Estatística - Resumo teórico 13

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ECO 1721 - Introdução à Estatística Econômica 
 
13-Testes sobre Médias e Total 
Resumo Teórico 
Professores: Thadeu Keller Filho e Juarez Figueiredo 
 
13.1 Estatística de Decisão 
 Considere-se um universo
X
de média

e variância 2 e seja 
 1 2 nX ,X ,...,X
 uma 
amostra aleatória de tamanho 
n
desse universo. Defina-se a média aritmética da 
amostra: 
 (1) 
j
j=1
1
n
nX X
n
 
 
 Nos testes que serão considerados, 
nX
será adotada como estatística de decisão. 
Consideraremos apenas os casos em que forem verificadas pelo menos uma das se-
guintes condições: 
 Condição I 
 O universo possui distribuição normal: 
X
~
 2;N  
; 
 Condição II 
 O tamanho da amostra é no mínimo igual a 30. 
 Sob a Condição I, a média amostral possui distribuição normal: 
 
 
nX
 
 2;N n . 
 
 Sob a Condição II, o Teorema do Limite Central permite afirmar que a média 
amostral possui, aproximadamente, distribuição normal: 
 
a) No caso de Amostra Aleatória Simples (AAS) 
 
nX
~ 2
N ;
n


 
  
 
 
b) No caso de Amostra Aleatória sem Reposição (ASR) 
 
nX
~ 2
1
N n
N ;
n N


 
   
 
 
 
 
2 
 
13.2 Estatísticas do Teste 
 Considere-se um teste de hipóteses no qual a hipótese nula especifica que a média 
do universo é igual a determinado valor 
:o
 
 (2) 
:o oH  
 
 Se forem atendidas as condições I ou II e se 
oH
for verdadeira, podemos admitir 
que a estatística de decisão possua, exata ou aproximadamente, distribuição normal: 
a) No caso de Amostra Aleatória Simples (AAS) 
 (3a) 
nX
~ 2
N ;
n


 
  
 
 
b) No caso de Amostra Aleatória sem Reposição (ASR) 
 
(3b) 
nX
~ 2
1
N n
N ;
n N


 
   
 
 Para calcular as probabilidades associadas ao teste, serão consideradas duas possi-
bilidades: 
 1o. Caso: A variância do universo é conhecida 
 Neste caso, a distribuição da estatística de decisão não tem parâmetros desconheci-
dos. Entretanto, por conveniência de cálculo, efetua-se a transformação: 
a) No caso de Amostra Aleatória Simples (AAS) 
 (4a) 
0nX
/ n



Z
 
 que define uma variável aleatória com distribuição normal padrão: 
 (5a) 
 0 1N ,Z 
b) No caso de Amostra Aleatória sem Reposição (ASR)
 
(4b) 
0
1
nX
N n
Nn






Z
 
 que define uma variável aleatória com distribuição normal padrão: 
 (5b) 
 0 1N ,Z 
 A variável aleatória definida pela (4a) ou pela (4b) é adotada como Estatística do 
Teste quando a variância do universo é conhecida. 
 
 
3 
 
 2o. Caso: A variância do universo é desconhecida 
 Neste caso, a distribuição da estatística de decisão possui um parâmetro desconhe-
cido, 
2 ,
que necessita ser estimado. Para isso utiliza-se a variância amostral: 
a) No caso de Amostra Aleatória Simples (AAS) 
 (6a) 
2
2 2
j j
j=1 j=1
1 1
1
n n
n
S X X
n n n
    
                    
  
b) No caso de Amostra Aleatória sem Reposição (ASR) 
(6b) 
2
2 2
j j
j=1 j=1
1 1 1
1
n n
N n
S X X
N n n n
    
                        
  
 Para tornar viável o cálculo das probabilidades associadas ao teste, efetua-se a 
transformação: 
a) No caso de Amostra Aleatória Simples (AAS) 
 (7a) 
0nXT
S
n


 
b) No caso de Amostra Aleatória sem Reposição (ASR) 
(7b) 
0
1
nXT
S N n
Nn




 
 que define uma variável aleatória com distribuição de Student de 
1n
graus de li-
berdade. Como essa distribuição não possui parâmetros desconhecidos, a variável 
aleatória 
T
 é adotada como Estatística do Teste quando a variância do universo é 
desconhecida. 
13.3 Região de Rejeição (ou Região Crítica) 
 Todo teste de significância especifica um conjunto de valores reais que a estatística 
de decisão pode assumir quando
0H
é verdadeira, mas cuja ocorrência gera a crença 
de que a hipótese é falsa, por ser um evento pouco provável. Esse conjunto de valo-
res recebe o nome de Região de Rejeição, ou Região Crítica. 
 
 
4 
 
13.4 Região de Aceitação 
 É o conjunto complementar da Região de Rejeição em relação ao conjunto dos nú-
meros reais. Quando a estatística de decisão assume valores nessa região, a hipótese 
nula deve ser aceita, pois não há razões para se acreditar que ela seja falsa. 
 
13.5 Construção dos Testes 
 Na construção dos testes de significância sobre a média de um universo, admitire-
mos terem sido fixados a priori: 
 (i) um valor pressuposto para a média do universo, 
;o
 
 (ii) o tamanho da amostra, 
n;
 
 (iii) o nível de significância, 
.
 
 13.5.1 Teste Bilateral 
 Especificação: 
 (8) 
0 0 1 0: :H H    
 
 Números Críticos 
 No caso do teste bilateral sobre a média, a região de aceitação é definida como um 
intervalo centrado no valor de
o
, cuja semi-amplitude será denotada por 

e cujos 
delimitadores são dois números reais, 
1 2ec c
, denominados Números Críticos: 
 (9) Região de Aceitação: 
 1 2 1 2; onde o oc c , c c      
 
 Determinação dos números críticos 
 Se
0H
é verdadeira e a estatística de decisão assume valores na região de aceitação, 
a hipótese deve ser aceita. A probabilidade de que isso ocorra é o nível de confiança 
do teste. Assim, a determinação dos números críticos deve ser feita de tal forma que 
 (10) 
      1 2 1 21 n n o n oP X c ,c P c X c P X             
 
 n oP X       
 
 Mais uma vez consideremos duas possibilidades: 
 (I) Teste Z: A variância do universo é conhecida 
 Nesta hipótese, faz-se a transformação
,Z
definida pela (4a) ou pela (4b): 
a) No caso de Amostra Aleatória Simples (AAS) 
 
5 
 
 (11a) 
1   n oXP
n n n

  
    
 
  

= 
 P zz   Z
onde 
 (12a) 


z
n

 

 
z
n

 
 
b) No caso de Amostra Aleatória sem Reposição (ASR) 
(11b) 
1  
1 1 1
n oXP
N n N n N n
N N Nn n n

  
 
 
 
  
  
   
    
= 
 P zz   Z
onde 
 (12b) 
1
z
N n
Nn





 

 
1
z N n
Nn




 
 Nota: 
 O procedimento para a obtenção dos números críticos segue os mesmos passos que 
os da determinação do intervalo de confiança para a estimação da média. Pode-se 
notar que a expressão de 

obtida na (12a) ou na (12b) coincide com a do erro de 
amostragem para a estimação de 
, quando a variância do universo é conhecida. 
 Determinação de 
z
 
 Tendo em vista a (5a) ou a (5b), 
Z 
possui distribuição normal padronizada. Portan-
to, de acordo com (11a) ou (11b), o valor de 
z
é o da abscissa de uma distribuição 
normal padrão que possui à sua direita a área 
2 .
Os valores de 
z
podem ser obti-
dos na Tabela I, impondo a condição: 
 (13) 
  0 5000 2z ,  
 
 Habitualmente o valor de
z
obtido na (13) é anotado 
2/z .
 
 Logo, os números críticos têm por expressão: 
a) No caso de Amostra Aleatória Simples (AAS) 
 (14a) 
1 0 2 0
z z
c c
n n
     
 
b) No caso de Amostra Aleatória sem Reposição (ASR) 
(14b) 
1 0 2 0
1 1
z N n z N n
c c
N Nn n
      
 
 
6 
 
 Regra de Decisão 
 Em uma amostra efetiva, 
 12 nx ,x ,...,x ,
 a determinação da estatística de decisão 
tem por expressão: 
 (15) 
j
j=1
1
n
x x
n
 
 
 Define-se, então, a seguinte Regra de Decisão: 
 (16) (i) Se 
1 2c x c , 
aceita-se 
0H
ao nível de significância
;
 
 (ii) caso contrário, rejeita-se
0H
ao nível de significância 
.
 
 Regra de Decisão Alternativa 
 Faça-se: 
a) No caso de Amostra Aleatória Simples (AAS) 
(17a) 
0
o
x
/ n
z




 
ou 
 b) No caso de Amostra Aleatória sem Reposição (ASR) 
 (17b) 
0
1
o
x
N n
Nn
z






 
 Verifica-se, facilmente, que a regra de decisão definida pela (16) é equivalente à 
seguinte: 
 (18) (i) Se 
2o /z z ,
 aceita-se 
0H 
ao nível de significância
;
 
 (ii) caso contrário, rejeita-se
0H
ao nível de significância 
. 
 (II) Teste 
t
: A variância do universo é desconhecida 
 Neste caso, faz-se a transformação 
T
definida pela (7a) ou pela (7b): 
a) No caso de Amostra Aleatória Simples (AAS) 
 (19a) 
1   n oXP
S n S n S n
    
 
  

= 
 t tP T  
onde 
 (20a) 

t
S n

 

 
t S
n
 
 
 
 
7 
 
b) No caso de Amostra Aleatória sem Reposição (ASR)
 
(19b) 
1  
1 1 1
n oXP
S N n S N n S N n
N N Nn n n
 
 
 
  
  
   
    
= 
 t tP T  
onde 
(20b) 
1
t
S N n
Nn




 

 
1
t S N n
Nn



 
 
 Nota: 
 O valor de 

obtido na (20a) e na (20b) coincide com a do erro de amostragem cor-
respondente para a estimação de 
,
 quando a variância do universo é desconheci-
da. 
 Determinação de 
t
 
 Tendo em vista a (7), 
T 
possui distribuição de Student com 
1n
graus de liberda-
de. Logo, de acordo com (19a) ou (19b), o valor de 
t
 é o da abscissa que nessa dis-
tribuição possui à sua direita a área 
2 .
Os valores de 
t podem ser obtidos na Ta-
bela II, com as seguintes entradas: 
 (21) 
Linha 1: n  
 
Coluna: 1 2p / 
 
 Na Tabela II, o valor da abscissa obtida com as entradas dadas em (21) será anotado 
pt ,
sendo também comum a notação 
2/t .
 
 Portanto, os números críticos têm por expressão: 
a) No caso de Amostra Aleatória Simples (AAS) 
 (22a) 
1 0 2 0
p pS S
c c
n n
t t
    
 
b) No caso de Amostra Aleatória sem Reposição (ASR) 
(22b) 
1 0 2 0
1 1
p pS SN n N n
c c
N Nn n
t t     
 
 
 Regra de Decisão 
 Define-se, então, a seguinte Regra de Decisão: 
 (23) (i) Se 
1 2c x c , 
aceita-se 
0H
ao nível de significância
;
 
 (ii) caso contrário, rejeita-se
0H
ao nível de significância 
.
 
8 
 
Nota: 
 No teste 
,Z
os números críticos são fixos, podendo ser utilizados sem modificação 
em várias amostras efetivas. No teste 
T entretanto, os números críticos não são 
constantes, pois dependem dos valores de 
S
que variam nas diversas amostras efe-
tivas. 
 Regra de Decisão Alternativa 
 Faça-se: 
a) No caso de Amostra Aleatória Simples (AAS) 
 (24a) 
0
o
x
t
S / n


 
b) No caso de Amostra Aleatória sem Reposição (ASR) 
(24b) 
0
1
o
x
t
S N n
Nn




 
 É fácil demonstrar que a regra de decisão definida pela (23) é equivalente a 
 (25) (i) Se 
o pt t ,
 aceita-se 
0H 
ao nível de significância
;
 
 (ii) caso contrário, rejeita-se
0H
ao nível de significância 
.
 
 Nota: 
 Em um teste bilateral, quando 
0H
for rejeitada ao nível de significância
,
diz-se 
que o valor observado de 
x
é significantemente diferente de 
o ,
ao nível de signifi-
cância 
.
 
 13.5.2 Teste Unilateral à Direita 
 Especificação: 
 (26) 
0 0 1 0: :H H     
 A construção deste teste é inteiramente análoga à do teste bilateral, com as seguin-
tes modificações: 
 a) Número Crítico 
 Existe um único número crítico, situado à direita de 
0
, definido por: 
 (27) 
oc   
, onde: 
 (28) No teste 
Z
: 
 (28a) 
z
n
 
 com 
  0 5000z ,  
.................se AAS 
9 
 
(28b) 
1
z N n
Nn
 


 com 
  0 5000z ,  
....se ASR 
(29) No teste 
t
: 
 (29a) 
pt S
n
 
 com 
1p  
 ...............................se AAS 
(29b) 
1
pt S N n
Nn
 


 com 
1p  
 ...................se ASR 
 b) Regra de Decisão 
 (30) (i) Se 
x c,
rejeita-se 
0 ,H
ao nível de significância 
;
 
 (ii) caso contrário, aceita-se 
0 ,H
ao nível de significância
.
 
 c) Nomenclatura na rejeição de 
0:H
 
 Se 
0H
for rejeitada ao nível de significância 
,
diz-se que o valor observado de 
x
é significantemente maior que 
o ,
 ao nível de significância
. 
 13.5.3 Teste Unilateral à Esquerda 
 Especificação: 
 (31) 
0 0 1 0: :H H     
 Este teste tem construção inteiramente análoga ao anterior, com as seguintes modi-
ficações: 
 a) Número Crítico: 
 Existe um único número crítico, situado à esquerda de 
0
, definido por: 
 (32) 
oc   
 
 Onde 

assume as expressões definidas em (28) e (29). 
 b) Regra de Decisão 
 (33) (i) Se 
x c,
rejeita-se 
0 ,H
ao nível de significância 
;
 
 (ii) caso contrário, aceita-se
0 ,H
ao nível de significância
.
 
c) Nomenclatura na rejeição de 
0H
 
 Se 
0H
for rejeitada ao nível de significância 
,
diz-se que o valor observado de 
 
x
é significantemente menor 
o ,
 ao nível de significância
.
 
 
10 
 
13.6. Testes sobre Total 
 Os testes sobre o total seguem, com grande analogia, os correspondentes testes sobre 
a média. 
13.6.1. Estatística de Decisão e Distribuição de Probabilidade 
Estatística de Decisão 
A estatística de decisão nos testes relativos ao total é 
(34) 
j
j=1
1
n
nN X N X
n
ˆ   
 
Distribuição de Probabilidade da Estatística de Decisão 
Acompanhando a estatística média amostral, a distribuição de probabilidade dessa 
estatística de decisão é aproximadamente normal ou aproximadamente T de Student: 
(i) Se a variância do universo é conhecida 
 
(35) 
ˆ
~ 2
2
0
1
N n
N ; N
n N
  
 
 e 
0 0
1 1
n
ˆNX
N n N n
N N
N Nn n
  
 
 
 
 
 
Z
 
(ii) Se a variância do universo é desconhecida 
 
(35) 
ˆ
~ 
0 0
1 1
nNX
S N n S N n
N N
N Nn n
ˆ   
 
 
 
t
 
 
13.6.2. Construção da Regra de Decisão 
(i) Se a variância do universo é conhecida 
(36a) 
1
z
N n
N
Nn





 

 
1
z N n
N
Nn





 
(ii) Se a variância do universo é desconhecida 
 
(36b) 
1
t
S N n
N
Nn




 

 
1
t S N n
N
Nn




 
 
13.6.3 Teste Bilateral 
Nesse há dois valores críticos que são: 
(i) Se a variância do universo é conhecida 
 (37a) 
1 0 2 0
1 1
z N n z N n
c N c N
N Nn n
      
 
 
 
11 
 
(ii) Se a variância do universo é desconhecida 
(37b) 
1 0 2 0
1 1
p pS SN n N n
c N c N
N Nn n
t t     
 
 
13.6.4 Teste Unilateral à Esquerda 
Nesse caso o valor crítico é: 
(i) Se a variância do universo é conhecida 
 (38a) 
0
1
z N n
c N
Nn  

 
(ii) Se a variância do universo é desconhecida 
 (38b) 
1 0
1
p S N n
c N
Nn
t  

 
13.6.5 Teste Unilateral à Direita 
Nesse caso o valor crítico é: 
(i) Se a variância do universo é conhecida 
 (39a) 
0
1
z N n
c N
Nn
  

 
(ii) Se a variância do universo é desconhecida 
 (39b) 
0
1
pS N n
c N
Nn
t  

 
 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12