Trigonometria(1

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Trigonometria 
 
1. Segmentos Proporcionais 
 
1.1. Teorema de Tales 
Se um feixe com três ou mais retas 
paralelas cruza duas transversais quaisquer, 
então a razão entre as medidas de dois 
segmentos obtidos em uma das transversais 
é igual à razão entre as medidas dos seg-
mentos correspondentes da outra transver-
sal. 
 
EF
DE
BC
AB
= 
Podemos demonstrar essa propriedade divi-
dindo os segmentos AB e BC em partes 
iguais de valor x. 
 
xAB 3= e xBC 2= 
Traçando retas paralelas às retas r, s e t, 
que passam pelos pontos obtidos na divisão 
dos segmentos. 
 
Podemos perceber que os segmentos de-
terminados na reta v também possuem me-
didas iguais. 
yDE 3= e yEF 2= 
Neste caso: 
2
3
2
3
==
x
x
BC
AB e 
2
3
2
3
==
y
y
EF
DE 
Assim, 
EF
DE
BC
AB
= , ou seja, os segmentos 
AB e BC são proporcionais aos segmentos 
DE e EF . 
Exemplo 01: Determine o valor do segmen-
to BC na figura a seguir, sabendo que as 
retas r, s e t são paralelas. 
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Fundamentos da Matemática II 2 
 
Resolução: Para determinar o valor do 
segmento BC partiremos da definição do 
Teorema de Tales: 
8
15
120
12015
6
1520
=
=
=
=
=
x
x
x
x
EF
DE
BC
AB
 
Logo, o segmento BC vale 8 unidades. 
Exemplo 02: Determine o valor de x na figu-
ra abaixo, sendo r // s // t. 
 
Resolução: Para determinar o valor de x 
partiremos da definição do Teorema de Ta-
les, tomando o cuidado de tomar as informa-
ções pertencentes à mesma reta: 
( ) ( )
6
366
8482842
1682314
16
23
14
8
=
-=-
-=+
-=+
-
+
=
=
x
x
xx
xx
x
x
NR
QN
NP
MN
 
Portanto, x é igual a 6. 
Exemplo 03: (Unesp) Um observador situa-
do num ponto O, localizado na margem de 
um rio, precisa determinar sua distância até 
um ponto P, localizado na outra margem, 
sem atravessar o rio. Para isso marca, com 
estacas, outros pontos do lado da margem 
em que se encontra de tal forma que P, O e 
B estão alinhados entre si e P, A e C tam-
bém. Além disso, OA é paralelo a BC , 
mOA 25= , mBC 40= e mOB 30= , conforme 
a figura a seguir. 
 
Determine a distância, em metros, do obser-
vador em O até o ponto P. 
Resolução: Para a resolução deste proble-
ma vamos ajustá-lo ao Teorema de Tales. 
Esquematicamente temos: 
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Fundamentos da Matemática II 3 
 
Podemos observar que as retas transversais 
formam com as retas paralelas dois triângu-
los. O triângulo AOP: 
 
E o triângulo BCP: 
 
Observação: Pode-se demonstrar que toda 
reta paralela a um dos lados de um triângulo 
e que cruza os outros dois lados, divide es-
ses dois lados em segmentos de retas pro-
porcionais. 
Assim, 
BC
OA
PB
PO
= 
50
75015
7502540
40
25
30
=
=
+=
=
+
x
x
xx
x
x
 
Portanto, a distância do observador em O 
até o ponto P é de 50m. 
 
2. Semelhança de Figuras 
Quando ampliamos ou reduzimos 
uma figura de maneira proporcional, a figura 
obtida mantém a mesma forma original. 
As figuras que apresentam a mesma 
forma, mas tamanhos diferentes são chama-
das figuras semelhantes. 
 
 
 
2.1. Polígonos Semelhantes 
Para que dois ou mais polígonos com a 
mesma quantidade de lados sejam seme-
lhantes, é necessário que satisfaçam, simul-
taneamente, as seguintes condições: 
· As medidas dos lados corresponden-
tes devem ser proporcionais; 
 
· As medidas dos ângulos correspon-
dentes devem ser iguais. 
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A razão entre a medida do lado de um polí-
gono e a medida do lado correspondente de 
outro polígono é chamada de razão de se-
melhança. 
5,1
7,1
55,2
8,0
2,1
5,1
25,2
1
5,1
=====k 
2.2. Triângulos Semelhantes 
Dois triângulos são semelhantes quando 
possuem os ângulos correspondentes con-
gruentes e os lados homólogos proporcio-
nais. 
 
DFEABC DD ~ 
Pois, 
^^^^^^
EC; FB;DA ººº (ângulos iguais). 
DE
AC
FE
BC
DF
AB
== (lados homólogos proporcio-
nais). 
2.2.1. Casos de Semelhança 
1º Caso: Dois triângulos são semelhantes 
quando possuem dois ângulos respectiva-
mente congruentes. 
 
 
2º Caso: Dois triângulos são semelhantes 
quando possuem os lados homólogos pro-
porcionais. 
 
 
3º Caso: Dois triângulos são semelhantes 
quando possuem, respectivamente, dois la-
dos homólogos proporcionais e os ângulos 
compreendidos entre esses lados congruen-
tes. 
 
 
Exemplo 04: Na figura abaixo, os triângulos 
ABC e EBD são semelhantes. Quais são, em 
graus, as medidas dos ângulos desconheci-
dos. 
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Resolução: Os ângulos em B são opostos 
pelo vértice, portanto são iguais. Assim, o 
ângulo em C pode ser obtido fazendo: 
º50
º130º180
º180º70º60
^
^
^
=
-=
=++
C
C
C
 
Dessa forma, temos: 
 
Exemplo 05: Determine o comprimento de 
DC na figura dada, sabendo que AB = 8 cm, 
BC = 12 cm e DE = 6 cm. 
 
Resolução: Considerando os triângulos 
ABC e DEC, temos que: 
 
O ângulo em C é comum aos dois triângulos 
e º90
^^
=÷
ø
ö
ç
è
æ=÷
ø
ö
ç
è
æ DmedBmed . Assim, ABC e 
DEC são semelhantes. Portanto: 
9
728
12
6
8
=
=
=
=
DC
DC
DC
DC
BC
ED
AB
 
Logo, a medida do segmento DC é 9 cm. 
 
3. Relações Métricas no Tri-
ângulo Retângulo 
 
3.1. Elementos do Triângulo Retân-
gulo 
 
 
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.
.
.
.
hipotenusaa
sobrecatetosdosprojeçõesdasmedidasnem
hipotenusaàrelativaalturah
catetosdosmedidasceb
hipotenusaa
®
®
®
®
 
3.2. Relações Métricas 
 
nma += 
 
nab ×=2 
 
mac ×=2 
 
cbha ×=× 
 
hcmb ×=× 
 
hbnc ×=× 
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nmh ×=2 
 
222 cba += 
Teorema de Pitágoras 
 
Exemplo 06: Determine o perímetro do tri-
ângulo ABC, descrito pela figura abaixo. 
 
Resolução: Utilizando a relação mac ×=2 , 
obtemos: 
( )
a
a
mac
5,425,56
5,45,7 2
2
=
×=
×=5,12
5,4
25,56
==a 
Agora precisamos determinar a medida do 
outro cateto. Para isto podemos utilizar o 
Teorema de Pitágoras. 
( ) ( )
10
100
25,5625,156
5,75,12
2
2
222
222
=
=
+=
+=
+=
b
b
b
b
cba
 
Assim, 
30
5,7105,12
=
++=
++= cbaP
 
Portanto o perímetro é igual a 30 cm. 
Exemplo 07: (Fuvest) No triângulo T os ca-
tetos medem 10 cm e 20 cm. A altura relati-
va à hipotenusa divide T em dois triângulos. 
Determine a área de cada triângulo. 
Resolução: Vamos visualizar o problema. 
 
Observando os triângulos separadamente 
percebemos que: 
 
22 21
hmAehnA ×=×= 
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Fundamentos da Matemática II 8 
 
Assim, precisamos obter o valor para m, n e 
h. Mas para determinar qualquer destas in-
cógnitas é necessário obter o valor da hipo-
tenusa, então: 
cma
a
a
a
cba
510
500
500
1020
2
222
222
=
=
=
+=
+=
 
Logo: 
( )
cmn
n
anc
52
510
100
51010 2
2
==
=
=
 
como, 
cmm
m
nma
58
52510
=
+=
+=
 
temos: 
cmh
h
h
h
mnh
54
516
516
5258
2
2
2
=
×=
×=
×=
=
 
Assim: 
2
2
2
1
805454
2
5458
2
20545
2
5452
2
cmhmA
e
cmhnA
=×=
×
=
×
=
=×=
×
=
×
=
 
 
Portanto, as áreas dos triângulos são 20 cm2 
e 80 cm2. 
 
4. Ângulos 
 
Utilizando a Geometria Plana pode-
mos dizer que um ângulo é caracterizado por 
um par de semi-retas de origem no mesmo 
ponto. 
 
 
 
 
Os ângulos podem ser classificados 
em: 
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Fundamentos da Matemática II 9 
ü Ângulo nulo: é um ângulo de medida 
0º (seus lados são semi-retas coinciden-
tes). 
 
ü Ângulo agudo: é um ângulo de medida 
entre 0º e 90º. 
 
ü Ângulo reto: é um ângulo de medida 
90º (seus lados são semi-retas perpendi-
culares). 
 
ü Ângulo obtuso: é um ângulo de medida 
entre 90º e 180º. 
 
ü Ângulo raso: é um ângulo de medida 
180º (seus lados são semi-retas opos-
tas). 
 
 
Observação: Quando as somas de dois ân-
gulos resultam em: 
ü 90º, eles são chamados de ângulos 
complementares. 
 
ü 180º, eles são chamados de ângulos 
suplementares. 
 
4.1. Ângulos em Figuras Planas 
 
· A soma das medidas dos ângulos inter-
nos de um triângulo qualquer é igual a 
180º. 
 
º180A
^^^
=++ CB 
 
· Em todo triângulo, a medida de um ângu-
lo externo qualquer é igual à soma das 
medidas dos dois ângulos internos não 
adjacentes a ele. 
 
^^
^^
^^
BAe
CAe
CBe
C
B
A
+=
+=
+=
 
 
· A soma das medidas dos ângulos inter-
nos de um quadrilátero qualquer é igual a 
360º. 
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º360A
^^^^
=+++ DCB 
 
· A soma das medidas dos ângulos inter-
nos de um polígono de n lados é dada 
por ( )2º180 -= nSi . 
 
( )2º180 -= nSi 
 
· Em todo polígono convexo, a soma das 
medidas dos ângulos externos é constan-
te e igual a 360º. 
 
º360=eS 
 
· O ângulo externo de um polígono regular 
de n lados é igual a 
n
º360 . 
 
n
e º360= 
 
Exemplo 08: (ESPM) Determine a soma dos 
ângulos assinalados na figura abaixo. 
 
Resolução: Do enunciado temos: 
 
Na figura, cada triângulo possui um ângulo 
assinalado no enunciado e dois ângulos ex-
ternos do polígono ABCDEFGHI. Assim, a 
soma pedida é º900º3602º1809 =×-× . 
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º1809 ×=DS 
 
º360=eS º360=eS 
 
Portanto, a soma dos ângulos assinalados é 
de 900º. 
 
 
5. Trigonometria no triângulo 
retângulo 
Um triângulo é chamado retângulo 
quando apresenta um de seus ângulos inter-
nos igual à 90º. O lado que está oposto ao 
ângulo reto é o maior lado e é chamado de 
hipotenusa, enquanto os outros dois são 
chamados de catetos. 
 
Para um triângulo retângulo podemos 
afirma sempre que: 
ü º90=+ ba (Ângulos Complementa-
res) 
ü 222 cba += (Teorema de Pitágoras) 
5.1. Razões trigonométricas no tri-
ângulo retângulo 
Para um ângulo agudo de um triângu-
lo retângulo definimos os números seno, 
cosseno e tangente por: 
Seno 
 
O seno de um ângulo é a razão entre o 
cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. 
 
 
 
a
bsen ==
hipotenusa
ângulo aoopostocateto aa 
 
Logo: 
 
a
csen ==
hipotenusa
ângulo aoopostocateto bb 
 
 
 
Cosseno 
 
O cosseno de um ângulo é a razão entre o 
cateto adjacente ao ângulo e a hipotenu-
sa. 
 
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a
c
==
hipotenusa
ângulo aoadjacentecatetocos aa 
 
Logo: 
 
a
b
==
hipotenusa
ângulo aoadjacentecatetocos bb 
 
 
 
Tangente 
 
A tangente de um ângulo é a razão entre 
o cateto oposto ao ângulo e o cateto ad-
jacente ao ângulo. 
 
 
 
c
btg ==
a
aa
ângulo aoadjacentecateto
ângulo aoopostocateto
 
 
Logo: 
 
b
c
djacente
tg ==
b
bb
ângulo aoacateto
ângulo aoopostocateto
 
 
Exemplo 09: No triângulo retângulo ABC, 
conforme a figura abaixo, tem-se: 
 
 
...333,1
10
875,0
8
6
6,0
10
6cos8,0
10
8cos
8,0
10
86,0
10
6
====
====
====
ba
ba
ba
tgtg
sensen
 
 
 
Exemplo 10: No triângulo retângulo ABC, 
como mostra a figura. Obtenha os valores de 
seno, cosseno e tangente do ângulo BÂC . 
 
 
Resolução: Para calcular o valor do seno e 
do cosseno precisamos do valor da hipote-
nusa. Utilizaremos o Teorema de Pitágoras 
para calcular o valor da hipotenusa. Assim: 
 
74
74
4925
75
2
2
222
=
=
+=
+=
a
a
a
a
 
 
Logo, 
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Fundamentos da Matemática II 13 
4,1
5
7
74
745
74
74
74
5
74
5cos
74
747
74
74
74
7
74
7
==
=×==
=×==
tgÂ
Â
senÂ
 
 
 
Observação: O seno, cosseno e a tangente 
são razões entre grandezas da mesma es-
pécie e por isso são números puros, não 
vêm acompanhados de unidades. No cálculo 
desses números, as medidas dos lados do 
triângulo precisam estar na mesma unidade. 
 
 
5.1.1. Valores NotáveisTabela dos valores trigonométricos de 
ângulos notáveis. 
 
x 30º 45º 60º 
sen x 
2
1 
2
2 
2
3 
cos x 
2
3 
2
2 
2
1 
tg x 
3
3 1 3 
 
 
Exemplo 11: Queremos encostar uma es-
cada de 8 m de comprimento em uma pare-
de, de modo que ela forme um ângulo de 60º 
com o solo. A que distância da parede de-
vemos apoiar a escada no solo? 
 
 
Resolução: Na figura abaixo esquemati-
zamos a situação descrita no problema. 
 
 
 
Podemos perceber um triângulo retân-
gulo de hipotenusa igual a 8 cm, um 
ângulo de 60º e o lado x que queremos 
calcular. Como o lado x representa o 
cateto adjacente ao ângulo de 60º, en-
tão: 
4
82
82
1
8
º60cos
=
=
=
=
x
x
x
x
 
 
 Logo, o ponto de apoio da escada no 
solo deve ficar a 4 metros da parede. 
 
Exemplo 12: Um agrimensor quer determi-
nar a largura de um rio. Como não pode efe-
tuar diretamente essa medida, ele procede 
da seguinte forma: 
 
ü Do ponto A, situado numa das margens 
do rio, ele avista o topo D, de um morro 
na margem oposta, sob um ângulo de 60º 
com a horizontal; 
 
ü Afastando-se 12 m, em linha reta, até o 
ponto B, ele observa novamente o topo do 
morro segundo um ângulo de 53º com a 
horizontal. 
 
Com esses dados, que medida, em metros, 
ele achou para a largura do rio? 
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Fundamentos da Matemática II 14 
 
(utilize tg 53º = 1,33 e 73,13 = ). 
 
Resolução: Na figura abaixo esquemati-
zamos a situação descrita no problema. 
 
x = largura do rio; 
y = altura do morro. 
 
Para resolver este problema, utilizare-
mos dois triângulos, o DACD e o DBCD. 
 
 
 
Vejamos: 
 
No DACD, podemos estabelecer a rela-
ção: 
( )173,1
73,1
73,1
3
º60
xy
yx
x
y
x
y
x
ytg
=
=
=
=
=
 
 
No DBCD, podemos estabelecer a rela-
ção: 
( )
( )296,1533,1
96,1533,1
1233,1
12
33,1
º53
+=
=+
=+×
+
=
=
xy
yx
yx
x
y
x
ytg
 
 
Substituindo o resultado de (1) em (2), 
temos: 
9,39
4,0
96,15
96,154,0
96,1533,173,1
=
=
=
+=
x
x
x
xx
 
 
Portanto, a largura do rio é de 39,9 m. 
 
Exemplo 13: Calcular o valor de x indicado 
na figura abaixo. 
 
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Fundamentos da Matemática II 15 
Resolução: Como BÂD, no DABD, temos 
que o ângulo em D=30º. 
 
 
No DACD tem-se A=D=30º, logo o tri-
ângulo é isósceles e AC=CD=8 cm. 
 
 
Então, no DABC obtém-se: 
 
mxx
xxx
9,634
2
38
382
82
3
8
º30cos
@=Þ=
=Þ=Þ=
 
 
Portanto, o valor de x é aproximadamente 
6,9 cm. 
 
6. Ciclo Trigonométrico 
 
 
6.1. Arcos e Ângulos 
 
Arco de uma circunferência é cada 
uma das partes em que uma circunferência 
fica dividida por dois de seus pontos. 
 
 
 
6.2. Ângulo Central 
 
 
 Para cada arco existe sempre um ân-
gulo central correspondente. A medida de 
um arco de circunferência é a medida do 
ângulo central correspondente. 
( ) a=ABmed 
 
Observação: Note que a medida de um 
arco não representa a medida do com-
primento desse arco. 
 
 
6.3. Unidades de Medidas 
 
 Para medir arcos e ângulos utilizamos 
o grau e o radiano. 
 
 
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Fundamentos da Matemática II 16 
Grau (º) 
 
 Dividindo a circunferência em 360 par-
tes iguais, cada parte é um arco de um grau 
(1º). 
 
 
Isto significa que a circunferência possui 
360º. 
 
 
Os submúltiplos do grau são o minuto e o 
segundo. 
 
ü Um minuto é igual a 
60
1 do grau. 
ü Um segundo é igual a 
60
1 do minuto. 
Usamos os símbolos: 
 º grau; 
 ’ minuto; 
 ” segundo. 
Radiano (rad) 
 
 É o arco cujo comprimento é igual à 
medida do raio da circunferência que o con-
tém. 
 
rad1=a 
 
Admitindo o raio da circunferência 
como uma unidade, ou seja, raio unitário 
(R=1rad) e partindo que o comprimento de 
uma circunferência é obtido fazendo 
RC p2= , temos: 
radC
radC
RC
p
p
p
2
12
2
=
×=
×=
 
 
 Assim, a medida toda da circunferên-
cia, em radianos, é 2p rad. 
 
 
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Fundamentos da Matemática II 17 
Comparando as medidas em graus e em 
radianos, obtemos: 
 
Unidade 
Fundamental Amplitudes 
Grau 0º 90º 180º 270º 360º 
Radiano 0 
2
p p 
2
3p p2 
 
 
 
 Podemos notar que as medidas são 
diretamente proporcionais, isto permite que 
façamos a conversão da medida de uma 
unidade para a outra através de uma regra 
de três simples, usando que 180º corres-
ponde a p rad. 
 
180º p rad 
Medida em graus Medida em radianos 
 
Exemplo 07: Converter 36º em radianos. 
 
180º p rad 
36º x 
radx
radx
radx
x
rad
5
180
36
36180
º36
º180
p
p
p
p
=
=
=
=
 
 
Portanto, 36º corresponde a 
5
p rad. 
Exemplo 14: Converter 
12
5p rad em graus. 
 
180º p rad 
x 
12
5p rad 
º75
º180
12
5
º180
12
5
12
5
º180
12
5
º180
=
×
=
×=×
=
=
x
x
x
x
rad
rad
x
p
p
pp
p
p
p
p
 
 
Portanto, 
12
5p rad corresponde a 75º. 
 
Exemplo 15: Calcular o menor ângulo entre 
os ponteiros de um relógio que marca 13 
horas e 24 minutos. 
 
Resolução: Primeiro, precisamos esta-
belecer uma relação entre tempo e ân-
gulo. Assim, se pensarmos que o pon-
teiro dos minutos leva 60 minutos para 
percorrer toda a circunferência e que a 
circunferência é dividida em 360º, en-
tão o ponteiro dos minutos move-se 6º 
em cada minuto. 
 
1 min ---------- 6º 
 
Da mesma forma estabelecemos a re-
lação para o ponteiro das horas. 
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Fundamentos da Matemática II 18 
 
1 hora ---------- 30º 
60 min ---------- 30º 
 
Assim, em 24 minutos o ponteiro dos 
minutos percorre um ângulo de: 
 
tempo ângulo 
1 min 6º 
24 min x 
 
º144
º6
24
1
º6
min24
min1
=
=
=
x
x
x
 
 
E em 24 minutos o ponteiro das horas 
percorre um ângulo de: 
 
tempo ângulo 
60 min 30º 
24 min y 
 
º12
60
º720
º72060
º30
24
60
º30
min24
min60
=
=
=
=
=
y
y
y
y
y
 
 
Mas devemos nos lembrar que o pon-
teiro das horas partiu do ponto 1, en-
tão: 
 
Portanto, o ângulo a é dado fazendo: 
 
 
º102º42º144 =-=a 
 
Logo, o menor ângulo entre os ponteiros de 
um relógio às 13h24min é de 102º. 
 
6.4. Comprimento de um Arco 
 
 
 Para determinar o comprimento de um 
arco, podemos estabelecer uma regra de 
três.comprimento ângulo 
2pR 360º 
x a 
 
Se o ângulo estiver em radianos: 
 
comprimento ângulo 
2pR 2p rad 
x a 
 
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Fundamentos da Matemática II 19 
Exemplo 16: Numa circunferência de raio 6 
cm qual é o comprimento de um arco de 
72º? 
 
Resolução: O comprimento desta cir-
cunferência é dado por: 
 
comprimento ângulo 
2p.6 360º 
x 72º 
 
5
12
125
512
72
36012
º72
º36012
p
p
p
p
p
=
=
=
=
=
x
x
x
x
x
 
54,7
5
14,312
@
×
=
x
x 
 
Portanto, o comprimento do arco é de 7,54 
cm. 
 
Exemplo 17: As rodas de uma bicicleta têm 
60 cm de diâmetro. 
 
a) Qual o comprimento da circunferência 
dessa roda? 
 
b) Quantas voltas dará cada roda num per-
curso de 100 m? 
 
Resolução: A medida do raio é igual à 
metade do diâmetro, assim: 
 
a) o comprimento é dado por: 
 
mC
cmC
C
RC
884,1
4,188
3014,32
2
=
=
××=
×= p
 
 
b) o número de voltas é determinado 
pela razão entre o percurso e o com-
primento de cada roda, então: 
 
08,53
884,1
100
@=voltasn 
 
Ou seja, 53 voltas completas. 
 
Exemplo 18: Numa circunferência de 32 cm 
de diâmetro, marca-se um arco de 8 cm de 
comprimento. Qual a medida desse arco em 
radianos? 
 
Resolução: Estabelecendo uma relação 
entre o comprimento e os ângulos têm-
se: 
 
comprimento ângulo 
2p.16 2p rad 
8 a 
radrad
rad
rad
rad
rad
5,0
2
1
4
2
24
24
2
8
32
==
=
=×
=
=
a
p
pa
pap
a
pp
a
pp
 
 
Têm-se um arco de 0,5 rad. 
 
 
6.5. Ciclo Trigonométrico 
 
 
O ciclo trigonométrico (ou circunferên-
cia trigonométrica) é determinado por uma 
circunferência de raio unitário (R=1) fixada 
em um sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais, com centro na origem do sistema 
cartesiano. 
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Fundamentos da Matemática II 20 
 
 
 No ciclo trigonométrico podemos ob-
servar as seguintes propriedades: 
 
ü Centro na origem dos eixos cartesia-
nos; 
ü Raio unitário; 
ü Origem dos arcos no ponto A(1,0) que 
corresponde ao ângulo de 0º; 
ü Sentido anti-horário positivo (+) e ho-
rário negativo (-), a partir do ponto A; 
ü Divide-se em quatro quadrantes. 
 
 
Observação: Como a circunferência trigo-
nométrica tem raio unitário (R=1). A medida 
de qualquer arco, em radianos é numerica-
mente igual ao comprimento desse arco. 
Portanto, percorrer um arco de x rad no ciclo 
trigonométrico é fazer um percurso de com-
primento x. Assim, ao invés de escrevermos 
rad
12
5p , escrevemos, apenas 
12
5p e chama-
mos de imagem de x no ciclo. 
 
 
Exemplo 19: Marcar no ciclo a imagem do 
número x em cada caso. 
 
a) x = 
2
p 
 
 
b) x = 
3
2p 
 
 
c) x = 1 
 
d) x = 
3
p
- 
 
 
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Fundamentos da Matemática II 21 
Exemplo 20: Divida o ciclo em 6 partes i-
guais, a partir da origem, e indique o número 
x, p20 ££ x , associado a cada ponto divi-
sor. 
 
Resolução: Como a circunferência tem 
comprimento igual a 2p, então cada 
parte equivale a 
6
1 de 2p. Assim, cada 
parte tem comprimento igual a 
3
p . 
 
 
Pode-se também, associar esta divisão 
em função dos ângulos. 
 
 
 
 
 
6.5.1. Arcos Côngruos 
 
 Vamos representar os arcos de ex-
tremidades em 30º, 390º, 750º e 1110º no 
mesmo ciclo trigonométrico. 
 
 
 Percebemos que as extremidades 
destes arcos encontram-se na mesma posi-
ção, porém em voltas diferentes. Os arcos 
que têm a mesma extremidade e diferem 
apenas pelo número de voltas inteiras são 
chamados de arcos côngruos. 
 
30º = 30º + 0º = 30º + 0 . 360º 
390º = 30º + 360º = 30º + 1 . 360º 
750º = 30º + 720º = 30º + 2 . 360º 
1110º = 30º + 1080º = 30º + 3 . 360º 
 
x = ............ = a + k . 360º 
 
Assim, podemos representar todos os arcos 
côngruos à 30º pela expressão: 
 
Zkkx Î+= ,º360º30 
 
De maneira geral: 
 
ü Se o arco estiver em graus: 
Zkkx Î+= ,º360a 
 
ü Se o arco estiver em radianos: 
Zkkx Î+= ,2 pa 
 
Observação: Chama-se primeira determina-
ção positiva de um arco se o mesmo encon-
trar-se no intervalo de 0º a 360º, ou, 0 a 2p. 
 
 
Exemplo 21: Um móvel, partindo do ponto 
A, percorreu um arco de 2396º no ciclo tri-
gonométrico. Quantas voltas completas fo-
ram dadas e em que quadrante parou? 
 
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Fundamentos da Matemática II 22 
Resolução: Fazendo, 
 
 
Tem-se que: 
 
ü Foram completadas 6 voltas; 
 
ü Como o arco de 2396º é côngruo 
ao arco de 236º na primeira determi-
nação, podemos verificar que sua ex-
tremidade encontra-se no 3º quadran-
te. 
 
 
 Exemplo 22: Calcule a 1ª determinação 
positiva e escreva a expressão geral dos 
arcos côngruos ao arco de 1845º. 
 
Resolução: Fazendo, 
 
 
Tem-se que: 
 
ü A primeira determinação positiva 
é 45º; 
 
 
ü A expressão geral é dada por: 
 
Zkkx Î+= ,º360º45 
 
7. Funções Circulares 
 
 As funções circulares constituem o 
objeto fundamental da trigonometria circular 
e são importantes devido à sua periodicida-
de, pois elas podem representar fenômenos 
naturais periódicos, como as variações da 
temperatura terrestre, o comportamento on-
dulatório do som, a pressão sanguínea no 
coração, os níveis de água dos oceanos, etc. 
 
7.1. Função Seno 
 
 Denominamos função seno à função 
que a cada número real x faz corresponder o 
número y = sen x. 
 
Interpretação Geométrica 
 
O seno de um arco x é obtido fazendo 
a projeção da extremidade do arco no eixo 
vertical, denominado eixo dos senos. 
 
Domínio e Imagem 
 
 O domínio da função seno é o conjun-
to de todos os números reais, R. Podemos 
perceber através do ciclo trigonométrico que 
o menor valor possível para o seno é – 1 e o 
maior valor possível é 1. Assim, podemos 
dizer que o conjunto imagem da função seno 
é o intervalo de – 1 a 1. Vejamos: 
 
 
[ ]1;1Im -=
= RD
 
 
Estudo do Sinal 
 
 
 
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Fundamentos da Matemática II 23 
Valores Notáveis 
 
 
Gráfico 
 
 
 
 A função seno é uma função periódica 
de período p = 2p. O período é o compri-
mento do intervalo no qual a função passa 
por um ciclo completo de variação. 
 
 
 Dada a função ( )mxseny = , o perío-
do da função seno pode ser determinado 
fazendo: 
m
p p2=
 
 
7.2. Função Cosseno 
 
 Denominamos função cosseno à fun-
ção que a cada número real x faz corres-
ponder o número y = cos x. 
 
Interpretação GeométricaO cosseno de um arco x é obtido fa-
zendo a projeção da extremidade do arco no 
eixo horizontal, denominado eixo dos cosse-
nos. 
 
Domínio e Imagem 
 
 O domínio da função cosseno é o 
conjunto de todos os números reais, R. Po-
demos perceber através do ciclo trigonomé-
trico que o menor valor possível para o cos-
seno é – 1 e o maior valor possível é 1. As-
sim, podemos dizer que o conjunto imagem 
da função cosseno é o intervalo de – 1 a 1. 
Vejamos: 
 
[ ]1;1Im -=
= RD
 
 
 
Estudo do Sinal 
 
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Fundamentos da Matemática II 24 
Valores Notáveis 
 
Gráfico 
 
 
 A função cosseno também é uma fun-
ção periódica de período p = 2p. 
 
 Dada a função ( )mxy cos= , o perío-
do da função cosseno pode ser determinado 
fazendo: 
m
p p2=
 
Relação Fundamental I 
 
 Esta relação é válida para qualquer 
que seja x Î R. 
 
1cos 22 =+ xxsen 
 
Exemplo 23: Determine o valor de xsen , 
sabendo-se que 
2
1cos =x e pp 2
2
3
<< x . 
 
Resolução: Utilizando a relação funda-
mental I temos: 
 
2
3
4
3
4
3
4
11
1
4
1
1
2
1
1cos
2
2
2
2
2
22
±=±=
=
-=
=+
=÷
ø
ö
ç
è
æ+
=+
senx
xsen
xsen
xsen
xsen
xxsen
 
 
Como a extremidade do arco x está no 
quarto quadrante, pp 2
2
3
<< x , então: 
 
2
3
-=xsen 
 
 
Exemplo 24: Calcule o valor da expressão 
º570º240cos
º150cosº120
sen
seny
+
-
= . 
 
Resolução: Calculando separadamente 
cada valor temos: 
 
2
3º60º120 == sensen 
 
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Fundamentos da Matemática II 25 
2
3º30cosº150cos -=-= 
 
2
1º60cosº240cos -=-= 
 
2
1º30º210º570 -=-== sensensen 
 
Assim, 
 
3
1
3
2
2
2
32
2
1
2
1
2
3
2
3
2
1
2
1
2
3
2
3
-=
-
=
-
×
=
--
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ-+-
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
--
=y
 
 
 
Exemplo 25: Determine o valor da expres-
são 
xsenx
xxsen
A
4
3
cos
2cos
2
-
-
= , sabendo-se que 
2
p
=x . 
 
Resolução: Em primeiro momento, va-
mos substituir a incógnita x por seu va-
lor, assim a expressão fica: 
 
 
( )
( )pp
pp
p
p
p
p
2
6
cos
cos
4
2
4
3
2cos
2
2cos
2
2
sen
sen
sen
sen
A
-÷
ø
ö
ç
è
æ
-÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ ×-
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ ×-
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
= 
 
Em um segundo momento, vamos cal-
cular separadamente o valor de cada 
termo: 
 
2
2
4
=
psen 
1cos -=p 
 
2
3
6
cos =p 
 
02 =psen 
 
Então: 
 
( )
3
326
3
3
3
22
3
22
3
2
2
22
2
3
2
22
2
3
1
2
2
0
2
3
1
2
2
+
=×
+
=
+
=
×
+
=
+
=
+
=
-
--
=
A
A
 
Assim, 
3
326 +
=A 
 
7.3. Função Tangente 
 
 Denominamos função tangente à fun-
ção que a cada número real x faz corres-
ponder o número y = tg x. 
Interpretação Geométrica 
 
 
 
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Fundamentos da Matemática II 26 
A tangente de um arco x é obtida fa-
zendo o prolongamento do raio da extremi-
dade do arco no eixo vertical paralelo ao ei-
xo dos senos que tangencia o ciclo trigono-
métrico no ponto x = 0, denominado eixo das 
tangentes. 
 
Domínio e Imagem 
 
 O domínio da função tangente pode 
ser observado no gráfico a seguir: 
 
 
 Nos pontos 90º e 270º, as retas geradas 
pelo prolongamento dos raios geram uma 
reta paralela ao eixo das tangentes, assim, 
não existirá tangente para os valores de 90º, 
270º e todos os arcos côngruos a estes. 
 
þ
ý
ü
î
í
ì Î+¹Î= ZkkxRxD ,
2
/ pp 
 
 A imagem da tangente não está mais 
restrita aos valores – 1 e 1, na verdade po-
demos obter qualquer valor para a tangente, 
assim: 
R=Im 
 
Estudo do Sinal 
 
 
 
 
 
 
Valores Notáveis 
 
Gráfico 
 
 
 A função tangente também é uma 
função periódica de período p = p. 
 
 
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Fundamentos da Matemática II 27 
 Dada a função ( )mxtgy = , o período 
da função tangente pode ser determinado 
fazendo: 
m
p p=
 
 
Relação Fundamental II 
 
 Esta relação é válida para qualquer 
que seja x Î R / x ¹ 90º + kp, k Î Z. 
 
x
xsenxtg
cos
=
 
 
Exemplo 26: Determine o valor da expres-
são 
3
4º9303
4
3º780cos
p
p
sentg
tg
E
××
+
= . 
 
Resolução: Calculando os valores para 
cada termo, temos: 
 
2
1º60cosº780cos == 
 
1
44
3
-=-=
pp tgtg 
 
3
3º30º210º930 === tgtgtg 
 
2
3
33
4
-=-=
pp sensen 
 
Assim, 
 
 
( )
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-××
-+
=
××
+
=
2
3
3
33
1
2
1
3
4º9303
4
3º780cos
p
p
sentg
tg
E 
3
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
33
1
2
1
==
-
-
=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-×
-
=E 
 
Exemplo 27: Dado o valor de 
5
3
-=xsen , 
com 
2
3pp << x , determine o valor da xtg . 
 
Resolução: Para determinar a xtg utili-
zaremos a relação fundamental II. Mas 
para que possamos utilizá-la é neces-
sário conhecermos o valor do xcos , as-
sim utilizaremos primeiro a relação 
fundamental I. Vejamos: 
 
1cos
25
9
1cos
5
3
1cos
2
2
2
22
=+
=+÷
ø
ö
ç
è
æ-
=+
x
x
xxsen
 
5
4
25
16cos
25
925cos
25
91cos
2
2
±=±=
-
=
-=
x
x
x
 
 
Como 
2
3pp << x , então: 
5
4cos -=x 
Assim, 
4
3
4
5
5
3
5
4
5
3
5
4
5
3
cos
=×==
-
-
==
x
xsenxtg 
 
Exemplo 28: Dado que axxsen =+ cos , cal-
cule o valor de xxseny cos×= em função de 
a. 
 
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Fundamentos da Matemática II 28 
Resolução: Para resolvermos este proble-
ma utilizaremos de um artifício matemático. 
 
( )
2
1cos
1cos2
cos21
cos2cos
coscos2
cos
cos
2
2
2
222
222
22
-
=×
-=×
=×+
=×++
=+×+
=+
=+
axxsen
axxsen
axxsen
axxsenxxsen
axxxsenxsen
axxsen
axxsen
 
Assim, 
2
12 -
=
ay 
 
 
7.4. Função Cossecante 
 
 Denominamos função cossecante à 
função que a cada número real x faz corres-
ponder o número y = cossec x. 
 
 
Interpretação Geométrica 
 
 
 
 
A cossecante de um arco x é obtida 
através da distância da origem do eixo verti-
cal até a intersecção da reta que tangencia o 
ponto que representaa extremidade do arco 
x. Assim, o eixo vertical passa a ser chama-
do, também, de eixo das cossecantes. 
 
Domínio e Imagem 
 
 O domínio da função cossecante pode 
ser observado no gráfico a seguir: 
 
 
 
 Nos pontos 0º e 180º, as retas tangentes 
aos arcos são paralelas ao eixo das cosse-
cantes, assim, não existirá intersecção, logo 
não será possível calcular a cossecante para 
os valores de 0º, 180º e todos os arcos côn-
gruos a estes. 
 
{ }ZkkxRxD ιÎ= ,/ p 
 
 A imagem da cossecante serão todos 
os valores fora do ciclo trigonométrico, ou 
seja, maiores ou igual a 1 e menores ou i-
gual a – 1, assim: 
 
 
 
] [1;1Im --= R 
 
 
 
 
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Fundamentos da Matemática II 29 
Estudo do Sinal 
 
 
Gráfico 
 
 
 
 A função cossecante também é uma 
função periódica de período p = 2p. 
 
 
 Dada a função ( )mxy seccos= , o pe-
ríodo da função cossecante pode ser deter-
minado fazendo: 
m
p p2=
 
 
 
7.5. Função Secante 
 
 Denominamos função secante à fun-
ção que a cada número real x faz corres-
ponder o número y = sec x. 
 
Interpretação Geométrica 
 
 
 
A secante de um arco x é obtida atra-
vés da distância da origem do eixo horizontal 
até a intersecção da reta que tangencia o 
ponto que representa a extremidade do arco 
x. Assim, o eixo vertical passa a ser chama-
do, também, de eixo das secantes. 
 
Domínio e Imagem 
 
 O domínio da função cossecante pode 
ser observado no gráfico a seguir: 
 
 Nos pontos 90º e 270º, as retas tangentes 
aos arcos são paralelas ao eixo das cosse-
cantes, assim, não existirá intersecção, logo 
não será possível calcular a cossecante para 
os valores de 90º, 270º e todos os arcos 
côngruos a estes. 
 
þ
ý
ü
î
í
ì Î+¹Î= ZkkxRxD ,
2
/ pp 
 
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Fundamentos da Matemática II 30 
 A imagem da secante serão todos os 
valores fora do ciclo trigonométrico, ou seja, 
maiores ou igual a 1 e menores ou igual a -1, 
assim: 
 
] [1;1Im --= R 
Estudo do Sinal 
 
Gráfico 
 
 
 
 A função secante também é uma fun-
ção periódica de período p = 2p. 
 
 Dada a função ( )mxy sec= , o período 
da função secante pode ser determinado 
fazendo: 
m
p p2=
 
 
7.6. Função Cotangente 
 
 Denominamos função cotangente à 
função que a cada número real x faz corres-
ponder o número y = cotg x. 
 
Interpretação Geométrica 
 
A cotangente de um arco x é obtida 
fazendo o prolongamento do raio da extre-
midade do arco no eixo horizontal paralelo 
ao eixo dos cossenos que tangencia o ciclo 
trigonométrico no ponto x = 
2
p , denominado 
eixo das cotangentes. 
 
Domínio e Imagem 
 
 O domínio da função cotangente pode 
ser observado no gráfico a seguir: 
 
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Fundamentos da Matemática II 31 
 Nos pontos 0º e 180º, as retas gera-
das pelo prolongamento dos raios geram 
uma reta paralela ao eixo das cotangentes, 
assim, não existirá cotangente para os valo-
res de 0º, 180º e todos os arcos côngruos a 
estes. 
{ }ZkkxRxD ιÎ= ,/ p 
 
 A imagem da cotangente serão todos 
os valores, incluindo dentro do ciclo trigono-
métrico, ou seja, todos os números reais, 
assim: 
R=Im 
Estudo do Sinal 
 
Gráfico 
 
 
 
 A função cotangente também é uma 
função periódica de período p = p. 
 
 Dada a função ( )mxy cotg= , o perío-
do da função cotangente pode ser determi-
nado fazendo: 
m
p p=
 
 
Relações entre as Funções Circulares 
 
ü xsen
x 1seccos = 
 
 
ü x
x
cos
1sec = 
 
 
ü xsen
x
xtg
x cos1cotg == 
 
Outras Relações 
 
 
ü xxtg 22 sec1 =+ 
 
 
ü xx 22 seccos1cotg =+ 
 
Exemplo 29: Calcule, se existir, o valor nu-
mérico para: 
 
a) 
6
cossec p b) 
6
5sec p 
 
c) º480cotg d) ÷
ø
ö
ç
è
æ-
4
cossec p 
 
Resolução: Para calcularmos os valores 
das funções cossecante, secante e co-
tangente, vamos utilizar das relações 
entre as funções e representa-las em 
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Fundamentos da Matemática II 32 
função de seno, cosseno e tangente. 
Assim: 
 
2
1
21
2
1
1
6
1
6
cosseca) =×===
p
p
sen
 
 
 
3
32
3
3
3
2
3
2
2
3
1
6
cos
1
6
5cos
1
6
5sec)
-=×-=
-=
-
=
-
==
pp
pb
 
 
3
3
3
3
3
1
3
1
º60
1
º120
1
º480
1º480cotg c)
-=×-=
-
=
-
===
tgtgtg
 
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
1
4
1
4
1
4
cossecd)
-=-=×-=-=
-=
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ-
=÷
ø
ö
ç
è
æ-
pp
p
sensen
 
Exemplo 30: Dada 
4
3
-=xtg e pp << x
2
, 
determine o valor das outras funções circula-
res. 
 
Resolução: Para obter o valor para as 
demais funções é necessário calcular o 
valor, primeiro, das funções seno e 
cosseno. Assim, utilizando a relação 
fundamental II, tem-se: 
 
4
cos3
cos34
4
3
cos
4
3
xxsen
xxsen
x
xsen
xtg
-=
-=
-=
-=
 
 
utilizando a relação fundamental I, ob-
temos: 
1cos
4
cos3
1cos
2
2
22
=+÷
ø
ö
ç
è
æ-
=+
xx
xxsen
 
5
4cos
25
16cos
25
16cos
16cos25
16cos16cos9
1cos
16
cos9
2
2
22
2
2
±=
±=
=
=
=+
=+
x
x
x
x
xx
xx
 
Como, pp << x
2
, então, 
5
4cos -=x . Lo-
go: 
5
3
5
4
4
3
cos
4
3
4
cos3
=÷
ø
ö
ç
è
æ -×-=
-=-= xxxsen
 
e 
3
5
5
3
11cossec ===
xsen
x ; 
4
5
5
4
1
cos
1sec -=
-
==
x
x ; 
3
4
4
3
11cotg -=
-
==
xtg
x . 
Portanto, 
5
3
=xsen , 
5
4cos -=x , 
4
3
-=xtg , 
3
5cossec =x , 
4
5sec -=x e 
3
4cot -=xg . 
 
 
Exemplo 31: Simplifique a expressão dada 
por ( )
aa
aatgy 22
2
cossecsec
cotg
×
+
= . 
 
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Fundamentos da Matemática II 33 
Resolução: Aplicando produtos notáveis 
no numerador, o quadro do primeiro 
mais duas vezes o primeiro pelo se-
gundo mais o quadrado do segundo, 
temos: 
( )
aa
aaatgatg
aa
aatgy
22
22
22
2
cossecsec
cotgcotg2
cossecsec
cotg
×
+××+
=
×
+
=
 
 
Utilizando as relações decorrentes, te-
mos: 
 
aa
aaatgay 22
22
cossecsec
1cosseccotg21sec
×
-+××+-
= 
 
Representando a cotg a em função da 
tangente, tem-se: 
 
aaen
aa
y
aa
a
aa
ay
aa
aay
aa
aay
aa
aay
aa
a
a
atga
y
22
22
22
2
22
2
2222
22
22
22
22
22
22
cos
1
1
s
1
1
sec
1
cossec
1
cossecsec
cossec
cossecsec
sec
cossecsec
cossecsec
cossecsec
2cossec2sec
cossecsec
2cossec12sec
cossecsec
1cossec
tg
121sec
+=+=
×
+
×
=
×
+
=
×
-++
=
×
-+×+
=
×
-+××+-
=
 
Multiplicando pelo inverso, temos: 
 
1coss 22 =+= aaeny 
 
 
Exemplo 32: Construa o gráfico das fun-
ções: 
 
a) xseny 2= b) ( ) xsenxf 2= 
 
c) 1cos += xy d) ( )
2
cos xxf = 
 
Resolução: Para construir o gráfico de 
cada função, primeiro, vamos determi-
nar o período e a imagem, e em segui-
da construir uma tabela para determi-
nados valores. Vejamos: 
 
a) xseny 2= 
Período: ppp 2
1
22
===
m
p 
 
Imagem: [ ]2;2Im -= 
 
Tabela: 
 
x xseny 2= y 
0 00202 =×== seny 0 
2
p 212
2
2 =×== pseny 2 
p 0022 =×== pseny 0 
2
3p ( ) 212
2
32 -=-×== pseny - 2 
p2 00222 =×== pseny 0 
 
Construindo o gráfico: 
 
 
 
 
 
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Fundamentos da Matemática II 34 
b) ( ) xsenxf 2= 
 
Período: ppp ===
2
22
m
p 
 
Imagem: [ ]1;1Im -= 
Tabela: 
 
x ( ) xsenxf 2= y 
0 ( ) ( ) 00020 ==×= sensenf 0 
4
p 1
24
2
4
==÷
ø
ö
ç
è
æ ×=÷
ø
ö
ç
è
æ ppp sensenf 1 
2
p 0
2
2
2
==÷
ø
ö
ç
è
æ ×=÷
ø
ö
ç
è
æ ppp sensenf 0 
4
3p 1
2
3
4
32
4
3
-==÷
ø
ö
ç
è
æ ×=÷
ø
ö
ç
è
æ ppp sensenf - 1 
p ( ) ( ) 02 == pp senf 0 
 
Construindo o gráfico: 
 
Comparando as funções anteriores com a 
função seno, temos: 
 
c) ( ) 1cos += xxf 
 
Período: ppp 2
1
22
===
m
p 
 
Imagem: [ ]2;0Im = 
 
Tabela: 
 
x 1cos += xy y 
0 21110cos =+=+=y 2 
2
p 1101
2
cos =+=+= py 1 
p 0111cos =+-=+= py 0 
2
3p 1101
2
3cos =+=+= py 1 
p2 21112cos =+=+= py 2 
 
Construindo o gráfico: 
 
 
 
d) 
2
cos xy = 
 
Período: ppppp 4
1
22
2
1
2
2
1
22
=×====
m
p 
 
Imagem: [ ]1;1Im -= 
 
 
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Fundamentos da Matemática II 35 
Tabela: 
 
x ( )
2
cos xxf = y 
0 ( ) 10cos
2
0cos0 ===f 1 
p ( ) 0
2
cos == ppf 0 
p2 ( ) 1cos
2
2cos2 -=== pppf -1 
p3 ( ) 0
2
3cos3 == ppf 0 
p4 ( ) 12cos
2
4cos === pppf 1 
 
Construindo o gráfico: 
 
 
 
Comparando as funções anteriores com a 
função cosseno, temos: 
 
 
 
 
 
 
8. Equações Trigonométricas 
 
 Uma equação trigonométrica é uma 
equação que envolve as funções trigonomé-
tricas. 
 
8.1. Equação do tipo sen x = sen a. 
 
Dado um número real z vamos determinar os 
valores de x que satisfazem à equação 
asenxsen = . Observando que a condição 
para que exista solução é 11 ££- z . Veja-
mos: 
 
Exemplo 33: Determine o conjunto solução 
da equação 
2
2
=xsen , U = R. 
 
Fazendo: 
pppp
pp
kxkx
senxsensenxsen
xsen
2
4
32
4
4
3
4
2
2
+=+=
==
=
 
 
 
 
Como o domínio da função são todos os 
números reais, devemos considerar todos os 
arcos côngruos a 
4
p e 
4
3p . Assim: 
 
 
þ
ý
ü
î
í
ì Î+=+=Î= ZkkxoukxRxS ,2
4
32
4
/ pppp
 
 
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Fundamentos da Matemática II 36 
Exemplo 34: Determine o conjunto solução 
da equação 
2
3
-=xsen , [ ]p2;0 . 
 
Fazendo: 
3
5
3
4
3
5
3
4
2
3
pp
pp
==
==
-=
xx
senxsensenxsen
xsen
 
 
 
Como o domínio da função é o intervalo 
[ ]p2;0 , devemos considerar apenas os arcos 
na primeira determinação, 
3
4p e 
3
5p . Assim: 
þ
ý
ü
î
í
ì=
3
5;
3
4 ppS 
 
8.2. Equação do tipo cos x = cos a. 
 
Dado um número real z vamos determinar os 
valores de x que satisfazem à equação 
ax coscos = . Observando que a condição 
para que exista solução é 11 ££- z . Veja-
mos: 
 
Exemplo 35: Determine o conjunto solução 
da equação 
2
3cos =x . 
 
Fazendo: 
pppp
pp
kxkx
xx
x
2
6
112
6
6
11coscos
6
coscos
2
3cos
+=+=
==
=
 
 
Por definição, quando não for indicado o 
conjunto domínio da função devemos consi-
derar que o domínio da função é , assim, 
devemos considerar todos os arcos côn-
gruos a 
6
p e 
6
11p . Assim: 
 
þ
ý
ü
î
í
ì Î+=+=Î= ZkkxoukxRxS ,2
6
112
6
/ pppp
 
Obs.: O conjunto solução desta equação 
pode ser representado, também por: 
 
þ
ý
ü
î
í
ì Î+±=Î= ZkkxRxS ,2
6
/ pp 
 
8.3. Equação do tipo tg x = tg a. 
 
Dado um número real z vamos determinar os 
valores de x que satisfazem à equação 
atgxtg = . Vejamos: 
 
Exemplo 36: Determine o conjunto solução 
da equação 1-=xtg . 
 
Fazendo: 
pppp
pp
kxkx
tgxtgtgxtg
xtg
2
4
72
4
3
4
7
4
3
1
+=+=
==
-=
 
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Fundamentos da Matemática II 37 
 
 
Por definição, quando não for indicado o 
conjunto domínio da função devemos consi-
derar que o domínio da função é , assim, 
devemos considerar todos os arcos côn-
gruos a 
4
3p e 
4
7p . Assim: 
 
þ
ý
ü
î
í
ì Î+=+=Î= ZkkxoukxRxS ,2
4
72
4
3/ pppp
 
Obs.: O conjunto solução desta equação 
pode ser representado, também por: 
 
þ
ý
ü
î
í
ì Î+=Î= ZkkxRxS ,
4
3/ pp 
 
8.4. Equações trigonométricas que 
envolvem artifícios. 
 
Exemplo 37: Resolver a equação 
012 =+× xsen , no intervalo p20 << x . 
 
O primeiro passo é tentar encontrar uma e-
quação na forma básica. Assim, isolando a 
função sen x, temos: 
 
2
1
12
012
-=
-=×
=+×
xsen
xsen
xsen
 
Então: 
4
11
6
7
6
11
6
7
2
1
pp
pp
==
==
-=
xx
senxsensenxsen
xsen
 
Logo, 
þ
ý
ü
î
í
ì=
6
11;
6
7 ppS . 
 
Exemplo 38: Resolver a equação 
01coscos2 2 =-+ xx , [ ]p2;0 . 
 
Para resolver esta equação vamos utilizar do 
princípio da mudança de variável. Assim, 
chamando, yx =cos , temos: 
 
012
01coscos2
2
2
=-+
=-+
yy
xx
 
 
Fazendo a mudança de variável, recaímos 
em uma equação do 2º grau, então: 
 
( )
1
4
31
2
1
4
31
4
31
22
91
9811241
2
1
2
-=
--
=
=
+-
=
=
±-
=
×
±-
=
=+=-××-=D
y
y
y
 
 
Como, 
3
5
3
3
5coscos
3
coscoscoscos
2
1cos1cos
cos
pp
pp
p
p
==
==
=
=
=-=
=
xx
xx
x
x
xx
yx
 
Portanto, 
þ
ý
ü
î
í
ì=
3
5;;
3
pppS . 
 
Exemplo 39: Resolver a equação 
03 =- xtgxtg , no intervalo [ ]p;0 . 
 
Para a solução desta equação vamos utilizar 
o processo de fatoração, colocando em evi-
dência a tangente do arco x. Vejamos: 
 
( ) 01
0
23
=-
=-
xtgxtg
xtgxtg
 
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Fundamentos da Matemática II 38 
Assim, 
11
1
010
2
2
±=±=
=
=-=
xtg
xtg
xtgxtg
 
 
Logo, 
p
p
==
==
=
xx
tgxtgtgxtg
xtg
0
0
0
 
 
4
7
4
3
4
7
4
3
1
pp
pp
==
==
-=
xx
tgxtgtgxtg
xtg
 
 
4
5
4
4
5
4
1
pp
pp
==
==
=
xx
tgxtgtgxtg
xtg
 
 
Portanto, 
þ
ý
ü
î
í
ì= ppp ;
4
3;
4
;0S . 
 
Exemplo 40: Resolver a equação: 
 
01coscos =+++× xxsenxxsen 
 
no intervalo p20 ££ x . 
 
Colocando em evidência por agrupamento, 
temos: 
 
( )
( ) ( ) 011cos
01cos1cos
01coscos
=+++
=+++×
=+++×
xsenx
xxxsen
xxsenxxsen
 
 
Então: 
pcoscos
1cos
01cos
=
-=
=+
x
x
x
 
 
2
3
1
01
psenxsen
xsen
xsen
=
-=
=+
 
 
Assim, 
þ
ý
ü
î
í
ì=
2
3; ppS . 
 
Exemplo 41: Resolver a equação 
04cos21 =+ x . 
 
Isolando cosseno do arco x, temos: 
 
216
5
216
3
4
2
16
5
4
2
16
3
2
4
542
4
34
4
5cos4cos
4
3cos4cos
2
24cos
2
14cos
14cos2
04cos21
pppp
pppp
pppp
pp
kxkx
kxkx
kxkx
xx
x
x
x
x
+=+=
+=+=
+=+=
==
-=
-=
-=
=+
 
 
Assim, 
 
þ
ý
ü
î
í
ì Î+=+=Î= ZkkxoukxRxS ,
216
5
216
3/ pppp 
 
 
9. Trigonometria em um Tri-
ângulo Qualquer. 
 
9.1. Lei dos Senos 
 
Para qualquer triângulo ABC, sendo R o raio 
da circunferência circunscrita, vale a relação: 
R
sen
c
sen
b
sen
a 2
CˆBˆAˆ
=== 
 
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Fundamentos da Matemática II 39 
 
 
 
9.2. Lei dos Cossenos. 
 
Para todo triângulo ABC, valem as relações: 
 
 
Cˆcos2
Bˆcos2
Aˆcos2
222
222
222
×-+=
×-+=
×-+=
abbac
accab
bccba
 
 
 
Exemplo 42: (ESPM) A figura abaixo repre-
senta uma praça de forma triangular, sendo 
que o ângulo  é reto. Duas pessoas percor-
rem o contorno da praça a partir do ponto A, 
mas em sentidos contrários, até se encontra-
rem num ponto P do lado BC. Sabendo-se 
que elas percorreram distâncias iguais, po-
demos concluir que a distância do ponto P 
ao ponto A, em linha reta é de, aproximada-
mente? (adote 25,25 @ ). 
 
 
Resolução: Observando o triângulo abaixo: 
 
 
No triângulo ABC, temos: 
50
4030 222
222
=
+=
+=
BC
BC
ACABBC
 
 
Então: 
5
3
50
30ˆcos ===
BC
ABB . 
 
Como: 
( )
30
504030
=
-+=+
+=+
BP
BPBP
CPACBPAB
 
 
No triângulo ABP, temos: 
27
25,212
512
5
3303023030
ˆcos2
222
222
=
×=
=
×××-+=
×××-+=
AP
AP
AP
AP
BBPABBPABAP
 
 
A distância do ponto P ao ponto A, em linha 
reta é de, aproximadamente 27 m. 
 
 
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Fundamentos da Matemática II 40 
Exemplo 43: (Fuvest) A figura representa 
um trapézio ABCD de bases AB e CD , ins-
crito em uma circunferência cujo centro O 
está no interior do trapézio. Sabe-se que 
4=AB , 2=CD e 23=AC . 
 
Calcule o raio da circunferência na qual ele 
está inscrito. 
 
Resolução: Vejamos a figura: 
 
 
No triângulo ACF, temos: 
º451
3
3
=Þ=== aa
AF
CFtg 
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triân-
gulo retângulo CBF, temos: 
1013 222
222
=Þ+=
+=
CBCB
FBCFCB
 
 
Aplicando a lei dos senos no triângulo CAB, 
temos: 
5
2
10
2
1022
2
2102
2
2
102
º45
102
2
=
=
=
×=
=
=
=
R
R
R
R
R
sen
R
sen
CBR
a
 
Portanto, o raio da circunferência vale 5 . 
 
10. Transformações 
 
10.1. Adição e Subtração de Arcos. 
 
( )
( )
( )
( )
tgbtga
tgbtgabatg
tgbtga
tgbtgabatg
senbsenababa
senbsenababa
asenbbsenabasen
asenbbsenabasen
×+
-
=-
×-
+
=+
×+×=-
×-×=+
×-×=-
×+×=+
1
1
coscos)cos(
coscos)cos(
coscos
coscos
 
 
10.2. Arco Duplo. 
 
( )
( )
atg
tgaatg
asena
aa
asenaa
bsenaasen
2
2
2
22
1
22
21)2cos(
1cos2)2cos(
cos)2cos(
cos22
-
=
ï
î
ï
í
ì
-=
-=
Þ-=
×=
 
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Fundamentos da Matemática II 41 
10.3. Transformação em Produto. 
 
÷
ø
ö
ç
è
æ -
÷
ø
ö
ç
è
æ +-=-
÷
ø
ö
ç
è
æ -
÷
ø
ö
ç
è
æ +=+
÷
ø
ö
ç
è
æ +
÷
ø
ö
ç
è
æ -=-
÷
ø
ö
ç
è
æ -
÷
ø
ö
ç
è
æ +=+
2
cos
2
2coscos
2
cos
2
cos2coscos
2
cos
2
2
2
cos
2
2
qpqpsenqp
qpqpqp
qpqpsensenqsenp
qpqpsensenqsenp
 
 
Exemplo 44: (ITA) O conjunto solução de 
( ) ( ) 4cot11 22 =-×- xgxtg , 
2
pkx ¹ , Zk Î é: 
a) 
þ
ý
ü
î
í
ì Î+ Zkk ,
43
pp 
b) 
þ
ý
ü
î
í
ì Î+ Zkk ,
44
pp 
c) 
þ
ý
ü
î
í
ì Î+ Zkk ,
46
pp 
d) 
þ
ý
ü
î
í
ì Î+ Zkk ,
48
pp 
e) 
þ
ý
ü
î
í
ì Î+ Zkk ,
412
pp 
 
Resolução: Aplicando as relações trigono-
métricas, temos: 
 
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
tgxxtg
xtgxtg
xtg
xtg
xtg
xtg
xtg
xtgxtg
xtg
xtg
xgxtg
21
41
41
41
411
4111
4cot11
2
222
2
22
2
22
2
2
2
2
2
22
±=-
=-
=
-
=
-
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ -
×-
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-×-
=-×-
 
 
 
xtg
tgx
21
21
-
=± 
 
Sabendo que ( )
atg
tgaatg 21
22
-
= , então: 
 
48
24
2
4
32
4
2
4
32
4
2
1212
12
pp
pp
pppp
pp
kx
kx
kxkx
tgxtgtgxtg
xtgxtg
xtg
+=
+=
+=+=
==
-==
±=
 
 
Alternativa d. 
 
Exemplo 45: (IBMEC) Na figura ao lado, 
tem-se que: 
• os segmentos BD , CD , DE são congruen-
tes e cada um mede 4 cm; 
• o ângulo EDC ˆ mede o dobro da medida do 
ângulo CAB ˆ ; 
• o ponto C pertence à bissetriz do ângulo 
EDB ˆ . 
 
a) Calcule a medida do segmento CE . 
 
b) Calcule a medida do segmento AC . 
 
(Dica: se precisar utilize a seguinte fórmula 
asena 221)2cos( -= ) 
 
 
Resolução: Observando a figura e o enun-
ciado, temos: 
 
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Fundamentos da Matemática II 42 
 
 
No triângulo ADE, temos: 
 
º5,22
º180º904
=
=-++
a
aaa
 
 
a) Para calcular a medida do segmento CE 
vamos utilizar a lei dos cossenos. 
 
( )
224
2216
21632
2
2321616
º45cos44244
2cos2
2
2
2
222
222
-=
-=
-=
×-+=
×××-+=
×××-+=
CE
CE
CE
CE
CE
DEDCDEDCCE a
 
Portanto,a medida do segmento CE é 
224 - . 
 
b) A medida do segmento AC pode ser ob-
tida aplicando o teorema dos senos no 
triângulo ADC, temos: 
 
º5,22
22
º5,22
4
2
2
º5,22
4
º45
2
sen
AC
sen
AC
sensen
AC
sen
DC
sen
AC
=
=
=
=
aa
 
 
Para calcular o valor de AC precisamos co-
nhecer o sen 22,5º, então vamos utilizar a 
dica dada no problema. 
2
22º5,22
4
22º5,22
2
22º5,222
2
21º5,222
º45cos1º5,222
2cos12
212cos
2
2
2
2
2
2
-
=
-
=
-
=
-=
-=
-=
-=
sen
sen
sen
sen
sen
sen
sen
aa
aa
 
 
Portanto, 
( ) ( )
( ) ( )
( )
224
2
2224
24
2224
22
2224
2222
2224
2222
2224
22
22
22
24
22
24
2
22
22
º5,22
22
22
+=
+×
=
-
+×
=
-
+×
=
+×-
+×
=
+×-
+×
=
+
+
×
-
=
-
=
-
=
=
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
sen
AC
 
 
Portanto, a medida do segmento AC é 
224 + . 
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Fundamentos da Matemática II 43 
Exercícios Propostos 
 
01. Na figura, r // s // t. Calcule x e y. 
 
02. Nas figuras seguintes, calcule o valor de 
x e y. 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
03. (ESPM) Na figura abaixo, A’C’ é paralelo 
a AC e B’C’ é paralelo a BC. Se a área do 
triângulo ABC é igual a 4m2, a área do triân-
gulo A’B’C’ é: 
 
a) 30m2. 
b) 25m2. 
c) 20m2. 
d) 15m2. 
e) 10m2. 
 
 
 
 
04. (ESPM) Um mastro vertical é mantido 
nessa posição por 3 cabos esticados que 
partem da extremidade P e são fixados no 
chão nos pontos A, B e C, conforme a figura 
abaixo. Sendo x, y e z as distâncias respec-
tivas desses pontos ao pé do mastro, pode-
se afirmar que: 
 
a) 
2
yxz += b) 
2
xyz = 
 
c) xyz = d) yxz += 
 
e) 
2
2xyz = 
 
05. (ESPM) Os triângulos ABC e BCD da 
figura abaixo são retângulos. A área do tri-
ângulo BCE, em centímetros quadrados, é 
igual a: 
 
 
a) 12,5 b) 15 c) 20 d) 17,5 e) 10 
 
06. (ESPM) Na figura abaixo, a circunferên-
cia é tangente aos lados do losango, cujos 
vértices são os pontos médios dos lados do 
retângulo. A equação dessa circunferência é: 
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Fundamentos da Matemática II 44 
 
a) x2 + y2 – 40x – 30y + 481 = 0 
b) x2 + y2 – 20x – 15y + 281 = 0 
c) x2 + y2 – 40x – 30y + 281 = 0 
d) x2 + y2 + 40x + 30y – 481 = 0 
e) x2 + y2 + 20x + 15y + 281 = 0 
 
07. (ESPM) Na figura abaixo, a cruz é for-
mada por 5 quadrados iguais e está inscrita 
num círculo de área 10p cm2. A área dessa 
cruz é: 
 
a) 15cm2 b) 20cm2 c) 16cm2 
 
d) 25cm2 e) 18cm2 
 
08. (ESPM) Um triângulo retângulo ABC tem 
os catetos AB e BC medindo 5cm e 12cm, 
respectivamente. Considere uma circunfe-
rência com centro num ponto do lado AB, 
que passa pelo vértice B e que tangencia a 
hipotenusa AC. A medida do raio dessa cir-
cunferência é: 
 
a) 2,5cm b) 2,6cm c) 2,8cm 
d) 3,0cm e) 2,4cm 
 
09. (Fatec) O ponto A pertence à reta r, con-
tida no plano a. A reta s, perpendicular a a, 
o intercepta no ponto B. O ponto C pertence 
a s e dista 52 cm de B. Se a projeção orto-
gonal de AB em r mede 5 cm e o ponto B 
dista 6 cm de r, então a distância de A a C, 
em centímetros, é igual a: 
 
a) 59 b) 9 c) 7 d) 4 e) 53 
 
10. (Fuvest) O cubo ABCDEFGH possui a-
restas de comprimento a. O ponto M está na 
aresta AE e MEAM ×= 3 . A distância do 
ponto B à reta suporte do segmento CM . 
 
a) 
5
41a 
b) 
41
5a 
c) 
41
5 a 
d) 
41
415a 
e) 
5
5a 
 
11. (Fuvest) No filme A MARCHA DOS PIN-
GÜINS, há uma cena em que o Sol e a Lua 
aparecem simultaneamente no céu. Apesar 
de o diâmetro do Sol ser cerca de 400 vezes 
maior do que o diâmetro da Lua, nesta cena, 
os dois corpos parecem ter o mesmo tama-
nho. A explicação cientificamente aceitável 
para a aparente igualdade de tamanhos é: 
 
a) O Sol está cerca de 400 vezes mais dis-
tante da Terra do que a Lua, mas a luz do 
Sol é 400 vezes mais intensa do que a luz 
da Lua, o que o faz parecer mais próximo da 
Terra. 
b) A distância do Sol à Terra é cerca de 400 
vezes maior do que a da Terra à Lua, mas o 
volume do Sol é aproximadamente 400 ve-
zes maior do que o da Lua, o que faz ambos 
parecerem do mesmo tamanho. 
c) Trata-se de um recurso do diretor do filme, 
que produziu uma imagem impossível de ser 
vista na realidade, fora da tela do cinema. 
d) O efeito magnético perturba a observa-
ção, distorcendo as imagens, pois a filma-
gem foi realizada em região próxima ao Pó-
lo. 
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Fundamentos da Matemática II 45 
e) A distância da Terra ao Sol é cerca de 
400 vezes maior do que a da Terra à Lua, 
compensando o fato de o diâmetro do Sol 
ser aproximadamente 400 vezes maior do 
que o da Lua. 
 
12. (Fuvest) O cubo de vértices ABCDEFGH, 
indicado na figura, tem arestas de compri-
mento a. Sabendo-se que M é o ponto médio 
da aresta AE , então a distância do ponto M 
ao centro do quadrado ABCD é igual a: 
a) 
5
3a 
b) 
3
3a 
c) 
2
3a 
d) 3a 
e) 32a 
 
13. (Fuvest) Uma folha de papel ABCD de 
formato retangular é dobrada em torno do 
segmento EF , de maneira que o ponto A 
ocupe a posição G, como mostra a figura. Se 
AE = 3 e BG = 1, então a medida do seg-
mento AF é igual a: 
 
a) 
2
53 
b) 
8
57 
c) 
4
53 
d) 
5
53 
e) 
3
5 
 
14. (Fuvest) A figura representa um retângu-
lo ABCD, com AB = 5 e AD = 3. O ponto E 
está no segmento CD de maneira que CE = 
1, e F é o ponto de interseção da diagonal 
AC com o segmento BE . Então a área do 
triângulo BCF vale: 
 
a) 
5
6 b) 
4
5 c) 
3
4 d) 
5
7 e) 
2
3 
 
15. (FGV) No quadriculado ao lado, está re-
presentado o caminho percorrido por uma 
joaninha eletrônica, em que o menor qua-
drado tem lado cujo comprimento representa 
1m. A distância real entre o ponto de partida 
C da joaninha e o de chegada A é: 
 
a) m102 b) m52 c) m32 
 
d) m22 e) m2 
 
16. O valor de x na figura, sabendo que ABC 
é um triângulo eqüilátero e que AC = AD, 
vale: 
 
a) 96º 
b) 72º 
c) 64º 
d) 56º 
e) 48º 
 
17. Se AB = AC = CD, o valor do ângulo ex-
terno y é: 
 
a) 96º 
b) 72º 
c) 64º 
d) 56º 
e) 48º 
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Fundamentos da Matemática II 46 
18. Na figura, 'BB e 'CC são alturas do tri-
ângulo. Com bases nestas afirmações po-
demos dizer que o ângulo a vale: 
 
a) 100º 
b) 120º 
c) 130º 
d) 145º 
e) 150º 
 
 
 
19. Na figura, ABCDE é um pentágono regu-
lar. Desta forma, as medidas dos ângulos 
internos do triângulo ACD são: 
 
a) 29º e 122º 
b) 36º e 72º 
c) 52º e 76º 
d) 60º 
e) 48º e 66º 
 
 
20. Na figura, AB , 
BC , CD , e EFsão lados de um dodecágono 
regular. As bissetrizes dos ângulos em B e E 
interceptam-se em O. O valor do ângulo 
EOˆB é: 
 
a) 60º 
 
b) 75º 
 
c) 80º 
 
d) 90º 
 
e) 100º 
 
 
 21. (Vunesp-SP) Um pequeno avião deveria 
partir de uma cidade A rumo a uma cidade B 
ao norte, distante 60 km de A. Por um pro-
blema de orientação, o piloto seguiu errada-
mente rumo ao oeste. Ao perceber o erro, 
ele corrigiu a rota, fazendo um giro de 120º à 
direita em um ponto C, de modo que o seu 
trajeto, juntamente com o trajeto que deveria 
ter sido seguido, formou, aproximadamente, 
um triângulo retângulo ABC, como mostra a 
figura. 
 
 
Com base na figura, determine a distância 
em quilômetros que o avião voou partindo do 
ponto A até chegar em B. 
 
 22. A ranhura trapezoidal é utilizada na 
construção de guias para elementos de má-
quinas. A mais comum é a ranhura conheci-
da como rabo de andorinha, indicada na 
figura. 
 
 
Determine os valores de x e y. 
 23. Calcule o valor de x indicado em cada 
figura. 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
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Fundamentos da Matemática II 47 
c) 
 
 
d) 
 
 
 24. Determinar o valor de y na figura: 
 
 
25. (Unicamp) De uma praia, um topógrafo 
observa uma pequena escarpa sobre a qual 
foi colocada, na vertical, uma régua de 2m 
de comprimento. Usando seu teodolito, o 
topógrafo constatou que o ângulo formado 
entre a reta vertical que passa pelo teodolito 
e o segmento de reta que une o teodolito ao 
topo da régua é de 60°, enquanto o ângulo 
formado entre a mesma reta vertical e o 
segmento que une o teodolito à base da ré-
gua é de 75°. Sabendo que o teodolito está 
a uma altura de 1,6m do nível da base da 
escarpa, responda às questões abaixo. 
 
a) Qual a distância horizontal entre a reta 
vertical que passa pelo teodolito e a régua 
sobre a escarpa? 
b) Qual a altura da escarpa? 
 
26. (Fuvest) Na figura, ABC e CDE são tri-
ângulos retângulos, AB = 1, BC = 3 e BE = 
2DE. Logo, a medida de AE é: 
 
a) 
2
3 
b) 
2
5 
c) 
2
7 
d) 
2
11 
e) 
2
13 
 
 
27. (IBEMEC) No triângulo ABC da figura, 
retângulo em A, temos: AC = 3 e AB = tgα. 
 
Então, o perímetro do triângulo vale: 
 
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Fundamentos da Matemática II 48 
a) 43 + b) 432 + c) 333 + 
 
d) 322 + e) 422 + 
 
28. (Fuvest) Na figura ao lado, a reta s passa 
pelo ponto P e pelo centro da circunferência 
de raio R, interceptando-a no ponto Q, entre 
P e o centro. Além disso, a reta t passa por 
P, é tangente à circunferência e forma um 
ângulo α com a reta s. Se PQ = 2R, então 
cosα vale: 
 
 
a) 
6
2 b) 
3
2 c) 
2
2 d) 
3
22 e) 
5
23 
 
29. Converter em graus: 
 
a) rad
3
5p b) rad
8
3p c) rad
12
p d) rad
5
16p 
 
30. Converter em radianos: 
 
a) 75º b) 144º c) 22º30’ d) 1º 
 
31. Calcule o menor ângulo entre os pontei-
ros de um relógio que marca: 
 
a) 12h 40 min b) 14h 20 min 
c) 03h 15 min d) 03h 20 min 
e) 08h 20 min 
 
32. Calcule o comprimento: 
 
a) De uma circunferência de raio 12 cm. 
 
b) De um arco de 120º contido nesta circun-
ferência. 
 
33. Uma pista de atletismo tem a forma de 
um círculo e o raio é 72 m. Um atleta treina 
diariamente dando, por dia, 40 voltas na pis-
ta. Quantos quilômetros, aproximadamente, 
ele percorre cada vez que treina? 
 
34. Uma pessoa, caminhando em volta de 
uma praça circular, ao percorrer 126 m des-
creve um arco de 160º. Qual é o diâmetro da 
praça? 
 
35. Num círculo de raio igual a 30 cm, um 
arco de comprimento 6 cm subentende um 
ângulo central de medida a. Determine a, 
em radianos. 
 
36. O pêndulo de um relógio tem compri-
mento 0,5 m e executa o movimento, de A 
para B, indicado na figura. Determine o 
comprimento do arco que a extremidade do 
pêndulo descreve. 
 
 
37. Qual o comprimento da chapa metálica 
necessário para confeccionar a peça de fixa-
ção, em forma de “U”, mostrada na figura? 
As medidas indicadas estão em centímetros. 
Considere p = 3,14. 
 
 
38. Determine o comprimento da chapa de 
aço necessário para fabricar uma peça con-
forme figura. 
 
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Fundamentos da Matemática II 49 
 
 
39. Represente, no ciclo trigonométrico abai-
xo, a imagem dos números: 
6
p , 
6
5p , 
6
7p , 
4
7p , 
4
p
- , 
4
3p
- , 0,5 e 2,5. 
 
40. Divida o ciclo em 8 partes iguais, a partir 
da origem, e indique o número x, p20 ££ x , 
associado a cada ponto divisor. 
 
41. Divida o ciclo em 12 partes iguais, a par-
tir da origem, e indique o número x, 
p20 ££ x , associado o cada ponto divisor. 
 
42. Diga em que quadrante do ciclo é repre-
sentado cada número real dado: 
 
a) 
7
2p b) 
8
15p c) 
7
8p d) 
4
5p 
 
e) 3 f) 3,5 g) 
5
3p
- h) 
10
17p
- 
 
43. Dê o quadrante em que se representa no 
ciclo a extremidade de cada arco. 
 
a) 200º b) 293º c)96º c) 275º 
 
d) 192º e) – 220º f) – 290º g) – 80º 
 
44. Determine o quadrante onde se repre-
senta a extremidade de cada arco: 
 
a) 1989º b) 413º c) 1351º 
 
d) 840º e) – 600º 
 
45. Quantos centímetros percorre uma partí-
cula que descreve um arco de 510º numa 
circunferência de raio 6 cm? 
 
46. Quantos graus mede o arco descrito por 
uma partícula que faz um percurso de 4p 
metros numa circunferência de diâmetro 
1,6m? 
 
47. Se 
5
2
=xsen , 
2
0 p<< x , calcule o valor 
das demais funções trigonométricas. 
 
48. Dada 3cotg =x , com 
2
3pp << x , deter-
mine o valor numérico das demais funções 
trigonométricas. 
 
49. Simplifique as expressões: 
 
a) 
xx
xsenxy
cossec
cossec
-
-
= 
 
b) 
xtgxsen
xxy
-
-
= 2
2 cotgcos 
 
50. Construir o gráfico das funções: 
 
a) 2+= xseny b) 12 -= xseny 
c) 
2
3 xseny ×= d) xseny ×-= 2 
 
51. Construir o gráfico das funções: 
 
a) 1cos2 += xy b) xy 2cos-= 
 
c) 
2
cos xy = d) 
2
cos3 xy ×= 
 
52. Resolva as equações: 
 
a) 
2
1
-=xsen b) 13 =xsen 
c) ( ) 12 -=+ pxsen d) ( )
2
1
=+ pxsen 
e) 
2
12cos =x f) 1
2
cos =÷
ø
ö
ç
è
æ +
px 
g) 3-=xtg h) 2sec =x 
i) ( ) 03 =- pxtg j) 
3
32 =xtg 
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Prof. Paulo Rogério Trigonometria 
 
 
Fundamentos da Matemática II 50 
53. Resolva as equações: 
 
a) 022 =-× xsen b) 01cotg3 =+x 
 
54. Resolva a equação 02 3 =-× xsenxsen no 
intervalo p££ x0 . 
 
55. Resolva a equação 02cos2cos2 =+ xx 
para [ ]p;0 . 
 
56. Determine o conjunto solução da equa-
ção 04cos2 =- xsenxxsen , para [ ]p2;0 . 
 
57. Resolva a equação 5cos64 22 =+ xxsen 
para ] [p2;0 . 
 
58. Resolver a equação