AP3-MEst_II-2014-1-gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP3 – Me´todos Estat´ısticos II – 1/2014
Questa˜o 1 [1,5 pts]
As armac¸o˜es pre´-fabricadas para teto de madeira permitem aos construtores terminarem pro-
jetos mais rapidamente e com menores custos de ma˜o de obra. As placas de conexa˜o para as
armac¸o˜es sa˜o feitas de ac¸o Classe A e sa˜o galvanizadas a quente. A espessura de um conector
de armac¸a˜o (em polegadas) varia ligeiramente segundo uma distribuic¸a˜o uniforme no intervalo
(0,036; 0,050).
(a) Ache um valor ν tal que a proporc¸a˜o de conectores com no ma´ximo ν polegada de espessura
seja de 75%.
(b) O fabricante usa apenas conectores com espessura de pelo menos 0,04 polegada, rejeitando
os demais. Qual proporc¸a˜o de conectores e´ rejeitada?
(c) Um conector, selecionado aleatoriamente, e´ rejeitado pelo fabricante. Qual e´ a probabili-
dade de que sua espessura seja maior que 0,038 polegada?
Soluc¸a˜o
Seja X a espessura dos conectores. Enta˜o, X ∼ Unif(0, 036; 0, 050).
(a) P(X ≤ ν) = 0, 75⇔ ν − 0, 036
0, 050− 0, 036 = 0, 75⇔ ν = 0, 036 + 0, 75× 0, 014 = 0, 0465
(b) Os conectores rejeitados sa˜o aqueles com espessura X < 0, 04.
P(X < 0, 04) =
0, 04− 0, 036
0, 050− 0, 036 = 0, 2857
(c) Sabemos que X < 0, 04. Logo, o problema pede
P(X > 0, 038|X < 0, 04) = P(0, 038 < X < 0, 04)
P(X < 0, 04)
=
0, 04− 0, 038
0, 2857
= 0, 007
Questa˜o 2 [1,0 pt]
Seja X ∼ N(5; 22). Calcule:
(a) [0,2 pt] P(X ≥ 7, 4)
(b) [0,2 pt] P(X < 9)
(c) [0,2 pt] P(1, 8 < X < 5, 8)
(d) [0,2 pt] P(1 < X < 3)
(e) [0,2 pt] P[(X > 4)
Soluc¸a˜o
(a) P(X ≥ 7, 4) = P
(
Z > 7,4−52
)
= P(Z > 1, 2) = 0, 5− tab(1, 2) = 0, 5− 0, 3849 = 0, 1151
(b) P(X < 9) = P
(
Z < 9−52
)
= P(Z < 2) = 0, 5 + tab(2) = 0, 5 + 0, 4772 = 0, 9772
(c) P(1, 8 < X < 5, 8) = P
(
1,8−5
2 < Z <
5,8−5
2
)
= P(−1, 6 < Z < 0, 4) = tab(0, 4)+tab(1, 6) =
0, 1554 + 0, 4452 = 0, 6006
(d) P(1 < X < 3) = P
(
1−5
2 < Z <
3−5
2
)
= P(−2 < Z < −1) = P(1 < Z < 2) = tab(2) −
tab(1) = 0, 4772− 0, 3413 = 0, 1359
(e) P(X > 4) = P
(
Z > 4−52
)
= P(Z > −0, 5) = 0, 5 + tab(0, 5) = 0, 5 + 0, 1915 = 0, 6915
Questa˜o 3 [1,0 pt]
Com base na tabela e nas propriedades da func¸a˜o de densidade t de Student determine a
abscissa t que satisfaz as condic¸o˜es pedidas:
(a) P(t(14) > t) = 0, 99 Sol: t = −0, 2624
(b) P(t(26) ≤ t) = 0, 90 Sol: t = 1, 315
(c) P(|t(20)| < t) = 0, 96 Sol: t = 2, 197
(d) P(|t(11)| > t) = 0, 30 Sol: t = 1, 088
Questa˜o 4 [1,0 pt]
Em cada um dos seguintes problemas, sa˜o dadas as seguintes informac¸o˜es: me´dia amostral,
tamanho amostral, n´ıvel de confianc¸a, desvio padra˜o populacional ou amostral. Ache o intervalo
de confianc¸a apropriado para a me´dia µ de uma populac¸a˜o normal.
(a) x = 94, 3 n = 12 s = 3, 70 1− α = 95%
(b) x = 43, 1 n = 18 σ = 2, 25 1− α = 99%
Soluc¸a˜o
(a) t11;0,025 = 2, 201 � = 2, 201× 3, 7√
12
= 2, 35088 IC : (91, 94912; 96, 65088)
(b) z0,005 = 2, 58 � = 2, 58× 2, 25√
18
= 1, 36825 IC : (41, 73175; 44, 46825)
Questa˜o 5 [1,0 pt]
(a) Determine o tamanho da amostra necessa´rio para se estimar uma proporc¸a˜o p de modo
que o erro cometido na estimac¸a˜o seja de, no ma´ximo, 0,01, com probabilidade de 90%.
(b) Como mudaria sua resposta se lhe fosse dada a informac¸a˜o de que o verdadeiro valor de p
esta´ no intervalo [0, 2; 0, 4]?
Soluc¸a˜o
(a) 1− α = 0, 90⇒ z0,05 = 1, 64
0, 01 = 1, 64×
√
p0(1− p0)
n
⇒ n =
(
1, 64
0, 01
)2
× [p0(1− p0)]
p0 = 0, 5 – procedimento conservador correspondente ao pior caso.
n =
(
1, 64
0, 01
)2
× 0, 5× 0, 5 = 6724
2
(b) Neste caso, o pior caso corresponde a p0 = 0, 4 :
n =
(
1, 64
0, 01
)2
× 0, 4× 0, 6 = 6455
Questa˜o 6 [3,0 pts]
Um foga˜o leve para acampamento e´ projetado para aceitar um combust´ıvel triplo, feito de pro-
pano, iso-butano e butano. Os cilindros para esse foga˜o sa˜o vendidos junto com equipamentos
de acampamento, e o ro´tulo indica 225 gramas de combust´ıvel. Para verificar essa afirmativa,
52 cilindros foram selecionados aleatoriamente e a quantidade de combust´ıvel em cada um foi
medida cuidadosamente. A me´dia amostral foi x = 223, 9 gramas. Ha´ alguma evideˆncia de
que a verdadeira quantidade me´dia de combust´ıvel nesses cilindros seja inferior a` quantidade
anunciada? Para responder a essa pergunta, voceˆ vai realizar um teste de hipo´tese apropriado
com n´ıvel de significaˆncia de 5%, supondo que o desvio-padra˜o populacional seja 3,6 gramas.
Certifique-se de especificar claramente
(a) [0,5 pt] as hipo´teses nula e alternativa;
(b) [0,5 pt] a estat´ıstica de teste;
(c) [0,5 pt] a regia˜o cr´ıtica;
(d) [0,5 pt] a conclusa˜o;
(e) [0,5 pt] o valor P ;
(f) [0,5 pt] os resultados teo´ricos utilizados.
Soluc¸a˜o
σ = 3, 6 α = 0, 05 n = 52 grande!
(a)
H0 : µ = 225
H1 : µ < 225
(b) Z0 =
√
52
X − 225
3, 6
(c) RC : Z0 < −1, 64
(d) z0 =
√
52
223, 9− 225
3, 6
= −2, 203 < −1, 64
Rejeita-se H0, ou seja, ha´ evideˆncias de que a quantidade me´dia de combust´ıvel nesses
cilindros e´ menor que 225 gramas.
(e) P = P(Z ≤ −2, 203) = 0, 5− tab(2, 203) = 0, 5− 0, 4861 = 0, 0139
(f) Como n e´ grande e σ conhecido, utilizou-se o teorema limite central.
Questa˜o 7 [1,5 pts]
Uma amostra aleato´ria de tempos de voo (em minutos) entre duas cidades apresentou os se-
guintes resultados: x = 240, 8 min e s = 8, 43 min.
O tempo de voo para essa rota e´ afetado pelos ventos oeste-leste que prevalecem e, normal-
mente, e´ de 235 minutos. Ha´ alguma evideˆncia que sugira que o verdadeiro tempo de voo seja
superior a 235 minutos? Suponha que a distribuic¸a˜o subjacente seja normal e use α = 0, 025.
Soluc¸a˜o
3
H0 : µ = 225
H1 : µ > 225
T0 =
X − 235
8, 43√
15
=
X − 235
2, 1766
RC : T0 > 2, 145
t0 =
240, 8− 235
2, 1766
= 2, 665 > 2, 145
Rejeita-se H0, ou seja, ha´ evideˆncias de que o tempo me´dio de voo seja superior a 235 min.
4