Gabarito_AD2_metdet_ii_2014_2_Corrigido (2)

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
2o Semestre de 2014
Questa˜o 1 [3,0 pts] Responda as seguintes questo˜es a respeito da func¸a˜o f(x) = x
4+1
x2
.
1. Determine o domı´nio de f ;
2. Calcule f ′ e f ′′;
3. Fac¸a um estudo do sinal de f ′ e f ′′ e com estas informac¸o˜es explique onde f e´ crescente e
decrescente.
4. Calcule os limites laterais quanto x tende a 0, ale´m disso, calcule o limite quando x → ∞ e
x→ −∞.
5. Junte todas estas informac¸o˜es para fazer um esboc¸o do gra´fico de f .
Soluc¸a˜o: 1. (Vale 0,4pt) para calcular o domı´nio de f , basta determinarmos o pontos que o denomi-
nador da frac¸a˜o seja diferente de zero, e isso nos da´ Df = R− {0}
2. (Vale 0,6pt para a 1o derivada e 0,4pt para a 2a derivada) Para calcular f ′(x) e f ′′(x) as vezes e´
conveniente escrever f(x) = x2 + 1
x2
e
f ′(x) = 2x− 2x−3 ou f ′(x) = 2(x
2 + 1)(x2 − 1)
x3
e
f ′′(x) = 2 + 6x−4.
3. (Vale 0,6pt) Para calcular o sinal de f ′(x) veja que e´ o mesmo que calcular o sinal de x
2−1
x , ja´ que
2(x2+1)
x2
> 0
Veja que a func¸a˜o e´ crescente de (−1, 0) e de (1,+∞) e decrescente no intervalo complementar.
1
4. (vale 0.4pt - 0.1pt por limite) Os limites laterais de f em 0 sa˜o:
lim
x→0+
[
x2 +
1
x2
]
= lim
x→0−
[
x2 +
1
x2
]
= +∞.
e
lim
x→+∞
[
x2 +
1
x2
]
= +∞ = lim
x→−∞
[
x2 +
1
x2
]
.
5. (0,6pt se o gra´fico esta correto - sendo 0,3pt por cada uma das partes) f na˜o admite raiz, e veja
que f(−1) = 2, f(1) = 2
Figure 1: Gra´fico de f(x) = x
4+1
x2
Observe que quando x tende −∞ ou +∞ o gra´fico de f se aproxima do gra´fico de y = x2.
Questa˜o 2: (2,0 pts) Determine o n´ıvel de produc¸a˜o que maximizara´ o lucro para uma companhia
que tem custo e demanda dadas por:
C(x) = 84 + 1, 26x− 0, 01x2 + 0, 00007x3 e p(x) = 3, 5− 0, 01x.
Soluc¸a˜o: (Calculou corretamente rendimento marginal e Custo marginal 1,0pt e obteve com justi-
ficativa correta o ponto de ma´ximo 1,0pt) A func¸a˜o rendimento e´ dado por
R(x) = xp(x) = 3, 5x+ 0, 01x2.
Logo, a func¸a˜o rendimento marginal e custo marginal sa˜o dadas por, respectivamente,
R′(x) = 3, 5− 0, 02x e C ′(x) = 1, 26− 0, 02x+ 0, 00021x2.
Assim o custo marginal sera´ igual ao rendimento marginal quando
3, 5− 0, 02x = 1, 26− 0, 02x+ 0, 00021x2 ⇒ x =
√
2, 24
0, 00021
≈ 103.
2
Observe ainda que
R′′(x) = −0, 02 e C ′′(x) = −0, 02 + 0, 00042x
Da´ı que R′′(x) < C ′′(x) para todo x > 0. Portanto, o n´ıvel de produc¸a˜o de 103 unidades maximizara´
o lucro.
Questa˜o 3: (3,0 pts) Encontre as derivadas das seguintes func¸o˜es:
a) f(t) =
8√
4 + 3t
b) g(x) =
3
√
1 + x3
c) h(x) =
e3x
1 + ex
d) l(u) =
1
(u2 − 2u− 5)4
Soluc¸a˜o: (Os itens a) e c) valem 0,8pt e os itens b) e d) valem 0,7pt) a) Derivando
f ′(t) =
[8]′(
√
4 + 3t)− 8[(4 + 3t)1/2]′
(
√
4 + 3t)2
=
−8× (1/2)× 3× 1√
4+3t
4 + 3t
= − 12
(4 + 3t)3/2
= − 12√
(4 + 3t)3
b) g′(x) = [(1 + x3)1/3]′ = 1/3× 3x2 × (1 + x3)−2/3 = x2
3
√
(1+x3)2
.
c)
h′(x) =
[e3x]′(1 + ex)− e3x[1 + ex]′
(1 + ex)2
=
3e3x(1 + ex)− e3xex
(1 + ex)2
=
e3x(3 + 3ex − ex)
(1 + ex)2
=
e3x(3 + 2ex)
(1 + ex)2
d)
l′(u) =
[1]′ × (u2 − 2u− 5)4 − 1× [(u2 − 2u− 5)4]′
(u2 − 2u− 5)8
=− 4× (2u− 2)(u
2 − 2u− 5)3
(u2 − 2u− 5)8
=− 8(u− 1)
(u2 − 2u− 5)5 .
Questa˜o 4: (2,0 pts) Encontre as equac¸o˜es da reta tangente a` curva y = x
x2−2 no ponto (2, 1).
Soluc¸a˜o: (Derivou corretamente 1,0pt e encontrou a reta tangente correta 1,0pt) Em primeiro lugar
veja que y(2) = 24−2 = 1. Portanto, o ponto (x0, y0) = (2, 1) esta na curva, como afirmado. Para
3
conhecermos a equac¸a˜o da reta tangente y−y0 = m(x−x0), basta encontrarmos o coeficiente angular
m da mesma. Para isso vamos derivar y(x) e calcular y′(2). Derivando
y′ =
[x]′(x2 − 2)− x× [x2 − 2]′
(x2 − 2)2 =
x2 − 2− 2x2
(x2 − 2)2 = −
x2 + 2
(x2 − 2)2 .
Logo, y′(2) = −64 = −32 , da´ı a equac¸a˜o da reta tangente fica y − 1 = −32(x− 2)⇒ 2y = −3x+ 8.
4