Cálculo_Numérico-Janaína_Poffo_Possamai----Andresa_Pescador

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Ca´lculo Nume´rico
Prof. Ms. Jana´ına Poffo Possamai
Prof. Ms. Andresa Pescador
Ca´lculo Nume´rico
Elaborac¸a˜o: Ms. Andresa Pescardor
Ms. Jana´ına Poffo Possamai
Instituic¸a˜o: FURB - Universidade Regional de Blumenau
Departamento de Matema´tica
A natureza e´ extremamente complexa. Para tentar entendeˆ-la, criam-se mo-
delos que seguem leis mais simples do que a rica realidade, dando resultados
aproximados.
Essas leis, que procuram simular a natureza, sa˜o, em geral, expressas mate-
maticamente. As formulac¸o˜es matema´ticas, embora simplificac¸o˜es do que se
passa na realidade, ainda assim, com frequeˆncia, sa˜o muito complexas para
serem resolvidas analiticamente.
E´ comum a lei f´ısica ser expressa por uma equac¸a˜o diferencial cuja soluc¸a˜o
exata na˜o e´ poss´ıvel de ser obtida. Mesmo um ca´lculo de raiz, aparentemente
simples, pode exigir operac¸o˜es que transcendam as contas elementares. Uma
integral definida, nem muito complexa em sua formulac¸a˜o, pode na˜o ser
analiticamente resolvida.
Os me´todos nume´ricos buscam soluc¸o˜es aproximadas para essas formulac¸o˜es,
conforme discutido nos pro´ximos cap´ıtulos.
Blumenau, 14 de fevereiro de 2013.
Suma´rio
1 Noc¸o˜es ba´sicas de erros 1
1.1 Medidas de erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Regras de arredondamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Conceitos importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Sistemas Lineares 4
2.1 Sistemas Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Sistema Triangular Inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 Sistema Triangular Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Me´todos Nume´ricos para Resoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Me´todos Diretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3.1 Eliminac¸a˜o de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3.2 Me´todo de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.3 Me´todo da pivotac¸a˜o parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.4 Me´todo da pivotac¸a˜o completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.5 Decomposic¸a˜o LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.6 Avaliac¸a˜o do res´ıduo/erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Me´todos Iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.1 Me´todo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.2 Me´doto de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Comparac¸a˜o dos me´todos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Interpolac¸a˜o 19
3.1 Interpolac¸a˜o Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.1 Interpolac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.2 Interpolac¸a˜o Quadra´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.3 Interpolac¸a˜o Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Interpolac¸a˜o de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1 Forma Simplificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Erro na Interpolac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 Interpolac¸a˜o de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4.1 Diferenc¸as Divididas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4.2 Fo´rmula de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5 Escolha dos pontos para interpolac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.6 Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
iv SUMA´RIO
4 Ajuste de Curvas 30
4.1 Ajuste Linear Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Ajuste Linear Mu´ltiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3 Ajuste Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4 Casos Na˜o-Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5 Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Zeros de Func¸o˜es 40
5.1 Me´todo Gra´fico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2 Me´todo da Bissec¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.3 Me´todo das Cordas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.4 Me´todo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.5 Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6 Integrac¸a˜o Nume´rica 48
6.1 Me´todo dos Trape´zios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.2 Me´todo de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.3 Me´todo dos Treˆs Oitavos (Segunda de Simpson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.4 Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7 Sistemas Na˜o Lineares 58
7.1 Me´todo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.2 Lista de exerc´ıcios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8 Equac¸o˜es diferenciais nume´ricas 62
8.1 Me´todo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.2 Me´todo de Heun - Runge-Kutta de 2a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.3 Me´todo de Runge-Kutta de 4a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.4 Lista de exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9 Apeˆndice - Plano de ensino 2013/1 67
Refereˆncias 68
Cap´ıtulo 1
Noc¸o˜es ba´sicas de erros
Quando procuramos uma soluc¸a˜o de problemas reais de F´ısica, engenharia, economia, etc..., em
algum momento e´ necessa´rio utilizar a matema´tica, e o resultado final desejado, de um modo geral,
tem que ser quantitativo.
O Ca´lculo Nume´rico corresponde a um conjunto de ferramentas ou me´todos usados para se obter
a soluc¸a˜o de problemas matema´ticos de forma aproximada. Esses me´todos se aplicam principalmente
a problemas que na˜o apresentam uma soluc¸a˜o exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente.
Na aplicac¸a˜o de me´todos nume´ricos para obtenc¸a˜o da soluc¸a˜o de problemas matema´ticos, nem
sempre sa˜o fornecidos valores que se encaixam dentro de limites razoa´veis. Va´rias sa˜o as origens da
existeˆncia de erros:
Problema F´ısico
−−−−−−−−→
modelagem
Modelo Matema´tico
−−−−−−→
resolucao
Soluc¸a˜o
i) Erros na fase de modelagem: sa˜o simplificac¸o˜es feitas do mundo f´ısico para que se possa
trabalhar. Estes erros aparecem devido a` expressa˜o matema´tica que na˜o reflete perfeitamente o
fenoˆmeno f´ısico ou aos dados terem sido obtidos com pouca exatida˜o.
ii) Erros na fase de resoluc¸a˜o: as vezes fazemos aproximac¸o˜esque podem gerar erros.
– Erros de truncamento: sa˜o os erros causados quando utilizamos num processo algor´ıtmico
infinito apenas uma parte finita do processo.
Por exemplo,
ex = 1 + x+
x2
2!
+
x3
3!
+ · · ·
Usando a aproximac¸a˜o acima temos:
e˜ = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 = 2, 66666 que e´ uma aproximac¸a˜o muito pobre para e.
– Erros de arredondamento: sa˜o os erros originados pela representac¸a˜o dos nu´meros reais
utilizando-se apenas um nu´mero finito de casas decimais.
iii) Propagac¸a˜o de Erros: Com certeza o acu´mulo de erros influencia no desenvolvimento do
ca´lculo. A perda de precisa˜o quando dois nu´meros aproximadamente iguais sa˜o subtra´ıdos e´ a
maior fonte de erro nas operac¸o˜es de ponto flutuante.
1
2 Cap´ıtulo 1. Noc¸o˜es ba´sicas de erros
1.1 Medidas de erro
Erro Absoluto: |Valor Real - Valor Aproximado|
Geralmente na˜o se conhece o valor exato. Assim, o que se faz e´ obter um limitante superior ou
uma estimativa do erro absoluto.
Erro Relativo:
|V alor Real − V alor Aproximado|
V alor Real
1.1.1 Regras de arredondamento
Quer os ca´lculos sejam efetuados manualmente quer obtidos por computador somos conduzidos a
utilizar uma aritme´tica de precisa˜o finita, ou seja, apenas podemos ter em considerac¸a˜o um nu´mero
finito de d´ıgitos. O erro devido a desprezar os outros e arredondar o nu´mero e´ designado por erro de
arredondamento.
Arrendondar um nu´mero na casa di e´ desconsiderar as casas di+j (j = 1 · · ·∞) de tal forma que
utilizaremos:
di como a u´ltima casa se di+1 < 5
di+1 como a u´ltima casa se di+1 > 5 ou se di+1 = 5 seguido de no mı´nimo um algarismo diferente
de zero
se di+1 = 5 seguido de apenas zeros enta˜o o algarismo a ser conservado deve ser arrendondado
para o algarismo par mais pro´ximo.
Observemos que 3,650001 arrendado para 3,6 ocasiona um erro de 0,05001 e arredondado para 3,7
um erro menor, de 0,049999.
1.2 Conceitos importantes
• Complexidade Computacional: esforc¸o computacional usado para resolver o problema, medido
pelo nu´mero de operac¸o˜es aritme´ticas e lo´gicas.
• Convergeˆncia: propriedade de gerar a soluc¸a˜o ou uma aproximac¸a˜o da soluc¸a˜o.
• Ordem de convergeˆncia: rapidez com que a sequeˆncia gerada por dado me´todo converge para a
soluc¸a˜o.
• Precisa˜o e exatida˜o: Esses conceitos geralmente sa˜o confundidos e referem-se a nu´meros aproxi-
mados. Precisa˜o e´ relacionada ao nu´mero de d´ıgitos significativos com que um nu´mero aproxi-
mado e´ conhecido. Exatida˜o relaciona-se ao quanto o nu´mero aproximado aproxima-se do valor
real.
• Mal condicionamento:
Considere o sistema linear Ax = b, com
A =
(
1 0.99
0.99 0.98
)
e b =
(
1.99
1.97
)
, cuja soluc¸a˜o exata e´ x = [ 1 1 ]t. Seja o vetor b˜ =
[ 1.99 1.98 ]t ≈ b.
1.2. Conceitos importantes 3
A soluc¸a˜o exata do sistema Ay = b˜ e´ y = [ 100 −99 ]t. Portanto, uma pequena perturbac¸a˜o no
vetor de termos independentes ocasionou uma grande modificac¸a˜o no vetor soluc¸a˜o. Considere
agora a matriz A˜ =
(
1 0.99
0.99 0.99
)
≈ A. A soluc¸a˜o exata do sistema A˜z = b e´ z = [ 2 −1/99 ]t.
Neste caso, foi uma pequena perturbac¸a˜o na matriz dos coeficientes que acarretou uma grande
mudanc¸a no vetor soluc¸a˜o.
Estes problemas sa˜o causados porque a matriz A e´ quase singular (det(A) = −10−4). Um sistema
linear com uma matriz com esta caracter´ıstica e´ chamado malcondicionado.
Cap´ıtulo 2
Sistemas Lineares
Aplicac¸o˜es: Ca´lculo de Estruturas; Ca´lculo de Redes Ele´tricas; Soluc¸a˜o de Equac¸o˜es Diferenciais;
etc.
Seja um sistema linear Sn de n equac¸o˜es e n inco´gnitas:
Sn =

a11x1 + a12x2 + ...a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ...a2nxn = b2
............................................
an1x1 + an2x2 + ...annxn = bn
ou
Sn =
n∑
j=1
aijxj = bi i = 1, 2, 3, ..., n
Matricialmente: Ax=b
Quando b=0 o sistema e´ chamado homogeˆneo. Um sistema homogeˆneo sempre admite uma soluc¸a˜o
trivial x=0.
Um sistema linear pode ser
 compat´ıvel
{
determinado (uma u´nica soluc¸a˜o)
indeterminado(infinitas soluc¸o˜es)
incompat´ıvel (sem soluc¸a˜o)
Exemplos:
1.
{
x1 + x2 = 0
x1 + x2 = 1
2.
{
x1 + x2 = 0
x1 − x2 = 0
3.
{
x1 + x2 = 0
2x1 + 2x2 = 0
4
2.1. Sistemas Triangulares 5
2.1 Sistemas Triangulares
2.1.1 Sistema Triangular Inferior
Sn =

l11x1 = c1
l21x1 + l22x2 = c2
............................................
ln1x1 + ln2x2 + ... lnnxn = cn
A soluc¸a˜o de um sistema triangular inferior e´ calculada pelas substituic¸o˜es sucessivas:
l11x1 = c1 → x1 = c1
l11
l21x1 + l22x2 = c2 → x2 = c2 − l21x1
l22
l31x1 + l32x2 + l33x3 = c3 → x3 = c3 − l31x1 − l32x2
l33
...
ln1x1 + ln2x2 + · · ·+ ln,n−1xn−1 + lnnxn = cn →
xn =
cn − ln1x1 − ln2x2 − · · · − ln,n−1xn−1
lnn
As substituic¸o˜es sucessivas podem ser representadas por
xi =
ci −
i−1∑
j=1
lijxj
lii
, i = 1, 2, ..., n. (2.1)
Exemplo. Calcular a soluc¸a˜o do sistema triangular inferior, usando substituic¸o˜es sucessivas:

2 0 0 0
3 5 0 0
1 −6 8 0
−1 4 −3 9
 .

x1
x2
x3
x4
 =

4
1
48
6

2.1.2 Sistema Triangular Superior
Sn =

u11x1 + u12x2 + ... u1nxn = d1
u22x2 + ... u2nxn = d2
............................................
unnxn = dn
O vetor soluc¸a˜o de um sistema triangular superior e´ obtido pelas substituic¸o˜es retroativas:
unnxn = dn → xn = dn
unn
un−1,n−1xn−1 + un−1,nxn = dn−1 → xn−1 = dn−1 − un−1,nxn
un−1,n−1
...
u22x2 + u23x3 + · · ·+ u2nxn = d2 → x2 = d2 − u23x3 − · · · − u2nxn
u22
u11x1 + u12x2 + u13x3 + · · ·+ u1,nxn = d1 →
x1 =
d1 − u12x2 − u13x3 − · · · − u1nxn
u11
6 Cap´ıtulo 2. Sistemas Lineares
As substituic¸o˜es retroativas podem ser representadas por
xi =
di −
n∑
j=1+1
uijxj
uii
, i = n, n− 1, ..., 1. (2.2)
Exemplo. 
5 −2 6 1
0 3 7 −4
0 0 4 5
0 0 0 2
 ·

x1
x2
x3
x4
 =

1
−2
28
8

2.2 Me´todos Nume´ricos para Resoluc¸a˜o
Me´todos Diretos: nu´mero finito de operac¸o˜es;
Me´todos Iterativos: Calcular uma sequeˆncia x(1), x(2), ... de aproximac¸o˜es da soluc¸a˜o −→x sendo dada
uma aproximac¸a˜o inicial x(0).
Obs: O me´todo de Crammer e´ invia´vel numericamente devido ao tempo de computac¸a˜o:
Ax = b→ xi = Di
D
.
2.3 Me´todos Diretos
2.3.1 Eliminac¸a˜o de Gauss
Transforma-se um sistema Ax = b num sistema triangular superior equivalente (por operac¸o˜es
elementares ) Ux = d que se resolve por substituic¸a˜o retroativa. A exatida˜o da soluc¸a˜o pode ser
verificada pelo ca´lculo do vetor res´ıduo r = b−Ax, de modo que se r = 0, enta˜o a soluc¸a˜o e´ exata.
Operac¸o˜es Elementares:
* Trocar a ordem de duas equac¸o˜es;
* Multiplicar uma equac¸a˜o por uma constante na˜o nula;
* Somar uma equac¸a˜o a` outra;
Exemplo: Resolver o sistema abaixo pelo me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss e verificar a exatida˜o
da soluc¸a˜o: 
1x1 − 3x2 + 2x3 = 11
−2x1 + 8x2 − 1x3 = −15
4x1 − 6x2 + 5x3 = 29
Os elementos da primeira coluna abaixo da diagonal devem ser eliminados, baseando-se no elemento
da diagonal da primeira linha a11 = 1. Por esta raza˜o, a11 e´ chamado de elemento pivoˆ e a linha que o
conte´m e´ a linha pivotal. Assim, para eliminar a21 = −2, a primeira linha deve ser multiplicada por um
fatorm21 e somada a` segunda linha. Este fator e´ tal quem21a11+a21 = 0→m21 = −a21
a11
= −−2
1
= 2.
A nova linha 2 sera´ L
′
2 = 2L1 + L2. Do mesmo modo, para eliminar a31 = 4 deve-se multiplicar a
2.3. Me´todos Diretos 7
primeira linha por m31 e somar a` terceira linha, com m31a11 + a31 = 0 → m31 = −a31
a11
= −4
1
= −4,
ou seja, L
′
3 = −4L1 + L3.
Apo´sestas duas operac¸o˜es l-elementares, o sistema equivalente intermedia´rio tera´ os dois elementos
abaixo da diagonal iguais a zero. 
1x1 − 3x2 + 2x3 = 11
0x1 + 2x2 + 3x3 = 7
0x1 + 6x2 − 3x3 = −15
Agora, para eliminar o elemento da segunda coluna abaixo da diagonal, deve-se usar a
′
22 = 2 como
pivoˆ e a segunda linha como pivotal. A segunda linha e´ multiplicada pelo fatorm32 e somada a` terceira
linha, com m32a
′
22 + a
′
32 = 0 → m32 = −
a
′
32
a
′
22
= −6
2
= −3. A nova linha 3 sera´ L′′3 = −3L
′
2 + L
′
3,
resultando finalmente no sistema triangular superior equivalente
1x1 − 3x2 + 2x3 = 11
0x1 + 2x2 + 3x3 = 7
0x1 + 0x2 − 12x3 = −36
O vetor soluc¸a˜o do sistema e´ x = [2 − 1 3]T .
2.3.2 Me´todo de Gauss-Jordan
Transforma-se um sistema Ax = b num sistema diagonal equivalente (matriz identidade.)
1. o primeiro elemento na˜o nulo de cada linha deve ser um.
2. os demais elementos desta coluna devem ser zero.
3. se houver alguma linha nula esta deve ser a u´ltima.
Exemplo:

x1 + x2 + 2x3 = 4
2x1 − x2 − x3 = 0
x1 − x2 − x3 = −1
Soluc¸a˜o: −→x = [1 1 1]T .
2.3.3 Me´todo da pivotac¸a˜o parcial
Ome´todo de Gauss ira´ falhar quando um pivoˆ for nulo, pois, neste caso, na˜o sera´ poss´ıvel calcular os
multiplicadoresmij utilizados na eliminac¸a˜o. Este se´rio problema pode ser evitado pelo uso da estrate´-
gia da pivotac¸a˜o parcial, que consiste em escolher como pivoˆ o maior elemento em mo´dulo da coluna,
cujos elementos sera˜o eliminados. A pivotac¸a˜o parcial garante que o pivoˆ seja na˜o nulo, exceto quando
a matriz for singular. Outra vantagem e´ que todos os multiplicadores satisfazem −1 ≤ mij ≤ 1, evi-
tando, assim, que eles sejam muito grandes. Multiplicadores grandes podem ampliar os erros de
arredondamento de tal modo a comprometer a soluc¸a˜o do sistema.
Obs: Para eliminar o elemento da segunda coluna, escolhe-se o maior elemento em mo´dulo desta
coluna, sem considerar o elemento da linha pivotal usada na eliminac¸a˜o da primeira coluna.
8 Cap´ıtulo 2. Sistemas Lineares
Exemplo:
Resolver o sistema abaixo pelo me´todo de Gauss com pivotac¸a˜o parcial:
−2x1 + 3x2 + x3 = −5
2x1 + x2 − 4x3 = −9
4x1 + 10x2 − 6x3 = 2
Neste exemplo, na primeira coluna o maior elemento, em mo´dulo e´ o valor a31 = 4, este e´ o
pivoˆ, e assim a linha pivotal e´ a linha 3. Assim, para eliminar a11 = −2, a linha pivotal deve ser
multiplicada pelo fator m11 e somada a` primeira linha. m11 = −a11
a31
= −−2
4
= 1/2. A nova linha 1
sera´ L
′
1 = 1/2L3 + L1.
Do mesmo modo, para eliminar a21 = 2 deve-se multiplicar a terceira linha por m21 e somar a`
segunda linha, m21 = −a21
a31
= −2
4
= −1/2, deste modo, L′2 = −1/2L3 + L2.
Apo´s estas duas operac¸o˜es o sistema equivalente intermedia´rio sera´:
0x1 + 8x2 − 2x3 = −4
0x1 − 4x2 − x3 = −10
4x1 + 10x2 − 6x3 = 2
Agora, para trabalhar na segunda coluna, deve-se usar a
′
12 = 8 como pivoˆ e a primeira linha como
pivotal. A primeira linha e´ multiplicada pelo fator m22 e somada a` segunda linha, com m22 = −a
′
22
a
′
12
=
−−4
8
= 1/2. A nova linha 2 sera´ L
′′
2 = 1/2L
′
1 + L
′
2, resultando finalmente no sistema equivalente:
0x1 + 8x2 − 2x3 = −4
0x1 + 0x2 − 2x3 = −12
4x1 + 10x2 − 6x3 = 2
O vetor soluc¸a˜o do sistema e´ x = [7 1 6]T .
2.3.4 Me´todo da pivotac¸a˜o completa
Dado Ax = b; seja M = [A|b] sua matriz aumentada:
M =

a11 a12 · · · a1j · · · a1q · · · a1n b1
a21 a22 · · · a2j · · · a2q · · · a2n b2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
ap1 ap2 · · · · · · · · · apq · · · apn bp
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
an1 an2 · · · anj · · · anq · · · ann bn

Escolhe-se em M o elemento apq 6= 0 de maior mo´dulo e na˜o pertencente a` coluna dos termos
independentes e calculam-se os fatores mi :
mi = − aiq
apq
; ∀i 6= p (2.3)
apq e´ o pivoˆ e a linha p e´ a linha pivotal.
2.3. Me´todos Diretos 9
Soma-se, a cada linha na˜o pivotal, o produto da linha pivotal pelo correspondente mi da linha
na˜o pivotal. Resulta-se uma nova matriz, cuja q-e´sima coluna e´ composta de zeros, exceto o pivoˆ.
Rejeita-se esta coluna e a p-e´sima linha do pivoˆ tendo-se uma nova matrizM (1), cujo nu´mero de linhas
e colunas e´ diminu´ıdo de um. Repete-se obtendo-se M (2), · · · ,M (n−1) onde M (n−1) e´ uma linha com
dois termos (linha pivotal) para se obter a soluc¸a˜o, constro´i-se o sistema formado por todas as linhas
pivotais e, a partir da u´ltima linha resolve-se por substituic¸o˜es retroativas o sistema criado.
Exemplo: 
0.8754x1 + 3.0081x2 + 0.9358x3 + 1.1083x4 = 0.8472
2.4579x1 − 0.8758x2 + 1.1516x3 − 4.5148x4 = 1.1221
5.2350x1 − 0.8473x2 − 2.3582x3 + 1.1419x4 = 2.5078
2.1015x1 + 8.1083x2 − 1.3233x3 + 2.1548x4 = −6.4984
Soluc¸a˜o: −→x = [1 − 1 2 1]T .
2.3.5 Decomposic¸a˜o LU
Uma matriz quadrada qualquer pode ser escrita como o produto de duas matrizes, por exemplo,(
4 3
8 5
)
=
(
1 0
2 1
)
.
(
4 3
0 −1
)
.
Assim, uma matriz A foi fatorada tal que A = LU, onde L e´ uma matriz triangular inferior unita´ria
(lii = 1, ∀i) e U e´ uma matriz triangular superior. Deste modo, para resolver o sistema Ax = b, usa-se
a matriz A na forma decomposta
Ax = b→ LUx = b. (2.4)
Fazendo
Ly = b e Ux = y (2.5)
tem-se que a soluc¸a˜o y do sistema triangular inferior Ly = b e´ obtida pelas substituic¸o˜es sucessivas
com lii = 1 pois L e´ uma matriz unita´ria. O vetor y e´ usado como termo independente no sistema
triangular superior Ux = y, cuja soluc¸a˜o x e´ calculada pelas substituic¸o˜es retroativas.
Ca´lculo dos fatores:
Uma matriz A pode ser fatorada, usando-se o me´todo da eliminac¸a˜o de Gauss. A matriz triangular
superior U e´ a mesma do me´todo de Gauss e a matriz triangular inferior unita´ria L, ale´m de lii =
1, lij = 0, i < j, possui lij = −mij , i > j, sendomij os multiplicadores usados no processo de eliminac¸a˜o
de Gauss.
Por exemplo, o sistema acima resolvido,

1x1 − 3x2 + 2x3 = 11
−2x1 + 8x2 − 1x3 = −15
4x1 − 6x2 + 5x3 = 29
fica assim fatorado:
L =
 1 0 0−2 1 0
4 3 1
 e U =
 1 −3 20 2 3
0 0 −12

10 Cap´ıtulo 2. Sistemas Lineares
De modo similar ao me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss, a estrate´gia da pivotac¸a˜o parcial de ser
usada na decomposic¸a˜o LU para evitar um pivoˆ nulo e que os multiplicadores mij tenham valores
muito grandes. Quando a pivotac¸a˜o parcial for usada, a decomposic¸a˜o e´ da forma PA = LU, onde
P e´ a matriz de permutac¸o˜es, que sera´ constitu´ıda das linhas de uma matriz identidade I, colocadas
na mesma ordem das linhas pivotais que geram a matriz triangular superior U. A matriz triangular
inferior unita´ria L e´ formada pelos multiplicadores, com sinais contra´rios, utilizados na eliminac¸a˜o. A
ordem em que os multiplicadores sa˜o atribu´ıdos a cada linha L e´ dada pelos ı´ndices das linhas pivotais.
Para resolver o sistema Ax = b, tem-se Ax = b→ PAx = Pb→ LUx = Pb.
Assim, basta fazermos
Ly = Pb e Ux = y. (2.6)
A vantagem dos processos de fatorac¸a˜o e´ que podemos resolver qualquer sistema linear que tenha
A como matriz dos coeficientes. Se o vetor b for alterado, a soluc¸a˜o do novo sistema linear sera´ quase
imediata.
2.3.6 Avaliac¸a˜o do res´ıduo/erro
O erro ε produzido por uma soluc¸a˜o x do sistema Ax = b pode ser avaliado pela expressa˜o:
ε = max
1≤i≤n
|ri|
sendo ri a i-e´sima componente do vetor res´ıduo R, o qual e´ dado por:
R = b−Ax
2.4 Me´todos Iterativos
A soluc¸a˜o −→x do sistema Ax = b e´ obtida calculando-se uma sequeˆncia
x(1), x(2), · · · , x(k), · · · de aproximac¸o˜es de −→x , sendo dado um“ chute ”inicial x(0). Para isso transforma-
se o sistema dado num equivalente da forma
x = Fx+ d ondeF e´ matriz n× n e x e d sa˜o vetores n× 1.
Temos um chute inicial
−→
x0 = (x01, x
0
2, ..., x
0
n)
T Obte´m-se:
x1 = Fx0 + d
x2 = Fx1 + d
...
xk+1 = Fxk + d
...
Seja
||xk − x|| = max
1≤i≤n
{xki − xi}
enta˜o x1, x2, · · · , xk, · · · converge quando k →∞ se lim ||xk − x|| → 0.
2.4. Me´todos Iterativos 11
Como obter x = Fx+ d ? Por exemplo,
Ax = b
Ax+ Ix− b = Ix
x = (A+ I)︸ ︷︷ ︸x− b︸︷︷︸
2.4.1 Me´todo de Jacobi
Seja o sistema: 
a11x1 + a12x2 + ...a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ...a2nxn = b2
............................................
an1x1 + an2x2 + ...annxn = bn
Isola-se x1 na primeira equac¸a˜o; Isola-se x2 na segunda equac¸a˜o; e assim por diante. Tem-se:
x1 =
b1 − (a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn)
a11
x2 =
b2 − (a21x1 + a23x3 + · · ·+ a2nxn)
a22
...
xn =
bn − (an1x1 + an2x2 + · · ·+ an,n−1xn−1)
ann
aii 6= 0.
Assim x =

x1
x2
...
xn
 d =

b1
a11
b2
a22
· · ·
bn
ann

F =

0 −a12
a11
−a13
a11
· · · −a1n
a11
−a21
a22
0 −a23
a22
· · · −a2n
a22
· · · · · · · · · · · · · · ·
−an1
ann
−an2
ann
−an3
ann
· · · 0

Portanto o me´todo de Jacobi funciona do seguinte modo:
a) Escolhe-se uma aproximac¸a˜o inicial x0;
b) Geram-se sucessivas xk a partir da iterac¸a˜o xk+1 = Fxk + d; k = 0, 1, 2, ...
c) Continua-se iterando ate´ que max
1≤i≤n
|x(k+1)i − x(k)i | ≤ �, � = precisa˜o das soluc¸o˜es (toleraˆncia
admitida), ou k > M,M = nu´mero ma´ximo de
iterac¸o˜es.
Exemplo: Resolver o seguinte sistema com toleraˆncia � ≤ 10−2 ou K > 10 :
{
2x1 − x2 = 1
x1 + 2x2 = 3
Soluc¸a˜o: −→x = [0, 998 1, 002]T .
Crite´rio de Convergeˆncia: Cada elemento de uma linha que pertenc¸a a diagonal principal dever ser
maior em mo´dulo que a soma, em mo´dulo, dos demais elementos desta linha da matriz dos coeficientes.
12 Cap´ıtulo 2. Sistemas Lineares
Crite´rio das linhas: O me´todo converge se
max1≤i≤n
n∑
j=1j 6=i
∣∣∣∣aijaii
∣∣∣∣ < 1 (2.7)
Exemplo: Resolver o seguinte sistema com toleraˆncia � ≤ 10−2 :
3x1 − 18x2 + 2x3 = −4.2
29.4x1 + 3x2 − 5x3 = 10.9
7.4x1 − 5.1x2 + 37.1x3 = 47.4
Fac¸a
−→
x0 = [0 0 0]T . Soluc¸a˜o: −→x = [0.5317 0.4589 1.2345]T .
2.4.2 Me´doto de Gauss-Seidel
Seja o sistema Ax = b. Escolhemos um “chute” inicial
−−→
x(0) = (x01, x
0
2, x
0
3, · · · , x0n) e fazemos as
aproximac¸o˜es
−−→
x(1),
−−→
x(2), · · · ,
−−→
x(k), · · · utilizando-se de:
xk+11 =
b1 − (a12xk2 + a13xk3 + · · ·+ a1nxkn)
a11
xk+12 =
b2 − (a21xk+11 + a23xk3 + · · ·+ a2nxkn)
a22
xk+1n =
bn − (an1xk+11 + an2xk+12 + · · ·+ an,n−1xk+1n−1)
ann
aii 6= 0.
Ou seja,
xk+1i = d+
i−1∑
j=1
Fijx
k+1
j +
n∑
j=i+1
Fijx
k
j i = 1, 2, 3, · · · ; k = 0, 1, 2, · · ·
satisfazendo max
1≤i≤n
|x(k+1)i − x(k)i | < � ou k > M.
Exemplo 1: Resolver o seguinte sistema com toleraˆncia � ≤ 10−2 ou K > 10 :
{
2x1 − x2 = 1
x1 + 2x2 = 3
Soluc¸a˜o: −→x = [0, 998 1, 002]T .
Exemplo 2: Resolver o seguinte sistema com toleraˆncia � ≤ 10−2 :
10x1 + 2x2 + 6x3 = 28
x1 + 10x2 + 9x3 = 7
2x1 − 7x2 − 10x3 = −17
Fac¸a
−→
x0 = [0 0 0]T . Soluc¸a˜o: −→x = [1 − 3 4]T .
2.5. Comparac¸a˜o dos me´todos 13
2.5 Comparac¸a˜o dos me´todos
Faremos a seguir uma breve discussa˜o, comparando os ma´todos estudados, levando em considera-
c¸a˜o os seguintes crite´rios: convergeˆncia, esparsidade, nu´mero de operaco˜es e erros de arredondamento,
conforme indicado em Ruggiero e Lopes (1996).
i) Convergeˆncia: os me´todos diretos sa˜o processos finitos e, portanto, teoricamente obte´m a
soluc¸a˜o de qualquer sistema na˜o-singular de equac¸o˜es. Ja´ os me´todos iterativos tem convergeˆncia
assegurada apenas sob determinadas condic¸o˜es.
ii) Esparsidade da matriz A: a grande maioria dos sistemas lineares, que surgem de problemas
reais a partir da discretizacao de equac¸o˜es diferencias, por meio de me´todos como diferencas finitas
ou elementos finitos, assim como aqueles das aplicac¸o˜es em redes de poteˆncia, sa˜o sistemas de grande
porte com matriz de coeficientes esparsa. Nestes casos, adotamos esquemas especiais para o arma-
zenamento da matriz de coeficientes, tirando proveito de sua esparsidade. Ale´m disso, os me´todos
iterativos sa˜o mais indicados para estes tipos de sistemas, uma vez que tiram proveito da esparsidade
da matriz A, enquanto nos me´todos diretos esta esparsidade pode ser perdida.
iii) Nu´mero de operac¸o˜es: os me´todos diretos requerem um total de operacoes da ordem de n3,
sem contar as operac¸a˜es envolvidas na estrate´gia de pivoteamento, enquanto o me´todo de Gauss-Seidel
requer 2n2 operac¸o˜es por iteraca˜o. Assim, se no nu´mero de iterac¸oes for menor que n/2, este tera´
vantagem sobre os me´todos diretos.
iv) Erros de arredondamento: os me´todos diretos apresentam se´rios problemas com erros
de arredondamento. Vimos que uma forma de amenizar este problema e atrave´s da estrate´gia de
pivoteamento, o que aumenta o nu´mero de operaca˜es a serem realizadas. Ja´ os me´todos iterativos
apresentam menos erros de arredondamento, ja´ que assegurada a convergeˆncia, ela independe da
aproximac¸a˜o inicial. Assim, somente o erros de arredondamento cometidos na u´ltima iteracao e´ que
ira˜o afetar a soluc¸a˜o encontrada, pois os erros de arredondamento na˜o levara˜o a divergeˆncia do processo,
ou a convergeˆncia para outro vetor que na˜o seja a soluc¸a˜o do sistema.
2.6 Lista de Exerc´ıcios
1. Resolver os sistemas lineares:
a)

2x1 + 3x2 + x3 − x4 = 6, 9
−x1 + x2 − 4x3 + x4 = −6, 6
x1 + x2 + x3 + x4 = 10, 2
4x1 − 5x2 + x3 − 2x4 = −12, 3
Soluc¸a˜o: −→x = [0, 9 2, 1 3 4, 2]T
b)

4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5
x1 − x2 − x3 − x4 = −1
x1 + x2 + x3 + x4 = 3
14 Cap´ıtulo 2. Sistemas Lineares
c)

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 10
2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 7
3x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 6
4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 5
Soluc¸a˜o: −→x = [0 1 0 2]T
d)

x2 + 3x3 + 2x4 + 4x5 = 3
8x1 − 2x2 + 9x3 − x4 + 2x5 = −5
5x1 + x2 + x3 + 7x4 + 2x5 = 6
−2x1 + 4x2 + 5x3 + x4 = −1
7x1 − 3x2 + 2x3 − 4x4 + x5 = 8
Soluc¸a˜o: −→x = [2, 347; 4, 354; −2, 391; −1, 768; 2, 339]
e)

4x1 − x2 + 3x3 + 8x4 = 43
x1 + 6x2 + 2x3 − 3x4 = 7
5x1 + 5x2 + x3 = 18
2x1 + 4x2 − 2x3 + x4 = 8
Soluc¸a˜o: −→x = [1 2 3 4]
2. Resolva os seguintes Sistemas Lineares:
a)

6x1 + 2x2 − 1x3 = 7
2x1 + 4x2 + 1x3 = 7
3x1 + 2x2 + 8x3 = 13
Soluc¸a˜o: −→x = [1 1 1]
b)

10x1 + 1x2 − x3 = 10
x1 + 10x2 + x3 = 12
2x1 − 1x2 + 10x3 = 11
Soluc¸a˜o: −→x = [1 1 1]
c)

4x1 − 6x2 − x3 = −7
2x1 − 3x2 + x3 = − 5
x1 + 2x2 + x3 = 4
Soluc¸a˜o: −→x = [1 2 − 1]
d)
 5 2 1−1 4 2
2 −3 10
 .
 x1x2
x3
 =
 −1220
3

Soluc¸a˜o: −→x = [−4 3 2]
3. Resolva os Seguintes Sistemas Lineares utilizando o me´todo de Gauss com pivotamento parcial:
a)

3 −2 5 1
−6 4 −8 1
9 −6 19 1
6 −4 −6 15
 .

x1
x2
x3
x4
 =

7
−9
23
11

2.6. Lista de Exerc´ıcios 15
b)
 0.25 0.36 0.120.112 0.16 0.24
0.147 0.21 0.25
 .
 x1x2
x3
 =
 78
9

c)

2 2 1 1
1 −1 2 −1
3 2 −3 −2
4 3 2 −1
 .

x1
x2
x3
x4
 =

7
1
14
12

4. Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando decomposic¸a˜o LU:
a)
 5 2 1−1 4 2
2 −3 10
 .
 xy
z
 =
 −1220
3

b)
 2 3 −11 0 2
0 3 −1
 .
 x1x2
x3
 =
 43
2

c)

9x1 − 6x2 + 3x3 = −3
−6x1 + 29x2 − 7x3 = −8
3x1 − 7x2 + 18x3 = 33
Soluc¸a˜o: −→x= [−1 0 2]
5. Determinar o vetor soluc¸a˜o por um me´todo iterativo partindo de−−→
x(0) = [1 1 1 1 1 1]T , com precisa˜o � < 10−4 e como nu´mero ma´ximo de iterac¸o˜es k=30:
10x1 + x2 + x3 + 2x4 + 3x5 − 2x6 = 6, 57
4x1 − 20x2 + 3x3 + 2x4 − x5 + 7x6 = −68, 448
5x1 − 3x2 + 15x3 − x4 − 4x5 + x6 = −112, 05
−x1 + x2 + 2x3 + 8x4 − x5 + 2x6 = −3, 968
x1 + 2x2 + x3 + 3x4 + 9x5 − x6 = −2, 18
−4x1 + 3x2 + x3 + 2x4 − x5 + 12x6 = 10, 882
Soluc¸a˜o: −→x = [1, 222 2, 968 − 7, 393 0, 866 − 0, 410 0, 865]T
6. Resolver usando Jacobi, com no ma´ximo 10 iterac¸o˜es:
x1 − 0, 25x2 − 0, 25x3 = 0
−0, 25x1 + x2 − 0, 25x4 = 0
−0, 25x1 + x3 − 0, 25x4 = 0, 25
−0, 25x2 + x4 = 0, 25
Fac¸a
−−→
x(0) = [0 0 0 0]T e � < 10−2
Soluc¸a˜o: −→x = [0, 107 0, 09 0, 342 0, 272]T
16 Cap´ıtulo 2. Sistemas Lineares
7. Resolver usando Gauss-Seidel, com no ma´ximo 10 iterac¸o˜es:
5x1 − x2 + 2x3 − x4 = 5
x1 + 9x2 − 3x3 + 4x4 = 26
3x2 − 7x3 + 2x4 = −7
−2x1 + 2x2 − 3x3 + 10x4 = 33
Fac¸a
−−→
x(0) = [1 3 1 3]T e � < 10−2
Soluc¸a˜o: −→x = [0, 999 2 3 4]T
8. Resolver o sistema a seguir pelos me´todos iterativos de Jacobi e de Gauss-Seidel com k ma´ximo
= 10 ou � < 10−3 :
10x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 48
x1 + 8x2 − x3 + 2x4 = 4
2x1 − x2 − 5x3 + x4 = −11
−x1 + 2x2 + 3x3 + 20x4 = 150
Resposta: −→x = [3;−1; 5; 7]
9. Considere o circuito a seguir com resisteˆncias e baterias tal como indicado; escolhemos arbitra-
riamente as correntes e os valores da malha:
Aplicando a Lei de Kirchoff que diz que a soma alge´brica da diferencas de potencial em qualquer
circuito fechado e´ zero, obtemos para as correntes i1, i2, i3, o seguinte sistema linear:

2i1 + 4(i1 − i2) + 2(i1 − i3)− 10 = 0
2i2 − 2i2 + 2(i2 − i3) + 4(i2 − i1) = 0
6i3 + 2(i3 − i1) + 2(i3 − i2)− 4 = 0
Deseja-se determinar o valor das correntes do circuito.
10. Uma transportadora possui 5 tipos de caminho˜es que representaremos por (1), (2), (3), (4), (5),
os quais sa˜o equipados para transportar 5 tipos diferentes de ma´quinas A, B, C, D, E segundo a
tabela a seguir, onde supomos que A, B, C, D, E e´ a quantidade de ma´quinas que cada caminha˜o
pode transportar levando carga plena.
2.6. Lista de Exerc´ıcios 17
Ma´quinas
Caminho˜es A B C D E
(1) 1 1 1 0 2
(2) 0 1 2 1 1
(3) 2 1 1 2 0
(4) 3 2 1 2 1
(5) 2 1 2 3 1
Assim, o caminha˜o (1) pode transportar 1 ma´quina A, 1 ma´quina B, 1 ma´quina C, nenhuma
ma´quina D, 2 ma´quinas E, etc. Quantos caminho˜es de cada tipo devemos enviar para transportar
exatamente:
• 27 ma´quinas do tipo A
• 23 ma´quinas do tipo B
• 31 ma´quinas do tipo C
• 31 ma´quinas do tipo D
• 22 ma´quinas do tipo E
Supondo que cada caminha˜o vai com carga plena, resolva o sistema linear obtido.
Sugesta˜o: Represente por xi o nu´mero de caminho˜es do tipo i.
11. Considere a malha quadrada da figura a seguir, cujos bordos AC e BD sa˜o mantidos a` tempe-
ratura de 20oC, o bordo AB, a 40oC, e CD a` 10oC, com o uso de isolantes te´rmicos em A, B,C,
D.
Para determinar as temperaturas de pontos interiores da malha, pode-se supor que a temperatura
em cada ponto e´ igual a me´dia aritme´tica dos quatro pontos cont´ıguos. Por exemplo:
T32 =
T22 + T31 + T33 + T42
4
As 16 relac¸o˜es deste tipo permitira˜o formar um sistema de 16 equac¸o˜es a 16 inco´gnitas Tij .
Resolva-o por me´todo nume´rico com garantia de convergeˆncia.
18 Cap´ıtulo 2. Sistemas Lineares
12. Numa trelic¸a estaticamente determinada com juntas articuladas, como dada na figura a seguir:
a tensa˜o, (Fi), em cada componente pode ser obtida da seguinte equaca˜o matricial:

0, 7071 0 0 −1 −0, 8660 0 0 0 0
0, 7071 0 1 0 0, 5 0 0 0 0
0 1 0 0 0 −1 0 0 0
0 0 −1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0, 7071
0 0 0 0 0 0 0 0 −0, 7071
0 0 0 0 0, 8660 1 0 −1 0
0 0 0 0 −0, 5 0 −1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0, 7071


F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F9

=

0
−1000
0
0
500
0
0
−500
0

Observe que as equac¸o˜es sa˜o obtidas fazendo-se a soma de todas as forc¸as horizontais ou verticais
em cada junta igual a zero. Ale´m disso a matriz dos coeficientes e´ bastante esparsa, e assim um
candidato natural e´ o me´todo de Gauss-Seidel.
a) As equac¸o˜es podem ser rearranjadas de modo a se obter uma matriz estritamente diagonal-
mente dominante?
b) Resolva o sistema pelo metodo de Gauss-Seidel, partindo do vetor nulo e obtendo a soluc¸a˜o
com precisao de 10−4.
Obsservac¸o˜es:
(i) Se a matriz A tiver a diagonal estritamente dominante por linhas ou por colunas, os me´todos
de Jacobi e de Gauss-Seidel convergem, para qualquer vetor inicial x(0) escolhido.
(ii) Uma matriz e´ dita de diagonal dominante se, para todas as linhas da matriz, o mo´dulo do
valor da matriz na diagonal e´ maior que a soma dos mo´dulos de todos os demais valores
(na˜o-diagonais) daquela linha. Mais precisamente, a matriz A e´ de diagonal dominante se
|aij | >
∑
j 6=i
|aij | para todo i
onde aij denota o termo da i-e´sima linha e j-e´sima coluna da matriz. O mesmo racioc´ınio
se aplica para as colunas, e para uma matriz ser estritamente dominante basta que seja por
linhas ou por colunas.
Cap´ıtulo 3
Interpolac¸a˜o
A aproximac¸a˜o de func¸o˜es por polinoˆmios e´ uma das ideias mais antigas da ana´lise nume´rica, e
ainda uma das mais usadas. E´ bastante fa´cil entender por que raza˜o isso acontece. Os polinoˆmios sa˜o
facilmente computa´veis, suas derivadas e integrais sa˜o novamente polinoˆmios, suas ra´ızes podem ser
encontradas com relativa facilidade.
Veremos aqui como aproximar uma func¸a˜o usando Me´todos de Interpolac¸a˜o Polinomial.
Tais me´todos sa˜o usados como uma aproximac¸a˜o para uma func¸a˜o f(x), principalmente, nas se-
guintes situac¸o˜es:
a) na˜o conhecemos a expressa˜o anal´ıtica de f(x), isto e´, sabemos apenas seu valor em alguns pontos
x0, x1, x2, · · · (esta situac¸a˜o ocorre muito frequentemente na pra´tica, quando se trabalha com dados
experimentais) e necessitamos manipular f(x) como, por exemplo, calcular seu valor num ponto, sua
integral num determinado intervalo, etc.
b) f(x) e´ extremamente complicada e de dif´ıcil manejo. Enta˜o, a`s vezes, e´ interessante sacrificar
a precisa˜o em benef´ıcio da simplificac¸a˜o dos ca´lculos.
3.1 Interpolac¸a˜o Polinomial
3.1.1 Interpolac¸a˜o Linear
Dados dois pontos diferentes de uma func¸a˜o y = f(x), (x0, y0) e (x1, y1) deseja-se calcular o valor de
y para um determinado valor de x entre x0 e x1, usando-se interpolac¸a˜o. Sempre que tivermos um
nu´mero de pontos podemos encontrar um polinoˆmio interpolador de grau uma unidade menor. Neste
caso, grau 1, isto e´:
P1(x) = a1x+ a0
P1(x0) = f(x0) = y0 ⇒ a1x0 + a0 = y0
P1(x1) = f(x1) = y1 ⇒ a1x1 + a0 = y1
Gerando um sistema: [
x0 1
x1 1
][
a1
a0
]
=
[
y0
y1
]
19
20 Cap´ıtulo 3. Interpolac¸a˜o
3.1.2 Interpolac¸a˜o Quadra´tica
Tendo treˆs pontos conhecidos fazemos p(x) = a2x
2 + a1x+ a0.
Formamos o sistema:
a2x0
2 + a1x0 + a0 = y0
a2x1
2 + a1x1 + a0 = y1
a2x2
2 + a1x1 + a0 = y2
⇒
 x0
2 x0 1
x1
2 x1 1
x2
2 x2 1

 a2a1
a0
 =
 y0y1
y2

3.1.3 Interpolac¸a˜o Polinomial
Queremos um polinomio interpolador de grau ≤ n sendo dados n+1 pontos distintos.
Pn(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + · · ·+ anxn =
n∑
j=0
aix
j .
Pn(xi) = yi ⇒

anx0
n + · · ·+ a2x02 + a1x0 + a0 = y0
anx1
n + · · ·+ a2x12 + a1x1 + a0 = y1
· · · · · · · · ·
anxn
n + · · ·+ a2xn2 + a1xn + a0 = yn
3.2 Interpolac¸a˜o de Lagrange
Polinoˆmio de Lagrange:
Pn(x) =
n∑
i=0
yi.
n∏
j=0,j 6=i
x− xj
xi − xj (3.1)
Exemplo:
x 1 5 7
y 7 3967
P2(x) =
2∑
i=0
yi.
2∏
j=0,j 6=i
x− xj
xi − xj = y0
(x− x1)
(x0 − x1)
(x− x2)
(x0 − x2) + y1
(x− x0)
(x1 − x0)
(x− x2)
(x1 − x2)+
+y2
(x− x0)
(x2 − x0)
(x− x1)
(x2 − x1) = · · · = x
2 + 2x+ 4.
3.2.1 Forma Simplificada
Construir a tabela:
x0 x1 ... xn
∏
Dif 0 Dif 1 Dif n PRODX
xobj xobj − x0 xobj − x1 ... xobj − xn (xobj − x0) ∗ (xobj − x1) ∗ ... ∗ (xobj − xn)
PROD0
x0 — x0 − x1 ... x0 − xn (x0 − x1) ∗ ... ∗ (x0 − xn)
PROD1
x1 x1 − x0 — ... x1 − xn (x1 − x0) ∗ ... ∗ (x1 − xn)
...
...
...
...
...
...
PRODn
xn xn − x0 xn − x1 ... — (xn − x0) ∗ (xn − x1) ∗ ... ∗ (xn − xn−1)
3.3. Erro na Interpolac¸a˜o 21
Em seguida fazer
Pn(xobj) = y0.
PRODX
Dif0
PROD0
+ y1.
PRODX
Dif1
PROD1
+ + · · ·+ yn.
PRODX
Difn
PRODn
(3.2)
Exemplos:
1) Problema das populac¸o˜es: A tabela abaixo representa a populac¸a˜o de certa cidade:
Ano 55 65 85
Populac¸a˜o (106) 72 86 121
Estimar a populac¸a˜o no ano de 1975.
2) Problema das temperaturas: A tabela abaixo a temperatura ambiente de acordo com a
altitude:
Temperatura (0C) Altitude (m)
32,6 0
31,2 200
28,8 400
25,3 600
21,3 800
17 1000
Estimar a temperatura para uma altitude de 500m.
3.3 Erro na Interpolac¸a˜o
E´ o polinoˆmio de interpolac¸a˜o uma boa aproximac¸a˜o para f(x)? Para respondermos esta pergunta
devemos estudar a teoria do termo do erro. Para isso devemos conhecer os seguintes teoremas:
Teorema de Rolle: Seja f(x) cont´ınua em [a, b] e diferencia´vel em cada ponto de (a, b). Se
f(a) = f(b), enta˜o existe um ponto x = ξ, a < ξ < b, tal que f
′
(ξ) = 0.
Prova: Pode ser encontrada em [8].
Teorema de Rolle generalizado: Seja n ≥ 2. Suponhamos que f(x) seja cont´ınua em [a, b]
e que f (n−1)(x) exista em cada ponto de (a, b). Suponhamos que f(x1) = f(x2) = · · · = 0 para
a ≤ x1 < x2 < · · · < xn ≤ b. Enta˜o existe um ponto ξ, x1 < ξ < xn, tal que f (n−1)(ξ) = 0.
Prova: A prova e´ feita aplicando-se sucessivamente o Teorema de Rolle.
Teorema: Seja f(x) cont´ınua em [a, b] e suponhamos que fn+1(x) exista em cada ponto (a, b). Se
a ≤ x1 < x2 < · · · < xn ≤ b, enta˜o:
Rn(f ;x) = f(x)− Pn(f ;x) = (x− x0)(x− x1) · · · (x− xn)
(n+ 1)!
f (n+1)(ξ) (3.3)
onde min{x, x0, x1, · · · , xn} < ξ < max{x, x0, x1, · · · , xn.} O ponto ξ depende de x.
Prova: Pode ser encontrada em [2].
22 Cap´ıtulo 3. Interpolac¸a˜o
O termo Rn(f ;x) na expressa˜o acima e´ chamado termo do erro ou erro de truncamento.
E´ o erro que se comete no ponto x quando se substitui a func¸a˜o por seu polinoˆmio de interpolac¸a˜o
calculado em x. Na pra´tica, para estimar o erro cometido ao aproximar o valor da func¸a˜o num ponto
por seu polinoˆmio de interpolac¸a˜o, fazemos:
|Rn(f ;x)| ≤ |x− x0||x− x1| · · · |x− xn|
(n+ 1)!
·maxa≤t≤b|f (n+1)(t)|. (3.4)
Exemplo: Dada a tabela
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
e3x 1 1.3499 1.8221 2.4596 3.3201 4.4817
Calcular um limitante superior para o erro de truncamento quando avaliamos f(0.25), onde f(x) =
x.e3x, usando polinoˆmio de interpolac¸a˜o do segundo grau.
Soluc¸a˜o:
|R2(f ;x)| ≤ |x− x0| · |x− x1| · |x− x2|
3!
·maxx0≤t≤x2 |f
′′′
(t)|.
Como f(t) = te3t, segue que;
f
′
(t) = e3t + 3te3t = e3t(1 + 3t),
f
′′
(t) = 3e3t(1 + 3t) + 3e3t = 6e3t + 9te3t,
f
′′′
(t) = 18e3t + 9e3t + 27te3t = 27e3t(1 + t).
Como queremos estimar o valor da func¸a˜o xe3x no ponto 0.25 usando polinoˆmio do segundo grau,
devemos tomar treˆs pontos consecutivos na vizinhanc¸a de 0.25. Tomando enta˜o: x0 = 0.2, x1 = 0.3 e
x3 = 0.4, obtemos:
maxx0≤t≤x2 |f
′′′
(t)| = 27e3.(0.4)(1 + 0.4) = 125.4998.
Estamos, portanto, em condic¸o˜es de calcular um limitante superior para o erro de truncamento.
Assim:
|R2(f ;x)| ≤ |0.25− 0.2| · |0.25− 0.3| · |0.25− 0.4|
6
(125.4998) ' 0.0078 ' 8× 10−3.
Pelo resultado obtido, vemos que, se tomarmos um polinoˆmio do segundo grau para avaliar f(0.25),
obteremos o resultado com duas casas decimais corretas!!
Observac¸o˜es:
O nu´mero de zeros depois do ponto decimal, no resultado do erro, fornece o nu´mero de d´ıgitos
significativos corretos que teremos na aproximac¸a˜o.
Observe que poder´ıamos ter tomado: x0 = 0.1, x1 = 0.2 e x3 = 0.3. Se tomarmos estes pontos,
obtemos que |R2(f ;x)| ' 0.0054, o que implica que obteremos duas casas decimais corretas na apro-
ximac¸a˜o. Assim, tanto faz tomarmos um ponto a` esquerda e dois a` direita de 0.25, ou dois pontos a`
esquerda e um a` direita, que o erro sera´ da mesma ordem de grandeza.
3.4. Interpolac¸a˜o de Newton 23
3.4 Interpolac¸a˜o de Newton
3.4.1 Diferenc¸as Divididas
Definic¸a˜o: Sejam n+1 pontos distintos x0, x1, ..., xn no intervalo [a, b], e sejam f0, f1, ..., fn; n+1
valores de uma func¸a˜o y = f(x) sobre x = xk, k = 0, 1, ..., n. Define-se:
f [xk] = f(xk), k = 0, 1, ..., n.
f [x0, x1, ..., xn] =
f [x1, x2, ..., xn]− f [x0, x1, ..., xn−1]
xn − x0 ,
onde f [x0, x1, ..., xn] e´ a diferenc¸a dividida de ordem n da func¸a˜o f(x) sobre os pontos x0, x1, ..., xn.
Assim, usando a definic¸a˜o temos:
f [x0, x1] =
f [x1]− f [x0]
x1 − x0 ,
f [x0, x1, x2] =
f [x1, x2]− f [x0, x1]
x2 − x0 ,
f [x0, x1, x2, x3] =
f [x1, x2, x3]− f [x0, x1, x2]
x3 − x0 ,
...
Observe que, do lado direito de cada uma das igualdades anteriores devemos aplicar sucessivamente
a definic¸a˜o de diferenc¸a dividida ate´ que os ca´lculos envolvam apenas o valor da func¸a˜o nos pontos,
isso e´:
f [x0, x1, x2] =
f [x1, x2]− f [x0, x1]
x1 − x0 =
f(x2)− f(x1)
x2 − x1 −
f(x1)− f(x0)
x1 − x0
x2 − x0
Entretanto, podemos calcular as diferenc¸as divididas de uma func¸a˜o, de uma maneira mais simples,
conforme segue.
Para calcular as diferenc¸as divididas de uma func¸a˜o f(x) sobre os pontos x0, ..., xn, constru´ımos a
tabela de diferenc¸as divididas:
xi f [xi] f [xi, xj ] f [xi, xj , xk]...
x0 f [x0] = f0
f [x0, x1] =
f [x1]− f [xo]
x1 − x0
x1 f [x1] = f1 f [x0, x1, x2] =
f [x1, x2]− f [x0, x1]
x2 − x0
f [x1, x2] =
f [x2]− f [x1]
x2 − x1 . . .
x2 f [x2] = f2 f [x1, x2, x3] =
f [x2, x3]− f [x1, x2]
x3 − x1
f [x2, x3] =
f [x3]− f [x2]
x3 − x2 . . .
x3 f [x3] = f3 f [x2, x3, x4] =
f [x3, x4]− f [x2, x3]
x4 − x2
f [x3, x4] =
f [x4]− f [x3]
x4 − x3
... . . .
x4 f [x4] = f4
...
...
...
24 Cap´ıtulo 3. Interpolac¸a˜o
A tabela e´ constru´ıda da seguinte forma:
a) a primeira coluna e´ constitu´ıda dos pontos xk, k = 0, 1, ..., n
b) a segunda conte´m os valores de f(x) nos pontos xk, k = 0, 1, ..., n
c) nas colunas 3,4,5,... esta˜o as diferenc¸as divididas de ordem 1,2,3... Cada uma dessas diferenc¸as
e´ uma frac¸a˜o cujo numerador e´ sempre a diferenc¸a entre duas diferenc¸as divididas consecutivas
e de ordem imediatamente inferior, e cujo denominador e´ a diferenc¸a entre os dois extremos dos
pontos envolvidos.
Exemplo utilizando diferenc¸as divididas
Pela seguinte func¸a˜o tabelada, construir a tabela de diferenc¸as divididas:
x −2 −1 0 1 2
f(x) −2 29 30 31 62
Soluc¸a˜o: Utilizando o esquema anterior, obtemos a tabela:
xi f [xi] f [xi, xj ] f [xi, xj , xk] f [xi, ..., xl] f [xi], ..., xm]
−2 −2
29− (−2)
−1− (−2) = 31
−1 29 1− 31
0− (−2) = −15
30− 29
0− (−1) = 1
0− (−15)
1− (−2) = 5
0 30
1− 1
1− (−1) = 0
5− 5
2− (−2) = 0
31− 30
1− 0 = 1
15− 0
2− (−1) = 5
1 31
31− 1
2− 0 = 15
62− 31
2− 1 = 31
2 62
Assim, o elemento 0 corresponde a` diferenc¸a dividida f [x1, x2, x3]. Portanto, usando a definic¸a˜o,
segue que: f [x1, x2, x3] =
f [x2, x3]− f [x1 − x2]
x3 − x1 e, usando o item c) anterior temos que: f [x1, x2, x3] =
1− 1
1− (−1) = 0
3.4.2 Fo´rmula de Newton
Para obtermos a fo´rmula de Newton do polinoˆmio de interpolac¸a˜o precisamos inicialmente definir
algumas func¸o˜es. Para tanto consideremos que f(x) seja cont´ınuae que possua derivadas cont´ınuas
em [a, b] e, ale´m disso, que os pontos x0, x1, ..., xn sejam distintos em [a, b]. Definimos enta˜o as func¸o˜es:
(1) f [x0, x] =
f [x]− f [x0]
x− x0 , definida em [a, b], para x 6= x0,
3.4. Interpolac¸a˜o de Newton 25
(2) f [x0, x1, x] =
f [x0, x]− f [x0, x1]
x− x1 , definida em [a, b], para x 6= x0 e x 6= x1,
...
(n+1) f [x0, x1, · · · , xn, x] = f [x0, x1, ..., xn−1, x]− f [x0, x1, ..., xn]
x− xn ,
definida em [a, b], para x 6= xk , k = 0, 1, ..., n.
Observe que nestas func¸o˜es acrescentamos, sucessivamente, na diferenc¸a dividida, o pro´ximo ponto
da tabela. Nosso objetivo agora e´ encontrar uma fo´rmula de recorreˆncia para f(x). Assim de (1),
temos:
f(x) = f [x0] + (x− x0)f [x0, x].
De (2), usando (1), obtemos:
f [x0, x1, x](x− x1) = f [x0, x]− f [x0, x1]
=> f [x0, x1, x](x− x1) = f [x]− f [x0]
x− x0 − f [x0, x1]
=> f(x) = f [x0] + (x− x0)f [x0, x1] + (x− x0)(x− x1)f [x0, x1, x]
De maneira ana´loga, de (n+1), segue que:
f(x) = {f [x0] + (x− x0)f [x0, x1] + (x− x0)(x− x1)f [x0, x1, x2]
+(x− x0)(x− x1)(x− x2)f [x0, x1, x2, x3]+...]
+(x− x0)(x− x1)...(x− xn−1)f [x0, x1, ..., xn]}1.
+{(x− x0)(x− x1)...(x− xn)f [x0, x1, ..., xn, x]}2.
Obtivemos, assim, uma fo´rmula de recorreˆncia para f(x).
Sendo que {..}1 na equac¸a˜o anterior representa a Fo´rmula de Newton do Polinoˆmio de In-
terpolac¸a˜o. e {..}2 e´ o erro de truncamento.
Pn(x) = f [x0] + (x− x0)f [x0, x1] + (x− x0)(x− x1)f [x0, x1, x2] + · · ·
+(x− x0)(x− x1) · · · (x− xn−1)f [x0, x1, x2, · · · , xn] = {...}1 (3.5)
Resumidamente:
Pn(x) = yo +
n∑
i=1
∆y
(i)
0
j−1∏
i=0
(x− xj)
26 Cap´ıtulo 3. Interpolac¸a˜o
3.5 Escolha dos pontos para interpolac¸a˜o
• Escolher n+1 pontos dentrem valores de uma tabela, sendom > n+1, para obter um polinoˆmio
de grau n.
• Os n + 1 pontos escolhidos devem ser os mais pro´ximos do valor em que deseja-se obter a
interpolac¸a˜o.
• Na˜o de deve construir polˆınoˆmios de grau elevado devido aos erros de arredondamento.
• Deve-se evitar uma extrapolac¸a˜o na qual z /∈ [x0, xn].
• Examinar as diferenc¸as divididas na vizinhanc¸a do ponto de interesse. Se as diferenc¸as de ordem
k forem praticamente constantes, ou se as diferenc¸as de ordem k+1 variarem em torno de zero,
o polinoˆmio de grau k sera´ o que melhor aproximara´ a func¸a˜o na regia˜o considerada.
3.6 Lista de Exerc´ıcios
1. A tabela a seguir relaciona o calor espec´ıfico da a´gua com a temperatura. Calcular a capacidade
calor´ıfica cp da a´gua a` temperatura t = 250
0C, usando interpolac¸a˜o.
t,0C 200 220 240 260 280
cp,Kcal/(Kg
0C) 1,075 1,102 1,136 1,183 1,250
2. Seja a tabela relacionando a temperatura com a densidade do mercu´rio (Hg). Determinar a
densidade ρ do mercu´rio a` temperatura t = 250C, usando interpolac¸a˜o.
t,0C -20 20 100 200 300
ρ, g/cm3 13,645 13,546 13,352 13,115 12,881
3. Por treˆs dias consecutivos em determinada cidade foram medidas as temperaturas que segue
indicado na tabela abaixo. Estimar a temperatura me´dia destes 3 dias a`s 11h. Resposta:
TEMPM (11) = 18, 63
o
Hora/Dia 1 2 3
8 16 14 17
10 19 16 18
12 22 17 20
14 25 19 23
4. A que temperatura a a´gua entra em ebulic¸a˜o no Pico da Bandeira ( altitude = 2890 m ), sabendo
que o ponto de ebulic¸a˜o da a´gua varia com a altitude, conforme mostra a Tabela 3.1 ( usar os
cinco pontos mais pro´ximos de 2890 m. ) Resposta: 90, 37oC
5. Usando os cinco primeiros pontos da Tabela 3.1 determinar o ponto de ebulic¸a˜o da a´gua em um
local de Belo Horizonte que possui altitude igual a 1000 m. Resposta: 96, 66oC.
3.6. Lista de Exerc´ıcios 27
Tabela 3.1: Ponto de ebulic¸a˜o da a´gua
Altitude (m) Ponto de Ebulic¸a˜o da A´gua (o C )
850 97,18
950 96,84
1050 96,51
1150 96,18
1250 95,84
. .
. .
. .
2600 91,34
2700 91,01
2800 90,67
2900 90,34
3000 90,00
6. Um automo´vel percorreu um trajeto que liga 2 cidades de 80 km e foi registrado as distaˆncias
percorridas nos tempos indicados abaixo. Encontrar:
a) A distaˆncia percorrida apo´s 35 minutos Resposta: 40,3292 km.
b) O tempo para 60 km. Resposta: 49,45 minutos.
Tempo Distaˆncia
0
′
0
15
′
20 km
30
′
35 km
45
′
53 km
60
′
80 km
7. A velocidade do som na a´gua varia com a temperatura. Usando os valores da tabela abaixo ,
determinar o valor aproximado da velocidade do som na a´gua a
100 o C. Resposta:1542,94 m/s
Temp (o C) Veloc (m)
86 1552
93,3 1548
98,9 1544
104,4 1538
110 1532
8. Um automo´vel percorreu 160 km numa rodovia que liga duas cidades e gastou, neste trajeto,
2 horas e 30 minutos. A Tabela abaixo da´ o tempo gasto e a distaˆncia percorrida em alguns
pontos entre as duas cidades.
28 Cap´ıtulo 3. Interpolac¸a˜o
Tempo(min) Dist (m)
0 0
10 8
30 27
60 58
90 100
120 145
150 160
a) Qual foi aproximadamente a distaˆncia percorrida pelo automo´vel nos primeiros 45 minutos
da viagem, considerando apenas os 4 primeiros pontos da tabela? Resposta: 42,5625 km.
b) Quantos minutos o automo´vel gastou para chegar a` metade do caminho? Resposta: 77,84
minutos.
9. Os resultados da densidade da a´gua ρ em va´rias temperaturas sa˜o demonstrados na tabela a
seguir:
T 0 5 10 15 20 25 30 35 40
ρ 0.9999 0.9998 0.9997 0.9991 0.9982 0.9971 0.9957 0.9941 0.9902
Calcular:
a)ρ(13),
b)ρ(27).
10. Um pa´ra-quedista realizou seis saltos, pulando de alturas distintas em cada salto. Foi testada
a precisa˜o de seus saltos em relac¸a˜o a um alvo de raio de 5 metros de acordo com a altura. A
distaˆncia apresentada na tabela seguinte e´ relativa a circunfereˆncia.
Altura(m) Distaˆncia do Alvo(m)
1o salto 1500 35
2o salto 1250 25
3o salto 1000 15
4o salto 750 10
5o salto 500 7
Levando em considerac¸a˜o os dados da tabela acima, a que prova´vel distaˆncia do alvo cairia o
pa´ra-quedista se ele saltasse de uma altura de 850 metros? Use reta e para´bola.
11. Conhecendo o diaˆmetro e a resistividade de um fio cil´ındrico, verificou-se a resisteˆncia do fio de
acordo com o comprimento. Os dados obtidos esta˜o indicados a seguir:
Comprimento (m) 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
Resistteˆncia(Ohms) 2.74 5.48 7.90 11.00 13.93 16.43 20.24 23.52
Usando para´bolas de 2o e 3o graus determine quais sera˜o as prova´veis resisteˆncias deste fio para
o comprimento de:
3.6. Lista de Exerc´ıcios 29
a)1730 m
b)3200 m
12. Sendo 200 candelas a intensidade de uma laˆmpada, foi calculada a iluminac¸a˜o em casos de inci-
deˆncia normal sobre uma superf´ıcie situada a distaˆncias conhecidas, quando para cada distaˆncia
foi calculada a iluminac¸a˜o, conforme a tabela a seguir:
Distaˆncia (metros) 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50
Iluminac¸a˜o(Lux) 200 128 88.39 65.30 50.00 39.50 32.00
Usando para´bolas de 2o e 3o graus calcular a iluminac¸a˜o, quando a superf´ıcie estiver situada a:
a)1.60 m da laˆmpada
b)2.38 m da laˆmpada
Cap´ıtulo 4
Ajuste de Curvas
E´ bastante comum em engenharia a realizac¸a˜o de testes de laborato´rio para a validac¸a˜o de sistemas
reais. Os resultados sa˜o obtidos na forma de pontos cujo comportamento demonstra o relacionamento
de uma varia´vel independente com uma, ou mais, varia´vel dependente. O gra´fico destes pontos e´
chamado diagrama de dispersa˜o.
Figura 4.1: Gra´fico de Dispersa˜o
Entretanto, dado um diagrama de dispersa˜o, e´ pouco prova´vel que haja uma curva que passe
exatamente por cada ponto e que descreva fielmente o sistema observado em laborato´rio. A raza˜o
disto e´ que a obtenc¸a˜o de dados experimentais possuem erros inerentes ao processo. Ale´m do mais,
algumas varia´veis podem sofrer alterac¸o˜es durante a experiencia, o que ira´ provocar desvios na resposta.
Uma das vantagens de se obter uma curva que se ajustaadequadamente a estes pontos, e´ a
possibilidade de prever os valores da func¸a˜o para valores da varia´vel explicativa que esta˜o fora do
intervalo fornecido. Ou seja, e´ poss´ıvel fazer uma extrapolac¸a˜o com uma aproximac¸a˜o razoa´vel.
Como o sistema da experieˆncia e´ descrito por um conjunto de pontos, enta˜o a abordagem a ser
apresentada sera´ va´lida para os casos discretos. Assim, o problema de ajuste de curvas no caso em
que se tem uma tabela de pontos (x1, y1), (x2, y2), · · · , (xn, yn), com xi pertencentes ao intervalo [a, b],
consiste em dadas m+ 1 func¸o˜es g0(x), g1(x), · · · , gm(x), cont´ınuas em [a, b], obter m+ 1 coeficientes
β0, β1, · · · , βm de tal forma que
f(x) = β0g0(x) + β1g1(x) + · · ·+ βmgm(x)
se aproxime de y(x), que fornece os valores y1, y2, · · · , yn dos pontos tabelados.
Este e´ um modelo matema´tico linear do sistema real pois os coeficientes βi a serem determinados
aparecem linearmente arranjados, embora as func¸o˜es gi(x) possam ser na˜o-lineaeres, como g0(x) = e
x
e g1(x) = 1 + x
2, por exemplo.
O grande problema e´ como escolher adequadamente estas func¸o˜es. Para isto, normalmente faz-se
30
31
a observac¸a˜o do diagrama de dispersa˜o para ver a forma geral dos pontos, ou enta˜o deve-se basear
em fundamentos teo´ricos do experimento que fornece a tabela. Uma ide´ia para que a func¸a˜o f(x)
se ajuste aos pontos yi e´ fazer com que o desvio, ou erro, di = yi − f(xi) seja mı´nimo para todo
i = 1, 2, · · · , n. Assim, definindo uma medida mais abrangente que envolve a soma destes desvios
elevados ao quadrado tem-se:
D(β0, β1, · · · , βm) =
n∑
i=1
(di)
2 =
n∑
i=1
(yi − f(xi))2
=
n∑
i=1
(yi − β0g0(x)− β1g1(x)− · · · − βmgm(x))2. (4.1)
O que se busca enta˜o e´ determinar os βis para queD(.) seja mı´nimo. Este processo de minimizac¸a˜o e´
chamado deMe´todo dos Mı´nimos Quadrados, uma vez queD(.) e´ definido por uma soma de quadrados.
Do ca´lculo diferencial, sabe-se que para determinar o valor mı´nimo de uma func¸a˜o (ou o seu valor
cr´ıtico) deve-se derivar parcialmente esta func¸a˜o em relac¸a˜o a`s varia´veis independentes. Dessa forma:
∂D
∂β0
= 2
n∑
i=1
[yi − β0g0(xi)− β1g1(xi)− · · · − βmgm(xi)]g0(xi)
∂D
∂β1
= 2
n∑
i=1
[yi − β0g0(xi)− β1g1(xi)− · · · − βmgm(xi)]g1(xi)
∂D
∂β2
= 2
n∑
i=1
[yi − β0g0(xi)− β1g1(xi)− · · · − βmgm(xi)]g2(xi)
...
∂D
∂βm
= 2
n∑
i=1
[yi − β0g0(xi)− β1g1(xi)− · · · − βmgm(xi)]gm(xi)
Para simplificac¸a˜o de notac¸a˜o usaremos apenas
∑
para representar
n∑
i=1
. Igualando as equac¸o˜es
acima a zero e rearranjando os termos temos:
(∑
(g0(xi))
2
)
β0 +
(∑
g1(xi)g0(xi)
)
β1 + · · ·+
(∑
g0(xi)gm(xi)
)
βm =
∑
yig0(xi)
(∑
g0(xi)g1(xi)
)
β0 +
(∑
(g1(xi))
2
)
β1 + · · ·+
(∑
g1(xi)gm(xi)
)
βm =
∑
yig1(xi)
...
(∑
g0(xi)gm(xi)
)
β0 +
(∑
g1(xi)gm(xi)
)
β1 + · · ·+
(∑
(gm(xi))
2
)
βm =
∑
yigm(xi)
32 Cap´ıtulo 4. Ajuste de Curvas
que se trata de um sistema linear que pode ser solucionado por qualquer me´todo nume´rico apresen-
tadado (Gauss, Jordan, LU, Gauss com pivotamento, etc.). As equac¸o˜es deste sistema sa˜o chamadas
de equac¸o˜es normais. Nota-se que a matriz dos coeficientes deste sistema e´ sime´trica com relac¸a˜o a
diagonal principal, ou seja, a parte triangular inferior e´ igual a parte triangular superior.
4.1 Ajuste Linear Simples
O modelo mais simples de relacionar duas varia´veis e´ atrave´s de uma equac¸a˜o de reta, caracteri-
zando um comportamento linear do sistema que foi submetido a` experieˆncia. Se a distribuic¸a˜o dos
pontos no diagrama de dispersa˜o assumir uma apareˆncia de uma reta, enta˜o pode-se afirmar que:
g0(x) = 1
g1(x) = x
g2(x) = g3(x) = · · · = gm(x) = 0
o que faz com que o modelo matema´tico que se ajuste aos pontos do diagrama de dispersa˜o seja
uma equac¸a˜o de reta, dada por:
f(x) = β0 + β1x (4.2)
O problema enta˜o e´ determinar β0 e β1. Sabe-se, pore´m, que para diferentes valores destes co-
eficientes (ou paraˆmetros) havera´ diferentes retas que se ajustam aos pontos dados. Dessa forma,
utilizando o Me´todo dos Mı´nimos Quadrados para minimizar a medida:
D(β0, β1) =
∑
[yi − β0 − β1xi)2
tem-se o seguinte sistema linear:(
n
∑
xi∑
xi
∑
(xi)
2
)
.
(
β0
β1
)
=
( ∑
yi∑
yi.xi
)
(4.3)
Exemplo: Ajustar os pontos abaixo a uma reta:
i 1 2 3 4 5
xi 1.3 3.4 5.1 6.8 8.0
yi 2.0 5.2 3.8 6.1 5.8
Pergunta: Qua˜o bom e´ este ajuste?
Avaliac¸a˜o da Qualidade do Ajuste: A questa˜o fundamental e´: qual a func¸a˜o que representa
o melhor ajuste entre todas as outras func¸o˜es. Um me´todo pelo qual podemos avaliar a qualidade de
um ajuste e´ atrave´s do coeficiente de correlac¸a˜o de Pearson. O coeficiente de correlac¸a˜o de Pearson
R2 pode ser calculado na forma mais geral como:
R2 = 1− n
∑
(yi − yaj)2
n
∑
(yi)2 − (
∑
yi)2
(4.4)
O coeficiente de correlac¸a˜o e´ limitado aos seguintes valores: 0 < R2 < 1. Quanto mais pro´ximo de
1 for o valor de R2, melhor sera´ o ajuste.
4.2. Ajuste Linear Mu´ltiplo 33
4.2 Ajuste Linear Mu´ltiplo
Quando, em uma experieˆncia, a varia´vel resposta depende de duas ou mais varia´veis explicativas
e o gra´fico de dispersa˜o apresenta um comportamento linear, pode-se enta˜o aplicar o ajuste linear
mu´ltiplo. Para estes casos tem-se:
g0(x) = 1
g1(x) = X1
g2(x) = X2
...
gm(x) = Xm
onde Xi, com i = 1, 2, · · · ,m, sa˜o varia´veis distintas entre si. Isto resulta na seguinte equac¸a˜o:
f(x) = β0 + β1X1 + β2X2 + · · ·+ βmXm (4.5)
Pode-se mostrar, de maneira ana´loga ao ajuste linear simples, que as estimativas de βj que mini-
mizam a soma dos quadrados dos desvios e´ a soluc¸a˜o do seguinte sistema de equac¸o˜es lineares:

n
∑
X1i
∑
X2i · · ·
∑
Xmi∑
X1i
∑
(X1i)
2
∑
X1iX2i · · ·
∑
X1iXmi∑
X2i
∑
X2iX1i
∑
(X2i)
2 · · ·
∑
X2iXmi
...
...
...
...
...∑
Xmi
∑
XmiX1i
∑
XmiX2i · · ·
∑
(Xmi)
2

.

b0
b1
b2
...
bm

=

∑
yi∑
X1iyi∑
X2iyi
...∑
Xmiyi

(4.6)
Exemplo: Ajustar os pontos da tabela abaixo a` equac¸a˜o Ŷ = b0 + b1X1 + b2X2.
i 1 2 3 4 5 6 7 8
x1i -1 0 1 2 4 5 5 6
x2i -2 -1 0 1 1 2 3 4
yi 13 11 9 4 11 9 1 -1
Resposta: b0 = 4.239; b1 = 3.4; b2 = −6.464; R2 = 0.977
4.3 Ajuste Polinomial
Um caso especial de ajuste de curvas ocorre quando o diagrama de dispersa˜o na˜o apresenta as
caracter´ısticas lineares presentes nos outros tipos de ajuste. Nestas situac¸o˜es pode-se realizar o ajuste
polinomial utilizando as seguintes func¸o˜es gi(x).
g0(x) = 1
g1(x) = x
g2(x) = x
2
34 Cap´ıtulo 4. Ajuste de Curvas
...
gm(x) = x
m
Deste modo, tem-se a seguinte equac¸a˜o:
f(x) = β0 + β1x+ β2x
2 + · · ·+ βmxm (4.7)
ou seja, f(x) e´ um polinoˆmio de grau m.
Para o ajuste polinomial de curvas, o sistema linear torna-se:

n
∑
xi
∑
(xi)
2 · · ·
∑
(xi)
m∑
xi
∑
(xi)
2
∑
(xi)
3 · · ·
∑
(xi)
m+1∑
(xi)
2
∑
(xi)
3
∑
(xi)
4 · · ·
∑
(xi)
m+2
...
...
...
...
...∑
(xi)
m
∑
(xi)
m+1
∑
(xi)
m+2 · · ·
∑
(xi)
2m

.

b0
b1
b2
...
bm

=

∑
yi∑
xiyi∑
(xi)
2yi
...∑
(xi)
myi

(4.8)
Exemplo: Ajustar os pontos da tabela abaixo a` equac¸a˜o Ŷ = b0 + b1X + b2X
2.
i 1 2 3 4 5 6
xi -2 -1.5 0 1 2.2 3.1
yi -30.5 -20.2 -3.3 8.9 16.8 21.4
Resposta: b0 = −2.018; b1 = 11.33; b2 = −1.222; R2 = 0.977
Exemplo de aplicac¸a˜o:
A tabela abaixo lista o nu´mero de acidentes em ve´ıculos motorizados no Brasil em alguns anos
entre 1980 e 2006.
Ano Nu´mero de acidentes (emmilhares) Acidentes por 10.000 ve´ıculos
1980 8.300 1.688
1985 9.900 1.577
1990 10.400 1.397
1993 13.200 1.439
1997 13.600 1.418
2000 13.700 1.385
2006 14.600 1.415
1. Calcule a regressa˜o linear do nu´mero de acidentes no tempo. Use-a para prever o nu´mero de
acidentes no ano de 2010.(Isto e´ chamado ana´lise de se´rie temporal,visto que e´ uma regressa˜o no
tempo, e e´ usada para prognostiar o futuro).
2. Calcule uma regressa˜o quadra´tica do nu´mero de acidentes por 10.000 ve´ıculos. Use esta para
prognosticar o nu´mero de acidentes por 10.000 ve´ıculos no ano de 2007.
3. Compare os resultados das partes (a) e (b). Em qual delas voceˆ esta´ mais propenso a acreditar?
4.4. Casos Na˜o-Lineares 35
Observe que em qualquer trabalho de se´rie temporal envolvendo datas contemporaˆneas, e´ uma
boa ide´ia transladar os dados inicias antes de formar as somas,pois isto reduzira´ os problemas de
arredondamento. Assim, em vez de usar para x os valores 1980,1985 etc., usamos 0, 5 etc.
4.4 Casos Na˜o-Lineares
Nos casos em que a famı´lia de func¸o˜es gi(x) e´ na˜o-linear faz-se necessa´rio a efetuac¸a˜o da linearizac¸a˜o.
E´ importante observar que os paraˆmetros assim obtidos na˜o sa˜o o´timos dentro do crite´rio dos mı´nimos
quadrados. Isto porque o que se ajusta e´ o problema linearizado, e na˜o o original.
Alguns exemplos de linearizac¸a˜o:
y = a.ebx → ln y = ln a+ bx
y = a.bx → ln y = ln a+ (ln b).x
y = a.xb → ln y = ln a+ b. lnx
y = a.xb1.x
c
2.x
d
3 → ln y = ln a+ b. lnx1 + c. lnx2 + d. lnx3
y = ea+bx1+cx2 → ln y = a+ bx1 + cx2
y =
1
a+ bx1 + cx2
→ 1
y
= a+ bx1 + cx2
y =
1
1 + ea+bx1+cx2
→ ln
(
1
y
− 1
)
= a+ bx1 + cx2
Exemplo: Ajustar os pontos abaixo a` equac¸a˜o Ŷ = aebX e tambe´m a` ŷ = abx.
i 1 2 3 4 5
xi 0.1 1.5 3.3 4.5 5
yi 5.9 8.8 12 19.8 21.5
4.5 Lista de Exerc´ıcios
1. Ajustar os pontos abaixo a uma reta:
i 1 2 3 4 5 6
xi -2.0 -0.5 1.2 2.1 3.5 5.4
yi 4.4 5.1 3.2 1.6 0.1 -0.4
Construir um diagrama de dispersa˜o com os pontos dados e representar a reta obtida no ajuste
no mesmo gra´fico. Encontrar o coeficiente de determinac¸a˜o.
Resposta: ŷ = 3.62− 0.798x, R2 = 0.889
36 Cap´ıtulo 4. Ajuste de Curvas
2. Transforme os modelos abaixo em relac¸o˜es lineares:
a) y =
a
b+ cx
,
b) y = abx,
c) y =
a
b+ x
,
d) y =
1
1 + ebx
.
3. Seja a tabela:
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
yi 0, 01 0, 05 0, 08 0, 14 0, 18 0, 26 0, 44 0, 51 0, 79 1, 02
Qual dos modelos abaixo e´ o melhor? Por queˆ?
a) u = b0 + b1x,
b) u = b0 + b1x+ b2x
2,
c) u = b0 + b1x+ b2x
2 + b3x
3,
d) u = axb,
e) u = abx.
4. Seja a tabela abaixo, contendo o tempo de germinac¸a˜o de sementes (dias) em func¸a˜o da tem-
peratura me´dia do solo (oC) para doze locais de plantio. Com base na tabela, determine uma
relac¸a˜o entre a temperatura e o tempo de germinac¸a˜o das sementes.
Temperatura(oC) 14 6 3 6 7 6 7 4 8 7 6 4
Germinac¸a˜o (dias) 10 26 41 29 27 27 19 28 19 31 29 33
5. A tabela a seguir lista o total de a´gua (A) consumida nos Estados Unidos em bilho˜es de galo˜es
por dia:
Ano 1960 1970 1980 1990 2000
A 136.43 202.70 322.90 411.20 494.10
(a) Encontre uma regressa˜o exponencial de consumo de a´gua no tempo.
(b) Use os resultados do item (a) para prever o consumo de a´gua nos anos de 2008 e 2010.
6. O nu´mero de nu´meros primos menores que x e´ denotado por Π(x) e vale a tabela:
x 100 1000 10000 100000
Π(x) 25 168 1229 9592
(a) Determinar pelo me´todo dos mı´nimos quadrados, para os dados acima, uma expressa˜o do
tipo: Π(x) = a+ b
x
log10 x
.
(b) Estimar o nu´mero de nu´meros primos de seis d´ıgitos usando o item (a).
4.5. Lista de Exerc´ıcios 37
7. Apo´s serem efetuados medic¸o˜es num gerador de corrente cont´ınua, foram obtidos os seguintes
valores, indicados por um volt´ımetro e um amper´ımetro.
I(carga(A) 1.58 2.15 4.8 4.9 3.12 3.01
V 210 180 150 120 60 30
Fac¸a um gra´fico dos dados.
(a) Ajuste os dados por polinoˆmio de grau adequado.
(b) Estime o valor a ser obtido no volt´ımetro quando o amper´ımetro estiver marcando 3.05 A.
8. A Tabela abaixo lista o Produto Nacional Bruto (PNB) em do´lares constantes e correntes. Os
dola´res constantes representam o PNB baseado no valor do do´lar em 1987. Os do´lares correntes
sa˜o simplismente o valor sem nenhum ajuste de inflac¸a˜o.
Ano PNB (do´lar corrente em milhares) PNB(do´lar constante em milho˜es)
1980 248.8 355.3
1985 398.0 438.0
1989 503.7 487.7
1994 684.9 617.8
1998 749.9 658.1
2001 793.5 674.6
2003 865.7 707.6
Estudos mostram que a melhor forma de trabalhar os dados e´ aproxima´-los por uma func¸a˜o do
tipo: axb. Assim:
(a) Utilize a func¸a˜o axb para cada um dos PNBs no tempo.
(b) Use os resultados da parte (a) para prever os PNBs no ano 2006.
(c) Que lhe diziam os resultados da parte (b) sobre a taxa de inflac¸a˜o no ano 2006?
9. Em um estudo , determinou-se que a vaza˜o de a´gua em uma tubulac¸a˜o esta´ relacionada com o
diaˆmetro e com a inclinac¸a˜o dessa tubulac¸a˜o(em relac¸a˜o a` horizontal). Os dados experimentais
esta˜o na tabela; O estudo tambem sugere que a equac¸a˜o que rege a vaza˜o da a´gua tem a seguinte
forma: Q = a0D
a1Sa2 , onde Q e´ a vaza˜o (em
m3
s
, S e´ a inclinac¸a˜o da tabulac¸a˜o, D e´ o diaˆmetro
da tubulac¸a˜o (em m) e a0, a1 e a2 sa˜o constantes a determinar.
Experimento Diaˆmetro Inclinac¸a˜o Vaza˜o
(
m3/s
)
1 1 0.001 1.4
2 2 0.001 8.3
3 3 0.001 24.2
4 1 0.001 4.7
5 2 0.01 28.9
6 3 0.01 84.0
7 1 0.05 11.1
8 2 0.05 200.0
38 Cap´ıtulo 4. Ajuste de Curvas
(a) Usando a equac¸a˜o anterior e o me´todo dos mı´nimos quadrados, determine a0, a1 e a2.
(b) Use o resultado do item (a) para estimar a vaza˜o em
m3
s
para uma tubulac¸a˜o com um
diaˆmetro de 2.5 m e uma inclinac¸a˜o de 0.0025.
10. Os dados das tabelas a seguir mostram a quantidade de alcatra˜o e nicotina (em miligrama) de
va´rias marcas de cigarro, com e sem filtro.
Com filtro
Alcatra˜o 8.3 12.3 18.6 22.9 23.1 24.0 27.3 30.0 35.9 41.5
Nicotina 0.32 0.46 1.10 1.32 1.26 1.44 1.42 1.96 2.23 2.20
Sem filtro
Alcatra˜o 32.5 33.0 34.2 34.8 36.5 37.2 38.4 41.1 41.6 43.4
Nicotina 1.69 1.76 1.48 1.88 1.73 2.12 2.35 2.46 1.97 2.65
(a) Calcule as regresso˜es lineares do tipo ax+ b para a relac¸a˜o entre nicotina(y) e alcatra˜o (x)
em ambos os casos (com e sem filtro).
(b) Discuta a hipo´tese de a (coeficiente angular) ser o mesmo nos dois casos.
(c) Para uma certa quantidade de alcatra˜o, os cigarros com filtro conteˆm menos nicotina que
os sem filtro?
11. A tabela mostra as alturas e pesos de uma amostra de nove pessoas entre as idades de 25 e 29
anos:
altura (cm) 183 173 168 188 158 163 193 163 178
peso (kg) 79 69 70 81 61 63 79 71 73
(a) atrave´s do diagrama de dispersa˜o dos dados, observe que parece existir uma relac¸a˜o linear
entre a altura e o peso.
(b) ajuste uma reta que descreva o comportamento do peso em func¸a˜o da altura.
(c) estime o peso de uma pessoa com 175 cm de altura e estime a altura de uma pessoa com 80 kg.
12. Considere os seguintes dados para o calor espec´ıfico do cobre:
Temperatura (K) 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80 90 100
CE(J/kg ·K) 0,9 3 8 16 27 60 99 137 173 205 232 254
Ajustar os valores empregando uma func¸a˜o polinomial de 2o (ŷ = β0 + β1x + β2x
2) e de 3o
(ŷ = β0 + β1x+ β2x
2 + β3x
3) grau e uma func¸a˜o poteˆncia(ŷ = a · ebx).
Trac¸ar o gra´fico dos pontos com as func¸o˜es ajustadas. Calcular o coeficiente de correlac¸a˜o para
cada ajuste e verificar qual dos treˆs ajustes e´ o melhor.
13. A tabela abaixo fornece o nu´mero de habitantes do Brasil (em milho˜es) desde 1960.
Ano 1960 1970 1980 1991 2000
(t) 1 2 3 4,1 5
Habitantes 70,2 93,1119 146,2 169,8
4.5. Lista de Exerc´ıcios 39
Observe que foi realizada uma troca de varia´veis (ano para t), portanto, resolva os itens solici-
tados com a varia´vel t e fac¸a a conversa˜o para dar as respostas.
a) Ajuste aos dados uma curva do tipo: P (t) = a · tb. Use esta curva e obtenha uma estimativa
da populac¸a˜o do Brasil no ano 2010.
b) Ajuste aos dados uma curva do tipo: P (t) = a · ebt. Use esta curva e obtenha uma estimativa
da populac¸a˜o do Brasil no ano 2010.
c) Comparando o coeficiente de correlac¸a˜o para cada caso, indique qual a melhor curva para
ajustar os dados destes recenseamentos
14. A resisteˆncia (σ) a compressa˜o do concreto decresce com o aumento da raza˜o a´gua/cimento , em
galo˜es de a´gua por saco de cimento. A resisteˆncia a` compressa˜o de treˆs amostras de cilindros
para va´rias razo˜es
ω
c
e´ mostrada na figura abaixo, cujos valores se encontram na tabela.
a) Ajuste aos dados, utilizando uma func¸a˜o do tipo σ = a · e−bωc .
b) Compare os valores da curva obtida no item (a) como o gra´fico da figura acima, para verificar
(por inspec¸a˜o), se a curva obtida para σ e´ uma boa aproximac¸a˜o.
15. Tomar a planta de uma parte de uma cidade, localiza´-la num sistema coordenado, escolher
aleatoriamente 10 pares de pontos sobre a rede via´ria e medir:
a) a distaˆncia euclidiana - dE
b) a distaˆncia real - d (considerando o menor caminho - caminhando)
Estabelecer uma relac¸a˜o linear entre a distaˆncia euclidiana e a real. Fazer os gra´ficos das retas
de regressa˜o obtidas e marcar tambe´m os valores medidos. Analisar os resultados.
Cap´ıtulo 5
Zeros de Func¸o˜es
Nosso objetivo e´ encontrar x = � na qual f(x) = 0. Este valor e´ o zero da func¸a˜o f(x) ou a ra´ız
da equac¸a˜o f(x) = 0.
Etapas:
1. Isolar a raiz, isto e´, encontrar um intervalo [a, b], o menor poss´ıvel, que contenha uma e somente
uma raiz da equac¸a˜o f(x) = 0.
2. Melhorar o valor da raiz aproximada, isto e´, refina´-la ate´ o grau de exatida˜o requerido.
Observac¸o˜es:
a) Seja f(x) um func¸a˜o cont´ınua em [a, b]. Se f(a) · f(b) < 0 enta˜o o intervalo conte´m no mı´nimo
uma raiz da equac¸a˜o f(x) = 0.
b) A raiz � e´ u´nica se a derivada f
′
(x) existir e preservar o sinal dentro do intervalo (a, b), isto e´,
se f
′
(x) > 0 ou f
′
(x) < 0 para a < x < b.
c) Seja P (x) um polinoˆmio.
1. P (a) · P (b) < 0→ nu´mero ı´mpar de ra´ızes reais no intervalo (a, b).
2. P (a) · P (b) > 0→ nu´mero par de ra´ızes reais ou na˜o existe ra´ızes reais neste intervalo.
d) Seja P (x) = anx
n + ax−1xn−1 + · · · + a1x + a0, sejam �1, �2, · · · , �n suas ra´ızes. Fatoramos
P (x) = an(x− �1)(x− �2) · · · (x− �n) = 0
5.1 Me´todo Gra´fico
Uma raiz real de uma equac¸a˜o f(x) = 0 e´ um ponto onde f(x) toca o eixo dos x. Assim, se
poss´ıvel faz-se um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o e sabe-se onde a func¸a˜o se anula. (na pra´tica, usa-se
calculadoras ou num microcomputador programas gra´ficos.)
Ilustremos com alguns casos:
Pelo gra´fico de f(x) = ln(x) podemos observar, por exemplo, que f(0, 5) < 0 e f(1, 5) > 0, logo
f(0, 5) · f(1, 5) < 0. Portanto existe uma raiz de f(x) no intervalo (0,5, 1,5). Ale´m disso a curva
40
5.1. Me´todo Gra´fico 41
intercepta o eixo dos x num u´nico ponto, pois trata-se de uma func¸a˜o crescente. Enta˜o x = 1 e´ a u´nica
raiz de f(x) = 0.
Podemos observar no gra´fico de f(x) = ex que a curva na˜o intercepta o eixo x, logo na˜o existe x
tal que f(x = 0.
Sendo f : [0, 2pi]→ R tal que f(x) = cos(x), podemos observar que existem duas ra´ızes para f(x),
uma no intervalo (1, 2) e outra no intervalo (4, 5).
Como vimos nos exemplos anteriores, podemos obter o nu´mero exato de ra´ızes e sua localizac¸a˜o
exata ou aproximada trac¸ando o gra´fico da func¸a˜o e encontrando o ponto onde a curva intercepta o
eixo dos x.
Entretanto algumas vezes e´ mais conveniente rearranjar a equac¸a˜o dada como y1(x) = y2(x), para
duas func¸o˜es y1 e y2, cujos gra´ficos sa˜o mais fa´ceis de serem trac¸ados do que o da f . As ra´ızes da
equac¸a˜o original sa˜o dadas ena˜ao pelos pontos onde o gra´fico de y1 intercepta o de y2. Ilustraremos
este fato nos pro´ximo exemplos.
a) f(x) = ex + x2 − 2
b) g(x) = ln(x) + x
c) h(x) = ex − 1
x
42 Cap´ıtulo 5. Zeros de Func¸o˜es
5.2 Me´todo da Bissec¸a˜o
Seja f(x) um func¸a˜o cont´ınua em [a, b] com f(a) · f(b) < 0. Enta˜o:
1. Dividi-se o intervalo ao meio, obte´m-se x0, e assim formam-se dois
intervalos: [a, x0] e [x0, b].
Se f(x0) = 0→ � = x0
sena˜o
{
f(a) · f(x0) < 0→ � ∈ (a, x0)
f(x0) · f(b) < 0→ � ∈ (x0, b)
2. Toma-se o novo intervalo que conte´m � e dividi-se ao meio novamente obtendo-se x1.
3. Repete-se o processo ate´ que se obtenha a precisa˜o desejada para a aproximac¸a˜o da raiz.
Figura 5.1: Interpretac¸a˜o geome´trica
5.3 Me´todo das Cordas
Seja f(x) uma func¸a˜o cont´ınua que tenha f
′′
com sinal constante no intervalo [a, b], sendo que
f(a) · f(b) < 0 e que existe um u´nico nu´mero � ∈ [a, b] tal que f(�) = 0.
O me´todo das cordas geometricamente equivale a substituir a curva y = f(x) por uma corda que
passa atrave´s dos pontos A[a, f(a)] e B[b, f(b)].
Situac¸o˜es:
f
′′
(x) > 0 : f e´ coˆncava para cima
{
f(a) > 0 e f(b) < 0 (caso I)
f(a) < 0 e f(b) > 0 (caso II)
f
′′
(x) < 0 : f e´ coˆncava para baixo
{
f(a) > 0 e f(b) < 0 (caso III)
f(a) < 0 e f(b) > 0 (caso IV)
Tomando o caso I temos que:
f(a)− f(x0)
x0 − a =
0− f(x0)
x0 − x1 ⇒
5.4. Me´todo de Newton 43
Figura 5.2: Me´todo de cordas
x1 − x0
f(x0)
= − x0 − a
f(x0)− f(a) ⇒
x1 = x0 − f(x0)
f(x0)− f(a) .(x0 − a)
Por induc¸a˜o:
xn+1 = xn − f(xn)
f(xn)− f(a) .(xn − a) n = 0, 1, 2, ...
Analogamente podemos analisar os casos II, III e IV.
Assim, encontramos a Equac¸a˜o Geral do Me´todo das Cordas:
xn+1 = xn − f(xn)
f(xn)− f(c) .(xn − c) n = 0, 1, 2, ... (5.1)
sendo c o ponto extremo de [a, b] onde f(c).f
′′
(c) > 0.
Faz-se toleraˆncia ε = |xn − xn−1|.
Exemplo:
a) Obtenha a ra´ız da func¸a˜o f(x) = ex − sin(x)− 2 no intervalo (1, 1.2) considerando ε ≤ 10−5.
b) Obtenha a ra´ız da func¸a˜o f(x) = x2 − 10 ln(x)− 5 considerando ε ≤ 0, 001.
5.4 Me´todo de Newton
Seja y = f(x) uma func¸a˜o cont´ınua e diferencia´vel num intervalo [a, b] que contenha apenas um
nu´mero � tal que f(�) = 0. Suponhamos que f(a) · f(b) < 0.
44 Cap´ıtulo 5. Zeros de Func¸o˜es
Situac¸o˜es:
f
′′
(x) > 0 : f e´ coˆncava para cima
{
f
′
(x) > 0 f crescente (caso I)
f
′
(x) < 0 f decrescente (caso II)
f
′′
(x) < 0 : f e´ coˆncava para baixo
{
f
′
(x) > 0 f crescente (caso III)
f
′
(x) < 0 f decrescente (caso IV)
Figura 5.3: Me´todo de Newton
Observac¸a˜o: Quando tiver f
′′
(�) = 0 e´ necessa´rio usar o me´todo da bissec¸a˜o.
Deduc¸a˜o do me´todo de Newton: Trac¸a-se retas tangentes, assim:
f
′
(x0) =
f(x0)
x0 − x1 ⇒ f
′
(x0)(x0 − x1) = f(x0)⇒
(x0 − x1) = f(x0)
f ′(x0)
⇒ −x1 = −x0 + f(x0)
f ′(x0)
⇒
x1 = x0 − f(x0)
f ′(x0)
Por induc¸a˜o:
xn+1 = xn − f(xn)
f ′(xn)
n = 0, 1, 2, ... (5.2)
onde x0 e´ tal que f(x0) · f ′′(x0) > 0.
Faz-se toleraˆncia ε = |xn − xn−1|.
Exemplo:
a) Obtenha a ra´ız da func¸a˜o f(x) = 3x− cos(x) + 4 no intervalo (-1.5, -1) considerando ε ≤ 10−3.
b) Obtenha a ra´ız da func¸a˜o f(x) = x2 + ex − 10 considerando ε ≤ 0, 001.
5.5. Lista de Exerc´ıcios 45
5.5 Lista de Exerc´ıcios
1. Obtenha a ra´ız das func¸o˜es abaixo:
a) f(x) = x2 + lnx erro ≤ 0.01 x ∈ (0.5, 1) Resposta: 0.64844
b) f(x) = x2 + ex − 7 erro ≤ 10−2 x ∈ (1, 2) Resposta: 1.5391
c) f(x) = ex − sinx− 2 erro ≤ 10−5 x ∈ [1, 1.2] Resposta: 1.05413
d) f(x) = x3 − 4x2 + x+ 6 erro < 0.01 x ∈ [1.4, 2.2] Resposta: 2.00281
e) f(x) = x2 − 10 lnx− 5 erro ≤ 0.001 Resposta: 0.6312
f) f(x) = x3 − e2x + 3 erro ≤ 10−3 Respostas: 0.58096