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1 / 3 www.gustavoviegas.com PROF. GUSTAVO VIEGAS MATEMÁTICA RESUMO TEÓRICO Álgebra Linear Sistemas possíveis e impossíveis Sistema possível e determinado Possui apenas uma solução. A matriz dos coeficientes possui pivô em cada coluna. Sistema possível e indeterminado Possui infinitas soluções. É possível e a matriz dos coeficientes não possui pivô em cada coluna. Sistema impossível Não possui solução. A matriz completa possui alguma linha [0 .. 0 c], c 0. Combinações lineares Dizemos que é combinação linear de { , ..., } se existem números , ..., tais que + ... + = . Sistemas homogêneos Um sistema do tipo A = sempre é possível. Independência linear Dizemos que um conjunto { , ..., } é linearmente independente (LI) se + ...+ = tem por solução apenas = ... = = 0. Caso contrário, o conjunto é linearmente dependente (LD). Assim, um conjunto { , ..., } é LI se a matriz [ ... ] possui um pivô em cada coluna. Transformações lineares Dizemos que uma função T é uma transformação linear se T( ) = T( ) T( + ) = T( ) + T( ) Se T: é uma transformação linear, então existe uma matriz A tal que T( ) = A . Base canônica No , = , = . No , = , = , = . Na base canônica, a matriz da transformação linear chama- se matriz canônica e é dada por A = [T( ) ... T( )] Uma transformação linear T: é injetora se implica T( ) T( ). Na prática, a matriz canônica possui pivô em cada coluna. Uma transformação linear T: é sobrejetora se para cada existe tal que T( ) = . Na prática, matriz canônica possui pivô em cada linha. Matriz inversa Duas matrizes são inversas se A. = , lembrando que = é a identidade de ordem 2 = é a identidade de ordem 3 Para determinar a inversa de A, consideramos a matriz [A ] e a escalonamos até obter [ ]. No caso A = vale . Bases Uma base do é um conjunto LI de dois vetores do com duas componentes , Uma base do é um conjunto LI de três vetores com três componentes , , Span H e Col(A) Dado um conjunto de vetores H = { , ..., }, Span H é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores, ou seja, Span H= { + ... + ; }. Se os mesmos vetores estiverem dispostos em matriz A = [ ... ], chamamos esse conjunto de espaço das colunas da matriz, Col(A). A base de Col(A) é formada pelos vetores de A que possuem pivô na forma escalonada. 2 / 3 www.gustavoviegas.com Nul(A) O espaço nulo ou núcleo de uma matriz é o conjunto { ; A = } Para encontrar a base de Nul(A), resolvemos A = . Lin(A) O espaço das linhas de uma matriz A é o conjunto de todas as combinações lineares das linhas de A. Seja B uma forma escalonada de A. As linhas não nulas de B formam uma base para Lin(A). Teorema do posto dim Col A = número de pivôs de A = posto de A dim Nul A = número de variáveis livres de A = (Posto de A) + (dim Nul A) = número de colunas Autovalores e autovetores Definição Um vetor é autovetor de uma matriz se A = . O número é chamado autovalor de A associado a . Como A = (A – ) = temos um sistema homogêneo com solução não trivial . Logo a) os autovalores de A são as raízes do polinômio característico det(A – ) = 0, b) os autovetores associados a são determinados pelo sistema homogêneo (A – ) = . Observações a) Os autovalores de uma matriz triangular são os elementos de sua diagonal principal. b) Uma matriz A é invertível se, e somente se, 0 não é autovalor de A. De outra forma, det(A) = 0, se, e somente se, = 0 é autovalor. Diagonalização A = PD Se um autovalor é raiz vezes do polinômio característico det(A – ) = 0, dizemos que tem multiplicidade algébrica . Se um autovalor é tal que a matriz (A – ) possui variáveis livres, dizemos que tem multiplicidade geométrica . A dimensão do auto-espaço associado a é . Teorema Uma matriz é diagonalizável se, e somente se, a soma das multiplicidades geométricas de seus autovalores é n. Podemos enunciar esse teorema de outras maneiras: Uma matriz é diagonalizável se, e somente se, = para todos os autovalores de A. Uma matriz é diagonalizável se, e somente se, possui uma base de autovetores. Cálculo da diagonalização A = PD 1º) Calculamos os autovalores e os autovetores de A. 2º) A matriz D é formada pelo autovalores, dispostos na diagonal principal e com os demais elementos nulos. 3º) A matriz P é formada pelos autovetores, mantendo a ordem em que seus respectivos autovalores foram dispostos em D. 4º) Calculamos . Conjuntos ortogonais Produto escalar e norma de vetores Sejam = e = . O produto escalar de por é = + + . Dizemos que e são ortogonais se = 0. A norma do vetor é = . Normalizar um vetor torná-lo unitário. Conjunto ortogonal Dizemos que um conjunto { , ,..., } é ortogonal se os vetores forem ortogonais dois a dois. Se W = { , ,..., } é um conjunto ortogonal e Span (W), então com Projeção ortogonal A projeção ortogonal de sobre é A componente de ortogonal a é = . Se { , , } é um conjunto ortogonal, a projeção ortogonal de sobre W = Span{ , , } é a projeção de sobre cada vetor da base. 3 / 3 www.gustavoviegas.com Processo de Gram-Schmidt Seja { , , } uma base para um subespaço W. Então os vetores { , , } formam uma base ortogonal para W. Teorema Dizemos que A é ortogonal se possui colunas ortogonais e unitários (ortonormais). Se A é uma matriz ortogonal, então . Fatoração QR Seja uma matriz A. 1º ) Aplicamos Gram-Schmidt nas colunas da matriz A. 2º) Normalizamos cada vetor obtido. 3º) A matriz Q é formada pelos vetores obtidos na etapa anterior. 4º) R = A Problema de mínimos quadráticos Sejam uma matriz A e um vetor . O problema de mínimos quadráticos consiste em encontrar um vetor tal que o erro seja o menor possível. Para encontrar tal , resolvemos o sistema A = . Reta de mínimos quadráticos Dados os pontos ( , ), ( , ), ..., ( , ), o problema de encontrar a reta y = + x que melhor se ajusta a esses pontos é um problema de mínimos quadráticos = com A =e = Matrizes simétricas Uma matriz é simétrica se = A, ou seja, . Teorema Seja uma matriz simétrica. a) Todos os seus autovalores são reais. b) Autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais. c) Sempre é diagonalizável. Teorema Dizemos que uma diagonalização é ortogonal se a matriz P é ortogonal, ou seja, A = . Uma matriz é simétrica se, e somente se, possui diagonalização ortogonal. Diagonalização A = Seja uma matriz simétrica. 1º ) Calculamos os autovalores e os autovetores de A. 2º) A matriz D é formada pelos autovalores, dispostos na diagonal principal e com os demais elementos nulos. 3º) Se algum autovalor tem mais do que um autovetor, aplicamos Gram-Schmidt neles e, em seguida, os normalizamos. São normalizados, também, os demais autovalores da matriz. 4º) A matriz P é formada pelos vetores ortonormais obtidos na etapa anterior, mantendo a ordem em que seus respectivos autovalores foram dispostos em D. 5º) Calculamos . Formas Quadráticas Uma forma quadrática Q é uma função do tipo Q = + + + + + A matriz associada à forma Q(x) é Sejam , e os autovalores da matriz simétrica A e P a matriz da diagonalização A = . A forma quadrática Q(y) sem os termos mistos é Q(y) = + + A matriz mudança de variáveis que transforma Q(x) em uma forma sem termos mistos Q(y) é P. Classificação das formas quadráticas Uma forma quadrática é a) Positiva definida se todos os autovalores são positivos. b) Positiva semi-definida se alguns autovalores são nulos e outros são positivos. c) Negativa definida se todos os autovalores são negativos. d) Negativa semi-definida se alguns autovalores são nulos e outros são negativos. e) Indefinida se possui autovalores positivos e negativos. Máximos e mínimos sujeitos a vetores unitários O máximo de uma forma quadrática restrito a vetores de norma 1 é o maior autovalor de A e ocorre na direção do autovetor associado a esse autovalor. O mínimo de uma forma quadrática restrito a vetores de norma 1 é o menor autovalor de A e ocorre na direção do autovetor associado a esse autovalor.
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