Exercicio Flexao Simples Verificacao

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EC702 – CONCRETO ARMADO I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FLEXÃO SIMPLES - VERIFICAÇÃO 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
 
 
 
 Professores : ARMANDO LOPES MORENO JR. 
 MARIA CECILIA AMORIM TEIXEIRA DA SILVA 
 
 
 Monitoras PED: MARCELLE ANDRADE COSTA 
 SUSANA DE LIMA PIRES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2005 
 
1- Determinar para a viga de concreto armado abaixo, o máximo carregamento 
 distribuído suportado pela mesma em serviço. 
 
2
s KN/cm 21000E = 
MPa 25fck = 
45A-CA 
cm 25,4d = 
1,4γ f = 
1,4γ c = 
1,15γ s = 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
a) Características da seção: 
 
cm 25,4d = bw' 210bw += 
2
s cm 5,0 1,25 . 4A == 3
y.210bw += 
 x.8,0.
3
210bw += 
 x0,8y = 0,53.x10bw += 
 
 
 
b) Características dos materiais: 
 
 
Concreto: MPa 25fck = 
 2
c
ck
cd 1,79KN/cmMPa 17,91,4
25
γ
f
f ==== 
 
Armadura: 
45A-CA 
 2yk 45KN/cmMPa 450f == 
 2
s
yk
yd KN/cm 39,131,15
45
γ
f
f === 
 0,186%0,00186
21000
39,13
E
f
ε
s
yd
yd ==== 
 
 
 
q
400
30
10 10 10
4 12,5
PE
10 10 10
30
y
10bw’ bw’
391,30
0,186 1
(%)εS
(MPa)σS
2,3
2,3
xd
x
1,0
0,35
−= 3,4
3,4
xd
x
0,186
0,35
−= 
2,32,3 x35,035d,0x −= 3,43,4 35x,035d,00,186x −= 
0,259dx2,3 = 0,653dx3,4 = 
cm 6,58x 2,3 = cm 16,59x3,4 = 
 
 
 
 
 
 
c) Posição da linha neutra: 
 
1a HIPÓTESE Æ yds fσ = (Domínio 2 ou 3) Æ 16,59cmx < 
 
 Intervalo da hipótese Æ 16,59cmx0 << 
 
 Equação de equilíbrio para a força normal: Sc RR −=0 
sc RR0 −= 
79,1.8,0)212,08(R
 0,8fcd 
212,08A 
0,53x10bw´ 
2
)y´bw(10A 
.σAR
2
c
c
2
c
c
ccc
xx
xx
+=
=
+=
+=
+=
=
σ
 
sss .σAR = 
 Rs = 4,91.39,13 
0=(8x+0,212x2)0,8.1,79-4,91.39,13 
0,304x2+11,46x-192,13=0 
 cm 77,50 -x1 = Resultado inválido, pois está fora do intervalo da hipótese. 
12,57cmx 2 = OK !!! 
 Domínio 3 !! 
 
 
d) Cálculo do carregamento máximo em serviço: 
 
Equação de equilíbrio para o momento: ccu .zRM = 
 du MM = 
 
2
3
4
x2,3
x3,4
0,35%
0,186%
1%
mKNcmKNM
M
cmx
xxxxM
xxdxdydz
xxfcdxfcdxfcdyfcdyR
yA
AR
xxdxdydz
xxfcdxfcdxfcdyfcdyyfcdybwR
ybw
zRzR
d
d
d
c
c
c
ccc
c
c
c
cccc
.36,38.05,3836
)57,12.4,04,25.(57,12.46,11)57,12.533,04,25.()57,12.(306,0
57,12
).4,04,25.(.46,11)533,04,25.(.306,0
4,04,254,0
2
8,0
2
.46,1179,1..4,6..4,6.8,0.8..8.8,0..10
.10
.533,04,25533,08,0.
3
2
3
2
.306,079,1.171,0.171,0)8,0.(267,0..267,0.8,0..
3
.8,0.´.
2
´..2A
AR
M
.zRM
2
2
2
2
2
22
1
22222
1
c1
c1c1
2211d
ccd
==
−+−=
=
−+−=
−=−=−=−=
======
=
=
−=−=−=−=
=======
=
=
+=
=
σ
σ
 
KN.m 4,72M
1,4
38,36
γ
M
M
f
d
=
== 
KN/m 13,7q
8
q.lM
2
=
= 
 
21 1
y 
d
2- Dada à viga abaixo determinar o máximo carregamento uniformemente distribuído 
que pode ser aplicado em serviço. Determine também o diagrama de deformações na 
seção mais solicitada. 
 
 
2
s KN/cm 21000E = 
MPa 30fck = 
50ACA − 
cm 3c = 
5,0 com estribo φ mm 
1,15γ
1,4γ
1,4γ
s
c
f
=
=
=
 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
a) Características da seção: 
 
cm 40h = 2s cm 12,63,15 . 4A == 
cm 15bw = cm 33,5
2
220,5340d =−−−−= 
 
 
0,8.xy = 
 
b) Características dos materiais: 
 
 
Concreto: 2ck KN/cm 3,0MPa 30f == 
 2
c
ck
cd KN/cm 2,141,4
3,0
γ
f
f === 
 
Armadura: 
 50ACA − 
 2yk KN/cm 50MPa500f == 
 2
s
yk
yd KN/cm 43,51,15
50
γ
f
f === 
 0,207%0,00207
21000
43,5
E
f
ε
s
yd
yd ==== 
 
 
 
40
2
15
PE
4 20
q
400
40
y
15
435
0,207 1
(%)εS
(MPa)σS
2,3
2,3
xd
x
1,0
0,35
−= 3,4
3,4
xd
x
0,207
0,35
−= 
2,32,3 x35,035d,0x −= 3,43,4 35x,035d,00,207x −= 
0,259dx2,3 = d628,0x 3,4 = 
cm 68,8x 2,3 = cm 0,12x3,4 = 
 
 
 
 
 
c) Posição da linha neutra: 
 
1a HIPÓTESE Æ yds fσ = (Domínio 2 ou 3) Æ cm12x < 
 
 Intervalo da Hipótese Æ cm12x0 << 
 
 Equação de equilíbrio para a força normal: sc RR0 −= 
 
cd
ss
sscd
sc
0,68.bw.f
.σA
x
.σA.x0,68.bw.f0
RR0
=
−=
−=
 
.x0,68.bw.fR
,85.fbw.0,8.x.0R
5.f(bw.y).0,8R
.σAR
cdc
cdc
cdc
ccc
=
=
=
=
 
 
5.2,1410,68.
12,6.43,5x = sss .σAR = 
 
cm 11,25x = Falso !!! 
A hipótese somente seria válida para cm12x < 
 
 
2a HIPÓTESE Æ yds fσ < (Domínio 4) Æ cm12x > 
 
 Intervalo da Hipótese Æ cm5,33xcm21 << 
 
sss .Eεσ = xd
ε
x
0,0035 s
−= 
.21000
x
x)(33,50,0035.σ s
−= .xε0,0035x0,0035d s=− 
 
x
x)(33,573,5σ s
−= 
x
x)(d0,0035ε s
−= 
 
x
x)(33,50,0035ε s
−= 
 
 
 
2
3
4
x2,3
x3,4
0,35%
0,207%
1%
0,35%
x
Sε
Equação de equilíbrio para a força normal: sc RR0 −= 
 
cd
ss
sscd
sc
0,68.bw.f
.σA
x
.σA.x0,68.bw.f0
RR0
=
−=
−=
 
.x0,68.bw.fR
,85.fbw.0,8.x.0R
5.f(bw.y).0,8R
.σAR
cdc
cdc
cdc
ccc
=
=
=
=
 
 sss .σAR = 
 
5.2,1410,68.
x
x-33,573,5.12,6.
x
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
= 
 
cm 05,22x1 = OK !!! 
 Domínio 4 !!! 
 
cm 48,64x 2 −= Resultado inválido (tração não uniforme) 
 
 
d) Diagrama de deformação: 
 
0,182%0,00182ε
22,0533,5
ε
22,05
0,0035
22,05d
ε
22,05
0,0035
s
s
s
==
−=
−=
 
 
 
 
 
e) Determinação do carregamento de serviço: 
 
Equação de equilíbrio para o momento: ccu .zRM = 
 ud MM = 
 
KN.m 191M
KN.cm 78,67181M
22,05) . 0,4(33,5 . 22,05 . 2,14 . 51. 0,68M
0,4.x).x.(d0,68.bw.fM
.zRM
d
d
d
cdd
ccd
=
=
−=
−=
=
 
 
KN.m 85M
1,4
119
γ
M
M
f
d
=
==
 
KN/m 5,42q
8
q.lM
2
=
= 
21,88
0,35
Sε
22,05 
3- Determinar a carga máxima que a viga abaixo pode suportar em serviço: 
 
2
s KN/cm 21000E = 
MPa 20fck = 
cm 3c = 
6,3 estriboφ mm 
50ACA − 
41,γ f = 
1,4γ c = 
1,15γ s = 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
a) Características da seção: 
 
cm 19bw = 2s cm 025,0 . 4A == 
cm 57bf = 
cm 35h = cm 27,87
2
25,20,63335d =−−−−= 
cm 5h f = 
 
0,8.xy = 
 
b) Características dos materiais: 
 
Concreto: 2ck KN/cm 2MPa 20f == 
 MPa 431,
1,4
2
γ
f
f
c
ck
cd === 
 
Armadura: 
 50ACA − 
 2yk KN/cm 50500MPaf == 
 2
s
yk
yd KN/cm 43,51,15
50
γ
f
f === 
 0,207%0,00207
21000
43,5
E
f
ε
S
yd
yd ==== 
2,3
2,3
xd
x
1,0
0,35
−= 3,4
3,4
xd
x
0,207
0,35
−= 
2,32,3 x35,035d,0x −= 3,43,4 35x,035d,00,207x −= 
0,259dx2,3 = d628,0x3,4 = 
cm 22,7x 2,3 = cm 5,17x3,4 = 
 
p
300 300
5
75
19
y
435
0,207 1
(%)εS
(MPa)σS
2
3
4
x2,3
x3,4
0,35%
0,207%
1%
19
28 28
75
5
4 25φ2
35PE
c) Posição da linha neutra: 
 
1a HIPÓTESE Æ yds fσ = (Domínio 2 ou 3) Æ cm5,17x < 
 75yAC = Æ cm25,6x < 
 
 Intervalo da Hipótese Æ cm25,6x0 << 
 
 Equação de equilíbrio para a força normal: sc RR0 −= 
 
cd
ss
sscd
sc
51.f
.σA
x
.σA.x.f510
RR0
=
−=
−=
 
.xf.51R
5.f.0,8.x.0,857R
.f(75y).0,85R
.σAR
cdc
cdc
cdc
ccc
=
=
=
=
 
 
1,43 . 15
43,5 . 20x = sss .σAR = 
 
cm 93,11x = Falso !!! 
A hipótese somente seria válida para cm25,6x < 
 
2a HIPÓTESEÆ yds fσ = (Domínio 2 ou 3) Æ cm5,17x < 
 5)19.(y5 . 75Ac −+= Æ 27,87cmx6,25cm << 
 .x2,51802Ac += 
 
 Intervalo da Hipótese Æ cm 5,17xcm 25,6 << 
 
 Equação de equilíbrio para a força normal: sc RR0 −= 
 
cd
ss
sscd
sc
sc
0,85.f
.σA
 x)15,2.(280
.σA x).0,85.f15,2.(280
RR
RR0
=+
=+
=
−=
 
cdc
ccc
85.f15,2.x).0,(280R
.σAR
+=
=
 
0,85.1,43
20.43,515,2.x)(280 =+ sss .σAR = 
 
cm 67,82x = Falso !!! 
A hipótese somente seria válida para 17,5cmx6,25cm << 
 
3a HIPÓTESE Æ yds fσ < (Domínio 4) Æ cm5,17x > 
 .x2,51802Ac += Æ 27,87cmx6,25cm << 
 
Intervalo da Hipótese Æ cm 87,27xcm 7,51 << 
Equação de equilíbrio para a força normal: sc RR0 −= 
 
 sss .Eεσ = xd
ε
x
0,0035 s
−= 
 .21000
x
x)(27,870,0035.σ s
−= .xε0,0035x0,0035d s=− 
 
x
x)(27,8773,5σ s
−= 
x
x)(d0,0035ε s
−= 
 
x
x)(27,870,0035ε s
−=
 
cdc
ccc
5.f15,2x).0,8(280R
.σAR
+=
=
 
 sss .σAR = 
 
0,85.1,43
x
x)87,27(.5,73.20
15,2.x)802(
.0,85.f
.σA
15,2.x)802(
.σA85.f15,2.x).0,(280
RR
RR0
cd
ss
sscd
sc
sc
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
=+
=+
=+
=
−=
 
 
 cm96,18x1 = OK!!! 
 Domínio 4!!! 
 
 cm95,116x 2 −= Resultado inválido (tração não uniforme) 
 
 
d) Determinação do carregamento máximo: 
 
Equação de equilíbrio para o momento: ccu .zRM = 
 du MM = 
 
[ ]
[ ] cm 07,5 .19 5-18,96) . (0,8 5 . 75
 5
2
518,96) . (0,8 . 5-18,96) . (0,8 . 19 2,5 . 5 . 75
CG c =+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−+
= 
 
KN.m46,571M
 KN.cm47,15746M
)CG-.(d.x).0,85.f2,15280(M
.zRM
d
d
ccdd
ccd
=
=
+=
=
 KN.m 2,4711
γ
M
M
f
d == 
KN 75p
4
p.lM
=
=
 
0,35%
x
Sε
Domínio 418,85
0,207%
0,35
Sε
4- Dada à seção abaixo, determinar o máximo momento em serviço resistido pela 
mesma: 
 
2
s KN/cm 21000E = 
MPa 25fck = 
cm 3c = 
6.3 estriboφ mm 
A05CA a tracionadarmadura − 
43ACA comprimida armadura − 
1,4γ f = 
1,4γ c = 
1,15γ s = 
 
RESOLUÇÃO: 
 
a) Características da seção: 
 
cm 20bw = 
2
s
s
cm 6A
3.2A
=
=
 
cm 40h = 
cm 35,57
2
1,60,63340d =−−−= 
2
s
s
cm 2,5A'
2.1,25A'
=
=
 
cm 4,26
2
1,250,633d' =++= 
 
0,8.xy = 
 
 
b) Característica dos materiais: 
 
Concreto: 2ck KN/cm 2,5MPa 25f == 
 2
c
ck
cd KN/cm 1,791,4
2,5
γ
f
f === 
 
 
Armadura tracionada: 50ACA − 
2
yk KN/cm 50MPa 500f == 
2
yd KN/cm 43,5f = 
0,207%ε yd = 
 
 
 
 
 
20
40 Md
2 12,5
3 16
φ
φ
20
40
y
435
0,207 1
Sσ
Sε (%)
(Mpa)
 
2,3
2,3
xd
x
1,0
0,35
−= 3,4
3,4
xd
x
0,207
0,35
−= 
2,32,3 x35,035d,0x −= 3,43,4 35x,035d,00,207x −= 
0,259dx2,3 = d628,0x 3,4 = 
cm 21,9x 2,3 = cm 34,22x 3,4 = 
 
 
 
 
 
Armadura comprimida: 
 
43A-CA 
 2yk KN/cm 43MPa 430'f == 
2
s
yk
yd KN/cm 4,731,15
43
γ
'f
'f === 
 0,178%0,00178
21000
37,4
E
'f
'ε
s
yd
yd ==== 
 
 
c) Posição da linha neutra: 
 
 
1a HIPÓTESE Æ yds fσ = (Domínio 2 ou 3) Æ 22,34cmx0 << 
 'f'σ yds = Æ ?x > 
 
Supondo que o escoamento do aço comprimido comece no domínio 2, onde o estado 
limite último é a ruptura do aço. 
 
'xd
d'- 'x
1,0
'ε
2
2yd
−= 
'x-d
d'- 'x 'ε
2
2
yd = 
'x-35,57
4,26- 'x 0,178
2
2= 
cm 9 'x 2 = OK! Escoamento inicia no domínio 2! 
 
 Portanto 'f'σ yds = para cm9x > 
 
 
 Intervalo da Hipótese Æ 22,34cmx9cm << 
 
 
2
3
4
x2,3
x3,4
0,35%
0,207%
1%
373,91
0,178 1
Sσ
Sε (%)
(Mpa)
x’2
d´
d
1%
'εYD
 
 Equação de equilíbrio para a força normal: ssc R 'RR0 −+= 
 
.x0,68.bw.fR
f 0,85.bw.0,8.x).R
fbw.y.0,85.R
.σAR
cdc
cdc
cdc
ccc
=
=
=
=
 sss .σAR = ''.σA'R sss = 
 
ssc R 'RR0 −+= 
sssscd .σA'.σA'.x0,68.bw.f0 −+= 
cd
ssss
0,68.bw.f
'.σA'.σA
x
−= 
790,68.20.1,
7,43.5,26.43,5x −= 
cm88,6x = Falso!!! 
 A hipótese somente seria válida para 22,34cmx9cm << 
 
 
2a HIPÓTESE Æ yds fσ = (Domínio 2 ou 3) Æ cm 22,34x0 << 
 'f'σ yds < Æ cm 9x < 
 
Intervalo da Hipótese Æ cm9x0 << 
 
sss '.Eε'σ = x-d
d'-x
0,01
'ε s = 
.21000
x-35,57
4,26-x0,01.'σ s = x-35,57
4,26-x
0,01
'ε s = 
x-35,57
4,26-x.102'σ s = x-35,57
4,26-x.01,0'ε s = 
 
 
Equação de equilíbrio para a força normal: ssc R 'RR0 −+= 
 
.x0,68.bw.fR
f 0,85.bw.0,8.x).R
fbw.y.0,85.R
.σAR
cdc
cdc
cdc
ccc
=
=
=
=
 sss .σAR = ''.σA'R sss = 
 
ssc R 'RR0 −+= 
sssscd .σA'.σA'.x0,68.bw.f0 −+= 
cd
ssss
0,68.bw.f
'.σA'.σA
x
−= 
d’
d
x
1%
'εS
20.1,79 . 0,68
x35,57
4,26x . 210 . 2,543,5 . 6
x
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
−−
= 
 
cm 97,95x1 = Resultado inválido, pois está fora do intervalo da hipótese. 
 
cm 7,4x 2 = OK!!! 
 Domínio 2 !!! 
 
 
d) Determinação do carregamento máximo: 
 
Equação de equilíbrio para o momento : ccu .zRM = 
 du MM = 
 
 
76,70KN.mKN.cm 12,7670M
)25,457,35.(40,23.45,2)4,7.4,057,35.(4,7.79,1.20.68,0M
/40,23
4,757,35
26,44,7.210
57,35
26,4210
´)(A0,4x)-(d ..x 0,68.bw.fM
´)(.zRM
d
d
2
´
´s´cdd
´ccd
==
−+−=
=−
−=−
−=
−+=
−+=
cmKN
x
x
dd
ddR
s
s
s
σ
σ
 KN.m 79,54
γ
M
M
f
d == 
5- Calcular o máximo vão que pode ser vencido pela viga de concreto armado abaixo. 
Calcular também o diagrama de deformações, para a seção de momento máximo, no 
estado limite último. 
 
2
s KN/cm 21000E = 
MPa 25fck = 
50ACA − 
cm 3c = 
6.3 estriboφ mm 
1,4γ f = 
1,4γ c = 
1,15γ s = 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
a) Características da seção: 
 
cm 15bw = 
2
s
s
cm8A
2 . 4A
=
=
 
cm 40h = 
cm 77,33
2
26,10,63340d =−−−−= 2
s
s
cm 6,1'A
0,8 . 2'A
=
=
 
cm 13,4
2
1,00,633d' =++= 
 
0,8xy = 
 
 
b) Característica dos materiais: 
 
 
Concreto: 2ck KN/cm 2,5MPa 25f == 
 2
c
ck
cd KN/cm 1,791,4
2,5
γ
f
f === 
 
 
Armadura tracionada: 50ACA − 
 2yk KN/cm 50MPa 500f == 
2
yd KN/cm 5,34f = 
0,207%ε yd = 
 
 
4 16
2 10
15
2
40
φ
φ
3 tf/m
L
15
40
y
435
0,207 1
Sσ
Sε (%)
(Mpa)
 
2,3
2,3
xd
x
1,0
0,35
−= 3,4
3,4
xd
x
0,207
0,35
−= 
2,32,3 x35,035d,0x −= 3,43,4 35x,035d,00,207x −= 
0,259dx2,3 = d628,0x3,4 = 
cm 75,8x 2,3 = cm 21,21x3,4 = 
 
 
 
 
 
Armadura comprimida: 50ACA − 
2
yk 50KN/cmMPa 500'f == 
MPa 43,5'f yd = 
0,207%'ε yd = 
 
 
c) Posição da linha neutra: 
 
 
1a HIPÓTESE Æ yds fσ = (Domínio 2 ou 3) Æ cm 21,21x0 << 
 'f'σ yds = Æ ?x > 
 
Supondo que o escoamento do aço comprimido inicie no domínio 2. 
 
'xd
d'- 'x
1,0
'ε
2
2yd
−= 
'x-d
d'- 'x 'ε
2
2
yd = 
'x-33,77
4,13- 'x 0,207
2
2= 
,21cm 9 'x 2 = Falso! Pois o domínio 2 Æ 8,75cmx < 
 
 Supondo que o escoamento do aço comprimido inicie no domínio 3. 
 
 
'x
d'- 'x
0,35
'ε
3
3s = 
 
'x
4,13- 'x
0,35
'ε
3
3yd = 
 
'x
4,13- 'x
0,35
0,207
3
3= 
 cm 10,14 'x3 = OK! Escoamento inicia no domínio 3! 
 
2
3
4
x2,3
x3,4
0,35%
0,207%
1%
435
12,07
(MPa)σS
(%)εS
x’2
d´
d
1%
'εYD
x’
0,35
Sε
3
d’
‘
 Portanto 'f'σ yds = para cm 10,14x > 
 Intervalo da Hipótese Æ cm 21,21x0,14cm1 << 
 
Equação de equilíbrio para força normal: sscR 'RR0 −+= 
 
cd
ssss
sssscd 
ssc
0,68.bw.f
'.σA'.σA
x
.σA.σA'.x0,68.bw.f0
R 'RR0
−=
−+=
−+=
 
.x0,68.bw.fR
fbw.y.0,85.R
.σAR
cdc
cdc
ccc
=
=
=
 
sss .σAR = 
790,68.15.1,
1,6.43,58.43,5x −= 
''.σA'R sss = 
cm 15,25x = OK !!! 
Domínio 3 !!! 
 
d) Diagrama de deformação: 
 
0,425%2540,00ε
25,5133,77
ε
15,25
0,0035
25,51d
ε
15,25
0,0035
s
s
s
==
−=
−=
 
 
0,255%0,00255'ε
4,1315,25
'ε
15,25
0,0035
d'15,25
'ε
15,25
0,0035
s
s
s
==
−=
−=
 
 
e) Determinação do máximo vão da viga: 
 
Equação de equilíbrio para o momento: )d'-.(dR'.zRM sccu += 
 du MM = 
 
KN.m 97,67M
KN.cm 7679M
4,13)33,771,6.43,5.(15,25) . 0,4-(33,77 . 1,79) . 15,25 . .15 (0,68M
)d'(d.σA' x). 0,4-(d . )f . x . .bw (0,68M
)d'.(dR'.zRM
d
d
d
sscdd
sccd
=
=
−+=
−+=
−+=
 
 
0,35%
15,45
Sε
Sε ‘
d
d’
15,25
 
8
q.LM
2
= Æ 
8
30.L69,8
2
= Æ 4,31mL = 
 
KN.m 8,96
γ
MM
f
d ==
6- Determinar o máximo carregamento em serviço que a viga de concreto armado pode 
suportar: 
 
2
s KN/cm 21000E = 
20MPaf ck = 
Armadura 1 Æ 55ACA − 
Armadura 2 Æ 40ACA − 
Armadura 3 Æ 50ACA − 
cm 3c = 
5.0 estriboφ mm 
1,4γ f = 
1,4γ c = 
1,15γ s = 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
a) Característica da seção: 
 
cm 15bw = 
2
s1
s1
cm3,6A
3,15 . 2A
=
=
 
cm 30h = 
 
cm5,25
2
0,20,5330d =−−−= 
2
s2
s2
cm5,2A
1,25 . 2A
=
=
 
3,90cm
2
0,80,53d' =++= 
0,8xy = 
2
s3
s3
cm0,1A
0,5 . 2A
=
=
 
 
 
b) Característica dos materiais: 
 
 
Concreto: 2ck 2KN/cmMPa 02f == 
 2
c
ck
cd KN/cm 43,11,4
2,0
γ
f
f === 
 
 
Armadura 1: 55ACA − 
2
yk1 55KN/cmMPa 550f == 
2
yd1 KN/cm 47,8f = 
%228,0ε yd1 = 
2 20 (As1)
2 12,5 (As2)
15
2
φ
φ
30
2 8,0 (As3)φ
q
400 cm
30
y
15
478,26
0,228 1
(MPa)σS
(%)εS
 
2,3
2,3
xd
x
1,0
0,35
−= 3,4
3,4
xd
x
0,228
0,35
−= 
2,32,3 x35,035d,0x −= 3,43,4 35x,035d,00,228x −= 
0,259dx2,3 = d606,0x3,4 = 
cm 6,6x 2,3 = cm 45,15x3,4 = 
 
 
 
 
Armadura 2: 40ACA − 
2
yk2 40KN/cmMPa 400f == 
2
yd2 KN/cm 34,8f = 
0,166%ε yd2 = 
 
 
 
 
Armadura 3: 50ACA − 
2
yk3 KN/cm 50 MPa 500f == 
2
yd3 KN/cm 5,34f = 
0,207%ε yd3 = 
 
 
 
c) Posição da linha neutra: 
 
1a HIPÓTESE Æ yd1s1 fσ = (Domínio 2 ou 3) Æ cm 45,51x0 << 
 yd2s2 fσ = Æ ?x < 
 yd3s3 fσ = Æ ?x > 
 
 Supondo que o escoamento a tração da armadura 2 inicie no domínio 4. 
 
2
2yd2
x
x-21,88
0,35
ε = 
2
2
x
x88,21 
0,35
0,166 −= 
 
cm 14,88 x 2 = Falso! Pois domínio 4 Æ cm45,51x > 
 
 
 
 
2
3
4
x2,3
x3,4
0,35%
0,228%
1%
347,83
0,166 1
(MPa)σS
(%)εS
435
0,207 1
(MPa)σS
(%)εS
x
0,35%
Sε 2
2
21,88
Supondo que o escoamento a tração da armadura 2 inicie no domínio 3. 
 
2
2yd2
x
x-21,88
0,35
ε = 
2
2
x
x88,21 
0,35
0,166 −= 
 
cm 14,88 x 2 = OK! Escoamento inicia no domínio 3. 
 
 Portanto yd2s2 fσ = para cm88,14x0 << 
 
 Supondo que o escoamento a compressão da armadura 3 inicie no domínio 2. 
 
 
3
3yd3
x-d
d'- x
1
ε = 
 
3
3
x-25,5
3,90- x
207,0 = 
 7,6cm x3 = Falso! Pois domínio 2 Æ cm6,6x0 << 
 
 
 Supondo que o escoamento a compressão da armadura 3 inicie no domínio 3. 
 
 
3
3yd3
x
d'- x
0,35
ε = 
 
3
3
x
3,9- x
0,35
0,207 = 
 9,51cm x3 = 
 
Portanto yd3s3 fσ = para 9,51cmx > 
 
Intervalo da Hipótese Æ cm88,14xcm51,9 << 
 
Equação de equilíbrio para força normal: s2s1s3c RR RR0 −−+= 
 
cd
s3s3s2s2s1s1
s2s2s1s1s3s3cd
s2s1s3c
0,68.bw.f
.σA.σA.σA
x
.σA.σA.σA.x0,68.bw.f0
RR RR0
−+=
−−+=
−−+=
 
.x0,68.bw.fR
fbw.y.0,85.R
.σAR
cdc
cdc
ccc
=
=
=
 
430,68.15.1,
1,0.43,5-.34,85,26,3.47,8x += s1s1s1 .σAR = 
 s2s2s2 .σAR = 
s3s3s3 .σAR = 
x3
d´
d
1%
'εYD
3
x
0,35%
Sε 2
2
21,88
0,35%
x
Sε
d
d’
3
3
cm 63,23x = Falso !!! 
 A hipótese somente seria válida para cm88,14xcm51,9 <<
 
2a HIPÓTESE Æ yd1s1 fσ < (Domínio 4)Æ 25,5cmx15,45cm << 
 yd2s2 fσ < Æ 21,88cmx4,88cm1 << 
 YD3S3 fσ = Æ 9,51cmx > 
 
Intervalo da Hipótese Æ cm88,21xcm45,15 << 
 
ss1s1 .Eεσ = x
x-d
0,0035
ε s1 = 
.21000
x
x-25,50035,0σ s1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
x
x-25,50035,0ε s1 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
x
x-25,55,73σ s1 
 
 
 
ss2s2 .Eεσ = x
x-21,88
0,0035
ε s2 = 
.21000
x
x-21,880035,0σ s2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
x
x-21,880035,0ε s2 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
x
x-21,885,73σ s2 
 
 
 
Equação de equilíbrio para força normal: s2s1s3c RR RR0 −−+= 
 
cd
s3s3s2s2s1s1
s2s2s1s1s3s3cd
s2s1s3c
0,68.bw.f
.σA.σA.σA
x
.σA.σA.σA.x0,68.bw.f0
RR RR0
−+=
−−+=
−−+=
 
430,68.15.1,
1,0.43,5-
x
x-21,8873,5..5,2
x
x-25,573,5.6,3.
x
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
= 
 
cm 25,17x1 = OK!!! 
 Domínio 4!!! 
 
 cm 56,64x 2 −= Resultado inválido (tração não uniforme) 
 
 
0,35%
x
Sε
d
1
0,35%
x
Sε
d
2
21,88
d) Determinação do carregamento máximo: 
 
Equação de equilíbrio para o momento: 
 
 21,88)-d.(R-)d'-.(dR.zRM s2s3ccu += 
 du MM = 
 
 21,88)-.(d.σA-)d'-.(d.σA0,4.x)-.x.(d0,68.bw.fM s2s2s3s3cdd += 
 KN.cm 5571,9Md = 
 KN.m 55,7Md = 
 KN.m 8,39
γ
M
M
f
d == Æ 9KN/m,91q 
8
qLM
2
==