Limites_e_Continuidade

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Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia da Bahia
Campus Vito´ria da Conquista
Coordenac¸a˜o Te´cnica Pedago´gica
Programa de Assisteˆncia e Apoio aos Estudantes
Apostila
Ca´lculo Diferencial e Integral I:
Limites e Continuidade
Orientadora: Ma. Polyane Alves Santos
Bolsista: Philipe Silva Farias
Vito´ria da Conquista
2012
Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia da Bahia
Campus Vito´ria da Conquista
Coordenac¸a˜o Te´cnica Pedago´gica
Programa de Assisteˆncia e Apoio aos Estudantes
Apostila
Ca´lculo Diferencial e Integral I:
Limites e Continuidade
Apostila feita por Philipe Silva Fa-
rias, estudante do curso de Graduac¸a˜o
em Engenharia Ele´trica, do Instituto
Federal de Educac¸a˜o Cieˆncia e Tecnolo-
gia da Bahia, Campus Vito´ria da Con-
quista, desenvolvida sob a orientac¸a˜o
da Professora: Ma. Polyane Alves
Santos, no per´ıodo de Agosto de 2010
a` Janeiro de 2011. Atualizac¸a˜o em
Abril de 2012.
Vito´ria da Conquista
2012
Suma´rio
1 Limites 6
1.1 Os Problemas da Tangente e da Velocidade . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 O Problema da Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 O Problema da Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Definic¸a˜o Intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4 Propriedades do Limite de Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.5 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.6 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.6.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.7 Definic¸a˜o Precisa de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.7.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2 Continuidade 79
2.1 Continuidade de Func¸o˜es Exponenciais . . . . . . . . . . . . . 101
2.1.1 Ca´lculo dos limites f(x) = ax, a > 0 e a 6= 1, para x→
±∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.2 Continuidade de Func¸o˜es Logar´ıtmicas . . . . . . . . . . . . . 103
2.2.1 Ca´lculo dos limites f(x) = loga x, a > 0 e a 6= 1, para x→
±∞ ou x→ 0+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.3 Um Limite Especial: o nu´mero e . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3 Refereˆncias 114
Lista de Figuras
1 Reta tangente a um c´ırculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Curva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Gra´fico Exemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Gra´fico Exemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 Gra´fico Exemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6 Gra´fico Exemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
7 Gra´fico Exemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
8 Gra´fico Exemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
9 Gra´fico Exemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
10 Gra´fico Exemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
11 Inclinac¸a˜o da reta secante = velocidade me´dia. . . . . . . . . . 14
12 Inclinac¸a˜o da tangente = velocidade instantaˆnea. . . . . . . . 14
13 Para´bola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
14 Exemplo 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
15 Exemplo 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
16 Exemplo 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
17 Exemplo 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
18 Exemplo 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
19 Exemplo 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
20 Exemplo 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
21 Exemplo 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
22 Esboc¸o do gra´fico de acordo com as Tabelas 9 e 10. . . . . . . 44
23 Exemplo 27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
24 Exemplo 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
25 Exemplo 33. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
26 Gra´fico da func¸a˜o y=ln(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
27 Exemplo 34. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
28 Gra´fico da func¸a˜o f(x) = 2x
2
x2+1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
29 Exemplo 41. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
30 Exemplo 42. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
31 Exemplo 42. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
32 Exemplo 42. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
33 Exemplo 43. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
34 Exemplo 47-a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
35 Exemplo 47-b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
36 Exemplo 47-c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
37 Exemplo 47-d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
38 Exemplo 48. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
39 Exemplo 49. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Ca´lculo Diferencial e Integral I
40 Exemplo 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
41 Exemplo 51. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
42 Exemplo 52. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
43 Exemplo 53. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
44 Ilustrac¸a˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
45 Func¸a˜o exponencial: f(x) = ax para a > 1. . . . . . . . . . . . 101
46 Func¸a˜o exponencial: f(x) = ax para 0 < a < 1. . . . . . . . . 102
47 Func¸a˜o logar´ıtmica: f(x) = loga x para a > 1. . . . . . . . . . 103
48 Func¸a˜o logar´ıtmica: f(x) = loga x para 0 < a < 1. . . . . . . . 104
Apostila Limites e Continuidade 5
Ca´lculo Diferencial e Integral I
1 Limites
1.1 Os Problemas da Tangente e da Velocidade
Nesta sec¸a˜o vamos ver como surgem os limites quando tentamos encontrar a
tangente a uma curva ou a uma velocidade de um objeto.
1.1.1 O Problema da Tangente
A palavra tangente vem do latim tangens, que significa “tocando”. Assim,
uma tangente a uma curva e´ uma reta que toca a curva. Ou seja, uma reta
tangente deve ter a mesma direc¸a˜o e sentido que a curva no ponto de contato.
Para um c´ırculo poder´ıamos simplesmente seguir Euclides e dizer que
a tangente e´ uma reta que intercepta o c´ırculo uma u´nica vez, conforme a
Figura 1. Para as curvas mais complicadas essa definic¸a˜o e´ inadequada. A
Figura 2 mostra duas retas (l e t) passando por um ponto P sobre uma curva
C. A reta l intercepta C somente uma vez, mas certamente na˜o aparenta o
que pensamos ser uma reta tangente. A reta t, por outro lado, aparenta ser
uma tangente, mas intercepta C duas vezes.
Figura 1: Reta tangente a um c´ırculo.
Apostila Limites e Continuidade 6
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Figura 2: Curva.
Vamos examinar no Exemplo 1 o problema de encontrar uma reta tan-
gente t a` para´bola y = x2.
Exemplo 1. Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a` para´bola y = x2 no
ponto P (1, 1).
Soluc¸a˜o:
Se soubermos como encontrar a inclinac¸a˜o m seremos capazes de achar
uma equac¸a˜o da reta tangente t. A dificuldade esta´ em termos somente um
ponto P , sobre t, ao passo que para calcular a inclinac¸a˜o sa˜o necessa´rios
doispontos. Observe, pore´m, que podemos calcular uma aproximac¸a˜o de m
escolhendo um ponto pro´ximo Q(x, x2) sobre a para´bola como na Figura 3 e
calculando a inclinac¸a˜o mPQ da reta secante PQ.
Figura 3: Gra´fico Exemplo 1.
Vamos escolher x 6= 1 de forma que Q 6= P . Enta˜o
mPQ =
x2 − 1
x− 1 .
Apostila Limites e Continuidade 7
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Por exemplo, para o ponto Q(1, 5; 2, 25), temos
mPQ =
2, 25− 1
1, 5− 1 =
1, 25
0, 5
= 2, 5.
A Tabela 1 mostra os valores de mPQ para va´rios valores de x pro´ximos
de 1. Quanto mais pro´ximo Q estiver de P , mais pro´ximo x estara´ de 1, e
fica evidente que mPQ estara´ mais pro´ximo de 2. Isso sugere que a inclinac¸a˜o
da reta tangente t deva ser m = 2.
Tabela 1: Exemplo 1.
x mPQ x mPQ
0 1 2 3
0,5 1,5 1,5 2,5
0,9 1,9 1,1 2,1
0,99 1,99 1,01 2,01
0,999 1,999 1,001 2,001
Dizemos que a inclinac¸a˜o da reta tangente e´ o limite das inclinac¸o˜es das
retas secantes, e expressamos isso simbolicamente escrevendo que
lim
Q→P
mPQ = m e lim
x→1
x2 − 1
x− 1 = 2.
Supondo que a inclinac¸a˜o da reta tangente seja realmente 2, podemos usar
a forma ponto-inclinac¸a˜o da equac¸a˜o de uma reta para escrever a equac¸a˜o da
tangente no ponto (1, 1) como
y − 1 = 2(x− 1) ou y = 2x− 1.
As Figuras 4, 5, 6 (em que Q tende a P pela direita) e as Figuras 7, 8, 9
(em que Q tende a P pela esquerda) mostram o processo de limite que ocorre
nesse exemplo. A` medida que Q tende a P ao longo da para´bola, as retas
secantes correspondentes giram em torno de P e tendem a` reta tangente t.
�
Apostila Limites e Continuidade 8
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Figura 4: Gra´fico Exemplo 1.
Figura 5: Gra´fico Exemplo 1.
Figura 6: Gra´fico Exemplo 1.
Apostila Limites e Continuidade 9
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Figura 7: Gra´fico Exemplo 1.
Figura 8: Gra´fico Exemplo 1.
Figura 9: Gra´fico Exemplo 1.
Apostila Limites e Continuidade 10
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Em cieˆncias, muitas func¸o˜es na˜o sa˜o descritas por equac¸o˜es expl´ıcitas;
elas sa˜o definidas por dados experimentais.
Exemplo 2. O flash de uma caˆmera opera armazenando carga em um capa-
citor e liberando-a instantaneamente quando o flash e´ disparado. Os dados
na Tabela 2 descrevem a carga Q armazenada no capacitor (medida em mi-
crocoulombs) no instante t (medido em segundos apo´s o flash ter sido dispa-
rado). Use os dados para fazer o gra´fico dessa func¸a˜o e estime a inclinac¸a˜o da
reta tangente no ponto onde t = 0, 04. [Nota: A inclinac¸a˜o da reta tangente
representa um fluxo de corrente ele´trica do capacitor para o flash (medido
em microampe`res).]
Soluc¸a˜o:
Tabela 2: Exemplo 2.
t Q
0,0 100,00
0,02 81,87
0,04 67,03
0,06 54,88
0,08 44,93
0,10 36,76
Na Figura 10 desenhamos os dados usados para esboc¸ar uma curva que
aproxima o gra´fico da func¸a˜o.
Figura 10: Gra´fico Exemplo 2.
Apostila Limites e Continuidade 11
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Dados os pontos P (0, 04; 67, 03) e R(0, 00; 100, 00) sobre o gra´fico, des-
cobrimos que a inclinac¸a˜o da reta secante PR e´
mPR =
100, 00− 67, 03
0, 00− 0, 04 = −824, 25.
Ao fazermos ca´lculos semelhantes para as inclinac¸o˜es de outras retas secantes,
podemos prever que a inclinac¸a˜o da reta tangente em t = 0, 04 esta´ em algum
ponto entre −742 e −607, 5. De fato, a me´dia das inclinac¸o˜es das duas retas
secantes mais pro´ximas e´
1
2
(−742− 607, 5) = −674, 75.
Logo, por esse me´todo estimamos que a inclinac¸a˜o da reta tangente e´
−675.
Outro me´todo e´ trac¸ar uma aproximac¸a˜o da reta tangente em P e medir
os lados do triaˆngulo ABC como na Figura 10. Isso da´ uma estimativa da
inclinac¸a˜o da reta tangente como
−|AB||BC| ≈ −
80, 4− 53, 6
0, 06− 0, 02 = −670.
�
1.1.2 O Problema da Velocidade
Se voceˆ observar o veloc´ımetro de um carro no tra´fego urbano, vera´ que o
ponteiro na˜o fica parado por muito tempo; isto e´, a velocidade do carro na˜o
e´ constante. Podemos supor da observac¸a˜o do veloc´ımetro que o carro tenha
uma velocidade definida em cada momento. Mas como esta´ definida essa
velocidade “instantaˆnea”?
Exemplo 3. Suponha que uma bola e´ solta a partir do ponto de observac¸a˜o
no alto de uma torre, 450 metros acima do solo. Encontre a velocidade da
bola apo´s 5 segundos.
Soluc¸a˜o:
Por meio de experimentos feitos se´culos atra´s, Galileu descobriu que a
distaˆncia percorrida por qualquer objeto em queda livre e´ proporcional ao
quadrado do tempo em que ele esteve caindo (esse modelo para a queda livre
despreza a resisteˆncia do ar). Se a distaˆncia percorrida apo´s t segundos for
Apostila Limites e Continuidade 12
Ca´lculo Diferencial e Integral I
chamada s(t) e medida em metros, enta˜o a Lei de Galileu pode ser expressa
pela equac¸a˜o
s(t) = 4, 9t2.
A dificuldade em encontrar a velocidade apo´s 5 segundos esta´ em tratar-
mos de um u´nico instante de tempo (t = 5), ou seja, na˜o temos um intervalo
de tempo. Pore´m, podemos aproximar a quantidade desejada calculando a
velocidade me´dia sobre o breve intervalo de tempo de um de´cimo de segundo,
de t = 5 ate´ t = 5, 1:
velocidade me´dia =
distaˆncia percorrida
tempo percorrido
=
s(5, 1)− s(5)
0, 1
=
4, 9(5, 1)2 − 4, 9(5)2
0, 1
= 49, 49 m/s.
A Tabela 3 mostra os resultados de ca´lculos similares da velocidade me´dia
em per´ıodos de tempo cada vez menores.
Tabela 3: Exemplo 3.
Intervalo de tempo Velocidade me´dia (m/s)
5 ≤ t ≤ 6 53,9
5 ≤ t ≤ 5, 1 49,49
5 ≤ t ≤ 5, 05 49,245
5 ≤ t ≤ 5, 01 49,049
5 ≤ t ≤ 5, 001 49,0049
Fica evidente que, a` medida que encurtamos o per´ıodo de tempo, a ve-
locidade me´dia fica cada vez mais pro´xima de 49 m/s. A velocidade ins-
tantaˆnea quando t = 5 e´ definida como o valor limite dessas velocidades
me´dias em per´ıodos de tempo cada vez menores, comec¸ando em t = 5. As-
sim, a velocidade instantaˆnea apo´s 5 segundos e´
v = 49 m/s.
Os ca´lculos usados na soluc¸a˜o desse problema sa˜o muito semelhantes
a`queles usados anteriormente para encontrar tangentes. Na realidade, ha´
uma estreita relac¸a˜o entre os problemas da tangente e do ca´lculo de velo-
cidades. Se trac¸armos o gra´fico da func¸a˜o distaˆncia percorrida pela bola
Apostila Limites e Continuidade 13
Ca´lculo Diferencial e Integral I
(como nas Figuras 11 e 12) e considerarmos os pontos P (a; 4, 9a2) e Q(a +
h; 4, 9(a+ h)2) sobre o gra´fico, enta˜o a inclinac¸a˜o da reta secante PQ e´
mPQ =
4, 9(a+ h)2 − 4, 9a2
(a+ h)− a ,
que e´ igual a` velocidade me´dia no intervalo de tempo [a, a + h]. Logo, a
velocidade no instante t = a (o limite dessas velocidades me´dias quando h
tende a 0) deve ser igual a` inclinac¸a˜o da reta tangente em P (o limite das
inclinac¸o˜es das retas secantes).
�
Figura 11: Inclinac¸a˜o da reta secante = velocidade me´dia.
Figura 12: Inclinac¸a˜o da tangente = velocidade instantaˆnea.
Apostila Limites e Continuidade 14
Ca´lculo Diferencial e Integral I
1.2 Definic¸a˜o Intuitiva
Vamos investigar o comportamento da func¸a˜o f definida por f(x) = x2−x+2
para valores de x pro´ximos de 2. A Tabela 4 fornece os valores de f(x) para
valores de x pro´ximos de 2, mas na˜o iguais a 2.
Tabela 4: Valores de f(x).
x f(x) x f(x)
1,0 2,000000 3,0 8,000000
1,5 2,750000 2,5 5,750000
1,8 3,440000 2,2 4,640000
1,9 3,710000 2,1 4,310000
1,95 3,852500 2,05 4,152500
1,99 3,970100 2,01 4,030100
1,995 3,985025 2,005 4,015025
1,999 3,997001 2,001 4,003001
Figura 13: Para´bola.
Da Tabela 4 e do gra´fico de f mostrado na Figura 13, vemos que quando
x estiver pro´ximo de 2 (de qualquer lado de 2) f(x) estara´ pro´ximo de 4.
De fato, e´ evidente que podemos tornar os valores de f(x) ta˜o pro´ximos de
4 quanto quisermos tornando x suficientemente pro´ximo de 2. Expressamos
isso dizendo que “o limite da func¸a˜of(x) = x2− x+ 2 quando x tende a 2 e´
igual a 4”.
A notac¸a˜o para isso e´:
lim
x→2
(x2 − x+ 2) = 4.
Apostila Limites e Continuidade 15
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Em geral, usamos a seguinte notac¸a˜o.
Definic¸a˜o 1. Escrevemos
lim
x→a
f(x) = L,
e dizemos “o limite de f(x), quando x tende a a, e´ igual a L”, se pudermos
tornar os valores de f(x) arbitrariamente pro´ximos de L (ta˜o pro´ximos de
L quando quisermos), tornando x suficientemente pro´ximo de a (por ambos
os lados de a), mas na˜o igual a a.
Isso significa que os valores de f(x) ficam cada vez mais pro´ximos do
nu´mero L a` medida que x tende ao nu´mero a (por qualquer lado de a), mas
x 6= a.
Preste atenc¸a˜o na frase “mas x 6= a”na definic¸a˜o de limite. Isso significa
que ao procurar o limite de f(x) quando x tende a a nunca consideramos
x = a. Na realidade, f(x) na˜o precisa sequer estar definida quando x = a.
A u´nica coisa que importa e´ como f esta´ definida pro´ximo de a.
A definic¸a˜o de limite apresentada anteriormente e´ “intuitiva”porque as
expresso˜es arbitrariamente pro´ximos e suficientemente pro´ximos sa˜o impre-
cisas; seu significado depende do contexto. Para um metalu´rgico que fabrica
um pista˜o, pro´ximo pode significar alguns mile´simos de cent´ımetro. Para
um astroˆnomo que estuda gala´xias distantes, pro´ximo pode significar alguns
milhares de anos-luz. Entretanto, a definic¸a˜o apresentada e´ suficientemente
clara para permitir o reconhecimento e a avaliac¸a˜o dos limites de va´rias
func¸o˜es espec´ıficas.
Exemplo 4. Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule lim
x→1
(x+ 1).
Soluc¸a˜o:
lim
x→1
(x+ 1) = 2.
�
Apostila Limites e Continuidade 16
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Tabela 5: Valores de f(x), Exemplo 4.
x f(x) x f(x)
2 3 0,5 1,5
1,5 2,5 0,9 1,9
1,1 2,1 0,99 1,99
1,01 2,01 0,999 1,999
1,001 2,001
...
...
...
... 1 2
1 2
Figura 14: Exemplo 4.
Exemplo 5. Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule lim
x→1
x2 − 1
x− 1 .
Soluc¸a˜o:
Seja f(x) =
x2 − 1
x− 1 , x 6= 1; f na˜o esta´ definida em x = 1.
Para x 6= 1,
f(x) =
x2 − 1
x− 1 =
(x+ 1)(x− 1)
(x− 1) = x+ 1.
lim
x→1
x2 − 1
x− 1 = limx→1(x+ 1) = 2.
�
Apostila Limites e Continuidade 17
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Figura 15: Exemplo 5.
Exemplo 6. Encontre o valor de lim
t→0
√
t2 + 9− 3
t2
.
Soluc¸a˜o:
A Tabela 6 fornece uma lista de valores da func¸a˜o para va´rios valores de
t pro´ximos de 0.
Tabela 6: Valores de f(t), Exemplo 6.
t f(t) t f(t)
± 0,0005 0,16800 ± 1,0 0,16228
± 0,0001 0,20000 ± 0,5 0,16553
± 0,00005 0,00000 ± 0,1 0,16662
± 0,00001 0,00000 ± 0,01 0,16667
A` medida que t tende a 0, os valores da func¸a˜o da˜o a impressa˜o de que
eles aproximam-se de 0,1666666 . . . Assim, depreendemos que
lim
t→0
√
t2 + 9− 3
t2
=
1
6
.
O que aconteceria no Exemplo 6 se tive´ssemos tomado os valores ainda
menores para t? A Tabela 6 mostra os resultados obtidos em uma calcula-
dora; voceˆ pode notar que algo estranho esta´ acontecendo.
Se voceˆ tentar fazer esses ca´lculos em sua calculadora, podera´ obter os
valores diferentes, mas finalmente vai obter o valor 0 se fizer t suficientemente
Apostila Limites e Continuidade 18
Ca´lculo Diferencial e Integral I
pequeno. Isso significa que a resposta e´ realmente 0 e na˜o 1
6
? Na˜o, o valor
do limite e´ realmente 1
6
, conforme veremos na pro´xima sec¸a˜o. O problema
e´ que a calculadora fornece valores falsos, pois
√
t2 + 9 e´ muito pro´ximo de
3 quando t e´ pequeno. (Na realidade, quando t e´ suficientemente pequeno,
um valor obtido na calculadora para
√
t2 + 9 e´ 3,000 . . . com tantas casas
decimais exatas quanto for capaz de computar a calculadora.)
�
Exemplo 7. Encontre lim
x→0
senx
x
.
Soluc¸a˜o:
Novamente a func¸a˜o f(x) = senx
x
na˜o esta´ definida quando x = 0. Usando
uma calculadora (e lembrando que se x ∈ R, senx significa o seno de um
aˆngulo cuja medida e´ x radianos), constru´ımos a Tabela 7 para os valores
corretos ate´ a oitava casa decimal. Da tabela e do gra´fico (ver Figura 16)
temos que
lim
x→0
senx
x
= 1.
Tabela 7: Valores de f(x), Exemplo 7.
x f(x) x f(x)
± 1,0 0,84147098 ± 0,1 0,99833417
± 0,5 0,95885108 ± 0,05 0,99958339
± 0,4 0,97354586 ± 0,01 0,99998333
± 0,3 0,98506736 ± 0,005 0,99999583
± 0,2 0,99334665 ± 0,001 0,99999983
�
Apostila Limites e Continuidade 19
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Figura 16: Exemplo 7.
Exemplo 8. Encontre lim
x→0
sen
(pi
x
)
.
Soluc¸a˜o:
A func¸a˜o f
(
1
n
)
= sen
(
pi
x
)
na˜o esta´ definida em 0. Obtendo a func¸a˜o para
alguns valores pequenos de x, temos
f(1) = senpi = 0,
f
(
1
2
)
= sen 2pi = 0,
f
(
1
3
)
= sen 3pi = 0,
f
(
1
4
)
= sen 4pi = 0,
f
(
1
10
)
= sen 10pi = 0,
f
(
1
100
)
= sen 100pi = 0.
Da mesma forma f(0, 001) = f(0, 0001) = 0. Com base nessa informac¸a˜o
poder´ıamos ser tentados a supor que
lim
x→0
sen
(pi
x
)
= 0.
Dessa vez, no entanto, nossa suposic¸a˜o esta´ errada. Observe que embora
f( 1
n
) = sen(npi) = 0, para todo nu´mero inteiro n, e´ tambe´m verdadeiro que
f(x) = 1 para infinitos valores de x que tendem a 0. De fato, sen
(
pi
x
)
= 1
quando
pi
x
=
pi
2
+ 2npi,
e, resolvendo para x, obtemos x = 2
4n+1
. O gra´fico de f e´ dado na Figura 17.
Apostila Limites e Continuidade 20
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Figura 17: Exemplo 8.
As curvas tracejadas indicam que os valores de sen
(
pi
x
)
oscilam entre 1 e
-1 infinitas vezes quando x tende a zero. Uma vez que os valores de f(x) na˜o
tendem a um nu´mero fixo quando x tende a 0,
lim
x→0
sen
(pi
x
)
,
na˜o existe.
�
Exemplo 9. Encontre lim
x→0
(
x3 +
cos 5x
10000
)
.
Soluc¸a˜o:
Como antes, constru´ımos a tabela de valores:
Tabela 8: Valores de f(x), Exemplo 9.
x f(x) x f(x)
1,0 1,000028 0,01 0,000101
0,5 0,124920 0,005 0,00010009
0,1 0,001088 0,001 0,00010000
0,05 0,000222
Da Tabela 8 parece que
lim
x→0
(
x3 +
cos 5x
10000
)
= 0,
Apostila Limites e Continuidade 21
Ca´lculo Diferencial e Integral I
mas ao continuarmos com valores ainda menores de x,
lim
x→0
(
x3 +
cos 5x
10000
)
= 0, 000100 =
1
10000
.
Como lim
x→0
cos 5x = 1, segue que o limite e´: 0,0001. �
1.2.1 Exerc´ıcios
1. Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule:
(a) lim
x→1
(x+ 2).
(b) lim
x→1
(2x+ 1).
(c) lim
x→0
(3x+ 1).
(d) lim
x→2
(x2 + 1).
(e) lim
x→1
√
x.
(f) lim
x→2
x2 + x
x+ 3
.
(g) lim
x→2
3
√
x.
(h) lim
x→0
(
√
x+ x).
(i) lim
x→2
x2 − 4
x− 2 .
(j) lim
x→0
x2 + x
x
.
(k) lim
x→2
√
x− 1
x− 1 .
(l) lim
x→2
x2 − 4x+ 4
x− 2 .
(m) lim
x→−1
x2 − 1
x+ 1
.
(n) lim
x→0
senx.
Apostila Limites e Continuidade 22
Ca´lculo Diferencial e Integral I
1.3 Limites Laterais
Para ter um limite L quando x se aproxima de a, uma func¸a˜o f deve ser
definida em ambos os lados de a e seus valores de f(x) devem se aproximar
de L quando x se aproxima de a de cada lado. Por isso, limites comuns sa˜o
bilaterais.
Se f na˜o tem um limite bilateral em a, ainda pode ter um limite lateral, ou
seja, um limite cuja aproximac¸a˜o ocorre apenas de um lado. Se a aproximac¸a˜o
for feita pelo lado direito, o limite sera´ um limite a` direita. Se for pelo
lado esquerdo, sera´ um limite a` esquerda.
Definic¸a˜o 2. Escrevemos
lim
x→a−
f(x) = L,
e dizemos que o limite esquerdo de f(x) quando x tende a a (ou
o limite de f(x) quando x tende a a pela esquerda) e´ igual a L
se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente pro´ximos de L,
tomando-se xsuficientemente pro´ximo de a e x menor que a.
Observe que a Definic¸a˜o 2 difere da Definic¸a˜o 11 pelo fato de exigirmos
que x seja menor que a. Analogamente, se for exigido que x seja maior que
a, obteremos “o limite direito de f(x) quando x tende a a como igual a
L”, e escrevemos
lim
x→a+
f(x) = L.
Dessa forma, o s´ımbolo “x → a+”indica que estamos considerando so-
mente x > a.
Comparando a Definic¸a˜o 1 com a de limites laterais, vemos ser verdadeiro
o que esta´ a seguir:
Definic¸a˜o 3.
lim
x→a
f(x) = L se e somente se lim
x→a−
f(x) = L e lim
x→a+
f(x) = L.
1ver pa´gina 16.
Apostila Limites e Continuidade 23
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 10. A func¸a˜o sinal e´ definida por
sgn x =

−1 se x < 0
0 se x = 0
1 se x > 0
.
Signum e´ a palavra em latim para sinal.
(a) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico dessa func¸a˜o.
(b) Determine lim
x→0−
sgn x e lim
x→0+
sgn x, se existirem.
Soluc¸a˜o:
(a) Um esboc¸o do gra´fico aparece na Figura 18:
Figura 18: Exemplo 10.
(b) Como sgn x = −1 se x < 0 e sgn x = 1 se x > 0, temos:
lim
x→0−
sgn x = lim
x→0−
(−1) = −1 e lim
x→0+
sgn x = lim
x→0+
(1) = 1.
No Exemplo 10, lim
x→0−
sgn x 6= lim
x→0+
sgn x. Como os limites a` esquerda
e a` direita na˜o sa˜o iguais, o limite bilateral na˜o existe. A desigualdade dos
limites laterais implica a inexisteˆncia do limite bilateral. �
Apostila Limites e Continuidade 24
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 11. Calcule lim
x→1+
f(x) e lim
x→1−
f(x), sendo
f(x) =
{
x2 se x < 1
2x se x > 1
.
Soluc¸a˜o:
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1
2x = 2 e lim
x→1−
f(x) = lim
x→1
x2 = 1.
�
Exemplo 12. Mostre que lim
x→0
|x| = 0.
Soluc¸a˜o:
Lembre-se de que
|x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0 .
Uma vez que |x| = x para x > 0, temos
lim
x→0+
|x| = lim
x→0+
x = 0;
Para x < 0 temos que |x| = −x, e assim
lim
x→0−
|x| = lim
x→0−
(−x) = 0;
Logo,
lim
x→0
|x| = 0.
�
Apostila Limites e Continuidade 25
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 13. Calcule lim
x→0+
|x|
x
e lim
x→0−
|x|
x
. O limite lim
x→0
|x|
x
existe? Por queˆ?
Soluc¸a˜o:
Dado que
|x| =
{
x se x > 0
−x se x < 0 ,
temos que
|x|
x
=
{
1 se x > 0
−1 se x < 0 .
Da´ı,
lim
x→0+
|x|
x
= lim
x→0
1 = 1 e lim
x→0−
|x|
x
= lim
x→0
−1 = −1.
Como lim
x→0+
|x|
x
6= lim
x→0−
|x|
x
, segue que lim
x→0
|x|
x
na˜o existe, pois os limites
laterais sa˜o diferentes. �
Exemplo 14. Seja g definida por
g(x) =
{ |x| se x 6= 0
2 se x = 0
.
(a) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de g.
(b) Ache lim
x→0
g(x), se existir.
Soluc¸a˜o:
(a) Um esboc¸o do gra´fico esta´ na Figura 19.
(b)
Dado que
|x| =
{
x se x > 0
−x se x < 0 ,
temos que
lim
x→0−
g(x) = lim
x→0−
(−x) = 0 e lim
x→0+
g(x) = lim
x→0+
(x) = 0.
Como lim
x→0−
g(x) = lim
x→0+
g(x), conclui-se que lim
x→0
g(x) existe e e´ igual a
zero.
Apostila Limites e Continuidade 26
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Figura 19: Exemplo 14.
Pode-se observar que g(0) = 2, o que na˜o afeta lim
x→0
g(x) e que ha´ uma
quebra no gra´fico de g em x = 0. �
Exemplo 15. Seja h definida por
h(x) =
{
4− x2 se x ≤ 1
2 + x2 se x > 1
.
(a) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de h.
(b) Ache cada um dos seguintes limites, se existirem: lim
x→1−
h(x), lim
x→1+
h(x) e
lim
x→1
h(x).
Soluc¸a˜o:
(a) Um esboc¸o do gra´fico esta´ na Figura 20.
(b)
lim
x→1−
h(x) = lim
x→1−
(4− x2) = 3 e lim
x→1+
h(x) = lim
x→1+
(2 + x2) = 3.
Como lim
x→1−
h(x) = lim
x→1+
h(x) e ambos sa˜o iguais a 3, conclui-se que
lim
x→1
h(x) existe e e´ igual a 3. �
Apostila Limites e Continuidade 27
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Figura 20: Exemplo 15.
Exemplo 16. Seja f definida por
f(x) =

x+ 5 se x < −3√
9− x2 se −3 ≤ x ≤ 3
3− x se x > 3
.
(a) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f .
(b) Ache, se existirem, cada um dos seguintes limites: lim
x→−3−
f(x), lim
x→−3+
f(x),
lim
x→−3
f(x), lim
x→3−
f(x), lim
x→3+
f(x), lim
x→3
f(x).
Soluc¸a˜o:
(a) Um esboc¸o do gra´fico esta´ na Figura 21.
(b)
lim
x→−3−
f(x) = lim
x→−3−
(x+ 5) = 2 e lim
x→−3+
f(x) = lim
x→−3+
√
9− x2 = 0.
Como lim
x→−3−
f(x) 6= lim
x→−3+
f(x), enta˜o lim
x→−3
f(x) na˜o existe.
lim
x→3−
f(x) = lim
x→3−
√
9− x2 = 0 e lim
x→3+
f(x) = lim
x→3+
(3− x) = 0.
Como lim
x→3−
f(x) = lim
x→3+
f(x), enta˜o lim
x→3
f(x) existe e e´ igual a zero.
�
Apostila Limites e Continuidade 28
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Figura 21: Exemplo 16.
1.3.1 Exerc´ıcios
1. Calcule o limite, caso exista. Se na˜o existir, justifique.
(a) lim
x→1+
|x− 1|
x− 1 .
(b) lim
x→1−
|x− 1|
x− 1 .
(c) lim
x→1+
f(x)− f(1)
x− 1 , onde
f(x) =
{
x+ 1 se x ≥ 1
2x se x < 1
.
(d) lim
x→0
√
x.
(e) lim
x→1
|x− 1|
x− 1 .
(f) lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1 , onde
f(x) =
{
x+ 1 se x ≥ 1
2x se x < 1
.
Apostila Limites e Continuidade 29
Ca´lculo Diferencial e Integral I
(g) lim
x→2+
x2 − 2x+ 1
x− 1 .
(h) lim
x→3
|x− 1|
x− 1 .
(i) lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1 , onde
f(x) =
{
x2 se x ≤ 1
2x− 1 se x > 1 .
(j) lim
x→2−
g(x)− g(2)
x− 2 , onde
g(x) =
{
x se x ≥ 2
x2
2
se x < 2
.
2. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico e ache o limite indicado, se existir; se na˜o
existir, indique a raza˜o disto.
(a) lim
x→1+
f(x); lim
x→1−
f(x); lim
x→1
f(x);
f(x) =

2 se x < 1
−1 se x = 1
−3 se x > 1
.
(b) lim
t→−4+
f(t); lim
t→−4−
f(t); lim
t→−4
f(t);
f(t) =
{
t+ 4 se t ≤ −4
4− t se t > −4 .
(c) lim
x→2+
F (x); lim
x→2−
F (x); lim
x→2
F (x);
F (x) =
{
x2 se x ≤ 2
8− 2x se x > 2 .
(d) lim
r→1+
g(r); lim
r→1−
g(r); lim
r→1
g(r);
g(r) =

2r + 3 se r < 1
2 se r = 1
7− 2r se r > 1
.
Apostila Limites e Continuidade 30
Ca´lculo Diferencial e Integral I
(e) lim
x→2+
f(x); lim
x→2−
f(x); lim
x→2
f(x);
f(x) =

x2 − 4 se x < 2
4 se x = 2
4− x2 se x > 2
.
(f) lim
x→5+
F (x); lim
x→5−
F (x); lim
x→5
F (x);
F (x) = |x− 5|.
(g) lim
x→( 3
2
)+
G(x); lim
x→( 3
2
)−
G(x); lim
x→ 3
2
G(x);
G(x) = |2x− 3| − 4.
(h) lim
t→0+
f(t); lim
t→0−
f(t); lim
t→0
f(t);
f(t) =
{
3
√
t se t < 0√
t se t ≥ 0 .
3. Dada
f(x) =
{
3x+ 2 se x < 4
5x+ k se x ≥ 4
}
.
Ache o valor de k para o qual lim
x→4
f(x) existe.
Apostila Limites e Continuidade 31
Ca´lculo Diferencial e Integral I
1.4 Propriedades do Limite de Func¸o˜es
Para calcular limites de func¸o˜es por me´todos mais simples, usaremos as “Pro-
priedades de Limites”.
Propriedades do Limite: Seja c uma constante e suponha que existam
os limites
lim
x→a
f(x) e lim
x→a
g(x).
Enta˜o
1. lim
x→a
[f(x) + g(x)] = lim
x→a
f(x) + lim
x→a
g(x).a
2. lim
x→a
[f(x)− g(x)] = lim
x→a
f(x)− lim
x→a
g(x).
3. lim
x→a
[cf(x)] = c lim
x→a
f(x).
4. lim
x→a
[f(x).g(x)] = lim
x→a
f(x). lim
x→a
g(x).b
5. lim
x→a
f(x)
g(x)
=
lim
x→a
f(x)
lim
x→a
g(x)
se lim
x→a
g(x) 6= 0.c
6. lim
x→a
(mx+ b) = ma+ b, se m e b forem constantes quaisquer.d
7. Se c for uma constante, enta˜o para qualquer nu´mero a: lim
x→a
c = c.
Isso segue imediatamente da propriedade lim
x→a
(mx + b) = ma + b,
tomando m = 0 e b = c.
8. lim
x→a
x = a
Isso segue imediatamente da propriedade lim
x→a
(mx + b) = ma + b,
tomando m = 1 e b = 0.
aver demonstrac¸a˜o na pa´g. 65, Livro :“O Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica”, 3a
edic¸a˜o,Louis Leithold.
bver demonstrac¸a˜o na pa´g. 66, Livro :“O Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica”, 3a
edic¸a˜o, Louis Leithold.
cver demonstrac¸a˜o na pa´g. 126, Livro :“O Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica”, 3a
edic¸a˜o, Louis Leithold.
dver demonstrac¸a˜o na pa´g. 64, Livro :“O Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica”, 3a
edic¸a˜o, Louis Leithold.
Apostila Limites e Continuidade 32
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Propriedades do Limite: (continuac¸a˜o)
9. Se lim
x→a
f1(x) = L1, lim
x→a
f2(x) = L2, . . . , e lim
x→a
fn(x) = Ln, enta˜o
lim
x→a
[f1(x)± f2(x)± . . .± fn(x)] = L1 ± L2 ± . . .± Ln.
10. Se lim
x→a
f1(x) = L1, lim
x→a
f2(x) = L2, . . . , e lim
x→a
fn(x) = Ln, enta˜o
lim
x→a
[f1(x)f2(x) . . . fn(x)] = L1L2 . . . Ln.
11. lim
x→a
[f(x)]n = [lim
x→a
f(x)]n , onde n e´ um inteiro positivo.
12. lim
x→a
n
√
f(x) = n
√
lim
x→a
f(x) , onde n e´ um inteiro positivo.a
acom a restric¸a˜o de que se n for par, lim
x→a f(x) > 0.
As cinco primeiras propriedades podem ser enunciadas da seguinte forma:
1. O limite de uma soma e´ a soma dos limites.
2. O limite da diferenc¸a e´ a diferenc¸a dos limites.
3. O limite de uma constante vezes uma func¸a˜o e´ a constante vezes o
limite da func¸a˜o.
4. O limite de um produto e´ o produto dos limites.
5. O limite de um quociente e´ o quociente dos limites (desde que o limite
do denominador na˜o seja zero).
E´ fa´cil acreditar que essas propriedades sa˜o verdadeiras. Por exemplo,
se f(x) estiver pro´xima de L e g(x) pro´xima de M , e´ razoa´vel concluir que
f(x) + g(x) esta´ pro´xima de L + M . Isso nos da´ uma base intuitiva para
acreditar que a Propriedade 1 e´ verdadeira.
Propriedade de Substituic¸a˜o Direta. Se f for uma func¸a˜o polinomial
ou racional e a estiver no domı´nio de f , enta˜o
lim
x→a
f(x) = f(a).
Teorema 1. lim
x→a
f(x) = L se, e somente se,
lim
x→a−
f(x) = L = lim
x→a+
f(x).
Apostila Limites e Continuidade 33
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 17. Ache lim
x→3
(x2 + 7x− 5) e, quando aplica´vel, indique a propri-
edade de limite que esta´ sendo usada.
Soluc¸a˜o:
lim
x→3
(x2 + 7x− 5) = lim
x→3
x2 + lim
x→3
7x− lim
x→3
5 (P. L. 9)
= lim
x→3
x . lim
x→3
x+ lim
x→3
7 . lim
x→3
x− lim
x→3
5 (P. L. 4)
= 3.3 + 7.3− 5 (P. L. 8 e P. L. 7)
= 9 + 21− 5 = 25.
E´ importante, neste ponto, notar que o limite no Exemplo 17 foi calculado
com a aplicac¸a˜o direta das propriedades do limite. Para a func¸a˜o f , definida
por f(x) = x2 + 7x− 5, note que f(3) = 25, que e´ igual ao lim
x→3
(x2 + 7x− 5).
Na˜o e´ sempre verdade que lim
x→a
f(x) = f(a). �
Exemplo 18. Ache lim
x→2
√
x3 + 2x+ 3
x2 + 5
e, quando aplica´vel, indique a pro-
priedade de limite que esta´ sendo usada.
Soluc¸a˜o:
lim
x→2
√
x3 + 2x+ 3
x2 + 5
=
√
lim
x→2
x3 + 2x+ 3
x2 + 5
(P. L. 12)
=
√√√√ limx→2(x3 + 2x+ 3)
lim
x→2
(x2 + 5)
(P. L. 5)
=
√√√√ limx→2x3 + limx→2 2x+ limx→2 3
lim
x→2
x2 + lim
x→2
5
(P. L. 9)
=
√√√√(limx→2x)3 + limx→2 2 . limx→2x+ limx→2 3
(lim
x→2
x)2 + lim
x→2
5
(P. L. 4 e 11)
=
√
23 + 2.2 + 3
22 + 5
(P. L. 8) e (P. L. 7)
Apostila Limites e Continuidade 34
Ca´lculo Diferencial e Integral I
=
√
8 + 4 + 3
9
=
√
15
3
.
�
Exemplo 19. Ache lim
x→4
f(x) dado que
f(x) =
{
x− 3 se x 6= 4
5 se x = 4
.
Soluc¸a˜o:
Quando calculamos lim
x→4
f(x) estamos considerando valores de x pro´ximos
de 4, mas na˜o iguais a 4. Assim,
lim
x→4
f(x) = lim
x→4
(x− 3) = 1. (P. L. 6)
No Exemplo 19, lim
x→4
f(x) = 1 mas f(4) = 5; logo, lim
x→4
f(x) 6= f(4).
Em termos geome´tricos, ha´ uma quebra no gra´fico da func¸a˜o no ponto onde
x = 4.
�
Exemplo 20. Calcule lim
x→5
x2 − 25
x− 5 .
Soluc¸a˜o:
Aqui temos uma situac¸a˜o diferente daquela dos exemplos precedentes.
A Propriedade de Limite 5 na˜o pode ser aplicada ao quociente x
2−25
x−5 , pois
lim
x→5
(x− 5) = 0. Entretanto, fatorando o numerador obtemos
x2 − 25
x− 5 =
(x− 5)(x+ 5)
x− 5 .
Se x 6= 5, o numerador e o denominador podem ser divididos por x − 5
para obtermos x + 5. Lembre-se de que quando calculamos o limite de uma
func¸a˜o, a` medida que x aproxima-se de 5, estamos considerando valores de
Apostila Limites e Continuidade 35
Ca´lculo Diferencial e Integral I
x pro´ximos a 5 mas na˜o iguais a 5. Portanto, e´ poss´ıvel dividir o numerador
e o denominador por x− 5. A soluc¸a˜o toma a seguinte forma:
lim
x→5
x2 − 25
x− 5 = limx→5
(x− 5)(x+ 5)
x− 5
= lim
x→5
(x+ 5) = 10. (P. L. 6)
�
Exemplo 21. Dada g(x) =
√
x− 2
x− 4 , determine limx→4 g(x) e, quando aplica´vel,
indique as propriedades de limite usadas.
Soluc¸a˜o:
A Propriedade de Limite 5 na˜o pode ser aplicada ao quociente
√
x− 2
x− 4 ,
pois lim
x→4
(x−4) = 0. Para simplificar o quociente, racionalizamos o numerador
multiplicando o numerador e o denominador por
√
x+ 2, como segue
√
x− 2
x− 4 =
(
√
x− 2)(√x+ 2)
(x− 4)(√x+ 2) =
x− 4
(x− 4)(√x+ 2) .
Como estamos calculando o limite da func¸a˜o para x tendendo a 4, estamos
considerando valores de x pro´ximos de 4, mas na˜o iguais a 4. Logo, podemos
dividir o numerador e o denominador por x− 4. Portanto,
√
x− 2
x− 4 =
1√
x+ 2
, se x 6= 4.
A soluc¸a˜o e´ a seguinte:
lim
x→4
√
x− 2
x− 4 = limx→4
(
√
x− 2)(√x+ 2)
(x− 4)(√x+ 2) = limx→4
x− 4
(x− 4)(√x+ 2)
= lim
x→4
1√
x+ 2
=
lim
x→4
1
lim
x→4
(
√
x+ 2)
(P. L. 5)
Apostila Limites e Continuidade 36
Ca´lculo Diferencial e Integral I
=
1
lim
x→4
√
x+ lim
x→4
2
(P. L. 7 e 1)
=
1√
lim
x→4
x+ 2
(P. L. 12 e 7)
=
1√
4 + 2
(P. L. 8)
=
1
4
.
�
Exemplo 22. Calcule lim
h→0
(3 + h)2 − 9
h
.
Soluc¸a˜o:
Se definirmos F (h) = (3+h)
2−9
h
, na˜o podemos calcular lim
h→0
F (h) fazendo
h = 0, uma vez que F (0) na˜o esta´ definida. Mas, se simplificarmos algebri-
camente F (h), encontraremos que
F (h) =
(9 + 6h+ h2)− 9
h
=
6h+ h2
h
= 6 + h.
Lembre-se de que consideramos apenas h 6= 0 quando fazemos h tender a
0. Assim,
lim
h→0
(3 + h)2 − 9
h
= lim
h→0
(6 + h) = 6.
�
Exemplo 23. Encontre lim
t→0
√
t2 + 9− 3
t2
.
Soluc¸a˜o:
Na˜o podemos aplicar a Propriedade de Limite 5 de imediato, uma vez
que o limite do denominador e´ 0. Aqui as operac¸o˜es alge´bricas preliminares
consistem em racionalizar o numerador:
Apostila Limites e Continuidade 37
Ca´lculo Diferencial e Integral I
lim
t→0
√
t2 + 9− 3
t2
= lim
t→0
√
t2 + 9− 3
t2
.
√
t2 + 9 + 3√
t2 + 9 + 3
= lim
t→0
(t2 + 9)− 9
t2(
√
t2 + 9 + 3)
= lim
t→0
t2
t2(
√
t2 + 9 + 3)
= lim
t→0
1√
t2 + 9 + 3
=
1√
lim
t→0
(t2 + 9) + 3
=
1
3 + 3
=
1
6
.
�
Exemplo 24. Se
f(x) =
{ √
x− 4 se x > 4
8− 2x se x < 4 ,
determine se lim
x→4
f(x) existe.
Soluc¸a˜o:
Uma vez que f(x) =
√
x− 4 para x > 4, temos
lim
x→4+
f(x) = lim
x→4+
√
x− 4 = √4− 4 = 0.
Para x < 4 e f(x) = 8− 2x,
lim
x→4−
f(x) = lim
x→4−
(8− 2x) = 8− 2.4 = 0.
Os limites laterais (a` direita e a` esquerda) sa˜o iguais. Dessa forma o
limite existe e
lim
x→4
f(x) = 0.
�
Exemplo 25. Resolva lim
x→1
x2 + x− 2
x2 − x .
Soluc¸a˜o:
Na˜o podemos substituir x = 1 porque isso resulta em um denominador
zero. Tambe´m testamos o numerador e conclu´ımos que este tambe´m e´ zero
Apostila Limites e Continuidade 38
Ca´lculo Diferencial e Integral I
em x = 1. Portanto o numerador e o denominador apresentam o fator (x−1)
em comum. Cancelar o (x− 1) resulta em uma frac¸a˜o mais simples, com os
mesmos valores da original para x 6= 1:
x2+ x− 2
x2 − x =
(x− 1)(x+ 2)
x(x− 1) =
x+ 2
x
se x 6= 1.
Usando a frac¸a˜o simplificada, obtemos o limite desses valores quando
x→ 1 por substituic¸a˜o:
lim
x→1
x2 + x− 2
x2 − x = limx→1
x+ 2
x
=
1 + 2
1
= 3.
�
Os pro´ximos dois Teoremas da˜o duas propriedades adicionais de limites.
Suas provas podem ser encontradas em livros de Ca´lculo.
Teorema 2. Se f(x) ≤ g(x) quando x esta´ pro´ximo de a (exceto possi-
velmente em a) e os limites de f e g existem quando x tende a a, enta˜o
lim
x→a
f(x) ≤ lim
x→a
g(x).
Teorema 3. (Teorema do Confronto) Se f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) quando x
esta´ pro´ximo de a (exceto possivelmente em a) e
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
h(x) = L,
enta˜o
lim
x→a
g(x) = L.
O Teorema do Confronto, algumas vezes chamado Teorema do Sandu´ıche
ou Teorema da Espremedura, diz que se g(x) ficar espremido entre f(x) e
h(x) nas proximidades de a, e se f e h tiverem o mesmo limite L em a, enta˜o
g sera´ forc¸ado a ter o mesmo limite L em a.
Apostila Limites e Continuidade 39
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 26. Mostre que lim
x→0
x2 sen
(
1
x
)
= 0.
Soluc¸a˜o:
Note primeiro que na˜o podemos usar
lim
x→0
x2 sen
(
1
x
)
= lim
x→0
x2 . lim
x→0
sen
(
1
x
)
,
porque lim
x→0
sen
(
1
x
)
na˜o existe. Pore´m, como
−1 ≤ sen
(
1
x
)
≤ 1,
e multiplicando as treˆs func¸o˜es por x2, vamos ter que
−x2 ≤ x2 sen 1
x
≤ x2.
Sabemos que
lim
x→0
(−x2) = 0 e lim
x→0
x2 = 0.
Tomando-se o Teorema do Confronto: f(x) = −x2, g(x) = x2 sen
(
1
x
)
e
h(x) = x2 obte´m-se
lim
x→0
x2 sen
(
1
x
)
= 0.
�
Apostila Limites e Continuidade 40
Ca´lculo Diferencial e Integral I
1.4.1 Exerc´ıcios
1. Ache o limite e, quando aplica´vel, indique os teoremas de limite usados.
(a) lim
x→5
(3x− 7).
(b) lim
x→2
(x2 + 2x− 1).
(c) lim
z→−2
(z3 + 8).
(d) lim
x→3
4x− 5
5x− 1 .
(e) lim
t→2
t2 − 5
2t3 + 6
.
(f) lim
r→1
√
8r + 1
r + 3
.
(g) lim
x→4
3
√
x2 − 3x+ 4
2x2 − x− 1 .
(h) lim
x→1
√
x− 1
x− 1 .
(i) lim
x→− 1
3
9x2 − 1
3x+ 1
.
(j) lim
x→3
√
x−√3
x− 3 .
(k) lim
x→3
3
√
x− 3√3
x− 3 .
(l) lim
x→1
√
x− 1√
2x− 3−√5 .
(m) lim
x→7
x2 − 49
x− 7 .
(n) lim
x→− 3
2
4x2 − 9
2x+ 3
.
(o) lim
s→4
3s2 − 8s− 16
2s2 − 9s+ 4 .
Apostila Limites e Continuidade 41
Ca´lculo Diferencial e Integral I
(p) lim
y→−2
y3 + 8
y + 2
.
(q) lim
y→−3
√
y2 − 9
2y2 + 7y + 3
.
(r) lim
x→0
√
x+ 2−√2
x
.
(s) lim
h→0
3
√
h+ 1− 1
h
.
(t) lim
x→−1
2x2 − x− 3
x3 + 2x2 + 6x+ 5
.
(u) lim
y→4
2y3 − 11y2 + 10y + 8
3y3 − 17y2 + 16y + 16 .
(v) lim
x→3
2x3 − 5x2 − 2x− 3
4x3 − 13x2 + 4x− 3 .
(w) lim
x→2
|x− 2|
x− 2 .
(x) lim
x→1,5
2x2 − 3x
|2x− 3| .
(y) lim
x→0+
(
1
x
− 1|x|
)
.
(z) lim
x→0−
(
1
x
− 1|x|
)
.
2. Calcule lim
x→p
f(x)− f(p)
x− p , onde f(x) =
1
x
.
3. Calcule lim
x→p
g(x)− g(p)
x− p , onde g(x) =
1
x2
.
4. Calcule lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
, onde f(x) = x2 − 3x.
Apostila Limites e Continuidade 42
Ca´lculo Diferencial e Integral I
1.5 Limites Infinitos
Discutiremos aqui func¸o˜es cujos valores aumentam ou diminuem sem li-
mitac¸a˜o, quando a varia´vel independente aproxima-se cada vez mais de um
nu´mero fixo. Primeiro consideraremos a func¸a˜o definida por
f(x) =
3
(x− 2)2 .
O domı´nio de f e´ o conjunto de todos os nu´meros reais exceto 2 e a
imagem e´ o conjunto de todos os nu´meros positivos. Vamos analisar os
valores funcionais de f quando x esta´ pro´ximo de 2. Fac¸amos x aproximar-
se de 2 pela direita, conforme mostrado na Tabela 9.
Tabela 9: Valores de f(x).
x f(x) = 3
(x−2)2
3 3
2,5 12
2,25 48
2,1 300
2,01 30000
2,001 3000000
Da Tabela 9, percebe-se intuitivamente que a` medida que x se aproxima
de 2 por valores maiores do que 2, f(x) cresce indefinidamente. Em outras
palavras, podemos tornar f(x) maior do que qualquer nu´mero positivo prefi-
xado (isto e´, f(x) pode se tornar ta˜o grande quanto desejarmos) para todos
os valores de x suficientemente pro´ximos de 2 e x maior do que 2.
Para indicar que f(x) cresce indefinidamente quando x tende a 2 por
valores maiores do que 2, escrevemos
lim
x→2+
3
(x− 2)2 = +∞.
Fac¸amos agora x aproximar-se de 2 pela esquerda, conforme mostrado na
Tabela 10.
Percebe-se intuitivamente na Tabela 10, que a` medida que x aproxima-se
de 2 por valores menores do que 2, f(x) cresce sem limites e escrevemos
lim
x→2−
3
(x− 2)2 = +∞.
Apostila Limites e Continuidade 43
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Tabela 10: Valores de f(x).
x f(x) = 3
(x−2)2
1 3
1,5 12
1,75 48
1,9 300
1,99 30000
1,999 3000000
Dos dados apresentados nas Tabelas 9 e 10 obtemos o esboc¸o do gra´fico de
f mostrado na Figura 22. Observe que ambos os “ramos”da curva aproximam-
se da reta pontilhada x = 2, quando x cresce indefinidamente. Essa reta
pontilhada e´ chamada de ass´ıntota vertical 2.
Figura 22: Esboc¸o do gra´fico de acordo com as Tabelas 9 e 10.
2ver Definic¸a˜o 6, pa´gina 49.
Apostila Limites e Continuidade 44
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 27. Encontre, se existir, o lim
x→0
(
1
x2
)
.
Soluc¸a˜o:
A` medida que x se aproxima de 0, x2 tambe´m se aproxima de 0, e 1
x2
fica muito grande (ver Tabela 11). De fato, a partir do gra´fico da Figura
23, parece que a func¸a˜o f(x) = 1
x2
pode se tornar arbitrariamente grande ao
tomarmos os valores de x suficientemente pro´ximos de 0. Assim, os valores
de f(x) na˜o tendem a um nu´mero, e na˜o existe lim
x→0
1
x2
.
Tabela 11: Valores de f(x), Exemplo 27.
x f(x) = 1
x2
±1 1
±0,5 4
±0,2 25
±0,1 100
±0,05 400
±0,01 10000
±0,001 1000000
Figura 23: Exemplo 27.
Para indicar tal comportamento, exibido no Exemplo 27, usa-se a notac¸a˜o
lim
x→0
1
x2
=∞.
Apostila Limites e Continuidade 45
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Observac¸a˜o: Isso na˜o significa que consideramos ∞ como um nu´mero.
Tampouco significa que o limite exista. E´ simplesmente uma maneira de
expressar uma forma particular da na˜o-existeˆncia do limite; 1
x2
pode assumir
valores ta˜o grandes quando quisermos, bastando para isso escolhermos valores
de x suficientemente pro´ximos de 0. �
Em geral, simbolicamente, escrevemos
lim
x→a
f(x) =∞,
para indicar que os valores de f(x) tendem a se tornar cada vez maiores (ou
“a crescer ilimitadamente”), a` medida que x se tornar cada vez mais pro´ximo
de a.
Definic¸a˜o 4. Seja f uma func¸a˜o definida em ambos os lados de a, exceto
possivelmente em a. Enta˜o
lim
x→a
f(x) =∞,
significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente
grandes (ta˜o grandes quanto quisermos) tomando x suficientemente
pro´ximo de a, mas na˜o igual a a.
A expressa˜o lim
x→a
f(x) =∞ normalmente e´ lida como:
“ o limite de f(x), quando x tende a a, e´ infinito”;
“ f(x) torna-se infinita quando x tende a a”;
“f(x) cresce ilimitadamente quando x tende a a”.
Lembrando novamente, que o s´ımbolo ∞ na˜o e´ um nu´mero.
Definic¸a˜o 5. Seja f uma func¸a˜o definida em ambos os lados de a, exceto
possivelmente em a. Enta˜o
lim
x→a
f(x) = −∞,
significa que os valores de f(x) podem ser arbitrariamente grandes, pore´m
negativos, ao tomarmos valores de x suficientemente pro´ximos de a, mas
na˜o iguais a a.
A expressa˜o lim
x→a
f(x) = −∞ pode ser lida das seguintes formas:
Apostila Limites e Continuidade 46
Ca´lculo Diferencial e Integral I
“ o limite de f(x) e´ menos infinito quando x tende a a”;
“f(x) decresce ilimitadamente quando x tende a a”.
Por exemplo, temoslim
x→0
(
− 1
x2
)
= −∞.
Definic¸o˜es similares podem ser dadas no caso de limites laterais
lim
x→a−
f(x) = ∞,
lim
x→a−
f(x) = −∞,
lim
x→a+
f(x) = ∞,
lim
x→a+
f(x) = −∞,
lembrando que “x→ a−”significa considerar somente os valores de x menores
que a, ao passo que “x→ a+”significa considerar somente valores de x > a.
Teorema 4. Se r for um inteiro positivo qualquer, enta˜o
(i) lim
x→0+
1
xr
= +∞ a;
(ii) lim
x→0−
1
xr
= −∞ (se r for ı´mpar) ou +∞ (se r for par).
aver demonstrac¸a˜o na pa´g. 80, Livro : “O Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica”, 3a
edic¸a˜o, Louis Leithold.
Teorema 5. Se a for um nu´mero real qualquer e se lim
x→a
f(x) = 0 e
lim
x→a
g(x) = c, onde c e´ uma constante na˜o-nula, enta˜o
(i) se c > 0 e se f(x)→ 0 por valores positivos de f(x),
lim
x→a
g(x)
f(x)
= +∞;
(ii) se c > 0 e se f(x)→ 0 por valores negativos de f(x),
lim
x→a
g(x)
f(x)
= −∞;
Apostila Limites e Continuidade 47
Ca´lculo Diferencial e Integral I
(Continuac¸a˜o do Teorema 5)
(iii) se c < 0 e se f(x)→ 0 por valores positivos de f(x),
lim
x→a
g(x)
f(x)
= −∞;
(iv) se c < 0 e se f(x)→ 0 por valores negativos de f(x),
lim
x→a
g(x)
f(x)
= +∞.
O teorema tambe´m sera´ va´lido se “x→ a”for substitu´ıdo por “x→ a+”ou
“x→ a−”.
Teorema 6.
(i) se lim
x→a
f(x) = +∞ e lim
x→a
g(x) = c, onde c e´ uma constante qualquer,
enta˜o
lim
x→a
[f(x) + g(x)] = +∞;
(ii) se lim
x→a
f(x) = −∞ e lim
x→a
g(x) = c, onde c e´ uma constante qualquer,
enta˜o
lim
x→a
[f(x) + g(x)] = −∞.
O teorema continua va´lido se “x → a”for substitu´ıdo por “x → a+”ou
“x→ a−”.
Teorema 7. Se lim
x→a
f(x) = +∞ e lim
x→a
g(x) = c, onde c e´ uma constante
na˜o-nula, enta˜o
(i) se c > 0, lim
x→a
f(x).g(x) = +∞;
(ii) se c < 0, lim
x→a
f(x).g(x) = −∞.
O teorema continua va´lido se “x → a”for substitu´ıdo por “x → a+”ou
“x→ a−”.
Apostila Limites e Continuidade 48
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Teorema 8. Se lim
x→a
f(x) = −∞ e lim
x→a
g(x) = c, onde c e´ uma constante
na˜o-nula, enta˜o
(i) se c > 0, lim
x→a
f(x).g(x) = −∞;
(ii) se c < 0, lim
x→a
f(x).g(x) = +∞.
O teorema permanecera´ va´lido se “x→ a”for substitu´ıdo por “x→ a+”ou
“x→ a−”.
Definic¸a˜o 6. A reta x = a e´ chamada de ass´ıntota vertical da curva
y = f(x) se pelo menos uma das seguintes condic¸o˜es estiver satisfeita:
lim
x→a
f(x) = ∞,
lim
x→a
f(x) = −∞,
lim
x→a−
f(x) = ∞,
lim
x→a−
f(x) = −∞,
lim
x→a+
f(x) = ∞,
lim
x→a+
f(x) = −∞.
Exemplo 28. Encontre lim
x→3+
2x
x− 3 e limx→3−
2x
x− 3.
Soluc¸a˜o:
Se x esta´ pro´ximo a 3 mas e´ maior que 3, enta˜o o denominador x − 3 e´
um nu´mero positivo pequeno e 2x esta´ pro´ximo a 6. Portanto o quociente
2x/(x− 3) e´ um nu´mero positivo grande. Enta˜o, intuitivamente, vemos que
lim
x→3+
2x
x− 3 =∞.
Analogamente, se x esta´ pro´ximo a 3 mas e´ menor que 3, enta˜o x − 3 e´
um nu´mero negativo pequeno, mas 2x ainda e´ um nu´mero positivo (pro´ximo
a 6). Portanto, 2x/(x − 3) e´ um nu´mero negativo numericamente grande.
Enta˜o
lim
x→3−
2x
x− 3 = −∞.
O gra´fico da curva y = 2x/(x− 3) esta´ dado na Figura 24. A reta x = 3
e´ uma ass´ıntota vertical.
�
Apostila Limites e Continuidade 49
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Figura 24: Exemplo 28.
Exemplo 29. Ache lim
x→3+
x2 + x+ 2
x2 − 2x− 3.
Soluc¸a˜o:
lim
x→3+
x2 + x+ 2
x2 − 2x− 3 = limx→3+
x2 + x+ 2
(x− 3)(x+ 1) .
O limite do numerador e´ 14, o que pode ser facilmente verificado.
lim
x→3+
(x− 3)(x+ 1) = lim
x→3+
(x− 3) . lim
x→3+
(x+ 1)
= 0.4 = 0.
O limite do denominador e´ 0 e ele esta´ tendendo a 0 por valores positivos.
Enta˜o, do Teorema de Limite 5 (i),
lim
x→3+
x2 + x+ 2
x2 − 2x− 3 = +∞.
�
Apostila Limites e Continuidade 50
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 30. Ache lim
x→3−
x2 + x+ 2
x2 − 2x− 3.
Soluc¸a˜o:
lim
x→3−
x2 + x+ 2
x2 − 2x− 3 = limx→3−
x2 + x+ 2
(x− 3)(x+ 1) .
O limite do numerador e´ 14.
lim
x→3−
(x− 3)(x+ 1) = lim
x→3−
(x− 3) . lim
x→3−
(x+ 1)
= 0.4 = 0.
Nesse caso, o limite do denominador e´ 0, mas ele esta´ tendendo a 0 por
valores negativos. Do Teorema de Limite 5 (ii),
lim
x→3−
x2 + x+ 2
x2 − 2x− 3 = −∞.
�
Exemplo 31. Ache lim
x→2+
√
x2 − 4
x− 2 .
Soluc¸a˜o:
Como x→ 2+, x− 2 > 0; enta˜o x− 2 = √(x− 2)2. Logo,
lim
x→2+
√
x2 − 4
x− 2 = limx→2+
√
(x− 2)(x+ 2)√
(x− 2)2
= lim
x→2+
√
x− 2√x+ 2√
x− 2√x− 2 = limx→2+
√
x+ 2√
x− 2 .
O limite do numerador e´ 2. O limite do denominador e´ 0 e ele esta´
tendendo a 0 por valores positivos. Logo, do Teorema de Limite 5 (i), segue
que
lim
x→2+
√
x2 − 4
x− 2 = +∞.
�
Apostila Limites e Continuidade 51
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 32. Ache lim
x→2−
√
4− x2
x− 2 .
Soluc¸a˜o:
Como x→ 2−, x− 2 < 0; enta˜o x− 2 = −√(x− 2)2. Logo,
lim
x→2−
√
4− x2
x− 2 = limx→2−
√
(2− x)(2 + x)√
(2− x)2
= lim
x→2−
√
2− x√2 + x
−√2− x√2− x
= lim
x→2−
√
2 + x
−√2− x.
O limite do numerador e´ 2. O limite do denominador e´ 0 e ele esta´
tendendo a 0 por valores negativos. Logo, do Teorema de Limite 5 (ii),
segue que
lim
x→2−
√
4− x2
x− 2 = −∞.
�
Exemplo 33. Encontre as ass´ıntotas verticais de f(x) = tan x.
Soluc¸a˜o:
Como
tanx =
senx
cosx
,
existem ass´ıntotas verticais potenciais em que cosx = 0. De fato, como
cosx→ 0+ quando x→ (pi
2
)− e cosx→ 0− quando x→ (pi
2
)+, considerando
que sen x e´ positivo quando x esta´ pro´ximo de pi
2
, temos
lim
x→(pi
2
)−
tanx =∞ e lim
x→(pi
2
)+
tanx = −∞.
Isso mostra que a reta x = pi
2
e´ uma ass´ıntota vertical. Um racioc´ınio
ana´logo mostra que as retas x = (2n+ 1)(pi
2
), onde n e´ um inteiro, sa˜o todas
ass´ıntotas verticais de f(x) = tan x. O gra´fico da Figura 25 confirma isso.
�
Apostila Limites e Continuidade 52
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Figura 25: Exemplo 33.
Outro exemplo de uma func¸a˜o cujo gra´fico tem uma ass´ıntota vertical e´
a func¸a˜o logaritmo natural y = lnx. Da Figura 26 vemos que
lim
x→0+
lnx = −∞,
e assim a reta x = 0 (o eixo y) e´ uma ass´ıntota vertical. Na realidade, isso e´
va´lido para y = loga x desde que a > 1.
Figura 26: Gra´fico da func¸a˜o y=ln(x).
Apostila Limites e Continuidade 53
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 34. Ache a ass´ıntota vertical e fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o
definida f(x) =
3
x− 3 .
Soluc¸a˜o:
lim
x→3+
3
x− 3 = +∞ e limx→3−
3
x− 3 = −∞.
Logo, a reta x = 3 e´ uma ass´ıntota vertical do gra´fico de f , cujo esboc¸o
esta´ na Figura 27.
Figura 27: Exemplo 34.
�
Apostila Limites e Continuidade 54
Ca´lculo Diferencial e Integral I
1.5.1 Exerc´ıcios
1. Ache o limite.
(a) lim
x→3+
5
3− x.
(b) lim
x→3−
4
x− 3 .
(c) lim
x→ 1
2
+
4
2x− 1 .
(d) lim
x→0+
3
x2 − x.
(e) lim
t→2+
t+ 2
t2 − 4 .
(f) lim
t→2−
−t+ 2
(t− 2)2 .
(g) lim
x→2−
t+ 2
t2 − 4 .
(h) lim
x→0+
√
3 + x2
x
.
(i) lim
x→0−
√
3 + x2
x
.
(j) lim
x→0
√
3 + x2
x
.
(k) lim
x→3+
√
x2 − 9
x− 3 .
(l) lim
x→4−
√
16− x2
x− 4 .
(m) lim
x→0+
(
1
x
− 1
x2
)
.
(n) lim
x→0+
x2 − 3
x3 + x2
.
(o) lim
x→0−
2− 4x3
5x2 + 3x3
.
Apostila Limites e Continuidade 55
Ca´lculo Diferencial e Integral I
(p) lim
x→0+
senx
x3 − x2 .
(q) lim
s→2−
(
1
s− 2 −
3
s2 − 4
)
.
(r) lim
t→−4−
(
2
t2 + 3t− 4 −
3
t+ 4
)
.
(s) lim
x→1−
2x3 − 5x2
x2 − 1 .
(t) lim
x→3−
x3 + 9x2 + 20x
x2 + x− 12 .
(u) lim
x→1+
x− 1√2x− x2 − 1 .
2. Ache a(s) ass´ıntota(s) vertical(is) do gra´fico da func¸a˜o e fac¸a um esboc¸o
dele.
(a) f(x) =
2
x− 4 .
(b) f(x) =
3
x+ 1
.
(c) f(x) =
−2
x+ 3
.
(d) f(x) =
−4
x− 5 .
(e) f(x) =
−2
(x+ 3)2
.
(f) f(x) =
4
(x− 5)2 .
(g) f(x) =
5
x2 + 8x+ 15
.
(h) f(x) =
1
x2 + 5x− 6 .
Apostila Limites e Continuidade 56
Ca´lculo Diferencial e Integral I
1.6 Limites no Infinito
Nesta sec¸a˜o vamos considerar limites de func¸o˜es, quando a varia´vel inde-
pendente cresce ou diminui indefinidamente. Comec¸aremos com a func¸a˜o
definida por
f(x) =
2x2
x2 + 1
.
Atribu´ımos a x os valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 10, 100, 1000 e assim por diante,
permitindo que aumente indefinidamente. Os valores funcionais correspon-
dentes, exatos ou aproximados, sa˜o dados na Tabela 12. Observe que quando
x cresce, tomando valores positivos, os valores funcionais aproximam-se de
2.
Tabela 12: Valores de f(x).
x f(x) =
2x2
x2 + 1
0 0
1 1
2 1,6
3 1,8
4 1,882353
5 1,923077
10 1,980198
100 1,999800
1000 1,999998
Em particular, quando x = 4,
2− 2x
2
x2 + 1
= 2− 1, 882353 = 0, 117647.
Logo, a diferenc¸a entre 2 e f(x) e´ 0,117647, quando x = 4. Para x = 100,
2− 2x
2
x2 + 1
= 2− 1, 999800 = 0, 000200.
Assim, a diferenc¸a entre 2 e f(x) e´ 0,000200, quando x = 100.
Continuando, vemos intuitivamente que o valor de f(x) pode ser obtido
ta˜o pro´ximo de 2 quanto desejarmos, escolhendo x suficientemente grande.
Em outras palavras, podemos obter uma diferenc¸a entre 2 e f(x) ta˜o pequena
Apostila Limites e Continuidade 57
Ca´lculo Diferencial e Integral I
quanto desejarmos escolhendo x como qualquer nu´mero maior do que algum
nu´mero positivo suficientemente grande.
Quando uma varia´vel independente x for crescente indefinidamente, atra-
ve´s de valores positivos, escrevemos “x → +∞”. Do exemplo acima, enta˜o,
podemos dizer que
lim
x→+∞
2x2
x2 + 1
= 2.
Definic¸a˜o 7. Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo (a, +∞) o
limite de f(x) quando x cresce indefinidamente, e´ L, escrito como
lim
x→+∞
f(x) = L.
Nota: Quando escrevemos x → +∞, isto na˜o tem o mesmo significado
que, por exemplo, x → 100. O s´ımbolo x → +∞ indica o comportamento
da varia´vel x tal como definido acima.
Vamos considerar a mesma func¸a˜o e atribuir a x os valores 0, -1, -2, -3, -4,
-5, -10, -100, -1000, e assim por diante, permitindo que x decresc¸a atrave´s de
valores negativos indefinidamente. A Tabela 13 da´ os valores correspondentes
de f(x).
Tabela 13: Valores de f(x).
x f(x) =
2x2
x2 + 1
0 0
-1 1
-2 1,6
-3 1,8
-4 1,882353
-5 1,923077
-10 1,980198
-100 1,999800
-1000 1,999998
Observe que os valores funcionais para os nu´meros negativos sa˜o os mes-
mos que aqueles para os nu´meros positivos correspondentes. Assim, vemos in-
tuitivamente que quando x decresce indefinidamente, f(x) tende a 2. Usando
Apostila Limites e Continuidade 58
Ca´lculo Diferencial e Integral I
o s´ımbolo x→ −∞ para mostrar que a varia´vel x decresce indefinidamente,
escrevemos
lim
x→−∞
2x2
x2 + 1
= 2.
A Figura 28 mostra um esboc¸o do gra´fico de nossa func¸a˜o. A reta x = 2
aparece como uma linha pontilhada, chamada ass´ıntota horizontal 3.
Figura 28: Gra´fico da func¸a˜o f(x) = 2x
2
x2+1
.
Definic¸a˜o 8. Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo (−∞, a) o
limite de f(x) quando x decresce indefinidamente, e´ L, escrito
como
lim
x→−∞
f(x) = L.
Nota: O x→ −∞ indica somente o comportamento da varia´vel x.
As Propriedades de Limite vistas anteriormente permanecem inalteradas
quando substitu´ımos “x → a”por “x → +∞”ou “x → −∞”. Temos ainda
os teoremas adicionais enunciados a seguir:
3ver Definic¸a˜o 10, pa´gina 64.
Apostila Limites e Continuidade 59
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Teorema 9. Se r for um inteiro positivo qualquer, enta˜o
(i) lim
x→+∞
1
xr
= 0; a
(ii) lim
x→−∞
1
xr
= 0.
aver demonstrac¸a˜o na pa´gina 90, Livro :“O Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica”, 3a
edic¸a˜o, Louis Leithold.
Exemplo 35. Ache lim
x→+∞
4x− 3
2x+ 5
.
Soluc¸a˜o:
Primeiramente, vamos dividir o numerador e o denominador por x, ob-
tendo
lim
x→+∞
4x− 3
2x+ 5
= lim
x→+∞
4− 3
x
2 + 5
x
=
lim
x→+∞
4− lim
x→+∞
3 . lim
x→+∞
1
x
lim
x→+∞
2 + lim
x→+∞
5 . lim
x→+∞
1
x
=
4− 3.0
2 + 5.0
= 2.
�
Exemplo 36. Ache lim
x→−∞
2x2 − x+ 5
4x3 − 1 .
Soluc¸a˜o:
Neste exemplo, dividimos o numerador e o denominador pela maior poteˆn-
cia de x que ocorre neles ; neste caso, x3.
Apostila Limites e Continuidade 60
Ca´lculo Diferencial e Integral I
lim
x→−∞
2x2 − x+ 5
4x3 − 1 = limx→−∞
2
x
− 1
x2
+ 5
x3
4− 1
x3
=
lim
x→−∞
2 . lim
x→−∞
1
x
− lim
x→−∞
1
x2
+ lim
x→−∞
5 . lim
x→−∞
1
x3
lim
x→−∞
4− lim
x→−∞
1
x3
=
2.0− 0 + 5.0
4− 0 = 0.
�
Exemplo 37. Ache lim
x→+∞
3x+ 4√
2x2 − 5.
Soluc¸a˜o:
Como a maior poteˆncia de x e´ 2 e ela aparece sob o radical, dividimos o
numerador e o denominador por
√
x2, que e´ |x|. Temos enta˜o,
lim
x→+∞
3x+ 4√
2x2 − 5 = limx→+∞
3x√
x2
+
4√
x2√
2x2 − 5√
x2
= lim
x→+∞
3x
|x| +
4
|x|√
2− 5
x2
.
Como x→ +∞, x > 0; enta˜o |x| = x. Assim temos
lim
x→+∞
3x+ 4√
2x2 − 5 = limx→+∞
3x
x
+
4
x√
2− 5
x2
=
lim
x→+∞
3 + lim
x→+∞
4 . lim
x→+∞
1
x√
lim
x→+∞
2− lim
x→+∞
5 . lim
x→+∞
1
x2
=
3 + 4.0√
2− 5.0 =
3√
2
. �
Apostila Limites e Continuidade 61
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 38. Ache lim
x→−∞
3x+ 4√
2x2 − 5.
Soluc¸a˜o:
A func¸a˜o e´ igual a do Exemplo 37. Novamente, comec¸amos por dividir o
numerador e o denominador por
√
x2 ou, equivalentemente, |x|.
lim
x→−∞
3x+ 4√
2x2 − 5 = limx→−∞
3x√
x2
+
4√
x2√
2x2 − 5√
x2
= lim
x→−∞
3x
|x| +
4
|x|√
2− 5
x2
.
Como x→ −∞, x < 0; enta˜o |x| = −x. Temos enta˜o,
lim
x→−∞
3x+ 4√
2x2 − 5 = limx→−∞
3x
−x +
4
−x√
2− 5
x2
=
lim
x→−∞
(−3)− lim
x→−∞
4 . lim
x→−∞
1
x√
lim
x→−∞
2− lim
x→−∞
5 . lim
x→−∞
1
x2
=
−3− 4.0√
2− 5.0 =
−3√
2
.
�
Definic¸a˜o 9. O limite “infinito”para valores da func¸a˜o quando a varia´vel
independente se aproxima do infinito tambe´m pode ser considerado por
meio das seguintes definic¸o˜es formais:
lim
x→+∞
f(x) = +∞,
lim
x→+∞
f(x) = −∞,
lim
x→−∞
f(x) = +∞,
lim
x→−∞
f(x) = −∞.
Apostila Limites e Continuidade 62
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 39. Ache lim
x→+∞
x2
x+ 1
.
Soluc¸a˜o:
Dividimos o numerador e o denominador por x2,
lim
x→+∞
x2
x+ 1
= lim
x→+∞
1
1
x
+
1
x2
.
Calculando o limite do denominador, temos
lim
x→+∞
(
1
x
+
1
x2
)
= lim
x→+∞
1
x
+ lim
x→+∞
1
x2
= 0 + 0 = 0.
Logo, o limite do denominador e´ 0, e ele tende a 0 por valores positivos.
O limite do numerador e´ 1. Sendo assim,
lim
x→+∞
x2
x+ 1
= +∞.
�
Exemplo 40. Ache lim
x→+∞
2x− x2
3x+ 5
.
Soluc¸a˜o: Dividimos o numerador e o denominador por x2,
lim
x→+∞
2x− x2
3x+ 5
= lim
x→+∞
2
x
− 1
3
x
+
5
x2
.
Os limites do numerador e do denominador sera˜o considerados separada-
mente.
lim
x→+∞
(
2
x
− 1
)
= lim
x→+∞
2
x
− lim
x→+∞
1
= 0− 1 = −1.
Apostila Limites e Continuidade 63
Ca´lculo Diferencial e Integral I
lim
x→+∞
(
3
x
+
5
x2
)
= lim
x→+∞
3
x
+ lim
x→+∞
5
x2
= 0 + 0 = 0.
Assim sendo, temos o limite de um quociente no qual o limite do nume-
rador e´ -1 e o limite do denominador e´ 0, onde o denominador esta´ tendendo
a zero por valores positivos. Logo,lim
x→+∞
2x− x2
3x+ 5
= −∞.
�
As ass´ıntotas horizontais de um gra´fico fornecem uma aplicac¸a˜o de limites
no infinito. Uma ass´ıntota horizontal e´ uma reta paralela ao eixo x.
Definic¸a˜o 10. A reta y = b e´ denominada uma ass´ıntota horizontal do
gra´fico da func¸a˜o f se pelo menos uma das seguintes afirmac¸o˜es for va´lida:
(i) lim
x→+∞
f(x) = b;
(ii) lim
x→−∞
f(x) = b.
Exemplo 41. Ache as ass´ıntotas horizontais e fac¸a um esboc¸o do gra´fico da
func¸a˜o definida por
f(x) =
x√
x2 + 1
.
Soluc¸a˜o:
Primeiro considere lim
x→+∞
f(x):
lim
x→+∞
f(x) = lim
x→+∞
x√
x2 + 1
.
Dividimos o numerador e o denominador por
√
x2 ou, equivalentemente,
por |x| e obtemos:
Apostila Limites e Continuidade 64
Ca´lculo Diferencial e Integral I
lim
x→+∞
x√
x2 + 1
= lim
x→+∞
x√
x2√
x2
x2
+
1
x2
= lim
x→+∞
x
|x|√
1 +
1
x2
.
Como x→ +∞, x > 0; logo |x| = x. Assim
lim
x→+∞
x√
x2 + 1
= lim
x→+∞
x
x√
1 +
1
x2
=
lim
x→+∞
1√
lim
x→+∞
1 + lim
x→+∞
1
x2
=
1√
1 + 0
= 1.
Logo, a reta y = 1 e´ uma ass´ıntota horizontal.
Considere agora lim
x→−∞
f(x). Novamente, dividimos o numerador e o de-
nominador por
√
x2, que e´ |x|; como x → −∞, x < 0 e assim |x| = −x.
Temos
lim
x→−∞
x√
x2 + 1
= lim
x→−∞
x
−x√
1 +
1
x2
=
lim
x→−∞
(−1)√
lim
x→−∞
1 + lim
x→−∞
1
x2
=
−1√
1 + 0
= −1.
Assim, a reta y = −1 e´ uma ass´ıntota horizontal. Um esboc¸o do gra´fico
esta´ na Figura 29.
�
Apostila Limites e Continuidade 65
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Figura 29: Exemplo 41.
Exemplo 42. Ache as ass´ıntotas vertical e horizontal e fac¸a um esboc¸o do
gra´fico da equac¸a˜o
xy2 − 2y2 − 4x = 0.
Soluc¸a˜o:
Resolvendo em y a equac¸a˜o dada, obtemos:
y = ±2
√
x
x− 2 .
Essa equac¸a˜o define duas func¸o˜es:
• y = f1(x), onde f1 e´ definida por f1(x) = 2
√
x
x− 2;
• y = f2(x), onde f2 e´ definida por f2(x) = −2
√
x
x− 2.
O gra´fico da equac¸a˜o dada e´ composto pelos gra´ficos de duas func¸o˜es,
f1 e f2. Os domı´nios das duas func¸o˜es consistem naqueles valores de x para
os quais x
x−2 ≥ 0. O domı´nio de f1 e f2 e´ (−∞, 0] ∪ (2,+∞).
Consideremos agora f1. Como
lim
x→2+
f1(x) = lim
x→2+
2
√
x
x− 2 = +∞,
a reta x = 2 e´ uma ass´ıntota vertical do gra´fico de f1.
Apostila Limites e Continuidade 66
Ca´lculo Diferencial e Integral I
lim
x→+∞
f1(x) = lim
x→+∞
2
√√√√ 1
1− 2
x
= 2.
Assim, a reta y = 2 e´ uma ass´ıntota horizontal do gra´fico de f1.
Do mesmo modo, lim
x→−∞
f1(x) = 2. Um esboc¸o do gra´fico de f1 esta´ na
Figura 30.
Figura 30: Exemplo 42.
lim
x→2+
f2(x) = lim
x→2+
[
−2
√
x
x− 2
]
= −∞.
Logo, a reta x = 2 e´ uma ass´ıntota vertical do gra´fico de f2.
lim
x→+∞
f2(x) = lim
x→+∞
−2√√√√ 1
1− 2
x
 = −2.
Assim, a reta y = −2 e´ uma ass´ıntota horizontal do gra´fico de f2.
Tambe´m lim
x→−∞
f2(x) = −2. Um esboc¸o do gra´fico de f2 esta´ na Figura
31.
O gra´fico da equac¸a˜o dada e´ a unia˜o dos gra´ficos f1 e f2 e um esboc¸o esta´
na Figura 32.
�
Apostila Limites e Continuidade 67
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Figura 31: Exemplo 42.
Figura 32: Exemplo 42.
Apostila Limites e Continuidade 68
Ca´lculo Diferencial e Integral I
1.6.1 Exerc´ıcios
1. Ache o limite.
(a) lim
x→+∞
√
x+ 1
x+ 3
.
(b) lim
x→+∞
x+
√
x+ 3
2x− 1 .
(c) lim
x→+∞
(2x−√x2 + 3).
(d) lim
x→+∞
(x−√3x3 + 2).
(e) lim
x→+∞
(x−√x2 + 3).
(f) lim
x→+∞
(x−√x+ 3).
(g) lim
x→+∞
(
√
x+
√
x−√x− 1).
(h) lim
x→+∞
(x− 3√2 + 3x3).
(i) lim
t→−∞
2t+ 1
5t− 2 .
(j) lim
x→−∞
2x+ 7
4− 5x.
(k) lim
x→+∞
7x2 − 2x+ 1
3x2 + 8x+ 5
.
(l) lim
x→+∞
x+ 4
3x2 − 5 .
(m) lim
y→+∞
2x2 − 3y
y + 1
.
(n) lim
x→−∞
4x3 + 2x2 − 5
8x3 + x+ 2
.
(o) lim
x→+∞
2y3 − 4
5y + 3
.
(p) lim
x→−∞
(
3x+
1
x2
)
.
Apostila Limites e Continuidade 69
Ca´lculo Diferencial e Integral I
(q) lim
x→+∞
√
x2 + 4
x+ 4
.
(r) lim
w→−∞
√
w2 − 2w + 3
w + 5
.
(s) lim
r→+∞
(
√
3r2 + r − 2r).
(t) lim
x→−∞
( 3
√
x3 + x− 3√x3 + 1).
2. Encontre as ass´ıntotas horizontal e vertical e trace um esboc¸o do gra´fico
da func¸a˜o.
(a) f(x) =
2x+ 1
x− 3 .
(b) f(x) =
4− 3x
x+ 1
.
(c) g(x) = 1− 1
x
.
(d) h(x) = 1 +
1
x2
.
(e) f(x) =
2√
x2 − 4 .
(f) F (x) =
−3x√
x2 + 3
.
(g) G(x) =
4x2
x2 − 9 .
(h) h(x) =
2x
6x2 + 11x− 10 .
(i) f(x) =
4x2√
x2 − 2 .
(j) f(x) =
x√
x2 − 9 .
3. Encontre as ass´ıntotas horizontal e vertical e fac¸a um esboc¸o do gra´fico
da equac¸a˜o.
(a) 3xy − 2x− 4y − 3 = 0.
(b) x2y2 − x2 + 4y2 = 0.
(c) (y2 − 1)(x− 3) = 6.
(d) x2y − 2x2 − y − 2 = 0.
(e) x2y + 4xy − x2 + x+ 4y − 6 = 0.
Apostila Limites e Continuidade 70
Ca´lculo Diferencial e Integral I
1.7 Definic¸a˜o Precisa de Limite
A definic¸a˜o intuitiva de limite, apresentada anteriormente, e´ inadequada
para alguns propo´sitos, pois as frases como “x esta´ pro´ximo de 2” e “f(x)
aproxima-se cada vez mais de L” sa˜o vagas. Para sermos capazes de provar
conclusivamente que
lim
x→0
(
x3 +
cos 5x
10.000
)
= 0, 0001 ou lim
x→0
senx
x
= 1,
devemos utilizar a definic¸a˜o precisa de limite.
Para motivar a definic¸a˜o precisa de limite, vamos considerar a func¸a˜o
f(x) =
{
2x− 1 se x 6= 3
6 se x = 3
.
Isso e´ intuitivamente claro quando x esta´ pro´ximo de 3, mas x 6= 3, enta˜o
f(x) esta´ pro´ximo de 5, e sendo assim, lim
x→3
f(x) = 5.
Para obter informac¸o˜es mais detalhadas sobre como f(x) varia quando x
esta´ pro´ximo de 3, fazemos a seguinte pergunta: Qua˜o pro´ximo de 3 devera´
estar x para que f(x) difira de 5 por menos que 0,1?
A distaˆncia de x a 3 e´ |x− 3|, e a distaˆncia de f(x) a 5 e´ |f(x)− 5|, logo,
nosso problema e´ encontrar um nu´mero δ tal que
|f(x)− 5| < 0, 1 se |x− 3| < δ mas x 6= 3.
Se |x − 3| > 0, enta˜o x 6= 3, portanto, uma formulac¸a˜o equivalente de
nosso problema e´ encontrar um nu´mero δ tal que
|f(x)− 5| < 0, 1 se 0 < |x− 3| < δ.
Note que se 0 < |x− 3| < (0, 1)/2 = 0, 05, enta˜o
|f(x)− 5| = |(2x− 1)− 5| = |2x− 6| = 2|x− 3| < 0, 1,
isto e´,
|f(x)− 5| < 0, 1 se 0 < |x− 3| < 0, 05.
Assim, uma resposta para o problema e´ dada por δ = 0, 05; isto e´, se x
estiver a uma distaˆncia de no ma´ximo 0,05 de 3, enta˜o f(x) estara´ a uma
distaˆncia de no ma´ximo 0,1 de 5.
Se mudarmos o nu´mero 0,1 em nosso problema para um nu´mero menor
0,01, enta˜o usando o mesmo me´todo achamos que f(x) diferira´ de 5 por
menos que 0,01, desde que x difira de 3 por menos que (0, 01)/2 = 0, 005:
|f(x)− 5| < 0, 01 se 0 < |x− 3| < 0, 005.
Apostila Limites e Continuidade 71
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Analogamente,
|f(x)− 5| < 0, 001 se 0 < |x− 3| < 0, 0005.
Os nu´meros 0,1, 0,01 e 0,001, anteriormente considerados, sa˜o chamados
erros de toleraˆncia (ou simplesmente toleraˆncia) que podemos admitir. Para
que o nu´mero 5 seja precisamente o limite de f(x), quando x tende a 3, de-
vemos na˜o apenas ser capazes de tornar a diferenc¸a entre f(x) e o 5 menor
que cada um desses treˆs nu´meros; devemos ser capazes de tornar a diferenc¸a
menor que qualquer nu´mero positivo. E, por analogia ao procedimento ado-
tado, no´s podemos. Se chamarmos ε (a letra grega e´psilon) a um nu´mero
positivo arbitra´rio, enta˜o encontramos, como anteriormente, que
|f(x)− 5| < ε se 0 < |x− 3| < δ = ε
2
. (1)
Esta e´ uma maneira precisa de dizer que f(x) esta´ pro´ximo de 5 quando x
esta´ pro´ximo de 3, pois (1) diz que podemos fazer os valores de f(x) dentro
de uma distaˆncia arbitra´ria ε de 5 tomando os valores de xdentro de uma
distaˆncia ε/2 de 3, mas x 6= 3.
Note que (1) pode ser reescrito como
5− ε < f(x) < 5 + ε sempre que 3− δ < x < 3 + δ (x 6= 3).
Tomando os valores de x (x 6= 3) para dentro do intervalo (3− δ, 3 + δ),
podemos obter os valores de f(x) dentro do intervalo (5− ε, 5 + ε).
Usando (1) como modelo, teˆm-se a seguinte definic¸a˜o precisa de limite:
Definic¸a˜o 11. Seja f uma func¸a˜o definida sobre algum intervalo aberto
que conte´m o nu´mero a, exceto possivelmente no pro´prio a. Enta˜o dizemos
que o limite de f(x) quando x tende a a e´ L, e escrevemos
lim
x→a
f(x) = L,
se para todo nu´mero ε > 0 ha´ um nu´mero correspondente δ > 0 tal que
|f(x)− L| < ε sempre que 0 < |x− a| < δ.
Outra maneira de escrever a u´ltima linha dessa definic¸a˜o e´
se 0 < |x− a| < δ enta˜o |f(x)− L| < ε.
Uma vez que |x − a| e´ a distaˆncia de x a a e |f(x) − L| e´ a distaˆncia
de f(x) a L, e como ε pode ser arbitrariamente pequeno, a definic¸a˜o de um
limite pode ser expressa em palavras da seguinte forma:
Apostila Limites e Continuidade 72
Ca´lculo Diferencial e Integral I
lim
x→a
f(x) = L significa que a distaˆncia entre f(x) e L pode ser
arbitrariamente pequena tomando-se a distaˆncia de x a a sufici-
entemente pequena (mas na˜o 0).
Alternativamente,
lim
x→a
f(x) = L significa que os valores de f(x) podem ser tornados
ta˜o pro´ximos de L quanto desejarmos tomando-se x suficiente-
mente pro´ximo de a (mas na˜o igual a a).
Podemos tambe´m reformular a Definic¸a˜o 11 em termos de intervalos ob-
servando que a desigualdade |x − a| < δ e´ equivalente a −δ < x − a < δ,
que pode ser escrita como a − δ < x < a + δ. Tambe´m 0 < |x − a| e´ va´lida
se e somente se x − a 6= 0, isto e´ x 6= a. Analogamente, a desigualdade
|f(x)− L| < ε e´ equivalente ao par de desigualdades L− ε < f(x) < L + ε.
Portanto, em termos de intervalos, a Definic¸a˜o 11 pode ser enunciada como
a seguir:
lim
x→a
f(x) = L significa que para todo ε > 0 (na˜o importa qua˜o
pequeno for ε) podemos achar δ > 0 tal que, se x estiver no
intervalo aberto (a − δ, a + δ) e x 6= a, enta˜o f(x) estara´ no
intervalo aberto (L− ε, L+ ε).
Exemplo 43. Use um gra´fico para achar um nu´mero δ tal que
|(x3 − 5x+ 6)− 2| < 0, 2 sempre que |x− 1| < δ.
Em outras palavras, encontre um numero δ que corresponda a ε = 0, 2 na
definic¸a˜o de limite de uma func¸a˜o f(x) = x3 − 5x+ 6 com a = 1 e L = 2.
Soluc¸a˜o:
Um gra´fico de f e´ mostrado na Figura 33, e estamos interessados na regia˜o
pro´xima do ponto (1, 2). Note que podemos reescrever a desigualdade
|(x3 − 5x+ 6)− 2| < 0, 2
como
1, 8 < x3 − 5x+ 6 < 2, 2.
Apostila Limites e Continuidade 73
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Figura 33: Exemplo 43.
Assim, precisamos determinar os valores de x para os quais a curva y =
x3 − 5x + 6 esta´ entre as retas horizontais y = 1, 8 e y = 2, 2. Portanto,
vamos fazer o gra´fico das curvas y = x3− 5x+ 6, y = 1, 8 e y = 2, 2 pro´ximo
do ponto (1, 2). Pode-se enta˜o estimar que a coordenada x do ponto de
intersec¸a˜o da reta y = 2, 2 com a curva y = x3 − 5x + 6 esta´ em torno de
0, 911. Analogamente, y = x3 − 5x + 6 intersecta a reta y = 1, 8 quando
x ≈ 1, 124. Logo, arredondando-se, por seguranc¸a, pode-se afirmar que
1, 8 < x3 − 5x+ 6 < 2, 2 sempre que 0, 92 < x < 1, 12.
Esse intervalo (0, 92; 1, 12) na˜o e´ sime´trico em torno de x = 1. A distaˆncia
de x = 1 ate´ o ponto extremo a` esquerda e´ 1 − 0, 92 = 0, 08, e a distaˆncia
ate´ o ponto extremo direito e´ 0, 12. Podemos escolher δ como o menor desses
nu´meros, isto e´, δ = 0, 08. Enta˜o podemos reescrever nossas desigualdades
em termos de distaˆncias da seguinte forma:
|(x3 − 5x+ 6)− 2| < 0, 2 sempre que |x− 1| < 0, 08.
Isso somente nos diz que, mantendo x dentro de uma distaˆncia de 0, 08 de 1,
somos capazes de obter f(x) dentro de uma distaˆncia de 0, 2 de 2.
Embora tenhamos escolhido δ = 0, 08, qualquer valor menor positivo de
δ poderia tambe´m ter funcionado.
O procedimento gra´fico do Exemplo 43 da´ uma ilustrac¸a˜o da definic¸a˜o
para ε = 0, 2, mas na˜o prova que o limite e´ igual a 2. Uma prova deve
fornecer um δ para cada ε.
Ao provar as questo˜es sobre os limites, pode ser proveitoso imaginar a
definic¸a˜o de limite como um desafio. Primeiro ele o desafia com um nu´mero
Apostila Limites e Continuidade 74
Ca´lculo Diferencial e Integral I
ε. Enta˜o voceˆ deve ser capaz de obter um δ adequado. Voceˆ deve ser capaz
de fazer isso para todo ε > 0, e na˜o somente para um valor particular de ε.
�
Exemplo 44. Prove que lim
x→3
(4x− 5) = 7.
Soluc¸a˜o:
1. Uma ana´lise preliminar do problema (conjecturando um valor para δ).
Seja ε um nu´mero positivo dado. Devemos encontrar um nu´mero δ tal que
|(4x− 5)− 7| < ε sempre que 0 < |x− 3| < δ.
Mas |(4x−5)−7| = |4x−12| = |4(x−3)| = 4|x−3|. Portanto, queremos
4|x− 3| < ε sempre que 0 < |x− 3| < δ,
isto e´,
|x− 3| < ε
4
sempre que 0 < |x− 3| < δ.
Isso sugere que poder´ıamos escolher δ = ε/4.
2. Prova (mostrando que a escolha de δ funciona). Dado ε > 0, escolha
δ = ε/4. Se 0 < |x− 3| < δ, enta˜o
|(4x− 5)− 7| = |4x− 12| = 4|x− 3| < 4δ = 4
(ε
4
)
= ε.
Assim
|(4x− 5)− 7| < ε sempre que 0 < |x− 3| < δ.
Portanto, pela definic¸a˜o de limite
lim
x→3
(4x− 5) = 7.
Observe que na soluc¸a˜o do Exemplo 44 havia dois esta´gios - conjecturando
e provando. Fizemos uma ana´lise preliminar que nos capacitou conjecturar
uma valor para δ. Enta˜o em um segundo esta´gio tivemos que voltar e provar
cuidadosamente de forma lo´gica que fizemos uma conjectura correta. Por
vezes e´ necessa´rio primeiro fazer uma conjectura inteligente sobre a resposta
de um problema e enta˜o provar que a conjectura e´ correta.
�
Apostila Limites e Continuidade 75
Ca´lculo Diferencial e Integral I
As definic¸o˜es intuitivas de limites laterais, vistas anteriormente, podem
ser reformuladas precisamente da seguinte maneira:
Definic¸a˜o 12. Definic¸a˜o de Limite Esquerdo:
lim
x→a−
f(x) = L,
se para todo ε > 0 houver um nu´mero correspondente δ > 0 tal que
|f(x)− L| < ε sempre que a− δ < x < a.
Definic¸a˜o 13. Definic¸a˜o de Limite Direito:
lim
x→a+
f(x) = L,
se para todo ε > 0 houver um nu´mero correspondente δ > 0 tal que
|f(x)− L| < ε sempre que a < x < a+ δ.
Note que a Definic¸a˜o 12 e´ igual a` Definic¸a˜o 11, exceto que x esta´ restrito
a ficar na metade esquerda (a− δ, a) do intervalo (a− δ, a+ δ). Na Definic¸a˜o
13, x esta´ restrito a ficar na metade direita (a, a+δ) do intervalo (a−δ, a+δ).
Exemplo 45. Prove que lim
x→0−
√
x = 0.
Soluc¸a˜o:
1. Conjecturando um valor para δ. Seja ε um nu´mero positivo dado. Aqui
a = 0 e L = 0; logo, queremos encontrar um nu´mero δ tal que
|√x− 0| < ε sempre que 0 < x < δ,
isto e´, √
x < ε sempre que 0 < x < δ,
ou, elevando ao quadrado ambos os lados da desigualdade
√
x < ε, obtemos
x < ε2 sempre que 0 < x < δ.
Apostila Limites e Continuidade 76
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Isso sugere que devemos escolher δ = ε2.
2. Mostrando que esse δ funciona. Dado ε > 0, ou seja δ = ε2. Se 0 < x < δ,
enta˜o √
x <
√
δ =
√
ε2 = ε,
logo
|√x− 0| < ε.
Consequentemente isso mostra que lim
x→0−
√
x = 0. �
Exemplo 46. Prove que lim
x→3
x2 = 9.
Soluc¸a˜o:
1. Conjecturando um valor para δ. Dado ε > 0. Teremos que encontrar um
nu´mero δ > 0 tal que
|x2 − 9| < ε sempre que 0 < |x− 3| < δ.
Para conectar |x2− 9| com |x− 3| escrevemos |x2− 9| = |(x− 3)(x+ 3)|.
Nesse caso, queremos
|x− 3||x+ 3| < ε sempre que 0 < |x− 3| < δ.
Note que se pudermos encontrar uma constante positiva C tal que |x+3| <
C, enta˜o
|x− 3||x+ 3| < C|x− 3|,
e podemos fazer C|x− 3| < ε tomando |x− 3| < ε/C = δ.
Podemos achar esse nu´mero C se restringirmos x a algum intervalo cen-
trado em 3. De fato, uma vez que estamos interessados apenas em valores