Formulário - Cálculo 3 - Diferenciais

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Derivadas de Funções Integrais de Funções 
1) 𝑦 = 𝑐 

 𝑦’ = 0 
2) 𝑦 = 𝑥 

 𝑦’ = 1 
3) 𝑦 = 𝑐. 𝑢 

 𝑦’ = 𝑐. 𝑢’ 
4) 𝑦 = 𝑢 + 𝑣 + … + 𝑤 

 𝑦’ = 𝑢’ + 𝑣’ + ⋯ + 𝑤’ 
5) 𝑦 = 𝑢𝑚 

 𝑦’ = 𝑚. 𝑢𝑚−1. 𝑢’ , (m≠0) 
6) 𝑦 = 𝑢. 𝑣 

 𝑦’ = 𝑢. 𝑣’ + 𝑣. 𝑢’ 
7) 𝑦 =
𝑢
𝑣
 

 𝑦’ =
𝑣.𝑢’−𝑢.𝑣’
𝑣2
 
8) 𝑦 =
1
𝑢
 

 𝑦’ =
−𝑢’
𝑢2
 
9) 𝑦 = ln 𝑢 

 𝑦’ =
𝑢’
𝑢
 
10) 𝑦 = 𝑒𝑢 

 𝑦’ = 𝑒𝑢. 𝑢’ 
11) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢  𝑦’ =
𝑢’
𝑢
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑒 
12) 𝑦 = 𝑎𝑢 

 𝑦’ = 𝑎𝑢 . ln 𝑎. 𝑢’ , (a>0, a≠1) 
13) 𝑦 = 𝑢𝑣 

 𝑦’ = 𝑣. 𝑢𝑣−1. 𝑢’ + 𝑢𝑣 . ln 𝑢 . 𝑣’ , (u>0) 
14) 𝑦 = sin 𝑢 

 𝑦’ = (cos 𝑢). 𝑢’ 
15) 𝑦 = cos 𝑢 

 𝑦’ = −(sin 𝑢). 𝑢’ 
16) 𝑦 = tan 𝑢 

 𝑦’ = (𝑠𝑒𝑐2 𝑢). 𝑢’ 
17) 𝑦 = cot 𝑢 

 𝑦’ = −(𝑐𝑠𝑐2 𝑢). 𝑢’ 
18) 𝑦 = sec 𝑢 

 𝑦’ = (sec 𝑢). (tan 𝑢). 𝑢’ 
19) 𝑦 = csc 𝑢 

 𝑦’ = −(csc 𝑢). (cot 𝑢). 𝑢’ 
20) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 sin 𝑢 

 𝑦’ =
𝑢’
√1−𝑢2
 
21) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 cos 𝑢 

 𝑦’ =
−𝑢’
√1−𝑢2
 
22) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑢 

 𝑦’ =
𝑢’
(1+𝑢2)
 
23) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 cot 𝑢 

 𝑦’ =
−𝑢’
(1+𝑢2)
 
24) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 sec 𝑢 

 𝑦’ =
𝑢’
(|𝑢|.√𝑢2−1)
 
25) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 csc 𝑢 

𝑦’ =
−𝑢’
(|𝑢|.√𝑢2−1)
 
26) 𝑦 = sinh 𝑢 

 𝑦’ = (cosh 𝑢). 𝑢’ 
27) 𝑦 = cosh 𝑢 

 𝑦’ = (sinh 𝑢). 𝑢’ 
28) 𝑦 = tanh 𝑢 

 𝑦’ = (sech2 𝑢). 𝑢’ 
29) 𝑦 = coth 𝑢 

 𝑦’ = −(csch2 𝑢). 𝑢’ 
30) 𝑦 = sech 𝑢 

 𝑦’ = −(sech 𝑢). (tanh 𝑢). 𝑢’ 
31) 𝑦 = csch 𝑢 

 𝑦’ = −(csch 𝑢). (coth 𝑢). 𝑢’ 
32) 𝑦 = arg sinh 𝑢 

 𝑦’ =
𝑢’
√𝑢2+1
 
33) 𝑦 = arg cosh 𝑢 

 𝑦’ =
𝑢’
√𝑢2−1
 , (u >1) 
34) 𝑦 = arg tanh 𝑢 

 𝑦’ =
𝑢’
(1−𝑢2)
 , (|u|<1) 
35) 𝑦 = arg coth 𝑢 

 𝑦’ =
𝑢’
(1−𝑢2)
 , (|u|>1) 
36) 𝑦 = arg sech 𝑢 

𝑦’ =
−𝑢’
(𝑢.√1−𝑢2)
 , (0<u<1) 
37) 𝑦 = arg csch 𝑢 

𝑦’ =
−𝑢’
(|𝑢|.√1+𝑢2)
 , (u≠0) 
38) 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
.
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 (Regra da Cadeia) 
 
1) ∫ 𝑑𝑢 = 𝑢 + 𝑐 
2) ∫ 𝑢𝑛 𝑑𝑢 =
𝑢(𝑛+1)
𝑛+1
+ 𝑐, (n ≠ -1) 
3) ∫
𝑑𝑢
𝑢
= 𝑙𝑛|𝑢| + 𝑐 
4) ∫
𝑑𝑢
𝑢²
= −
1
𝑢
+ 𝑐 
5) ∫ 𝑎𝑢𝑑𝑢 =
𝑎𝑢
𝑙𝑛 𝑎
+ 𝑐 
6) ∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 + 𝑐 
7) ∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑢𝑑𝑢 = − 𝑐𝑜𝑠 𝑢 + 𝑐 
8) ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑢𝑑𝑢 = 𝑠𝑖𝑛 𝑢 + 𝑐 
9) ∫ 𝑠𝑒𝑐2 𝑢𝑑𝑢 = 𝑡𝑎𝑛 𝑢 + 𝑐 
10) ∫ 𝑐𝑠𝑐2 𝑢𝑑𝑢 = −𝑐𝑜𝑡 𝑢 + 𝑐 
11) ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑢. 𝑡𝑔 𝑢𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 𝑢 + 𝑐 
12) ∫ 𝑐𝑠𝑐 𝑢. 𝑐𝑜𝑡 𝑢𝑑𝑢 = −𝑐𝑠𝑐 𝑢 + 𝑐 
13) ∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑢𝑑𝑢 = −𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑢 + 𝑐 = 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑐 𝑢 + 𝑐 
14) ∫ 𝑐𝑜𝑡 𝑢𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑛𝑢| + 𝑐 
15) ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑢𝑑𝑢 = ln | 𝑠𝑒𝑐 𝑢 + tan 𝑢| + 𝑐 
16) ∫ 𝑐𝑠𝑐 𝑢𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|csc 𝑢 − cot 𝑢| + 𝑐 
17) ∫
𝑑𝑢
√1−𝑢2
= 𝑎𝑟𝑐 sin(𝑢) + 𝑐 
18) ∫
𝑑𝑢
1+𝑢2
= 𝑎𝑟𝑐 tan(𝑢) + 𝑐 
19) ∫
𝑑𝑢
𝑢√𝑢2−1
= 𝑎𝑟𝑐 sec(𝑢) + 𝑐 
20) ∫
𝑑𝑢
𝑢2+𝑎2
=
1
𝑎
. 𝑎𝑟𝑐 tan (
𝑢
𝑎
) + 𝑐 
21) ∫ 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑢𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑢 + 𝑐 
22) ∫ 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑢𝑑𝑢 = 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑢 + 𝑐 
23) ∫ 𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑢𝑑𝑢 = 𝑡𝑎𝑛ℎ 𝑢 + 𝑐 
24) ∫ 𝑐𝑠𝑐ℎ2 𝑢𝑑𝑢 = −𝑐𝑜𝑡ℎ 𝑢 + 𝑐 
25) ∫ 𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑢. 𝑡𝑔ℎ 𝑢𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑢 + 𝑐 
26) ∫ 𝑐𝑠𝑐ℎ 𝑢. 𝑐𝑜𝑡ℎ 𝑢𝑑𝑢 = −𝑐𝑠𝑐ℎ 𝑢 + 𝑐 
27) ∫
𝑑𝑢
√1+𝑢2
= ln|𝑢 + √𝑢2 + 1| + 𝑐 
28) ∫
𝑑𝑢
√𝑢2−1
= ln|𝑢 + √𝑢2 − 1| + 𝑐 
29) ∫
𝑑𝑢
1−𝑢2
= 𝑙𝑛 |
1+𝑢
1−𝑢
| + 𝑐 
30) ∫
𝑑𝑢
𝑢√1−𝑢2
= − arg 𝑠𝑒𝑐ℎ|𝑢| + 𝑐 
31) ∫
𝑑𝑢
𝑢√1+𝑢2
= − arg 𝑐𝑠𝑐ℎ|𝑢| + 𝑐 
32) ∫ √𝑎2 − 𝑢2𝑑𝑢 =
𝑢
2
√𝑎2 − 𝑢2 +
𝑎2
2
𝑎𝑟𝑐 sin (
𝑢
𝑎
) + 𝑐 
33) ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑢𝑑𝑢 = ∫
1
2
−
cos(2𝑢)
2
=
𝑢
2
−
sen(2𝑢)
2
 
34) ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑢𝑑𝑢 = ∫
1
2
+
cos (2𝑢)
2
=
𝑢
2
+
sen(2𝑢)
2
 
35) ∫ 𝑐𝑜𝑠3𝑢𝑑𝑢 = ∫ 𝑐𝑜𝑠2(𝑢). cos(u) 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 −
𝑠𝑒𝑛3𝑢
3
 
36) ∫ 𝑠𝑒𝑛3𝑢𝑑𝑢 = ∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝑢). sen(u)𝑑𝑢 = 
𝑠𝑒𝑛³𝑢
3
− cos 𝑢 
37) ∫ 𝑢𝑑𝑣
𝑏
𝑎
= 𝑢𝑣]𝑎
𝑏 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
𝑏
𝑎
 (Por Partes) 
(Logaritmo; Inversa Trigo; Algébrica; Trigonométrica; Exponencial) 
38) 𝑉 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴
𝑅
 (Iteradas) 
39) 𝑓𝑚 =
1
𝐴(𝑅)
. ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴
𝑅
 
Diferenciabilidade: ∆𝑓 = 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0) 
Diferencial Total: 𝑑𝑤 = 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 + 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦 + 𝑓𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 
Aprox. Linear Local: 𝐿(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥0, 𝑦0) + [𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0)]. (𝑥 − 𝑥0) + [𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0)]. (𝑦 − 𝑦0) 
 
 
EQ DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO) 
*solução geral (SG) 
*problema de valor inicial (PVI) 
 
EQ. EXATAS 
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 
 
FATOR DE INTEGRAÇÃO 
𝜇𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝜇𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 
*serve para tornar exata 
 
EDO LINEAR HOMOGÊNEA 
𝑎1(𝑥)𝑦
′ + 𝑎0(𝑥)𝑦 = 0 
ou 𝑦′ + 𝑎0(𝑥)𝑦 = 0 
 
EDO LINEAR NÃO HOMOGÊNEA 
𝑎1(𝑥)𝑦
′ + 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) 
ou 𝑦′ + 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) 
Método de solução: 
1. Resolver a EDOL homogênea associada à eq. dada. 
2. Método de variação de parâmetro, que consiste em 
 determinar uma função c(x) tal que 𝑦 = 𝑐(𝑥). 𝑒𝑔(𝑥) 
 
EQ. DE BERNOULLI 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑦𝑛 para n=0, n=1 
ou 𝑦−𝑛
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃(𝑥)𝑦1−𝑛 = 𝑓(𝑥) para y≠0 
 
EQ. DE RICATTI 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥)𝑦 + 𝑅(𝑥)𝑦² 
ou 
𝑑𝑤
𝑑𝑥
+ (𝑄 + 2𝑦1 + 𝑅)𝑤 = −𝑅 
 
EQ. DE CLAIRAUT 
𝑦 = 𝑥𝑦′ + 𝑓(𝑦′) 
Cuja família de soluções é dada por: 
𝑥 = −𝑓′(𝑡), 𝑦 = 𝑓(𝑡) − 𝑡𝑓′(𝑡) 
 
MÉTODO DE PICARD 
𝑦(𝑥) = 𝑐 + ∫ 𝑓(𝑡, 𝑦(𝑡))𝑑𝑡
𝑥
𝑥0
 
Agora: 𝑦(𝑥0) = 𝑐 + ∫ 𝑓(𝑡, 𝑦(𝑡))𝑑𝑡 = 𝑐
𝑥
𝑥0
 
Implica c=y0,logo: 𝑦(𝑥0) = 𝑦0 + ∫ 𝑓(𝑡, 𝑦(𝑡))𝑑𝑡
𝑥
𝑥0
 
𝑦𝑛(𝑥) = 𝑦0 + ∫ 𝑓(𝑡, 𝑦𝑛−1(𝑡))𝑑𝑡
𝑥
𝑥0
 , n=1,2,3... 
 
I. Verificar se a função dada é solução para a EDO: 
II. Resolver a EDO por separação de variável: 
III. Resolver a EDO usando substituição: 
IV. Verificar se a EDO é exata; e resolver: 
V. Verificar se a EDO é homogênea; e seu grau: 
VI. Encontrar uma SG para a EDO: 
VII. Usar Picard para encontrar y1, y2, y3, y4: 
VIII. Dado o PVI: a) mudança de variável 𝑞(𝑡) =
𝑄(𝑡)
106
 
b) encontre a solução para q(t). 
 
 
I. 𝑥2𝑑𝑦 + 2𝑥𝑦𝑑𝑥 = 0; 𝑦 = −
1
𝑥2
 
𝑥𝑑𝑦 = −2𝑦𝑑𝑥 
𝑑𝑦
𝑦
= −
2𝑑𝑥
𝑥
 
∫
𝑑𝑦
𝑦
= −2 ∫
𝑑𝑥
𝑥
 
𝑙𝑛|𝑦| = −2𝑙𝑛|𝑥| + 𝑐 
𝑒𝑙𝑛|𝑦| = 𝑒𝑙𝑛|𝑥
−2|+𝑐 
𝑒𝑙𝑛|𝑦| = 𝑒𝑙𝑛|𝑥
−2|. 𝑒𝑐 
𝑦 = 𝑥−2. 𝑘 
𝑦 =
𝑘
𝑥2
 → S.G. 
−
1
𝑥2
=
𝑘
𝑥2
 
𝑘 = −1 
𝑦 = −
1
𝑥2
 → S.P. 
Logo é solução. 
 
II. 
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
𝑥²𝑦²
1+𝑥
 
(1+𝑥)𝑑𝑥
𝑥²
= 𝑦²𝑑𝑦 
∫
1
𝑥²
+
1
𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 𝑦²𝑑𝑦 
−
1
𝑥
+ ln|𝑥| =
𝑦³
3
+ 𝑐 
−3 + 3 ln|𝑥| = 𝑥𝑦³ + 𝑐𝑥 
 
III. 𝑥𝑑𝑥 + (𝑦 − 2𝑥)𝑑𝑦 = 0 
→ {𝑥 = 𝑢𝑦; 𝑑𝑥 = 𝑦𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑦 
(𝑢𝑦)(𝑦𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑦) + (𝑦 − 2𝑢𝑦)𝑑𝑦 = 0 
𝑢𝑦²𝑑𝑢 + 𝑢²𝑦𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑦 − 2𝑢𝑦𝑑𝑦 = 0 
𝑢𝑦²𝑑𝑢 + (𝑢² − 2𝑢 + 1)𝑦𝑑𝑦 = 0 
(𝑢² − 2𝑢 + 1)𝑦𝑑𝑦 = − 𝑢𝑦²𝑑𝑢 
𝑑𝑦
𝑦
= −
𝑢
𝑢2−2𝑢+1
𝑑𝑢 → {𝑢2 − 2𝑢 + 1 = (u − 1)² 
∫
𝑑𝑦
𝑦
= − ∫ 𝑢(𝑢 − 1)²𝑑𝑢 
𝑙𝑛|𝑦| =
1
𝑢−1
− ln|𝑢 − 1| + 𝑐 → {𝑥 = 𝑢𝑦; 𝑢 =
𝑥
𝑦
 
𝑙𝑛|𝑦| =
1
(
𝑥
𝑦
−1)
− 𝑙𝑛|
𝑥
𝑦
− 1| + 𝑐 
𝑙𝑛|𝑦| =
𝑦
𝑥−𝑦
− 𝑙𝑛 |
𝑥−𝑦
𝑦
| + 𝑐 
𝑙𝑛|𝑦| =
𝑦
𝑥−𝑦
− 𝑙𝑛|𝑥 − 𝑦| + ln |𝑦| + 𝑐 
𝑐 = 𝑙𝑛|𝑥 − 𝑦| −
𝑦
𝑥−𝑦
 
−𝑦 + (𝑥 − 𝑦). 𝑙𝑛|𝑥 − 𝑦| = 𝑐(𝑥 − 𝑦) 
 
IV. (5𝑥 + 4𝑦)𝑑𝑥 + (4𝑥 − 8𝑦³)𝑑𝑦 = 0 
→ {M=(5𝑥 + 4𝑦); N=(4𝑥 − 8𝑦³) 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 4 e 
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 4 então é exata 
𝑢(𝑥, 𝑦) = ∫𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑘(𝑦) 
𝑢(𝑥, 𝑦) = ∫(5𝑥 + 4𝑦)𝑑𝑥 + 𝑘(𝑦) 
𝑢(𝑥, 𝑦) =
5𝑥2
2
+ 4𝑥𝑦 + 𝑘(𝑦) 
𝑁 =
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 → 4𝑥 − 8𝑦3 = 4𝑥 + 𝑘′(𝑦) 
𝑘(𝑦) = ∫ 8𝑦3𝑑𝑦 
𝑘(𝑦) = 2𝑦4 + 𝑐 
𝑢(𝑥, 𝑦) =
5𝑥2
2
+ 4𝑥𝑦 + 2𝑦4 + 𝑐 
𝑢(𝑥, 𝑦) =
5𝑥²+8𝑥𝑦+4𝑦4+2𝑐1
2
 
−2𝑐1 = 5𝑥² + 8𝑥𝑦 + 4𝑦
4 
→ {𝑐 = −2𝑐1 
5𝑥2 + 8𝑥𝑦 + 4𝑦4 = 𝑐 
 
V. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥² − 3𝑥𝑦 + 5𝑦² 
𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = (𝑡𝑥)² − 3𝑡𝑥𝑡𝑦 + 5(𝑡𝑦)² 
𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑡2𝑥2 − 3𝑡²𝑥𝑦 + 5𝑡²𝑦² 
𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑡²(𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 5𝑦2) 
𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑡2. 𝑓(𝑥, 𝑦) 
É homogênea de grau 2. 
 
VIII. PVI: {
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= (5. 106)(2 + 𝑠𝑒𝑛2𝑡) − (5. 106).
𝑄(𝑡)
107
 ; 𝑄(0) = 0 
a) 𝑞(𝑡) =
𝑄(𝑡)
106
 
𝑄 = 𝑞. 106 
𝑑𝑞.106
𝑑𝑡
= (5. 106)(2 + 𝑠𝑒𝑛2𝑡) − (5. 106).
𝑞.106
107
 
𝑑𝑞
𝑑𝑡
= 10 + 5𝑠𝑒𝑛2𝑡 −
𝑞
2
 
b) ∫
𝑑𝑞
𝑑𝑡
= −
1
2
∫ 𝑑𝑡 
ln|𝑞| = −
𝑡
2
+ 𝑐 
𝑞(𝑡) = 𝑒−0,5𝑡. 𝑘 
𝑞′(𝑡) = −0,5𝑡. 𝑒−0,5𝑡. 𝑘 + 𝑘′. 𝑒−0,5𝑡 = 10 + 5𝑠𝑒𝑛2𝑡 − 0,5𝑡. 𝑒−0,5𝑡. 𝑘 
𝑘′ =
10+5𝑠𝑒𝑛2𝑡
𝑒−0,5𝑡
 
𝑘′ = (10 + 5𝑠𝑒𝑛2𝑡). 𝑒0,5𝑡 
𝑘 = ∫ 10𝑒0,5𝑡𝑑𝑡 + ∫ 5𝑠𝑒𝑛2𝑡. 𝑒0,5𝑡𝑑𝑡 
𝑘 = 20𝑒0,5𝑡 −
40
17
𝑒0,5𝑡(𝑐𝑜𝑠2𝑡 − 0.25𝑠𝑒𝑛2𝑡) + 𝑐 
→ 𝑞(𝑡) = 20 −
40
17
(𝑐𝑜𝑠2𝑡 − 0.25𝑠𝑒𝑛2𝑡) + 𝑐𝑒−0,5𝑡 
𝑞(𝑡) = 20 −
40
17
(𝑐𝑜𝑠2. (0) − 0.25𝑠𝑒𝑛2. (0)) + 𝑐𝑒−0,5.(0) 
𝑐 = −20 +
40
17
 
𝑐 = −
300
17
 
𝑞(𝑡) = 20 −
40
17
(𝑐𝑜𝑠2𝑡 − 0.25𝑠𝑒𝑛2𝑡) + −
300
17
𝑒−0,5𝑡