Fundamentos da Análise Aula 2 Conjuntos

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Fundamentos de Análise
Aula 2 - Conjuntos �nitos, in�nitos,
enumeráveis, não enumeráveis e teorema de
Cantor e os números reais
INTRODUÇÃO
Geraldo Ávila em Cantor e a Teoria de Conjuntos
“Bernhard Bolzano (1781-1848) foi quem primeiro falou livremente de conjuntos in�nitos em Matemática. Ele escreveu
um livro sobre os paradoxos do in�nito, publicado postumamente em 1859, no qual aborda questões de natureza
�losó�ca e matemática acerca dos conjuntos in�nitos. Richard Dedekind (1831-1916) foi mais longe que Bolzano,
usando a noção de conjunto na construção dos números reais, como já explicamos na RPM4. Mas foi Georg Cantor
(1845-1918) quem mais avançou no estudo dos conjuntos. Logo no início de um de seus trabalhos sobre os números
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trans�nitos, ele de�ne conjunto com as seguintes palavras: Por conjunto entenderemos qualquer coleção em uma
totalidade M de objetos distintos, produtos de nossa intuição ou pensamento.”
Os números reais
Muitas vezes, quando simpli�camos equações e inequações, utilizamos as propriedades dos reais sem perceber que
estamos fazendo isso.
Eventualmente, um aluno aplica propriedades de forma incorreta por não considerar as hipóteses das propriedades a
serem aplicadas.
Construiremos axiomaticamente os números reais, ou seja, de�niremos os números reais como números que
satisfazem a alguns axiomas ou postulados, aceitos sem demonstração.
OBJETIVOS
Diferenciar conjuntos �nitos e in�nitos, enumeráveis e não enumeráveis;
Interpretar o Teorema de Cantor;
Reconhecer o Conjunto dos Números Reais, suas propriedades algébricas e teoremas derivados dessas propriedades;
Identificar as propriedades usadas em simplificações de equações e inequações.
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A IDEIA DE CONTAGEM
ALTERNATIVA 1:
O que o professor pode fazer é contar as cadeiras e os alunos e comparar os resultados para obter a resposta à
questão de ser ou não su�ciente o número de cadeiras.
OUTRA POSSIBILIDADE:
O professor pode pedir aos alunos que se acomodem nas cadeiras existentes. Bem, a partir daí, podemos ter três
situações: Situação 1: todas as cadeiras estão ocupadas e ainda existem alunos de pé; Situação 2: existem cadeiras
livres e todos os alunos estão sentados; Situação 3: todas as cadeiras estão ocupadas e todos os alunos estão
sentados.
UM BREVE FLASHBACK SOBRE FUNÇÕES
Vamos relembrar alguns conceitos básicos de funções para podermos seguir em frente.
Considere dois conjuntos A e B.Uma função é uma regra que associa a cada elemento x ∈ A, um elemento f(x) ∈ B.
Notação:
f: A → B
x → f(x)
O conjunto A é chamado domínio da função f.
Notação:
D(f).
O conjunto B é chamado contradomínio da função f.
A imagem de A será o conjunto f(A) = ImA = {f(x) : x ∈ A}.
A função f será dita sobrejetiva se tivermos f(A) = B.
A função f será dita injetiva quando, dados x e x ∈ D(f), se f(x ) = f(x ) então x = x .
CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
Notação:
Dado n ∈ N, indicaremos o conjunto dos números naturais desde 1 até n por In = {p ∈ N, 1 ≤ p ≤ n}
DEFINIÇÃO: CONJUNTO FINITO
Um conjunto A é dito �nito quando é vazio ou quando existe, para algum n ∈ N, uma bijeção
φ: In → A.
Em outras palavras,
1 2 1 2 1 2
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Um conjunto A será finito se é um conjunto vazio ou se existe uma bijeção entre A e {1,2,··· ,n} para algum n ∈ N.
DEFINIÇÃO: NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO
Se A é um conjunto vazio, dizemos que ele tem zero elementos.
Se há uma bijeção φ: In → A dizemos que A possui n ∈ N elementos.
DEFINIÇÃO: CONJUNTO INFINITO
Dizemos que um conjunto A é in�nito quando não é �nito. Assim, A é in�nito quando não é vazio e, qualquer que seja n ∈ N, não
existe uma bijeção φ: In → A.
OBSERVAÇÃO
Estamos negando um “ou”.
Relembrando a Lei de Morgan: ∼(p ∨ q) ⇔ ∼p ∧ ∼ q
Precisamos negar: Um conjunto A é dito �nito quando é vazio ou quando existe, para algum n ∈ N uma bijeção φ: In → A.
PARADOXO DE HILBERT
Fonte da Imagem: http://www.storyofmathematics.com/20th_hilbert.html
David Hilbert nasceu em 23 janeiro de 1862, Königsberg, Prússia, hoje Kaliningrado, na Rússia, e morreu em 14
fevereiro de 1943, Göttingen, Alemanha, brilhante matemático alemão propôs o Paradoxo de Hilbert.
Considere a existência de um hotel que possua in�nitos quartos: o quarto número 1, o quarto número 2, o quarto
número 3 etc...
Esse hotel encontra-se lotado.
Situação 1
E se chegasse outro hospede, precisando de um quarto? Como fazer para alocá-lo?
Se o hotel em questão fosse um hotel �nito, com quantidade de quartos limitada, não teria como alojar esse novo
hospede. O que fazer?
No hotel in�nito, o que se faz é transferir cada hóspede para o quarto ao lado. O hóspede do quarto 1 passa para o
quarto 2; o hospede do quarto 2 passa para o quarto 3 e assim por diante. Bem, o quarto 1 �cará, assim, vago para
receber o novo hóspede.
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Fonte da Imagem:
Situação 2:
E se chegasse, no hotel de Hilbert, um ônibus trazendo in�nitos novos hóspedes?
Pediremos então a cada hóspede para mudar de quarto de forma que o número de seu novo quarto seja o dobro do
número de seu quarto atual. Dessa forma, o hóspede do quarto 1 passaria ao quarto 2; o do quarto 2 passaria ao
quarto 4; o do quarto 3 passaria ao quarto 6 e assim por diante.
CONJUNTOS ENUMERÁVEIS E NÃO ENUMERÁVEIS
De�nição: Enumerável
Dizemos que um conjunto A é enumerável quando é �nito ou quando existe uma bijeção ƒ: N → A.
Quando existe uma bijeção ƒ: N → A, dizemos que A é um conjunto in�nito enumerável.
NÚMERO CARDINAL
Considere uma função ƒ: A → B bijetora. Essa função nos permite pensar em pares de elementos utilizando A e B, de
modo que cada elemento de A ocorra uma única vez como o primeiro elemento de um par; e cada elemento de B uma
única vez como o segundo elemento de um par.
Dizemos então, nesse caso, que A e B têm o mesmo número de elementos.
Definição: Conjuntos Equipotentes
Dois conjuntos A e B são equipotentes se existir uma função bijetora ƒ: A → B
Notação: A ≅ B
Para cada conjunto A, desejamos associar um símbolo, chamado número cardinal de A, de modo que, se A e B são
equipotentes, então os números cardinais de A e B coincidem.
Notação: número cardinal de A: cardA ou |A|.
O número cardinal do conjunto A nos diz quantos elementos A tem.
TEOREMA DE CANTOR
Sejam X um conjunto arbitrário e Y um conjunto contendo pelo menos dois elementos. Nenhuma função φ: X → ℑ(X,Y)
(glossário) é sobrejetiva.
Corolário: Sejam X , X ,..., X conjuntos in�nitos enumeráveis. O produto cartesiano não é enumerável.1 2 n
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GRUPO
Utilizaremos as de�nições de Grupo e Corpo da Coleção Fundamentos de Matemática , Álgebra - Estruturas Algébricas
e Matemática Discreta sob coordenação de Waldemar de Maio.
Vamos a elas:
Um conjunto A, com a operação *: A → A possui estrutura de grupo, ou é um grupo quando a operação possui as
propriedades:
(a) Associativa (b) Elemento Neutro (c) Elemento Inverso
(Utilizamos a sigla ANI para representaressas propriedades.)
As propriedades:
*: A → A
Associativa: (u * v) * w = u * (v * w), ∀u, v, w ∈ A
Elemento Neutro: Existe Θ ∈ A tal que ∀u ∈ A, Θ * u = u * Θ = u
Elemento Inverso: ∀u ∈ A existe (-u) ∈ A tal que u * (-u) ∈ A tal que u * (-u) = Θ
Se possuir também a propriedade comutativa, dizemos que o grupo é um grupo abeliano ou comutativo.
d) Comutativa: u ∗ v = v ∗ u, ∀u, v ∈ A
CORPO
Sejam um conjunto A ≠ Θ e duas operações internas em A: *: A → A e Δ: A → A
Dizemos que (A * Δ) possui estrutura de corpo, se
1) A operação ∗ tem estrutura de grupo abeliano, logo valem as propriedades Associativas, Elemento Neutro, Elemento
Inverso e Comutativo (ANIC).
2) A operação ∆ possui estrutura de grupo; logo valem as propriedades associativa, elemento neutro e elemento
inverso.
3) vale a propriedade distributiva, à direita/esquerda, da operação ∆ em relação à operação *.
Se é válida a propriedade comutativa, temos um corpo comutativo ou um campo.
OS NÚMEROS REAIS
Sabemos que os números reais constituem um corpo da Álgebra abstrata. Sabemos também que um corpo é um
conjunto munido de duas operações: adição e multiplicação. Essas operações satisfazem a algumas condições, ditas
axiomas de corpo: axiomas da adição, da multiplicação e da distributividade.
Muitas vezes, quando simpli�camos equações e inequações, utilizamos as propriedades dos reais sem perceber que
estamos fazendo isso.
Eventualmente, um aluno aplica propriedades de forma incorreta por não considerar as hipóteses das propriedades a
serem aplicadas.
Construiremos axiomaticamente os números reais, ou seja, de�niremos os números reais como números que
satisfazem a alguns axiomas ou postulados, aceitos sem demonstração.
VOCÊ SABIA?
2
2
2 2
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Os axiomas podem ser chamados também de propriedades ou mesmo propriedades básicas.
A partir desses axiomas podemos encontrar novas definições e deduzir outras propriedades.
PROPRIEDADES ALGÉBRICAS
As propriedades algébricas são muito utilizadas juntamente com os axiomas e as de�nições para demonstrar outras e
novas propriedades.
Existem duas operações binárias no conjunto dos números reais: adição e multiplicação (produto).
NotaçãoSoma de a e b: a+b
Produto de a por b: a x b, a . b e ab
Essas operações satisfazem as propriedades a seguir:
AXIOMAS DA ADIÇÃO
Axiomas da adição. ∀a, b ∈ ℜ
(A1) Fechamento
a + b ∈ ℜ
(A2) Comutativa
a + b = b + a
(A3) Associativa
(a + b) + c = a + (b + c)
(A4) Elemento Neutro
∃0 ∈ ℜ, 0 + a = a + 0 = a
(A5) Elemento Simétrico
Aa ∈ ℜ, ∃(-a) ∈ ℜ tal que a + (-a) = 0 e (-a) + a = 0
AXIOMA DA DISTRIBUTIVIDADE
Axiomas da Multiplicação ∀a, b ∈ ℜ
(M1) Fechamento
a . b ∈ ℜ
(M2) Comutativa
a . b = b . a
(M3) Associativa
(a . b) . c = a . (b . c)
(M4) Elemento Neutro
∃1 ∈ ℜ, 1 . a = a . 1 = a
(M5) Inverso Multiplicativo
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Notação Elemento inverso de a: a . Assim, a =
AXIOMA DA DISTRIBUTIVIDADE
Axioma da Distributividade ∀a, b, c ∈ ℜ
(D) Distributiva
a . (a + b) = (a . b) + (a . c) e (b + c) . a = (b . a) + (c . a)
Subtração.
Subtrair b de a: soma de a com o simétrico de b.
a - b := a + (-b)
Notação. a - b
Divisão.
Dividir a por b: produto de a pelo inverso de b.
Potência.
Potência de a elevada a n, com a ∈ ℜ e n ∈ ℵ: a := a x a x a x ... a, onde a aparece n vezes.
1. Considere as a�rmativas a seguir. Com relação a elas, é somente correto a�rmar que
(I) Se X é um conjunto �nito então todo subconjunto Y ⊂ X é �nito.
(II) Não pode existir uma bijeção ƒ: X → Y de um conjunto �nito X em uma parte própria Y ⊂ X.
(III) Seja A ⊂ I . Se existir uma bijeção ƒ: I → A, então A = I .
(I)
(II)
(II) e (III)
(I) e (II)
(I), (II) e (III)
Justi�cativa
-1 -1
n
n n n
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2. Considere as a�rmativas a seguir. Com relação a elas, é somente correto a�rmar que
(I) Dizemos que um conjunto A é enumerável quando é �nito ou quando existe uma bijeção ƒ: ℵ → A.
(II) Quando existe uma bijeção ƒ: ℵ → A, dizemos que A é um conjunto in�nito enumerável.
(III) Todo conjunto �nito A contém um subconjunto in�nito enumerável.
(I)
(II)
(I) e (II)
(II) e (III)
(I), (II) e (III)
Justi�cativa
Glossário
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O símbolo ℑ(X,Y) representa o conjunto de todas as funções ƒ: X → Y
POR DEFINIÇÃO
:= é um símbolo para “por de�nição”.