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ALGA 3.11.09
Aplicações lineares de Rn para Rm
Aplicação linear
Definição 1. T : Rn −→ Rm diz-se aplicação linear de Rn para Rm se
• T (x1, x2, . . . , xn) = (w1, w2, . . . , wm)
• existe uma matriz A = [aij] ∈Mm×n(R) tal que:
w1 = a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn
w2 = a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn
...
wm = am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn
Notação 2. A matriz A designa-se por matriz standard (ou canónica) da aplicação
linear T .
Aplicações lineares e produto de matrizes
Seja T : Rn −→ Rm uma aplicação linear de Rn para Rm, cuja matriz canónica é
A = [aij] ∈Mm×n.
• Se
T (x1, x2, . . . , xn) = (w1, w2, . . . , wm)
• então
AX = W
• sendo
X =

x1
x2
...
xn
 e W =

w1
w2
...
wm

Aplicação Zero (ou nula)
A matriz 0m×n define a aplicação linear nula
T0 : Rn −→ Rm
x 7→ 0
sendo x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn qualquer
0 = (0, 0, . . . , 0) ∈ Rm
Matricialmente, 0m×nX = 0n×1, com X =

x1
x2
...
xn

Aplicação Identidade
A matriz In define a aplicação linear identidade (ou operador identidade)
TIn : Rn −→ Rn
x 7→ x
sendo x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn qualquer
Matricialmente, InX = X , com X =

x1
x2
...
xn

Notação 3. Se T : Rn −→ Rn é uma aplicação linear de Rn para Rn, T designa-
se por operador linear.
Operadores de reflexão
Definição 4. Chama-se operador de reflexão
• a qualquer operador de R2 que transforme cada vector de R2 no seu simé-
trico relativamente a um eixo de simetria (recta que contém a origem);
• a qualquer operador de R3 que transforme cada vector de R3 no seu simé-
trico relativamente a um plano que contém a origem.
2
Algumas reflexões em R2
• Reflexão em torno do eixo dos yy
T : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (− x, y)
A matriz canónica de T é
A =
[ −1 0
0 1
]
.
• Reflexão em torno do eixo dos xx
T : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (x,−y)
A matriz canónica de T é
A =
[
1 0
0 −1
]
.
• Reflexão em torno da recta y = x
T : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (y, x)
A matriz canónica de T é
A =
[
0 1
1 0
]
.
Algumas reflexões em R3
• Reflexão em torno do plano−xy
T : R3 −→ R3
(x, y, z) 7→ (x, y,−z)
3
A matriz canónica de T é
A =
 1 0 00 1 0
0 0 −1
 .
• Reflexão em torno do plano−xz
T : R3 −→ R3
(x, y, z) 7→ (x,−y, z)
A matriz canónica de T é
A =
 1 0 00 −1 0
0 0 1
 .
• Reflexão em torno do plano x = y
T : R3 −→ R3
(x, y, z) 7→ (y, x, z)
A matriz canónica de T é
A =
 0 1 01 0 0
0 0 1
 .
Projecções ortogonais em R3
Definição 5. Seja v = (x, y, z) ∈ R3 Chama-se projecção ortogonal de v
• sobre o plano−xy, ao vector
(x, y, 0) = proje1v + proje2v
• sobre o plano−xz, ao vector
(x, 0, z) = proje1v + proje3v
• sobre o plano−yz, ao vector
(0, y, z) = proje2v + proje3v
4
Operadores de projecção
Definição 6. Diz-se que um operador é operador de projecção ortogonal
• de R2 se transforma cada vector de R2 na sua projecção ortogonal sobre (o
vector director de) uma recta que contém a origem.
• de R3 se transforma cada vector de R3 na sua projecção ortogonal sobre
um dos planos coordenados XOY , XOZ e Y OZ.
Algumas projecções de R2
• Projecção no eixo dos xx
T : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (x, 0)
A matriz canónica de T é
A =
[
1 0
0 0
]
.
• Projecção no eixo dos yy
T : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (0, y)
A matriz canónica de T é
A =
[
0 0
0 1
]
.
• Projecção sobre uma recta r, de equação ax+ by = 0.
T : R2 −→ R2
u = (x, y) 7→ projvu
sendo v = (b,−a) vector director da recta r.
Tem-se que
projvu =
u · v
||v||2v =
1
a2 + b2
(b2x− aby,−abx+ a2y).
A matriz canónica de T é
A =
1
a2 + b2
[
b2 −ab
−ab a2
]
.
5
Algumas projecções de R3
• Projecção no plano−xy
T : R3 −→ R3
(x, y, z) 7→ (x, y, 0)
A matriz canónica de T é
A =
 1 0 00 1 0
0 0 0
 .
• Projecção no plano−xz
T : R3 −→ R3
(x, y, z) 7→ (x, 0, z)
A matriz canónica de T é
A =
 1 0 00 0 0
0 0 1
 .
• Projecção no plano−yz
T : R3 −→ R3
(x, y, z) 7→ (0, y, z)
A matriz canónica de T é
A =
 0 0 00 1 0
0 0 1
 .
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