuição Uniforme (ou Retangular) em um Intervalo 
 6.1.1 Definição 
 Diz-se que uma variável aleatória real do tipo contínuo possui distribuição Unifor-
 me no Intervalo (a,b) se sua função de densidade de probabilidade tiver por expres-
 são 
  
1
Xf x a x b
b a
  

 
 Neste caso, escreve-se: 
X
 
( , )Uniforme a b
 
 Nota: Se 
X
possui distribuição uniforme em um intervalo, sua densidade de pro-
 babilidade é uma constante, cujo valor é o recíproco da amplitude do intervalo. 
 6.1.2 Média e Variância de X 
  ( ) / 2E X b a 
 
 
2
( ) /12Var X b a 
 
 6.1.3 Função de Distribuição de X 
 
 
0
1



  


X
x a
x a
F x a x b
b a
x b
 
 Nota: 
 XF x
 é uma função em rampa 
6.1.4 Função Geratriz de Momentos de X 
 
 
b b t b t a
b
t X t x t x t x
X
a
a a
1 1 1 1
(t) E dx dx = = 
b a b a b a t b a t
e e
M e e e e

  
    
 
 6.1.5 Propriedades da Distribuição de X 
 Propriedade 1: 
 A probabilidade de que X pertença a qualquer intervalo contido em 
 a,b
 é 
 proporcional à amplitude do intervalo: 
2 
 
 
a c d b       P c X d d c /(b a )      
 
 Propriedade 2: 
 Se 
a c d b,  
então a variável aleatória condicionada 
 /X c X d 
possui 
 distribuição uniforme no intervalo 
( , ) :c d 
 
     P X x / c X d x c / d c     
 
 
6.2 Distribuição Exponencial (ou Exponencial Negativa) 
 6.2.1 Definição 
 Diz-se que uma variável aleatória real do tipo contínuo possui distribuição expo-
 nencial se sua densidade de probabilidade tiver por expressão: 
   0xXf x e x  
 onde 
0 
 
 Neste caso, escreve-se: 
X

 Exponencial 
 
 6.2.2 Média e Variância de X 
   1/E X 
 
  21/Var X 
 
 6.2.3 Função de Distribuição de X 
 
 
 
0 0
1 0

 
 
X x
x
F x
e x

 
 6.2.4 Função Geratriz de Momentos de X 
 
X
1
(t) para t α
α t
M  

 
 6.2.5 Propriedade Marcoviana ( ou da Ausência de Memória) 
 Uma variável aleatória real do tipo contínuo, não negativa, possui distribuição 
 exponencial se e somente se 
        /P X t h X t P X h
 
 quaisquer que sejam os números reais positivos t e h. 
 
 
3 
 
6.3 Distribuição Gama 
 6.3.1 Definição 
 Diz-se que uma variável aleatória real do tipo contínuo possui distribuição gama se 
sua densidade de probabilidade tiver por expressão: 
 
1( ) para 0 , 0 e 0
( )
p
p xf x x e x p
p
     

 
 sendo 
 p
 a função gama de p 
 Neste caso, escreve-se: 
X
 
 ,Gama p
 
 6.3.2 Média e Variância de X 
 
2
( ) ( )
p p
E X V X 
 
 
 6.3.3 Casos particulares: Distribuições de Erlang e de Qui-Quadrado 
 A família da distribuição gama tem dois casos particulares importantes: (i) a 
Distribuição de Erlang, quando o parâmetro de forma p é inteiro; e (ii) a Distri-
buição de Qui-Quadrado, quando 
1
e , 1,2,3,...
2 2
n
p n   
 Note-se, ainda, 
que a distribuição exponencial é obtida como um caso particular da distribuição 
gama, quando p = 1. 
 6.3.4 Função Geratriz de Momentos de X 
 
 
pp
X p
α α
(t) para t < α
α tα t
M
 
  
 
 
 
6.4 Distribuição Beta 
 6.4.1 Definição 
 Diz-se que uma variável aleatória real do tipo contínuo possui distribuição beta se a 
sua densidade de probabilidade tiver por expressão: 
  
   
1 1( ) (1 ) para 0 1 , 0 e 0p q
p q
f x x x x p q
p q
       
 
 
 Neste caso, escreve-se: 
X
 
 ,Beta p q
 
4 
 
 6.4.2 Média e Variância de X 
 
2
( ) e ( )
( ) ( 1)
p pq
E X V X
p q p q p q
 
   
 
6.4.3 Função Geratriz de Momentos de X 
 
 
k k
k
X
k 0 k 0
t (p k) (p q) t
(t) E X
k! (p q k) (p) (k 1)
M
 
 
   
 
     
 
 
 Obs. Nesse caso a função geratriz de momentos tem pouca utilidade. 
 
6.5 Distribuição Normal 
 6.5.1 Definição 
 Diz-se que uma variável aleatória real do tipo contínuo possui distribuição Normal 
 ou distribuição de Gauss) se sua função de densidade de probabilidade tiver por 
 expressão: 
 xfX
 = 
 



x
x
e
22
2
2
1 


 
      0
 
 Neste caso escreve-se 
X

 2,N  
 ou 
 2,X N  
 
 6.5.2 Propriedades da Densidade de Probabilidade de X 
a) 
 xfX
 possui forma campanular (curva em forma de sino) 
b) 
 xfX
 é simétrica em relação ao ponto 
x 
 
c) 
 lim 0

X
x
f x
 
 lim 0

X
x
f x
 
d) a moda (abscissa do máximo da densidade) corresponde ao ponto x=

e seu 
valor é igual a 
 
1
2

 
 
e) 
 xfX
 possui dois pontos de inflexão, de ordenadas iguais a 
   
1 1/ 2
2 ,
 
e 
correspondentes ás abscissas 
1  x  
 e 
2  x  
 
 6.5.3 Média e Variância de X 
  E X
 = 

 
 Var X
= 2 
 6.5.4 Função Geratriz de Momentos de X 
 2 21+
2 2 2
X
1
( ) exp +
2
t t
M t t t e
     
 
 
5 
 
 6.5.5 Teorema da Transformação Linear 
 Fazendo-se 
, Y a bX
segue-se que 
Y

 2 2,N a b a 
 
 6.5.6 Distribuição Normal Padrão 
 No teorema anterior, fazendo-se 
,


X
Z


tem-se 
Z

 0;1N
 
 Notas: 
 A distribuição da variável aleatória
Z
denomina-se Distribuição Normal Padrão 
(ou Padronizada, ou Standard) 
 A densidade de probabilidade de uma distribuição normal não possui primitiva 
expressa analiticamente. Assim, o cálculo de probabilidades referentes a esse ti-
po de distribuição é efetuado por métodos numéricos que permitem a montagem 
de tabelas para a distribuição normal padronizada. 
 Embora exista uma infinidade de distribuições normais, qualquer uma delas po-
de ser transformada em uma distribuição normal padronizada e as probabilidades 
podem ser obtidas em uma única tabela. 
 6.5.7 Teorema da Soma de Variáveis Aleatórias Normais Independentes 
 Sejam 
1 2, ,..., nX X X
variáveis aleatórias independentes, com distribuição normal, 
 de médias 
1 2, ,..., n  
e variâncias 
2 2 2
1 1, ,..., n  
, respectivamente. Faça-se: 
 1 2 ... nY X X X   
 
 Então, 
Y
possui distribuição normal de média
1 2 ... n      
 e variância 
 
2 2 2 2
1 1 ... .n      
 
 6.5.8 Aproximação da Distribuição Binomial pela Normal (Teorema de De 
Moivre – Laplace) 
 Seja X uma variável aleatória com distribuição binomial de parâmetros n e p. Essa 
distribuição pode ser aproximada pela normal de parâmetros 
n p 
 e variância 
2 .n pq 
 Isto é 
Y
 
 2,N  
 onde 
n p 
 e 
2 .n pq 
 As condições pa-
ra uma boa aproximação são: 
10n p 
 e 
10nq 
. Ao ser empregadaessa apro-
ximação deve ser utilizada uma “correção de continuidade”: 
 (i) 
( ) ( 0,5 0,5)P X k P k Y k     
 
 e 
 (ii)
( ) ( 0,5 0,5)P a X b P a Y b      
 
 
6 
 
 6.5.9 Teorema do Limite Central 
 Nota: Enunciaremos apenas o Teorema de Lindeberg-Lèvy que é o mais importante 
 caso particular do Teorema do Limite Central. 
 Teorema de Lindeberg-Lèvy 
 Sejam 
1 2, ,..., nX X X
variáveis aleatórias independentes, de mesma distribuição, de 
 média 

e variância 2. Faça-se: 
 1 2 ...n nY X X X   
 
 Então, se n é suficientemente grande, 
nY 
possui aproximadamente distribuição 
 normal de média 
n
e variância 2.n 
 Nota: 
 Salvo raras exceções, a aproximação normal para a distribuição da soma 
nY 
é 
 muito boa quando 
30.n  
 
6.6 Distribuição Lognormal 
 6.6.1 Definição 
 Diz-se que uma variável aleatória real do tipo contínuo possui distribuição Logno-
rmal se sua função de densidade de probabilidade tiver por expressão: 
 
 xfX
 = 2
2
1
para 0
2
ln
2 x
x
x
e
 


 
 
 


 , com 
      0
 
 Neste caso escreve-se 
X

 2,Lognormal  
 
 Esta distribuição é estreitamente relacionada com a distribuição Normal. Com efei-
to, se uma variável aleatória X tem distribuição normal de parâmetros 

 (média) 
2
(variância) então a variável aleatória Y definida em função de x por 
XY e
 pos-
sui distribuição Lognormal (de parâmetros 

 (média da normal associada) 2 (va-
riância da normal associada). 
 6.6.2 Média e Variância de X 
  E X
21
2 2
1
exp
2
e
 
    
 

 e 
 Var X
= 
 
2 22 1e ee    
 
 
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