Algebra linear - Lista VI - AUTOVALORES E AUTOVETORES - Unid III

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIOGRANDE DO NORTE 
CCET – DEP. DE MATEMÁTICA 
Professor Neto 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1. Encontre autovalores e autovetores e as bases para os autoespaços correspondentes para cada uma das seguintes 
matrizes: 
(a) (
3 2
4 1
) (b) (
6 −4
3 −1
) (c) (
3 −1
1 1
) (d) (
3 −8
2 3
) (e) (
1 1
−2 3
) 
 
(f) (
1 1 1
0 2 1
0 0 1
) (g) (
1 2 1
0 3 1
0 5 −1
) (h) (
4 −5 1
1 0 −1
0 1 −1
) 
 
2. Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores: 
(a) (2, −1)𝑇 para 𝐴 = (
2 2
1 3
) (b) (−2,1,3)𝑇 para 𝐴 = (
1 −1 0
2 3 2
1 2 1
) 
 
3. Seja A uma matriz 2 × 2. Se tr(A) = 8 e det(A) = 12, quais são os autovalores de A? 
 
4. Os vetores (1,1)𝑇 e (2, −1)𝑇 são autovetores de um operador linear 𝑇: 𝑅2 → 𝑅2 associados aos autovalores 𝜆1 = 5 e 
𝜆2 = 3, respectivamente. Determinar 𝑇((4,1)
𝑇). 
 
5. Determinar o operador linear 𝑇: 𝑅2 → 𝑅2 cujos autovalores são 𝜆1 = 1 e 𝜆2 = 3 associados aos autoespaços 𝑁(𝐴 −
𝜆1𝐼) = {(−𝑥2, 𝑥2)
𝑇| 𝑥2 ∈ 𝑅} e 𝑁(𝐴 − 𝜆2𝐼) = {(0, 𝑥2)
𝑇| 𝑥2 ∈ 𝑅}. 
 
6. Seja 𝐱 = (𝑥1, 𝑥2)
𝑇, determine os autovalores e os autovetores dos seguintes operadores lineares no 𝑅2. 
(a) 𝑇(𝐱) = (𝑥1 + 2𝑥2, −𝑥1 + 4𝑥2)
𝑇 (b) 𝑇(𝐱) = (𝑥1, −𝑥2)
𝑇 
 
7. Dado o operador linear 𝑇 no 𝑅2 tal que 𝑇(𝐱) = (3𝑥1 − 5𝑥2, 2𝑥2)
𝑇 , encontrar uma base de autovetores. 
 
8. Verificar se existe uma base de autovetores para as seguintes transformações 𝑇: 𝑅3 → 𝑅3: 
(a) 𝑇(𝐱) = [
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3
2𝑥2 + 𝑥3
2𝑥2 + 3𝑥3
] (b) 𝑇(𝐱) = [
𝑥1
−2𝑥1 − 𝑥2
2𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3
] (c) 𝑇(𝐱) = [
𝑥1
−2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3
−4𝑥2 + 3𝑥3
] 
 
 
9. Dois tanques contém cada um 100 litros de uma mistura. Inicialmente a mistura no 
tanque 𝑨 contém 40 gramas de sal enquanto a mistura no tanque 𝑩 contém 20 
gramas de sal. O líquido é bombeado para dentro e para fora dos tanques como 
mostrado na figura a seguir. Determine a quantidade de sal em cada tanque no 
instante 𝒕. 
 
 
 
Respostas 
 
1. (a) 𝜆1 = 5 e {(1,1)
𝑇}, 𝜆2 = −1 e {(1, −2)
𝑇} 
(b) 𝜆1 = 3 e {(4,3)
𝑇}, 𝜆2 = 2 e {(1,1)
𝑇} 
(c) 𝜆1 = 𝜆2 = 2 e {(1,1)
𝑇} 
(d) 𝜆1 = 3 + 4𝑖 e {(2𝑖, 1)
𝑇}, 𝜆2 = 3 − 4𝑖 e {(−2𝑖, 1)
𝑇} 
(e) 𝜆1 = 2 + 𝑖 e {(1,1 + 𝑖)
𝑇}, 𝜆2 = 2 − 𝑖 e {(1,1 − 𝑖)
𝑇} 
(f) 𝜆1 = 2 e {(1,1,0)
𝑇}, 𝜆2 = 𝜆3 = 1 e {(1,0,0)
𝑇 , (0,1, −1)𝑇} 
(g) 𝜆1 = 1 e {(1,0,0)
𝑇}, 𝜆2 = 4 e {(1,1,1)
𝑇}, 𝜆3 = −2 e 
{(−1, −1,5)𝑇} 
(h) 𝜆1 = 2 e {(7,3,1)
𝑇}, 𝜆2 = 1 e {(3,2,1)
𝑇}, 𝜆3 = 0 e 
{(1,1,1)𝑇} 
2. λ1 = 6 e λ2 = 2 
3. (a) Sim (b) Não 
4. 𝑇(𝐱) = (𝑥1 + 4𝑥2, 2𝑥1 + 3𝑥2)
𝑇 e 𝑇((4,1)𝑇) = (8,11)𝑇 . 
5. 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥1, 2𝑥1 + 3𝑥2)
𝑇. 
6. (a) autovalores: 2 e 3 (b) não possui autovalores reais 
7. {(1, −1)𝑇 , (1,0)𝑇}. 
8. (a) Sim (b) Sim (c) Não 
9. 
𝑦1(𝑡) = 15𝑒
−0,24𝑡 + 25𝑒−0,08𝑡 
𝑦2(𝑡) = −30𝑒
−0,24𝑡 + 50𝑒−0,08𝑡