Calculo I MaxMinX

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Cálculo I−Derivadas−1 
 
Prof. Pedro Willibaldo Schuck-MEC-44202 
Dpto. Matemática Unisc 
I - Máximos e mínimos de uma função 
[300] Estudo da Monotonia e extremos de uma função 
 Vamos analisar através do cálculo em que intervalos do domínio, uma função é crescente, 
decrescente ou constante. Vamos estudar também a existência de pontos máximos e mínimos num 
determinado intervalo do domínio da função. 
 É necessário lembrar que a derivada é o declive da reta tangente à curva. Este valor é indicado 
pela coeficiente angular, m=f'(x) na reta de equação y=mx+n. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Seja o gráfico de uma f(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que: 
 No intervalo +─;x1] a função é crescente. Se x aumenta, f(x) também aumenta. Com isto as 
derivadas nos valores de x deste intervalo são positivas ou as tangentes à curva tem inclinação positiva. 
 No intervalo ]x1 ; 0] a função é decrescente. Se x aumenta, f(x) diminui. Com isto as derivadas nos 
valores de x deste intervalo são negativas ou as tangentes à curva tem inclinação negativa. 
 
[301] Teorema. Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a;b] e 
diferenciável no intervalo aberto ]a;b[. 
 
a) Se 
0)´( xf
 para todo valor de x em [a;b] então f é crescente em ]a;b[. 
 b) Se 
0)´( xf
 para todo valor de x em [a;b] então f é decrescente em ]a;b[. 
 c) Se 
0)´( xf
 para todo valor de x em [a;b] então f é constante em ]a;b[. 
 
Cálculo I−Derivadas−2 
 
Prof. Pedro Willibaldo Schuck-MEC-44202 
Dpto. Matemática Unisc 
 No intervalo ]0 ; x2] a função é novamente crescente. Se x aumenta, f(x) também aumenta. Com 
isto as derivadas nos valores de x deste intervalo são positivas ou as tangentes à curva tem inclinação 
positiva. 
 No intervalo ]x2 ; ] a função é constante. Se x aumenta, f(x) não muda. Com isto as derivadas 
nos valores de x deste intervalo são iguais a zero ou as tangentes à curva são horizontais. 
 No ponto onde x= x1, temos uma reta tangente ao gráfico que é horizontal ou seja, a inclinação da 
reta no ponto (x1; f(x1)) é m=0 ou f'(x1)=0 
 No ponto onde x= 0, também temos uma reta tangente ao gráfico que é horizontal ou seja, a 
inclinação da reta no ponto (0 ; f(0)) é m=0 ou f'( 0 )=0. 
 
[302] Definições─Tipos de extremantes: 
 f(x0) é um máximo relativo se f(x) < f(x0) num intervalo ]x0-r ; x0>r[ para algum r>0. 
 f(x0) é um mínimo relativo se f(x) > f(x0) num intervalo ]x0-r ; x0>r[ para algum r>0. 
 f(x0) é um máximo absoluto se f(x) < f(x0) num intervalo ]x0-r ; x0>r[ para qualquer r>0. 
 f(x0) é um mínimo absoluto se f(x) > f(x0) num intervalo ]x0-r ; x0>r[ para qualquer r>0. 
 
 No figura abaixo, observe o gráfico da f(x) no conjunto dos números reais ( R ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x1 é um ponto de máximo absoluto (ou global) e o valor máximo absoluto é f(x1) 
 x2 é um ponto de mínimo relativo (ou local) e o valor mínimo relativo é f(x2) 
 x3 é um ponto de máximo relativo (ou local) e o valor máximo relativo é f(x3) 
 x4 é um ponto de mínimo absoluto (ou global) e o valor mínimo absoluto é f(x4) 
 
 
 
 
Cálculo I−Derivadas−3 
 
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[305] Teorema de Bolzano─ Weierstrass 
 "Num intervalo compacto (Limitado e fechado), uma função apresenta sempre valores máximo e 
 mínimo absoluto." 
 Observe o gráfico da f(x) no intervalo fechado [A;B] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Com isto, 
 O ponto x=A é um ponto de mínimo absoluto e o valor mínimo absoluto é f(A). 
 O ponto x=B é um ponto de máximo absoluto e o valor máximo absoluto é f(A). 
 
 
[308] Teorema de Fermat 
 "Se uma função possui extremo relativo num ponto x0, então: 
 ou a derivada neste ponto existe e é igual a zero [ f'(x0)=0 ] 
 ou não existe derivada neste ponto." 
 
 Observe, no gráfico abaixo, que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I−Derivadas−4 
 
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 x1 é um mínimo local e a tangente em f(x1) é horizontal ou f'(x1)=0 
 x2 é um máximo local e a tangente em f(x2) não existe 
 x3 é um mínimo local e a tangente em f(x3) não existe 
 x4 não é máximo nem mínimo e a tangente em f(x4) é horizontal ou f'(x4)=0 
 
[310] Rotina para chegar as conclusões desejadas 
 
Exemplo 01. 
 Estude a monotonia e analise a existência de máximos e ou mínimos da função 
 
x
xx
xf 6
23
)(
23
 
 Passo 1 ─ Encontrar a função derivada f'(x) 
 
6)('
6
2
2
3
3
)('
6
23
)(
2
2
23



xxxf
xx
xf
x
xx
xf
 
 
 Passo 2 ─ Encontrar os pontos críticos. São os valores de x que são candidatos a serem as 
abscissas de pontos de máximo relativo ou mínimos relativos da função. 
 Nestes pontos da curva as tangentes são horizontais e portanto com declividade nula ou f'(x)=0. 
 6)(' 2  xxxf 
 Igualando a função a zero, encontramos as raízes de f'(x) 
 062  xx 
 
 
 
Cálculo I−Derivadas−5 
 
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 Aplicando Báscara vem 
 
















2
3
2
51
2
251
)1(2
)6()1(4)1()1(
2
4
06
2
1
22
2
x
x
a
acbb
x
xx
 
 
 Os pontos críticos são 3 e −2. 
 Passo 3 ─ Elaborar uma tabela de 3 linhas para representar: 
 a) O domínio da função, os pontos críticos, os pontos que não pertencem ao domínio da 
 função ou da derivada. Estes valores devem estar em ordem crescente. 
 b) Os zeros da derivada 
 c) A função 
 
 
 
 
 Passo 4 ─ Inserir as raízes da derivada na linha do domínio e o valor das derivadas na linha das 
 derivadas 
 
 
 
 
 Passo 5 ─ Inserir o valor do sinal de f'(x) nas colunas vizinhas às raízes da função derivada. 
 Por exemplo 
 
 positivoValor 
negativo Valor 
 positivoValor 
66)4()4()4('
66)0()0()0('
66)3()3()3('
2
2
2



f
f
f
 
 
 
 
 
 
 
Domínio - X1 X2 + 
f'(x) 
f(x) 
 
Domínio - -2 3 + 
f'(x) 0 0 
f(x) 
 
Domínio - -2 3 + 
f'(x) + + 0 − 0 + + 
f(x) 
 
Cálculo I−Derivadas−6 
 
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 Passo 6 ─ Podemos concluir sobre a monotonia da função 
 
 
 
 
 A função é crescente no intervalo ]−;-2] e também no intervalo [3;+[ 
 
 Passo 7 ─ Analisar valores máximos e mínimos relativos 
 
 Podemos concluir que f(-2) é um valor máximo relativo pois para valores de x 
 imediatamente menores do que ─2, a função é crescente e para valores de x 
 imediatamente maiores do que ─2, a função é decrescente. 
 
 Podemos concluir que f(3) é um valor mínimo relativo pois para valores de x 
 imediatamente menores do que 3, a função é decrescente e para valores de x 
 imediatamente maiores do que 3, a função é crescente. 
 
 Logo a função tem um valor máximo relativo em f(-2) e este valor é igual a 
 
3
22
)2(6
2
)2(
3
)2(
)2(
6
23
)(
23
23






f
x
xx
xf
 
 A função tem um valor mínimo relativo em f(3) e este valor é igual a 
 
2
27
)3(6
2
)3(
3
)3(
)3(
6
23
)(
23
23


f
x
xx
xf
 
 
 
Resposta: A função
x
xx
xf 6
23
)(
23

 
 ① É crescente no intervalo +─; ─2 + 
 ② É decrescente no intervalo * ─ ; 3 + 
Domínio - -2 3 + 
f'(x) + + 0 − 0 + + 
f(x) Crescente Crescente 
 
Decrescente 
 
Crescente Crescente 
 
Domínio - -2 3 + 
f'(x) + + 0 − 0 + + 
f(x) Crescente Crescente 22/3 Decrescente -27/2 Crescente Crescente 
 
Cálculo I−Derivadas−7 
 
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 ③ É crescente no intervalo * 3 ;  ] 
 ④ Tem um valor máximo relativo quando x=-2 e é igual 22/3 
 ⑤Tem um valor mínimo relativo quando x=3 e é -27/2 
 
 
 Comprovação gráfica 
 
 
 
 
 
 
[312] Observação: A segunda derivada indica a concavidade da curva no ponto desejado. 
 * f''(x0)>0 indica ponto de mínimo. 
 ** f''(x0)<0 indica ponto de máximo. 
 
  05122)2(''
12)(''


f
xxf 
 Logo ─2 é ponto de máximo 
 
 
  05132)3(''
12)(''


f
xxf 
 Logo 3 é ponto de mínimo 
 
[313] Observação: Para domínios fechados, quando queremos o máximo ou mínimo absoluto, devemos 
 verificar também os valores dos extremos 
 
Cálculo I−Derivadas−8 
 
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[315] Exemplo 02. 
 Estude a monotonia e analise a existência de máximos e ou mínimos da função 
 
3)( xxf  
 Solução: 
 Determinando a f'(x): 
3 23
1
)('
x
xf 
 
 Determinando as raízes de f'(x): 
0
3
1
3 2

x
Não existem raízes, logo não existem máximos ou 
 mínimos relativos. O zero da tabela abaixo se refere ao fato de não pertencer ao domínio da 
 função derivada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resposta: A função é crescente em todo o seu domínio e não possui extremos relativos. 
 Observação: f''(0─) > 0 e f''(0+)<0 
 
 
 
 
Domínio - 0 + 
f'(x) + + 
f(x) Crescente Crescente 
 
Comprovação gráfica 
 
Cálculo I−Derivadas−9 
 
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[317] Exemplo 03. 
 Estude a monotonia e analise a existência de máximos e ou mínimos da função 
 
23
4
42
4
)( xx
x
xf  
 Solução: 
 Determinando a f'(x): 
 
xxxxf
xx
x
xf
86)('
86
4
4
)('
23
2
3

 
 Determinando as raízes de f'(x): 
 














2
4
2
26
2
46
2
814366
086
0)86(
086
2
0
2
0
23
x
xx
xxx
xxx

 
 As raízes de f'(x) são {0 ; 2 ; 4 } 
 Verificando a monotonia 
 
1558)5(65)5('
338)3(63)3('
318)1(61)1('
15)1(8)1(6)1()1('
23
23
23
23




f
f
f
f
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio - 0 2 4 
 
+ 
f'(x) ─ 0 + 0 ─ 0 + 
f(x) 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I−Derivadas−10 
 
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 Calculando os extremos 
 
0)0(4)0(2
4
0
)( 23
4
xf
O ponto (0;0) é um mínimo relativo
 
 4)2(4)2(24
2
)2( 23
4
f
O ponto (2 ; 4) é um mínimo relativo 
 0)4(4)4(24
4
)4( 23
4
f
O ponto (4 ;0) é um mínimo relativo 
 
 
 
 
 Resposta: A função
23
4
42
4
)( xx
x
xf 
 
 ① É decrescente no intervalo +─ ; 0 ] 
 ② É crescente no intervalo [ 0 ; 2 ] 
 ③ É decrescente no intervalo [ 2 ; 4 ] 
 ④ É crescente no intervalo * 4 ;  ] 
 ⑤ Tem um valor mínimo relativo quando x=0 e é igual 0 
 ⑥Tem um valor máximo relativo quando x=2 e é 4 
Comprovação gráfica 
 
 
 
Domínio - 0 2 4 
 
+ 
f'(x) ─ 0 + 0 ─ 0 + 
f(x) 
0 
 
4 
 
0 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I−Derivadas−11 
 
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[320] Exemplo 04. 
 Estude a monotonia e analise a existência de máximos e ou mínimos da função 
 
2
3
4
5
3
5
5
)( x
x
x
x
xf  
 Solução: 
 Determinando a f'(x): 
 
xxxxxf
x
x
x
x
xf
254)('
2
3
15
4
5
5
)('
234
2
3
4


 
 
Determinando as raízes de f'(x): 
 
 0)254(
0254
0
23
0
234


   xxxx
xxxx 
 Como a soma dos coeficientes é igual a zero, sabe-se que uma raiz é 1 ou -1. Utilizando a raiz x=1 no 
 dispositivo de Briott-Ruffini encontramos a s outras duas raízes. 
 
 
 Os coeficientes da equação de grau 2 são então 1, ─3 e 2. Aplicando Báscara podemos 
 encontrar outras duas raízes. 
 











1
2
2
13
2
13
2
893
0232
x
xx
 
 As raízes da f'(x) são {0 ; 1 ; 2 } 
 
 
 
 
1 1 ─4 5 ─2 
 1 ─3 2 0 
Cálculo I−Derivadas−12 
 
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 Verificando a monotonia 
 
12)3(2)3(5)3(4)3()3('
16
3
)2/3(2)2/3(5)2/3(4)2/3()2/3('
16
3
)2/1(2)2/1(5)2/1(4)2/1()2/1('
12)1(2)1(5)1(4)1()1('
254)('
234
234
234
234
234







f
f
f
f
xxxxxf
 
 
 
 
 
 
 Verificando os extremos 
 
15
4
2
3
25
2
5
2
)2(
15
2
1
3
15
1
5
1
)1(
00
3
05
0
5
0
)0(
3
5
5
)(
2
3
4
5
2
3
4
5
2
3
4
5
2
3
4
5










f
f
f
x
x
x
x
xf
 Cuidado!!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio - 0 1 2 
 
+ 
f'(x) + 0 ─ 0 ─ 0 + 
f(x) 
 
 
 
 
 
Domínio - 0 1 2 
 
+ 
f'(x) + 0 ─ 0 ─ 0 + 
f(x) 
0 
 
-2/15 
 
-4/15 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I−Derivadas−13 
 
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 Resposta: A função
2
3
4
5
3
5
5
)( x
x
x
x
xf 
 
 ① É crescente no intervalo +─ ; 0 ] 
 ② É decrescente no intervalo [ 0 ; 1 ] 
 ③ É decrescente no intervalo * 1 ; 2 ] 
 ④ É crescente no intervalo * 2 ;  ] 
 ⑤ Tem um valor máximo relativo quando x=0 e é igual 0 
 ⑥Tem um valor mínimo relativo quando x=2 e é -4/15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 [322] Comprovação pela f''(x): 
 
210124)(''
254)('
23
234


xxxxf
xxxxxf
 
 
 
 Análise da concavidade no ponto x0=0 
 
      baixo paraeconcavidad Indica 0 
 


2201001204)0(''
210124)(''
23
23
f
xxxxf 
 
 Análise da concavidade no ponto x0=2 
 
     
cima paraeconcavidad Indica 0 
 
 
 




22204832)2(''
22041284)2(''
221021224)2(''
210124)(''
23
23
f
f
f
xxxxf
 
 
Comprovação gráfica
 
 
Cálculo I−Derivadas−14 
 
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[323] Máximos e mínimos absolutos (globais) no caso de intervalo fechado. 
 Exemplo 05. Encontre os pontos de máximo e mínimo de 1
3
)( 2
3
 x
x
xf
no intervalo fechado 
 [-2;4]. 
 Solução: Quando o intervalo é fechado, devemos considerar as extremidades como ponto crítico. 
 Calculando a f'(x) 
 xxxf 2)( 2 ' 
 
Encontrando os pontos críticos do intervalo "interior", isto é
 
]-2;4[. 
 
0)2(
02)( 2


xx
xxxf ' 
 
 
Logo as raízes(pontos críticos) do "interior" do domínio são 0 e 2. 
 Como o intervalo é fechado, devemos comparar os valores f(0) e f(2) com os valores f(-2) e f(4). 
 Compondo a tabela 
 
 
 
 
 
 Definindo a monotonia conforme os sinais da função derivada. 
 
0369)3(2)3()3(
0121)1(2)1()1(
0321)1(2)1()1(
2)(
2
2
2
2




' 
' 
' 
' 
f
f
f
xxxf
 
 
 
 
 
 
 Percebe-se que 0 é ponto de máximo e 2 é ponto de mínimo 
 
Domínio -2 0 2 4 
f'(x) 
 
0 
 
0 
 f(x) 
 
 
Domínio - -1 0 1 2 3 4 
f'(x) + 0 ─ 0 + 
 f(x) 
 
 
 
 
Cálculo I−Derivadas−15 
 
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 Concluindo sobre os pontos críticos e valores máximos e mínimos 
 
...3,6
3
19
3
34864
116
3
64
1)4(
3
)4(
)4(
;;;3,0
3
1
3
3128
14
3
8
1)2(
3
)2(
)2(
11001)0(
3
)0(
)0(
...6,5
3
17
3
3128
14
3
8
1)2(
3
)2(
)2(
1
3
)(
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3



















f
f
f
f
x
x
xf
 
 
 
 
 
 Conclusão: 
 0 é um ponto de máximo relativo e 1 é um valor máximo relativo. 
 2 é um ponto de mínimo relativo e ─1/3 é um valor mínimo relativo. 
 ─2 é um ponto de mínimo global e ─17/3 é o valor mínimo global. 
 4 é um ponto de máximo global e 19/3 é o valor máximo global. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio - 0 2 4 
f'(x) + 0 ─ 0 + 
 f(x) -17/3 
 
1 
 
-1/3 
 
19/3 
 
 
 
 
Gráfico da função
 
Cálculo I−Derivadas−16 
 
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 [325] Observação. Para mostrar a importância do domínio da função efetue: 
 i) Análise se o domínio fosse R 
 ii) Análise se o domínio fosse [0;4] 
 iii) Análise se o domínio fosse ]1;3[ 
 iv) Análise se o domínio fosse [1;3] 
 
 
 
 
Cálculo I−Derivadas−17 
 
Prof. Pedro Willibaldo Schuck-MEC-44202 
Dpto. Matemática Unisc 
[327] Exercícios/Exemplos. Estude a monotonia e analise máximos e mínimos das funções abaixo. 
 Ex.01) 
65)( 2  xxxf
 
 
 
 
 
 
 
 Ex.02) 
24 2)( xxxf 
no Df=*─2;2+ e Df=+─2;2* e 
 
 
 
 
 
 
 Ex.03) 
xx
xx
xf 4019
3
4
2
)( 2
34
 
 
 
 
 
 
 
 Ex.04) 
23
4
5
6
95
4
15
3
2
)( xx
x
x
x
xf  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I−Derivadas−18 
 
Prof. Pedro Willibaldo Schuck-MEC-44202 
Dpto. Matemática Unisc 
 Ex.05) 
34 82)( xxxf  
 
 
 
 
 
 
 Ex.06) Descubra as coordenadas do vértice e informe se ele é um ponto de máximo ou de 
 mínimo da parábola
4
39
7)( 2  xxxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ex.07) 
xx
xx
xf 12
3
8
2
)( 2
34
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I−Derivadas−19 
 
Prof. Pedro Willibaldo Schuck-MEC-44202 
Dpto. Matemática Unisc 
 Ex.08) 
15)( 5  xxxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ex.09) Descubra os pontos extremos de
2683)( 234  xxxxf
 R:(0 ; 2) 
 
 
 
 Ex.10) Esboce o gráfico de xxxxf 53
3
)( 2
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I−Derivadas−20 
 
Prof. Pedro Willibaldo Schuck-MEC-44202 
Dpto. Matemática Unisc 
[328] Otimização (Aplicação das derivadas) 
Ex.01) Com 500 metros de cerca, qual é a maior área que podemos cercar? Qual é a medida dos lados do 
retângulo? 
 Solução: A área de um retângulo é o produto do comprimento de um lado ( C ) pela largura ( 
L ), isto é:
LCA 
. Se a metragem de cerca disponível é de 500m, podemos então concluir 
que 
50022  LC
, que 
250 LC
e ainda que 
LC  250
 
 Então 
2250)250( LLLLA 
 
 Temos então a área como uma função do comprimento do lado L. 
 Podemos escrever
2250)( LLLA 
 ou 
 
2250)( xxxf 
 onde f(x) é área e x é o comprimento do lado L 
 O objetivo é a maior área, então vamos calcular o valor máximo da f(x). 
 Lembrando que precisamos f’(x)=0 para encontrar os pontos críticos. 
 
mx
x
xxf
xxxf
125
2
250
2502
02250)('
250)( 2




 
 O extremo é encontrado quando L=x= 125 na função área 
 
22 625.15125125250)125( mf 
 
 O comprimento C=250-L=250-125=125m 
 Resposta: A maior área possível a ser cercada é de 15.625m2 e as dimensões dos lados são 
iguais a 125mx125m. 
 
 
 
 
 
Cálculo I−Derivadas−21 
 
Prof. Pedro Willibaldo Schuck-MEC-44202 
Dpto. Matemática Unisc 
[329] 02) Com uma cartolina de 1m por 60 cm. queremos construir uma caixa com os lados opostos 
paralelos, sem tampa . Quais devem ser as dimensões da caixa para que ela tenha o volume 
máximo? 
 R: O volume máximo será de 32.835,28cm333litros 
 Solução: 
 
Cálculo I−Derivadas−22 
 
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Dpto. Matemática Unisc 
[330] Ex.03) A figura abaixo representa uma tubulação que vai do ponto A (Plataforma petrolífera em 
alto mar) até um ponto B (Reservatório) a beira-mar. 
 A distância de A até C é de 10 km e a distância de C até B é de 8km. 
 O custo do km da tubulação submersa é de R$ 3.000.000,00 e o da tubulação terrestre é de 
 R$ 1.000.000,00 
 Com estas informações encontre a posição do ponto D para que o custo seja mínimo. Calcule 
também o custo da obra no mar e na terra. 
 
 Solução: Usando o esquema 
 
 Podemos encontrar o comprimento do trecho AD usando o teorema de Pitágoras. 
 
2210 xAD  
 O custo da tubulação será então igual a 1000000)8(3000000100 2 








 xx
AD

 
 Logo função que calcula o custo é
1000000)8(3000000)100()( 2  xxxf 
 A função derivada: 
 
1000000
)100(
2
2
1
3000000)('
10000001000000)100(3000000)(
1000000)8(3000000)100()(
2
1
2
2
1
2
2





x
x
xf
xxxf
xxxf
 
 
 
Cálculo I−Derivadas−23 
 
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Dpto. Matemática Unisc 
Agora com f'(x)=0 podemos encontrar os pontos críticos. 
 
...5355,3
2
25
8
10
8
100
1008100
1003
1
100
3
1
)100(
2
2
3
1000000
)100(
2
2
1
3000000
01000000
)100(
2
2
1
3000000
222
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2













xxxx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
29x
vem quadrado ao equação a Elevando 
 
 Como nos interessa apenas o valor positivo, encontraremos: 
 
00,271.284.36...)5355,3(
1000000...))5355,3(8(3000000...5355,3100...)5355,3(
1000000))
2
25
(8(3000000))
2
25
(100()
2
25
(
1000000)8(3000000)100()(
2
2
2




f
f
f
xxxf
 
 
 Resposta. O menor custo possível da obra é de R$ 36.284.271,00 e o ponto onde deve 
acontecer a mudança da água para a areia é a 3,53 km do ponto C. 
 O custo da obra no mar será de: 
  3000000)53,3100( 2 31.819.805.00 
 O custo da obra terrestre será de: 
  1000000)53,38( 4.464.466,00Cálculo I−Derivadas−24 
 
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Dpto. Matemática Unisc 
[335] Ex.04) A soma de dois números positivos é 12. Encontre os números cujo produto do quadrado do 
menor pelo cubo do maior é máximo. 
 Solução: 
 Podemos escrever 
32 )12()( xxxf 
onde x é um dos números e 12─x o outro e a função indica 
 o produto destes números elevados às potências informadas. 
 Queremos o maior produto, logo precisamos a derivada de f(x). 
 Calculando a derivada: 
 

223
223
32
)12(3)12(2)('
)1()12(3)12(2)('
)12()(
xxxxxf
xxxxxf
xxxf
v
u


 
 
 Simplificando o segundo membro. Dividindo as parcelas por (12-x)2 
 
2
22
2
524)('
3224)('
3)12(2)('
xxxf
xxxxf
xxxxf



 
 Calculando a raiz de f'(x) para achar os pontos críticos 
 
8,4
5
24
245
0524
0)524(
0524
0524)('
2
2






x
x
x
xx
xx
xxxf
 
 Resposta: um número é 4,8 e o outro é 12─4,8 = 7,2. O maior produto solicitado é 
 então ...6339,8599)8,412(8,4)8,4( 32 f 
 
 
 
 
Cálculo I−Derivadas−25 
 
Prof. Pedro Willibaldo Schuck-MEC-44202 
Dpto. Matemática Unisc 
[340] Ex.05) Calcule o ângulo  que maximiza o volume da casquinha de sorvete em forma de cone, 
 definida uma geratriz. 
 
 Solução: 
 
 A figura abaixo mostra que, dependendo do ângulo formado pela geratriz e pela altura de um 
cone de revolução, o volume ou capacidade também varia. Queremos descobrir a medida do

 (ângulo 
teta) que maximiza o volume. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sabemos que o volume de um cone é encontrado pela fórmula: 
3
2 hr
V


 
 Podemos concluir que: 
)()(  sengr
g
r
sen 
 e que 
)()(  coscos  gh
g
h 
 Substituindo "g" e "r" na fórmula do Volume teremos: 
3
)cos()(22  

gseng
V
 
 Temos agora uma função que depende apenas da variação de 
 
 
)cos()(
3
)(
3
)cos()(
)(
3
)cos()(
)(
2
3
23
22














sen
g
V
seng
V
gseng
V
 
 
 
 
Cálculo I−Derivadas−26 
 
Prof. Pedro Willibaldo Schuck-MEC-44202 
Dpto. Matemática Unisc 
 Vamos procurar a derivada desta função: 
 
))(()()cos()cos()(2
3
)('
)cos()(
3
)(
)cos()(
3
)(
2
3
2
3
2
3



sensensen
g
V
sen
g
V
sen
g
V
vu










 
 
 )()(cos)(2
3
)(' 32
3  sensengV  
 Dividindo os [ ] por sen(

) 
 
 )()(cos2
3
)(' 22
3
 sengV 
 
 Para encontrar as raízes devemos zerar a derivada. 
 
  0)()(cos2
3
22
3

  seng
 
 Observa-se que somente a expressão entre colchetes pode dar zero 
 
''2,8'4454
)2(
2)(
2)(
2
)(
)(
)()(2
0)()(2
2
2
2
22
22
 
cos
cos
cos















arctg
tg
tg
sen
sen
sen
 
 
 
Cálculo I−Derivadas−27 
 
Prof. Pedro Willibaldo Schuck-MEC-44202 
Dpto. Matemática Unisc 
[342] Ex.06) Uma corda de 2m deve ser cortada para formar um quadrado com uma das partes e uma 
 circunferência com a outra parte. Qual deve ser o comprimento de cada uma destas partes de 
 modo que a soma das áreas definidas pelo e quadrado e pela circunferência seja máxima e 
 também que a soma das áreas definidas pelo e quadrado e pela circunferência seja mínima. 
 Seja o esquema a seguir onde a posição do ponto P é tal que 0  P  2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Extraindo dados da questão: 
 






2
2
22
4
P
rrPPB
xAP
 
 
 
 
 Logo a área total em função da posição do ponto P, 0  P  2, será igual a 
 
 2
2
22
2
2
2
1
4
)(
2
2
4
)(
4
P
P
PA
PP
PA
r
P
A

































 
 
 
 
 
 
Cálculo I−Derivadas−28 
 
Prof. Pedro Willibaldo Schuck-MEC-44202 
Dpto. Matemática Unisc 
 Derivando a função área em relação P temos: 
 
 
 
 
 




PP
PA
P
P
PA
P
P
PA
P
P
PA
24
8
)
2
1
2
16
2
)
)1(2
1
2
4
1
4
2)
2
1
4
)(
2
2




























(' 
(' 
(' 
 
 
 Determinando os pontos críticos 
 
 
1,67...
















2
8
1
4
42
8
1
42
8
0
24
8
P
P
PP
PP
 
 
 Utilizando a derivada segunda para ver se este P é ponto de máximo ou de mínimo. 
 
0,76...('' 
(' 




2
0
8
1
)
24
8
)
PA
PP
PA
 
 
 
 
Este ponto é de mínimo (0,76>0), portanto define a menor área possível. O valor da menor área é 
 
 
  2m 0.20897...













2
2
2
2
)67,1(2
1
4
)67,1(
)67,1(
2
1
4
)(


A
P
P
PA
 
 
Cálculo I−Derivadas−29 
 
Prof. Pedro Willibaldo Schuck-MEC-44202 
Dpto. Matemática Unisc 
 Como encontramos apenas um ponto crítico, e P pertence ao intervalo fechado [0;2], devemos 
considerar também os pontos críticos 0 e 2.. 
 Calculando o valor de A(0), 
 
 
 
21,27...m

















4
0)0(
02
1
4
0
)0(
2
1
4
)(
2
2
2
2
A
A
P
P
PA
 
 
 
 
Calculando o valor de A(2), 
 
 
 
2
2
2
2
2
2
25,0
4
1
0
2
1
)2(
22
1
4
2
)2(
2
1
4
)(
mA
A
P
P
PA























 
 
 Isto significa que P=2 é o ponto de máximo absoluto e o valor máximo (Maior área) é 
A(2)=0,25m2 ou seja, devemos construir apenas o quadrado e considerar uma circunferência de raio 
zero. 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I−Derivadas−30 
 
Prof. Pedro Willibaldo Schuck-MEC-44202 
Dpto. Matemática Unisc 
[345] Exercícios: 
Q.01) A soma de dois números positivos é 20. Encontre os números cujo produto dos seus quadrados é 
 máximo. R:10 e 10 
 
Q.02) A soma de dois números positivos é 4. Encontre os números cujo produto da quinta potência do 
 maior pelo menor é máximo. R:10/3 e 2/3 
 
Q.03) A soma de dois números positivos é 7. Encontre os números cujo produto do quadrado do maior 
 pela metade do menor é máximo. R:14/3 e 7/3 
 
Q.04) A soma de dois números positivos é 15. Encontre os números cujo produto do cubo do maior 
 pelo menor é máximo. R:11,25 e 3,75 
 
Q.05) A figura abaixo representa uma tubulação que vai do ponto A (Plataforma petrolífera em alto mar) 
 até um ponto B (Reservatório) a beira-mar. 
 A distância de A até C é de 15 km e a distância de C até B é de 10 km. 
 O custo do km da tubulação submersa é de R$ 4.000.000,00 e o da tubulação terrestre é de 
 R$ 1.000.000,00 
 Com estas informações encontre a posição do ponto D para que o custo seja mínimo. Calcule 
também o custo da obra no mar e na terra.RESPOSTA 
 Menor Custo Total=68094750.193 
 Custo Submarino=61967733.539 
 Custo Terrestre=6127016.655 
 Ponto ideal em a 3.873 km do ponto C 
 
Cálculo I−Derivadas−31 
 
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Dpto. Matemática Unisc 
 
Q.06) Um cartaz de anuncio público deve ter 18m2 de área. As margens de cima e de baixo devem ter 
 75cm de altura e as margens laterais, 50cm. Quais devem ser as dimensões do cartaz para que a 
 área de impressão seja máxima? 
 Solução:Esquema sugerido 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 R:3,464...m x 3,696...m 
 
Q.07) Com 400m de cerca, qual é a maior área retangular que pode ser cercada? R:10.000m2. 
 
Q.08) Se um lado de um canil é uma parede (conforme esquema abaixo), qual é a maior área que 
 podemos definir com 25m de cerca? 
 
 
 
 
 
 
 R: 78,125m2 
 
Q.09) Quais são as dimensões que minimizam o material necessário para construir uma lata cilíndrica 
 com capacidade para 1 litro de fluido? R: r0,542dm h1,084dm 
 
 
 
Cálculo I−Derivadas−32 
 
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Dpto. Matemática Unisc 
Q.10) Quais são as dimensões que minimizam o material necessário para construir um reservatório com 
 capacidade para 54.000 litros de fluido conforme o modelo da figura? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Fórmulas da geometria espacial. 
Volume do cilindro (Vc): Superfície da base (círculo) x comprimento do cilindro( l ) :
lr  2
 
Superfície lateral do cilindro(Slc): 
lr 2
 
Volume da Esfera (Ve): 
3
3
4
r
 
Superfície lateral da esfera (Sle):
24 r
 
 
Volume desejado do conjunto esfera/cilindro (Vol): 27m3. 
27
3
4 23  lrr 
 → 
2
3
3
4
27
r
r
l




 ( 1 ) 
 
Material necessário para construir o conjunto esfera/cilindro (M): 
lrrM   24 2 ( 2 ) 
 
Modelo: Cilindro mais esfera 
 
Cálculo I−Derivadas−33 
 
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Dpto. Matemática Unisc 
Expressão do material em função do raio "r". ( 1 ) → ( 2 ) 
2
3
2 3
4
27
24)(
r
r
rrrM


 

 efetuando simplificações na expressão, temos, 
r
r
rrM
3
2 3
4
27
24)(



 
r
r
rrM
3
2 3
8
54
4)(



 
r
r
rrM 3
8162
4)(
3
2



 
r
r
rrM
3
8162
4)(
3
2 

 
3
854
4)(
2
2 r
r
rrM



 
Função derivada do material necessário 
3
1654
8)('
2
r
r
rrM



 
Zerando para encontrar os pontos críticos 
0
3
1654
8
2



r
r
r

 
3
1654
8
2
r
r
r



 Dividindo por "r" 
3
1654
8
3

 
r
 
3
1654
8
3

 
r
 
3
16
8
54
3

 
r
 
3
162454
3
 

r
 
52,6
2
41
46
41
1624
164
1624
5433 








 r
 
869,1r