Aula_07_CNum

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CÁLCULO NUMÉRICO 
Aula 7 – Integração Numérica 
AULA 7:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
CÁLCULO NUMÉRICO 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA 
 Integração Numérica: 
 Regra dos retângulos; 
 Regra dos trapézios; 
 Regra de Simpson. 
 
AULA 7:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
CÁLCULO NUMÉRICO 
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Integral definida é numericamente igual a área 
sob a curva f(x) no intervalo do domínio [a, b]. 
 
 
 
 
 
• Integração numérica – técnica empregada na determinação 
de uma integral definida e consiste na seguinte aproximação: 
 
 
 

b
a
dxxfI ).(




1
0
).(.).(
n
i
ii
b
a
xxfwdxxfI
AULA 7:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
CÁLCULO NUMÉRICO 
REGRA DOS RETÂNGULOS 
 
• Subdividimos o intervalo [a,b] em “n” intervalos iguais 
que servirão para as bases dos retângulos a serem 
construídos; 
 
 
 
 
 
• A soma das áreas destes retângulos será uma 
aproximação da integral definida da função f(x) no 
intervalo [a,b]. 
 
 
x 
y 
h 
xi 
f(xi) 
AULA 7:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
CÁLCULO NUMÉRICO 
REGRA DOS RETÂNGULOS - CONTINUAÇÃO 
 
• Área de cada retângulo : h.f(xi), onde h = (b-a)/n e f(xi) é 
o valor da função para o ponto médio da base do 
retângulo: 
 
 
 
• Observe que a lei de formação de xi é dada por: 
 
 
 
 
 







1
0
1
0
1
0
)(.)(.).(.).(
n
i
n
i
iii
n
i
ii
b
a
xfhxfhxxfwdxxfI
h
i
axi .
2
)12( 

AULA 7:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
CÁLCULO NUMÉRICO 
EXEMPLO1: Determine pela regra dos retângulos 
com n = 10. 
 
 
 
• Solução Analítica: 
 
• Solução Numérica: 
• h = (1-0)/10 = 0,1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1
0
2
.
1
dx
x
x
I
34657,0ln.
2
1
2
1
.
1
2
0
1
0
2


  uu
du
dx
x
x
I
AULA 7:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
CÁLCULO NUMÉRICO 
EXEMPLO1- CONTINUAÇÃO 
 
 
 
• Solução Numérica: 
 
 
• Da tabela, 
 
 
• Assim, I = 0,1 x 3,469912 = 0,34699 
• Erro = 0,34699 - 0,34657 = 0,00042 
 
 
 




 



1
0
2
1
0
1
0
2 1
.)(..
1
n
i i
i
n
i
i
x
x
hxfhdx
x
x
I
469912,3
1
9
0
2



i i
i
x
x
AULA 7:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
CÁLCULO NUMÉRICO 
REGRA DOS TRAPÉZIOS 
 
• Subdividimos o intervalo [a,b] em “n” intervalos iguais 
que servirão de alturas para os trapézios que serão 
construídos; 
 
 
 
 
 
 
• A soma das áreas destes trapézios será uma aproximação 
da integral definida da função f(x) no intervalo [a,b]. 
 
 
x 
y f(x) 
AULA 7:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
CÁLCULO NUMÉRICO 
REGRA DOS TRAPÉZIOS 
 
• Áreas dos trapézios: 
 
 
h
xfxf
A
h
xfxf
A
h
xfxf
A
h
xfxf
A
nn
n .
2
)]()([
.
.
.
.
2
)]()([
.
2
)]()([
.
2
)]()([
1
32
3
21
2
10
1









Somando-se 
h
xfxfxfxfxf
INTEGRAL nn .
2
)()(.2...)(.2)(.2)( 1210  
INTEGRALATOTAL 
AULA 7:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
CÁLCULO NUMÉRICO 
EXEMPLO 2: Determine com n = 4 pela regra dos 
trapézios 
SOLUÇÃO: 
h = (1-0)/4 = 0,25; f(x) = ex 
X0= 0; x1 = 0,25 ; x2 = 0,50; x3 = 0,75 e x4 = 1,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1
0
.dxeI x
h
xfxfxfxfxf
INTEGRAL .
2
)()(.2)(.2)(.2)( 43210 
25,0.
2
)0,1()75,0(.2)50,0(.2)25,0(.2)0( fffff
INTEGRAL


25,0.
2
71828,211700,2264872,1228403,121 

xxx
INTEGRAL
7272,1INTEGRAL
AULA 7:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
CÁLCULO NUMÉRICO 
REGRA DE SIMPSON 
 
• A Regra de Simpson consiste na aproximação da função 
contínua f(x) no intervalo [a,b] por um polinômio do 20 
grau; 
 
 
 
 
• h = (b-a)/n = (xn-x0)/n 
 
• Na expressão atentar para: 
 f(x0) e f(xn) coeficientes unitários; 
 f(xímpar) coeficiente 4; 
 f(xpar) coeficiente 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)](...)(.2)(.4)(.[
3
).( 210 n
b
a
xfxfxfxf
h
dxxfI  
AULA 7:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
CÁLCULO NUMÉRICO 
EXEMPLO 3: Determine pela regra de Simpson 
1/3 com n = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: h = (3-2)/4 = 0,25 
X0 = 2; x1 = 2,25; x2 = 2,5; x3 = 2,75 e x4 = 3 
f(x0)=5,43; f(x1)=6,93; f(x2)=8,73, f(x3)=10,88 e f(x4)=13,45. 
 
 
 

3
2
2 .. dxexI
x
)]()(.4)(.2)(.4)(.[
3
.. 43210
3
2
2 xfxfxfxfxf
h
dxexI
x
 
]45,1388,10473,8293,6443,5.[
3
25,0
..
3
2
2   xxxdxexI
x
965,8..
3
2
2   dxexI
x
AULA 7:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
CÁLCULO NUMÉRICO 
RESUMINDO 
Nesta aula vocês estudaram: 
 Integração numérica: 
 Regra dos retângulos; 
 Regra dos Trapézios; 
 Regra de Simpson (1/3)