Roteiro_2 (Célia)

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
“JÚLIO DE MESQUITA FILHO” 
Campus de Bauru 
 
 
 
 
 
 
 
 
Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências 
Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 
Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ 
 
Matemática Aplicada à Engenharia- 2
o
 Semestre de 2014 
 
Roteiro 2: EDO de Primeira Ordem - Estudo Qualitativo 
 
 
Objetivos: Análise das soluções de uma EDO, do ponto de vista geométrico. 
 
(1) Campos Direcionais e Curvas Soluções 
 
 Vimos que uma EDO de 1
a
 Ordem tem a forma normal: 
 
)y,x(f
dx
dy

. (1) 
 
 Para investigar o comportamento de uma solução dessa EDO, pode-se imaginá-lo do 
ponto de vista geométrico. 
 
 A equação (1) estabelece uma relação entre as coordenadas de um ponto e o coeficiente 
angular da reta tangente ao gráfico da solução em cada ponto. Assim, em vários pontos (x, y) 
do plano, f(x, y) determina uma inclinação 
ym 
. Além disso, tem-se que: 
 
(1) uma solução de (1) é uma função diferenciável cujo gráfico tem inclinação 
)y,x(fym 
 
em cada ponto (x, y); 
(2) o gráfico de uma solução y(x) dessa EDO, isto é, o conjunto 
 )x(yy:)y,x())x(y(Gr 2 
 
é denominado uma curva solução da equação; 
(3) Geometricamente, uma curva solução de (1) é uma curva no plano cuja tangente em cada 
ponto (x, y) tem inclinação 
)y,x(fym 
; 
(4) O conjunto de todos os segmentos de reta com inclinação m = f(x, y) é denominado campo 
direcional de 
)y,x(fy 
. 
 
 Assim, pode-se tentar esboçar uma curva solução da EDO que passa pelo campo 
direcional, de modo a ser tangente a cada pequeno segmento que intercepta. 
 Para a determinação do campo direcional de uma EDO, necessita-se do conceito de 
isóclina. 
 
Definição: Uma isóclina da EDO 
)y,x(fy 
 é uma curva da forma f(x, y) = c, na qual a 
inclinação 
y 
 é constante. 
 
Exemplo 1: As isóclinas da equação diferencial 
2
y3
dx
dy 

 são da forma: 
 
c
2
y3


 
e então, 
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y = 3-2c. 
 
Portanto, as isóclinas da EDO dada são retas paralelas ao eixo 0x. 
 Mas como é a variação desses coeficientes angulares? 
Para responder a essa questão, podemos observar que: 
 
(1) Quando c = 0, então a isóclina é dada por y = 3 e ao longo dessa curva, as inclinações das 
soluções da EDO tem coeficiente angular 
0
dx
dy
m 
. Portanto, ao longo dessa isóclina, as 
retas tangentes à curva solução coincidem com essa direção; 
(2) Quando 
2
1
c 
, então a isóclina é dada por y = 2, e ao longo dessa curva, as inclinações das 
retas tangentes às soluções tem coeficiente angular constante e igual a 
2
1
m 
; 
(3) Quando c = 3, então y = -3 e m = 3; 
(4) Quando y = 4, então 
2
1
m 
 e daí, ao longo dessa isóclina, cada reta tangente ao gráfico das 
soluções formam um ângulo fixo, cuja inclinação é 
2
1
m 
; 
Resumindo: 
m isóclina 
f(x, y) = c 
Ângulo 
-1 y = 5 135
0 
0 y = 3 0
o 
1 y = 1 45
o 
2
1
 y = 2 
 
2
1

 y = 4 
 
3 y = -3 
 
 
 
Figura 1: Campo direcional de 
2
y3
dx
dy 

. 
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Exemplo 2: As isóclinas da equação diferencial 
22 yx
dx
dy

 são da forma: 
 
0cyx 22 
, 
 
que são circunferências centradas na origem e de raio 
R c
. Então, como variam os 
coeficientes angulares ao longo dessas curvas? 
Por exemplo, se c = m = 1, ao longo da isóclina: 
 
2 2x y 1 
 
 
o campo de vetores tem inclinação de 45
o
. Nota-se também que, como c > 0, então as 
inclinações das tangentes ao longo das isóclinas são sempre positivas, ou seja, 0 <  < 90o. A 
figura 2, a seguir, dá uma idéia do campo direcional desta edo. 
 
 
 
Figura 2: Campo direcional de 
22 yx
dx
dy

 
 
Exemplo 3: As isóclinas de 
x
y
dx
dy

, x  0 são retas pela origem e o seu campo de direções tem a 
forma: 
 
Figura 3: Campo direcional de 
x
y
dx
dy

, x  0. 
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De fato, as isóclinas de 
x
y
dx
dy

 são as curvas dadas pelas equações f(x, y) = c, isto é: 
y
c
x

 ou 
y cx
 
 
que são retas pela origem. Agora, como variam os coeficientes angulares das retas tangentes ao 
longo destas curvas? 
Para esta análise, note que as retas tangentes a estas curvas coincidem com as próprias retas 
pois: 
 
dy y
m c
dx x
  
. 
 
 
Problema 1: Determinar o campo direcional da EDO 
2xy
dx
dy

.