Calculo II Coordenadas polares

Prévia do material em texto

COORDENADAS POLARES 
 
 
 No sistema de coordenadas polares, as coordenadas consistem de uma distância e da medida de um 
ângulo em relação a um ponto fixo e a uma semi-reta fixa. 
 
 A Figura a seguir ilustra um ponto P num sistema de coordenadas polares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O ponto fixo, denotado por O, é chamado pólo ou origem. 
 
 
 O ponto P fica bem determinado através do par ordenado (r,), onde r representa a distância entre a 
origem e o ponto P, e  representa a medida, em radianos do ângulo orientado AÔP. 
 
 
OBS: (i)  > 0  o ângulo AÔP está descrito no sentido anti-horário. 
 
 (ii)  < 0  o ângulo AÔP está descrito no sentido horário. 
 
 (iii) (0, ), , representa o pólo ou origem. 
 
 
As coordenadas polares (r,) estabelecem a posição do ponto P em relação a uma grade formada por 
círculos concêntricos com centro em O e semi-retas partindo de O: 
 
 
 
CÁLCULO II 
Coordenadas Polares 
Jonas Ricardo: jnsricardo@gmail.com 
 
 
CONVERSÃO DE COORDENADAS POLARES 
 
 y 
 
 x 
 
 Ás vezes pode ser necessário converter a representação cartesiana para a polar; ou vice-versa. Para 
visualizar isto, fazemos a origem do primeiro sistema coincidir com o pólo do segundo sistema, o eixo polar com o 
eixo positivo dos x e o raio para o qual 
2

=
com o eixo positivo y. 
 
 Supondo que P seja um ponto com coordenadas cartesianas (x, y) e coordenadas polares (r, ), vamos 
analisar o caso em que o ponto P está no primeiro quadrante. 
 
 
 Observemos que: 
 
 
1) r > 0  cos  = 
r
x
h
ca
=
 e sen  = 
r
y
h
co
=
 
  
(*)
sen.ry
cos.rx



=
= 
2) r < 0  cos  = 
r
x
r
x
h
ca
=
−
−
=
 e sen  = 
r
y
r
y
h
co
=
−
−
=
 
 Elevando (*) ao quadrado e somando ambos temos: 
 
 
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑟2 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2(𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃) = 𝑟2 
. 
 𝑟 = ±√𝑥2 + 𝑦2 
OBS : tg  = y / x   = arct (y/x). 
 
(x,y) : coordenadas cartesianas 
 
(r,) : coordenadas polares 
 
 
Exercícios 
 
 
1) Encontre as coordenadas cartesianas retangulares de cada um dos seguintes pontos cujas coordenadas 
polares são dadas: 
 
(a) (4, 

6
1
) (b) (2, 
−
4
3
) (c) (- 4, 

3
2
) (d) (- 2, 

4
7
 ) 
 
 
Resp. (23, 2) Resp. (-1,-1) Resp. (2, -23) Resp. (- 2, 22) 
 
 
2) Encontre um conjunto de coordenadas polares para cada um dos seguintes pontos cujas coordenadas 
cartesianas retangulares são dadas. Tome r > 0 e 0   < 2. 
 
(a) (1, - 1) (b) (- 3, 1) (c) (2,2) (d) (- 2,- 23 ) 
 
 
Resp. (2, 315º) Resp. (2, 150º) Resp. (22, 45º) Resp. (4, 240º) 
 
 
 
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
 
Em muitas situações práticas, o valor de uma certa quantidade, depende dos valores de duas outras ou de três outras. Então, é usual 
representar estas relações como funções de várias variáveis. 
 Por exemplo, numa fábrica, uma quantidade chamada de produção (P), depende do número de homens-hora (L) e do número de 
máquinas (K) , usadas para produzir algum produto. A representação funcional dessa relação é P = f( L, K). 
 
Funções de duas variáveis 
 Seja D um subconjunto (região) do espaço R2 (plano) . Chama-se função f de D toda relação que associa, a cada par (x,y) ε D, um único 
número real, representado por f(x,y). O conjunto D é o domínio da função. 
Assim, 
D é o domínio da função em R2, 
f é a função 
f(x,y) é o valor da função calculado em (x,y). 
 
Exemplos de valores de função de 2 variáveis: 
Ex.1- se f(x,y) = x2 + 2y , então f(2,3) = 22 +2.3 = 10 
Ex.2- se f(x,y) = (3x+y3), então f(1,2) = (3.1+23)1/2 = 3,32 
 
Domínio das funções de duas variáveis 
 
 O domínio dessas funções segue as mesmas regras do domínio de funções de uma variável 
Ex1: Achar o domínio da função f(xy) = √𝑦 − 𝑥 
A condição de existência dessa função é y-x ≥0 (real) , portanto o seu domínio é D ={ (x,y) ε R2/ y - x ≥ 0 }. 
 
Ex.2 – Ache o domínio da função f(x,y) = 
𝑥2
2𝑥−𝑦
, a função é finita quando 2x-y≠ 0. Assim, domínio D ε (xy) é o conjunto de pontos, tais que 
D ={ (x,y) ε R2 / y ≠ 2x }. 
 
Ex.3 - Ache o domínio da função f(x,y) = 
𝑥2
√3𝑥−𝑦
, a função é finita quando 3x - y > 0. O domínio é o conjunto de pontos, tais que, D ={ (x,y) 
ε R2 / 3x - y > 0 }. 
 
Ex.4. 
Função Domínio Imagem 
z = √𝑦 − 𝑥2 y ≥ 𝑥
2 [0, ∞) 
z = 
1
𝑥𝑦
 xy  0 (-∞,0)  (0, ∞) 
z = sen xy todo o plano [-1, 1] 
w = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 todo o espaço [0, ∞) 
w = 
1
𝑥2+𝑦2+𝑧2
 (x,y,z)  (0,0,0) ]0, ∞) 
w = xy lnz z>0 (-∞, ∞) 
 
 
Ex. 5 Exemplo 
 
a) Determinar e representar graficamente o domínio da função: 
g(x,y) = ln(x2 – y) 
Sol. A função g(x,y) = ln(x2 – y) só está definida para x2 – y >0, ou seja, y < x2. Assim, 
Dom(g) = {(x,y)  R2 | y < x2} 
: 
 
 
b) Determina e representa graficamente o domínio da função: 
f(x,y) = 3x2 √𝑦 − 1 
Sol: a função está definida para y ≥ 0. Assim, Dom(f) = {(x,y)  R2 | y ≥ 0} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representação gráfica do domínio de g(x,y 
Gráfico de Funções de Duas Variáveis 
A representação gráfica de funções reais de duas variáveis gera superfícies no IR3 . Em geral, essa representação pode se tornar bastante 
complexa sem o auxílio de uma ferramenta computacional. No entanto, há alguns casos que são importantes de serem lembrados: 
 
 
Curvas de Nível 
Uma outra forma de se visualizar funções de duas variáveis é um método semelhante ao da representação de uma paisagem 
tridimensional por meio de um mapa topográfico bidimensional. Vamos supor que a superfície z = f(x,y) seja interceptada por um plano z = 
k , e a curva de intersecção seja projetada no plano xOy . Essa curva tem equação f(x,y) = k e é chamada de curva de nível (ou curva de 
contorno) da função f em k . 
 
As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são gráficos no plano xOy de equações 
da forma f(x,y) = k . 
O conjunto de curvas de nível é chamado mapa de contorno. 
Todos os pontos (x,y) que estão na mesma curva de nível têm a mesma imagem z . 
No caso de f(x,y) representar uma grandeza física, as curvas de nível ganham particular importância, recebendo inclusive denominações 
específicas. 
• Se f(x,y) é a temperatura no ponto (x,y) de uma chapa plana, as curvas f(x,y) = k são chamadas de isotérmicas ou isotermas. 
• Se f(x,y) é a pressão de um gás de volume x e temperatura y , as curvas são chamadas de isobáricas ou isóbaras. 
• Se f(x,y) é o potencial (elétrico ou gravitacional) na região D do plano xOy então as curvas f(x,y) = k 
são chamadas equipotenciais. 
 
Exemplo 1: 
 Seja a função dada por z = x2 + y2 
 As curvas de nível para z = 0, z =1, z = 2 e z = 4 são: 
z = 0 ⇒ x2 + y2 = 0 (x = y = 0) 
z = 1 ⇒ x2 + y2 = 1 (circunferência de centro C(0,0) e raio 1) 
z = 2 ⇒ x2 + y2 = 2 (circunferência de centro C(0,0) e raio 2 ) 
z = 4 ⇒ x2 + y2 = 4 (circunferência de centro C(0,0) e raio 2) 
Observação: As curvas de nível nunca se interceptam 
 
 
 
 
 
 
Gráfico da Função (Parabolóide Elíptico) → 
 
 
 
 
Exemplo 2: 
 
 
Exemplo3: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curvas de Nível X Curvas de Contorno-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
A curva de contorno f(x,y) = 100 – x
2
 + y
2
 = 
75 é a circunferência x
2
 + y
2
 = 25 no plano z 
= 75. 
A curva de nível f(x,y) = 100 – x
2
 + y
2
 = 75 
é a circunferência x
2
 + y
2
 = 25 no plano xy. 
Plano z = 75 
Diferenciação Parcial 
O cálculo de várias variáveis é semelhante ao cálculo de uma variável aplicado a várias variávies, uma de cada vez. Quando 
fixamos todas as variáveis independentes de uma função – menos uma – e derivamos em relação a essa variável, obtemos uma derivada 
“parcial”. 
Seja uma função de duas variáveis e . Visto que queremos saber como varia em relação a variações de e , devemos 
definir duas derivadas de (chamadas derivadas parciais), em relação a cada uma das variáveis. 
 
A Derivada Parcial de em relação à , escrita 
 
, 
é a derivada de quando a variável é tratada como constante, e é considerada como uma função de apenas. 
A Derivada Parcial de em relação à , escrita 
 
, 
é a derivada de quando a variável é tratada como uma constante. 
 
Definição: 
 
Exemplos: 
1) Encontre fx e fy no ponto (4, -5) se f(x,y) = x2 +3xy + y – 1 
Sol. 
f𝑥 = 2x + 3y. Em (4,-5) teremos: 2.4 + 3.(-5) = -7 
fy = 3x + 1. Em (4,-5) teremos: 3.4 + 1 = 13 
 
2) Encontre fy se f(x,y) = y.sen xy 
Sol. 
fy = sen(xy) + y.cos(xy) . x → sen(xy) + xy.cos(xy) 
 
3) Encontre fx e fy como funções se f(x,y) = 
2𝑦
𝑦+𝑐𝑜𝑠 𝑥
 
4) Encontre 
𝐷𝑧
𝐷𝑥
 se a equação yz – ln z = x + y define z como uma função de duas variáveis independentes x e y e a derivada parcial 
existir. 
 
 
Resp. 
𝐷𝑧
𝐷𝑥
=
𝑧
𝑦𝑧−1
 
 
Derivadas Parciais de Ordem Superior 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
[3] 
 
 
Regra da Cadeia 
 
A regra da cadeia para uma função f(x, y), onde x = x(t) e y = y(t) ´e análoga à regra da cadeia para funções de uma variável real. A sua 
forma é dada pelo teorema a seguir: 
 
 
 
Usando outro tipo de notação, podemos escrever: