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MAT 1154 - Equac¸o˜es Diferenciais e de Diferenc¸as
Aula 20 - Exerc´ıcios
1. Transforme a equac¸a˜o dada em um sistema de equac¸o˜es de primeira ordem.
u′′′ + 2u′′ − t u′ + 5u = 0
2. Encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada:1 0 00 3 4
0 −2 −3

3. Mostre que λ = 0 e´ um autovalor de A se, e somente se, A for singular.
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MAT 1154 - Equac¸o˜es Diferenciais e de Diferenc¸as
Aula 21 - Exerc´ıcios
1. Considere o sistema:
x′ =
(
2 2
2 −1
)
x
(a) Verifique que
x(1)(t) =
(−1
2
)
e−2t e x(2)(t) =
(
2
1
)
e3t
sa˜o soluc¸o˜es do sistema.
(b) Calcule o wronskiano de x(1) e x(2).
(c) Em que intervalos x(1) e x(2) sa˜o linearmente independentes ?
2. Considere o sistema:
X′(t) =
(
3 1
1 3
)
X(t)
(a) Ache a soluc¸a˜o geral do sistema.
(b) Ache a soluc¸a˜o do sistema com condic¸a˜o inicial X(0) =
(
1
1
)
.
(c) Esboce o retrato de fase do sistema.
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MAT 1154 - Equac¸o˜es Diferenciais e de Diferenc¸as
Aula 22 - Exerc´ıcios
1. Considere o sistema:
X′(t) =
(−1 −1
3 −5
)
X(t)
(a) Ache a soluc¸a˜o geral do sistema.
(b) Ache a soluc¸a˜o do sistema com condic¸a˜o inicial X(0) =
(
3
5
)
.
(c) Esboce o retrato de fase do sistema.
2. Considere o sistema:
X′ =
(
1 1
4 1
)
X
(a) Ache a soluc¸a˜o geral do sistema.
(b) Ache a soluc¸a˜o do sistema com condic¸a˜o inicial X(0) =
(
1
2
)
.
(c) Esboce o retrato de fase do sistema.
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MAT 1154 - Equac¸o˜es Diferenciais e de Diferenc¸as
Aula 23 - Exerc´ıcios
1. Considere o sistema:
X′(t) =
(−2 1
1 −2
)
X(t)
com
X(0) =
(
0
−1
)
.
(a) Usando o me´todo de Euler determine uma aproximac¸a˜o nume´rica para
a soluc¸a˜o no intervalo t ∈ [0, 1] com h = 0.01 (ou seja, n = 100).
(b) Visualize o campo de direc¸o˜es e a soluc¸a˜o nume´rica obtida.
2. Considere o sistema:
X′(t) =
(
1 2
−2 −4
)
X(t)
com
X(0) =
(
0
2
)
.
(a) Usando o me´todo de Euler determine uma aproximac¸a˜o nume´rica para
a soluc¸a˜o no intervalo t ∈ [0, 1] com h = 0.01 (ou seja, n = 100).
(b) Visualize o campo de direc¸o˜es e a soluc¸a˜o nume´rica obtida.
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MAT 1154 - Equac¸o˜es Diferenciais e de Diferenc¸as
Aula 24 - Exerc´ıcios
1. Considere o sistema:
X
′(t) =
(
8 −4
1 4
)
X(t)
(a) Ache a soluc¸a˜o geral do sistema.
(b) Ache a soluc¸a˜o do sistema com condic¸a˜o inicial X(0) =
(
0
−1
)
.
2. Calcule eA, An, A100, cos(piA) e etA para
A =

0 −1 00 1 1
0 0 1


3. Cacule eA, sabendo que
A =
(
p q
0 p
)
onde p,q ∈ R.
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MAT 1154 - Equac¸o˜es Diferenciais e de Diferenc¸as
Aula 25 - Exerc´ıcios
1. Considere o sistema:
X
′(t) =
(
−1 1
−1 −1
)
X(t)
(a) Ache a soluc¸a˜o geral do sistema.
(b) Ache a soluc¸a˜o do sistema com condic¸a˜o inicial X(0) =
(
2
1
)
e calcule
os limites
lim
t→∞
x1(t) e lim
t→∞
x2(t)
(c) Esboce o retrato de fase do sistema e classifique a singularidade (0, 0).
2. Considere o sistema:
X
′(t) =

 b
b− 1
2
b+ 1
2
b

X(t)
Determine os valores do paraˆmetro real b de maneira que no retrato de
fase exista um no´ atrativo.
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MAT 1154 - Equac¸o˜es Diferenciais e de Diferenc¸as
Aula 26 - Exerc´ıcios
1. Para cada sistema abaixo, esboce o retrato de fase do sistema e classifique
a singularidade (0, 0).
(a) X′ =
(
0 1
−4 0
)
X
(b) X′ =
(
2 0
0 2
)
X
2. Considere o sistema:
X
′ =
(
3 1
1 3
)
X
(a) Ache a soluc¸a˜o geral do sistema.
(b) Ache a soluc¸a˜o geral do sistema
X
′ =
(
3 1
1 3
)
X+
(
e−t
−e−t
)
(c) Ache a soluc¸a˜o geral do sistema
X
′ =
(
3 1
1 3
)
X+
(
2e2t
0
)
(d) Ache a soluc¸a˜o de cada um dos sistemas acima com condic¸a˜o inicial
X(0) =
(
0
0
)
.
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	Listas de Auto-avaliação - 3a Parte
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