6ª Lista-Produto interno; Bases ortogonais e Bases ortonormais

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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo -
Votuporanga
Álgebra Linear - Engenharia Civil
Sexta Lista de Exercícios
2o semestre - 2014
Professora Elen Cristina Mazucchi
. Produto interno; Bases ortogonais e Bases ortonormais
Exercício 1: Determinar o valor de m para que os vetores u = (2,m,−3) e v = (m− 1, 2, 4)
sejam ortogonais em relação ao produto interno usual do R3. (Resp.: m = 72)
Exercício 2: Seja V = R3 com o seguinte produto interno
(x1, y1, z1) · (x2, y2, z2) = 2x1x2 + 3y1y2 + z1z2
Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores u = (1, 2, 1) e v = (1, 1, 1).
(Resp.: w = (1, 0,−2))
Exercício 3: Se u =
[
a1 b1
c1 d1
]
e v =
[
a2 b2
c2 d2
]
são matrizes quaisquer de M(2, 2), a
seguinte fórmula define um produto interno nesse espaço: u · v = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d2.
Determine x de modo que u =
[
1 −2
5 x
]
e v =
[
3 2
1 −1
]
sejam ortogonais. (Resp.: x = 4)
Exercício 4: No espaço V = P2, consideremos o produto interno f(t) ·g(t) =
∫ 1
−1
f(t)g(t)dt.
Calcular f(t) · g(t) para f(t) = t2 − 2t e g(t) = t+ 3. (Resp.: −2912)
Exercício 5: Sejam V = R3 munido do produto interno usual e A{(1,−1,−2)} ⊂ V.
Encontrar uma base ortogonal B de V tal que A ⊂ B. (Resp.: {(1,−1,−2), (1, 1, 0), (−1, 1, 1)})
Exercício 6: Seja V um espaço vetorial euclidiano e B = {v1, v2, · · · , vn} uma base ortogonal
de V. Para um vetor w ∈ V, tem-se:
w = a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn
Efetuando o produto interno de ambos os lados da igualdade por vi, vem:
w · vi = a1(v1 · vi) + a2(v2 · vi) + · · ·+ an(vn · vi)
ou
w · vi = ai(vi · vi) pois vj · vi = o para j 6= i
logo:
ai =
w · vi
vi · vi
1
é a expressão da i-ésima coordenada de w em relação à base B.
a) O conjunto B =
{(
1√
2
, 1√
2
)
,
(
− 1√
2
, 1√
2
)}
é base ortonormal do R2 com o produto
interno usual. Determinar o vetor coordenada de v = (2, 4) em relação abase B de acordo com
a demonstração acima. (Resp.: vB = (3
√
2,
√
2))
b) O conjunto B =
{(
3
5 ,
4
5
)
,
(−45 , 35)} é base ortonormal do R2 com o produto interno
usual. Determinar o vetor coordenada de v = (5, 2) em relação abase B de acordo com a
demonstração acima. (Resp.: vB =
(
23
5 ,−145
)
)
Exercício 7: Considere as seguintes bases do R3. Ortogonalizar essas bases pelo processo de
Gram-Schimidt, segundo o produto interno usual.
a) B = {(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 2)} (Resp.: {(1, 0, 0), (0, 1√
2
, 1√
2
), (0,− 1√
2
, 1√
2
)})
b) B = {(1, 0, 1), (1, 0,−1), (0, 3, 4)} (Resp.: {( 1√
2
, 0, 1√
2
), ( 1√
2
, 0,− 1√
2
), (0, 1, 0)})
Exercício 8: Em relação ao produto interno usual, determinar uma base ortonormal dos
seguintes subespaços vetoriais de R3.
a) S = {(x, y, z) ∈ R3 / y − 2z = 0} (Resp.: {(1, 0, 0), (0,− 2√
5
, 1√
5
)})
b) S = {(x, y, z) ∈ R3 / x+ y + z = 0} (Resp.: {( 1√
2
,− 1√
2
, 0), (− 1√
6
,− 1√
6
, 2√
6
)})
2