Aula 6- Produto de Vetores

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Aula Teórica 06 
Produto de Vetores 
Geometria Analítica 
Prof. Adriano Verdério 
Revisão Aula Passada 
1. Decomposição de um vetor no 𝑹𝟐. 
2. Expressão analítica de um vetor: 
𝑣 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 
𝑣 = (𝑥, 𝑦) 
*𝑖 , 𝑗 + - base CANÔNICA no 𝑹𝟐. 
 Sistema cartesiano xOy 
Revisão Aula Passada 
3. *𝑖 , 𝑗 , 𝑘+ - base CANÔNICA no 𝑹𝟑. Sistema cartesiano 
ortonormal Ox,y,z. 
𝑣 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 
𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) 
Exercício 1: Dado os pontos 𝑃 (1,2,4), 𝑄 (2,3,2) e 
𝑅 = (2,1, −1), determinar as coordenadas de um 
ponto 𝑆 tal que 𝑃, 𝑄, 𝑅 e 𝑆 sejam vértices de um 
paralelogramo. 
Para 𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑧), vamos ter a igualdade: 
𝑃𝑄 = 𝑆𝑅 ⟹ 𝑄 – 𝑃 = 𝑅 – 𝑆 
P Q 
S R 
⇒ (1,1, −2) = (2 − 𝑥, 1 – 𝑦, −1 – 𝑧) 
Mas, pela definição de igualdade de vetores: 
 
2 − 𝑥 = 1
1 − 𝑦 = 1
−1 − 𝑧 = −2 
 
Logo, S (1, 0, 1) 
Cuja solução é: 
 𝑥 = 1, 𝑦 = 0, e 𝑧 = 1. 
𝑃 (1,2,4) 𝑄 (2,3,2) 
S (1, 0, 1) 𝑅 = (2,1, −1) 
2 − 𝑥, 1 – 𝑦,−1 – 𝑧 = (1,1,−2) 
Exercício 2: Determinar os valores de 𝑚 e 𝑛 para 
que sejam paralelos os vetores 𝑢 = (𝑚 + 1, 3,1) e 
𝑣 = (4, 2, 2𝑛 − 1). 
Solução: Para ocorrer o paralelismo, devemos ter: 
 𝑚+1
4
=
3
2
=
1
2𝑛−1
 
Ou: 
 
2 𝑚 + 1 = 12
3 2𝑛 − 1 = 2
⟹ 
2𝑚 = 2 = 12
6𝑛 − 3 = 2
 
 
E a solução é dada por 𝑚 = 5 e 𝑛 =
5
6
. 
∴ 𝑢 = 6, 3,1 e 𝑣 = (4, 2, 2/3). 
1. Produto Escalar (R2 e R3) 
2. Propriedades do produto escalar 
3. Interpretação Geométrica do produto escalar 
4. Condições de ortogonalidade de vetores 
5. Projeção de um vetor 
6. Produto Vetorial 
7. Propriedades do Produto Vetorial 
8. Aplicações 
9. Produto Misto 
A aula de hoje ! 
1. Produto Escalar 
Definição: Dados dois vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) e 
𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) define-se o produto escalar (ou produto 
interno usual) entre 𝑢 e 𝑣 o seguinte número real: 
 
𝑢. 𝑣 = 𝑥1. 𝑥2 + 𝑦1𝑦2 
Também se usa a notação: 
 
< 𝑢, 𝑣 >= 𝑥1. 𝑥2 + 𝑦1𝑦2 
Analogamente, no 𝑹𝟑: 
 
Definição: Dados dois vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 
𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) define-se o produto escalar (ou 
produto interno usual) entre 𝑢 e 𝑣 o seguinte 
número real: 
 
𝑢. 𝑣 = 𝑥1. 𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2 
Exemplo 3: Se 𝑢 = (3,−5) e 𝑣 = (4, −2) , então: 
𝑢. 𝑣 = 𝑥1. 𝑥2 + 𝑦1𝑦2 = 3.4 + −5 . −2 = 22 
Exemplo 4: Se 𝑢 = (3,−5,2) e 𝑣 = (4, −2,1) , então: 
 
 
𝑢. 𝑣 = 𝑥1. 𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2 
 = 3.4 + −5 . −2 + 2.1 
 = 24 
(1,-3,3) (-1))-2 2,- 1- 3,-(4 B - A BA 
Substituindo e resolvendo a equação dada, vem: 
53)) 3,- (1, 2,3) ,1).((- , (4, 
56) 1,- 1, 1).(- , (4, 
56) ()(1) 4(  11
.
3
7
 portanto, ,E
7 3
56 4 4



SOLUÇÃO 
Exemplo 5: Sejam 𝑢 = (4, 𝛼, −1) e 𝑣 = (𝛼, 2,3) e 
considere os pontos 𝐴(4,−1,2) e 𝐵(3,2, −1) , 
determinar o valor de 𝛼 tal que 𝑢. (𝑣 + 𝐵𝐴) = 5. 
1. Imediato: 𝑢. 𝑢  0 e 𝑢. 𝑢 = 0, somente se 𝑢 = 0 ; 
2. Comutativa: 𝑢. 𝑣 = 𝑣 . 𝑢; 
3. Distributiva em relação à adição de vetores: 
𝑢. 𝑣 + 𝑤 = 𝑢. 𝑣 + 𝑢. 𝑤; 
4. (𝑚 𝑢). 𝑣 = 𝑚 (𝑢. 𝑣 ) = 𝑢. (𝑚 𝑣 ); 
5. 𝑢. 𝑢 = |𝑢|2. 
2. Propriedades do produto escalar 
IMPORTANTE 
Produto ESCALAR de dois vetores 
é um NÚMERO ! 
Exercício: Mostrar que: 
 
 1. |𝑢 + 𝑣 |2 = |𝑢|2 + 2𝑢. 𝑣 + |𝑣 |2 ; 
 
 2. |𝑢 − 𝑣 |2 = |𝑢|2 − 2𝑢. 𝑣 + 𝑣 2. 
3. Interpretação Geométrica 
O produto escalar de dois vetores está relacionado 
com o ângulo por eles formado. 
Lembrete: O ângulo entre dois vetores pode variar 
entre 0º e 180º graus. 
 

𝑣 
𝑢 
Lembrete: Lei dos Cossenos: 
a² = b² + c² - 2bc cos(A) 
b² = a² + c² - 2ac cos(B) 
c² = a² + b² - 2ab cos(C) 
Seja 𝑢 ≠ 0, 𝑣 ≠ 0 e se  é o ângulo entre 𝑢 e 𝑣 : 
Aplicando a lei dos co-senos ao triângulo ABC, temos: 
 |𝑢 − 𝑣 |2 = |𝑢|2 + |𝑣 |2 − 2|𝑢|. |𝑣 | cos 𝜃 (1) 
Mas, acabamos de ver que 
 |𝑢 − 𝑣 |2 = |𝑢|2 − 2𝑢. 𝑣 + |𝑣 |2 (2) 

𝑣 
𝑢 
𝐴 
𝐵 
𝐶 
𝑢 − 𝑣 
Comparando as igualdade (1) e (2): 
|𝑢|2 + |𝑣 |2 − 2|𝑢|. |𝑣 | cos 𝜃 = |𝑢|2 − 2𝑢. 𝑣 + |𝑣 |2 
Assim, se 𝑢 ≠ 0, 𝑣 ≠ 0 e se  é o ângulo entre 𝑢 e 𝑣 : 
2|𝑢|. |𝑣 | cos 𝜃 = 2𝑢. 𝑣 
Ou seja: 
𝑢. 𝑣 = |𝑢|. |𝑣 | cos 𝜃 
Em outras palavras, o produto escalar de dois 
vetores 𝑢 e 𝑣 é o produto dos seus módulos pelo co-
seno do ângulo por eles formado. 

𝑣 
𝑢 
𝑢. 𝑣 = |𝑢|. |𝑣 | cos 𝜃 
• Se 𝑢. 𝑣 > 0 , cos  deve ser um 
número positivo, isto é, cos  > 0, o 
que implica 0º  < 90º. Nesse caso, 
 é ângulo agudo ou nulo. 
• Se 𝑢. 𝑣 < 0 , cos  deve ser um 
número negativo, isto é, cos  < 0, o 
que implica 90º<   180º. Nesse 
caso,  é ângulo obtuso ou raso. 
• Se 𝑢. 𝑣 = 0, cos  deve ser igual a 
zero, isto é, cos  = 0, o que significa 
 = 90º ou 270º. Nesse caso,  é 
ângulo reto. 
𝑢. 𝑣 = |𝑢|. |𝑣 | cos 𝜃 
Podemos então dizer que o ângulo entre dois 
vetores é dado por: 

𝑣 
𝑢 
𝒄𝒐𝒔𝜽 =
𝒖. 𝒗
|𝒖|. |𝒗|
 
4. Condição de Ortogonalidade de Dois Vetores 
Pelo que acabamos de ver, podemos afirmar que 
dois vetores 𝑢 e 𝑣 são ortogonais, se, e somente se: 
 
𝑢. 𝑣 = 0 
𝑢 ⊥ 𝑣 ⟺ 𝑢. 𝑣 = 0 
Exemplo 6: Mostre que os vetores 𝑢 = (−2,3, −2) e 
𝑣 = (−1,2,4) são ortogonais. 
De fato: 
 
𝑢. 𝑣 = −2 . −1 + 3.2 + −2 . 4 = 2 + 6 − 8
= 0 
Exemplo 07: Determinar os ângulos entre os 
vetores 𝑢 = (1,1,4) e 𝑣 = (−1,2,2). 
Temos: 
𝑢. 𝑣 = 1. −1 + 1.2 + 4.2 = −1 + 2 + 8 = 9 
𝑢 = 12 + 12 + 42 = 18 
𝑣 = (−1)2+22 + 22 = 9 
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
𝑢. 𝑣 
|𝑢|. |𝑣 |
=
9
18 9
=
9
3 2. 3
=
1
2
=
2
2
 
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
2
2
⇒ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 
2
2
⇒ 𝜽 = 𝟒𝟓𝟎 
5. Projeção de um Vetor sobre outro 
Sejam os vetores 𝑢 e 𝑣 , com 𝑢 ≠ 0 e 𝑣 ≠ 0 , e  o 
ângulo por eles formado. 
Pretendemos calcular o vetor 𝑤 que representa a 
projeção de 𝑢 sobre 𝑣 . 
Da lei dos senos no triângulo retângulo, vem: 
|cos 𝜃| =
𝑐. 𝑎𝑑𝑗.
ℎ𝑖𝑝.
=
|𝑤|
|𝑢|
⟹ 𝑤 = 𝑢 . |cos 𝜃 | 
𝑤 = 𝑢 .
𝑢. 𝑣 
|𝑢|. |𝑣 |
= 𝑢 .
|𝑢. 𝑣 |
|𝑢|. |𝑣 |
 
𝒄𝒐𝒔𝜽 =
𝒖. 𝒗
|𝒖|. |𝒗|
 𝑤 = 𝑘𝑣 
Como 𝑤 e 𝑣 possuem a mesma direção, segue que: 
 
𝑤 = 𝑘𝑣 , 𝑘 ∈ 𝑅 
⟹ 𝑤 =
|𝑢. 𝑣 |
|𝑣 |
 
Logo: 
|𝑤| = 𝑘 . |𝑣 | 
E então: 
𝑘 = 𝑤 .
1
|𝑣 |
=
|𝑢. 𝑣 |
|𝑣 |
.
1
|𝑣 |
 
𝑤 =
|𝑢. 𝑣 |
|𝑣 |
 
Assim: 
𝑘 =
|𝑢. 𝑣 |
|𝑣 |2
 
E podemos expressar a projeção de um vetor 𝑢 sobre 
um vetor 𝑣 por: 
𝑝𝑟𝑜𝑗𝑣 𝑢 =
𝑢. 𝑣 
|𝑣 |2
. 𝑣 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑣 𝑢 =
𝑢. 𝑣 
𝑣 . 𝑣 
. 𝑣 ou 
Exemplo 8: Determinar a projeção do vetor 
𝑢 = (2,3,4) sobre o vetor 𝑣 = (1, −1,0). 
Solução: A projeção de 𝑢 sobre 𝑣 é dada por: 
 
𝑝𝑟𝑜𝑗𝑣 𝑢 =
𝑢. 𝑣 
|𝑣 |2
. 𝑣 
Assim: 
𝑝𝑟𝑜𝑗𝑣 𝑢 =
2,3,4 . 1, −1,0
(1, −1,0) 2
. 1, −1,0 
=
2 − 3 + 0
1 + 1 + 0
2 . 1, −1,0 
=
−1
2
. 1, −1,0 =
−1
2
,
1
2
, 0 
6. Produto vetorial 
Dados dois vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) 
define-se o produto vetorial dos vetores 𝑢 e 𝑣 , e 
denota-se 𝑢 × 𝑣 , o seguinte vetor: 
 
Obs: Cada componente do vetor acima pode ser 
expresso por um determinante, ou seja: 
 
𝒖 × 𝒗 =
𝒚𝟏 𝒛𝟏
𝒚𝟐 𝒛𝟐
𝒊 −
𝒙𝟏 𝒛𝟏
𝒙𝟐 𝒛𝟐
𝒋 +
𝒙𝟏 𝒚𝟏
𝒙𝟐 𝒚𝟐
𝒌 
Obs: Também se usa a notação 𝑢 ∧ 𝑣 . 
 
𝑢 × 𝑣 = (𝑦1. 𝑧2 − 𝑧1𝑦2)𝑖 − (𝑥1. 𝑧2 − 𝑧1𝑥2)𝑗 + (𝑥1. 𝑦2 − 𝑦1𝑥2)𝑘 
Obs: Maneirade memorizar: 
𝒖 × 𝒗 =
𝒊 𝒋 𝒌
𝒙𝟏 𝒚𝟏 𝒛𝟏
𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐
 
Exemplo 9: Determinar produto vetorial entre 
𝑢 = (5,4,3) sobre o vetor 𝑣 = (1,0,1). 
𝑢 × 𝑣 =
𝑖 𝑗 𝑘
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
=
𝑖 𝑗 𝑘
5 4 3
1 0 1
= 4 − 0 𝑖 − 5 − 3 𝑗 + 0 − 4 𝑘 
 
= 4 1,0,0 − 2 0,1,0 − 4(0,0,1) 
= 4,0,0 + 0,−2,0 + (0,0,−4) 
= (4,−2,−4) 
7. Propriedades do produto vetorial 
1) 𝒖 × 𝒖 = 𝟎, qualquer que seja 𝒖. 
𝑢 × 𝑢 =
𝑖 𝑗 𝑘
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥1 𝑦1 𝑧1
= 0,0,0 = 0 
2) 𝒖 × 𝒗 = −𝒗 × 𝒖, qualquer que seja 𝒖, 𝒗. 
𝑢 × 𝑣 =
𝑖 𝑗 𝑘
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
= 
Seja 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1). Então: 
−
𝑖 𝑗 𝑘
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥1 𝑦1 𝑧1
= −𝑣 × 𝑢 
Sejam 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2). Então: 
3) 𝒖 × 𝒗 + 𝒘 = 𝒖 × 𝒗 + 𝒖 × 𝒘 ; 
De fato, sejam 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 , 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) e 
𝑤 = (𝑥3, 𝑦3, 𝑧3). 
Então: 𝑣 + 𝑤 = 𝑥2 + 𝑥3, 𝑦2 + 𝑦3, 𝑧2 + 𝑧3 
Logo: 
𝑢 × 𝑣 + 𝑤 =
𝑖 𝑗 𝑘
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 + 𝑥3 𝑦2 + 𝑦3 𝑧2 + 𝑧3
 
=
𝑖 𝑗 𝑘
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
+
𝑖 𝑗 𝑘
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥3 𝑦3 𝑧3
 
 
= 𝑢 × 𝑣 + 𝑢 × 𝑤 
4) (𝑚𝑢) × 𝑣 = 𝑚(𝑢 × 𝑣 ) , qualquer que seja 𝑢 , 
𝑣 e 𝑚 ∈ 𝑅; 
De fato, para 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) ⇒ 𝑚𝑢 = (𝑚𝑥1, 𝑚𝑦1, 𝑚𝑧1) 
Logo, 
𝑚𝑢 × 𝑣 =
𝑖 𝑗 𝑘
𝑚𝑥1 𝑚𝑦1 𝑚𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
 
= 𝑚
𝑖 𝑗 𝑘
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
 
 
 = 𝑚(𝑢 × 𝑣 ) 
5) 𝑢 × 𝑣 = 0 se, e somente se um dos vetores é nulo 
ou se 𝑢 e 𝑣 são colineares. 
a) Se 𝑢 = (0,0,0) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2). Então: 
𝑢 × 𝑣 =
𝑖 𝑗 𝑘
0 0 0
𝑥2 𝑦2 𝑧2
= 0,0,0 = 0 
b) Se nem 𝑢 e nem 𝑣 são nulos, mas 𝑢 = 𝑚𝑣 , então: 
𝑢 × 𝑣 =
𝑖 𝑗 𝑘
𝑚𝑥2 𝑚𝑦2 𝑚𝑧2
𝑥2 𝑦2 𝑧2
= 𝑚
𝑖 𝑗 𝑘
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥2 𝑦2 𝑧2
 
 = 𝑚 0,0,0 = 0 
Reciprocamente, se 𝑢 × 𝑣 = 0 , então deveremos 
ter: 
𝟎, 𝟎, 𝟎 = 𝒖 × 𝒗 =
𝒚𝟏 𝒛𝟏
𝒚𝟐 𝒛𝟐
𝒊 −
𝒙𝟏 𝒛𝟏
𝒙𝟐 𝒛𝟐
𝒋 +
𝒙𝟏 𝒚𝟏
𝒙𝟐 𝒚𝟐
𝒌 
Ou seja, 
0 =
𝑦1 𝑧1
𝑦2 𝑧2
=
𝑥1 𝑧1
𝑥2 𝑧2
=
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
 
E isto significa que ou 𝑥1 = 𝑧1= 𝑧1= 0 , ou que 
𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 são proporcionais a 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2, ou seja, 
𝑣 = 0 ou 𝑢 e 𝑣 são colineares. 
6) 𝑢 × 𝑣 ⊥ 𝑢 e 𝑢 × 𝑣 ⊥ 𝑣 , qualquer que seja 𝑢, 𝑣 . 
Ou seja, 𝑢 × 𝑣 é simultaneamente ortogonal a 𝑢 e a 𝑣 . 
7) |𝑢 × 𝑣 |𝟐 = |𝑢|2|𝑣 |2 − 𝑢.𝑣 2. (Identidade de Lagrange) 
8) Se 𝑢 ≠ 0 e 𝑣 ≠ 0, e se 𝜃 é o ângulo entre 𝑢 e 𝑣 , 
então: 
𝑢 × 𝑣 = 𝑢 𝑣 sen 𝜃 . 
9) O produto vetorial não é associativo: 
 
𝑢 × (𝑣 × 𝑤) ≠ (𝑢 × 𝑣 ) × 𝑤 
8. Aplicações 
Geometricamente, o módulo do produto vetorial de 
dois vetores mede a área do paralelogramo ABCD, 
determinado pelos vetores 𝑢 = 𝐴𝐵 e 𝑣 = 𝐴𝐶. 
Á𝑟𝑒𝑎(𝐴𝐵𝐶𝐷) = |𝑢| ℎ 
ℎ = |𝑣|𝑠𝑒𝑛  
Á𝑟𝑒𝑎 (𝐴𝐵𝐶𝐷) = |𝑢||𝑣 |𝑠𝑒𝑛  
Mas: 
Logo: 
𝑢 × 𝑣 = 𝑢 𝑣 𝑠𝑒𝑛  
|𝑢 × 𝑣 | = Á𝑟𝑒𝑎 (𝐴𝐵𝐶𝐷) 
Exemplo 10: Determinar a área do paralelogramo 
determinado pelos vetores 𝑢 = (1,2, −1) e 𝑣 =
(0, −1,3). 
Solução: 
Temos que a área é dada por: |𝑢 × 𝑣 | = Á𝑟𝑒𝑎 𝐴𝐵𝐶𝐷 
𝑢 × 𝑣 =
𝑖 𝑗 𝑘
1 2 −1
0 −1 3
 =
2 −1
−1 3
𝑖 −
1 −1
0 3
𝑗 +
1 2
0 −1
𝑘 
= 6 − 1 𝑖 − 3 − 0 𝑗 + −1 − 0 𝑘 = 5,−3,−1 
Á𝑟𝑒𝑎 𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑢 × 𝑣 = 5,−3,−1 = 52 + −3 2 + (−1)2
= 35𝑢. 𝑎. 
9. Produto misto 
Definição: Dados dois vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 
𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) e 𝑤 = (𝑥3, 𝑦3, 𝑧3) define-se o produto 
misto dos vetores 𝑢, 𝑣 e 𝑤 o seguinte número real: 
 
𝒖. 𝒗 × 𝒘 
 
Também se usa a notação (𝒖, 𝒗,𝒘) para o produto 
misto. 
Tendo em vista que: 
 𝑣 × 𝑤 =
𝑖 𝑗 𝑘
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥3 𝑦3 𝑧3
 =
𝑦2 𝑧2
𝑦3 𝑧3
𝑖 −
𝑥2 𝑧2
𝑥3 𝑧3
𝑗 +
𝑥2 𝑦2
𝑥3 𝑦3
𝑘 
 
Então: 
 
𝑢. 𝑣 × 𝑤 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 .
𝑦1 𝑧1
𝑦2 𝑧2
, −
𝑥1 𝑧1
𝑥2 𝑧2
, +
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
 
 = 𝑥1
𝑦1 𝑧1
𝑦2 𝑧2
− 𝑦1
𝑥1 𝑧1
𝑥2 𝑧2
+ 𝑧1
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
 
⇒ (𝑢, 𝑣 , 𝑤) = 𝑢. 𝑣 × 𝑤 =
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥3 𝑦3 𝑧3
 
Propriedade importante do produto misto 
Se 𝑢, 𝑣 e 𝑤 são coplanares, então (𝑢, 𝑣 , 𝑤)=0. 
Exemplo 11: Verificar se os vetores 𝑢 = (3, −1,4) e 
 𝑣 = 1,0, −1 e 𝑤 = (2,−1,0) são coplanares. 
(𝑢, 𝑣 , 𝑤) =
3 −1 4
1 0 −1
2 −1 0
= −5 ≠ 0 
Logo 𝑢, 𝑣 e 𝑤 NÃO são coplanares. 
10.Interpretação geométrica do módulo do produto misto 
Sabe-se que o volume V de um paralelepípedo é: V = (área da base) x (altura) 
ou, V = Ab x h mas, 
ou 
Logo, o volume do paralelepípedo. 
Fazendo, 
(1) 
(2) 
Comparando (1) com (2), vem: 
Volume do tetraedro 
 Todo paralelepípedo é equivalente a dois 
prismas triangulares iguais. 
 Como todo prisma triangular equivale a três 
pirâmides (que no caso são tetraedros) de base e 
altura equivalentes à base e altura do prisma, o 
volume de uma destas pirâmides é 
1
6
 do volume do 
paralelepípedo. 
 
 Sendo A, B, C e D quatro pontos do espaço, 
não situados num mesmo plano, e três a três não 
colineares, as arestas do paralelepípedo são 
determinadas pelos vetores 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 e 𝐴𝐷 e, portanto, 
o volume do tetraedro ABCD é dado por: 
𝑉 =
1
6
(𝐴𝐵, 𝐴𝐶, 𝐴𝐷 | 
Exemplo 12: Calcular o volume do tetraedro cujos 
vértices são: A(1,2,1), 𝐵 7,4,3 , C(4,6,2) e 𝐷(3,3,3). 
𝑉 =
1
6
6 2 2
3 4 1
2 1 2
=
1
6
. |24| = 6𝑢. 𝑣 
Solução: O volume do tetraedro é dado por: 
 
𝑉 =
1
6
(𝐴𝐵, 𝐴𝐶, 𝐴𝐷 |. 
𝐴𝐵 = 6,2,2 , 𝐴𝐶 = 3,4,1 , 𝐴𝐷 = (2,1,2)