Exercícios de Calculo numérico

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Disciplina: CCE0117 - CÁLCULO NUMÉRICO 201601307306 
 
 
Arredonde para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536 
 
 3,1416 
 
3,142 
 3,14159 
 
3,1415 
 
3,141 
 
 
 -7 
 2 
 
-3 
 
3 
 
-11 
 
Em cálculo numérico é necessário o conhecimentos de várias funções. Por 
exemplo, que função é definida pela sentença: função f definida de R em R na qual 
a todo x pertencente ao domínio R associa o elemento yde valor igual 
a ax2+bx+cx (onde a  R*, b e c  R) 
 
 
Função logaritma. 
 Função quadrática. 
 
Função linear. 
 Função exponencial. 
 
Função afim. 
 
Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 2x - 7, calcule f(2). 
 
 
3 
 2 
 -3 
 
-11 
 
-7 
 
Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 + 1, calcule f(-1/4). 
 
 
- 2/16 
 16/17 
 17/16 
 
9/8 
Uma vendedora recebe R$ 1000,00 de salário fixo, mais R$ 0,05 para cada real faturado nas 
vendas. Sendo x o valor em reais correspondente às vendas mensais da referida vendedora, 
expresse seu salário em função de x. 
 
 
50x 
 1000 
 
1000 + 50x 
 1000 + 0,05x 
 
1000 - 0,05x 
 
As funções matemáticas aparecem em diversos campos do conhecimento, descrevendo o 
comportamento da variável em estudo. Por exemplo, em Física, temos a descrição da 
velocidade de uma partícula em função do tempo no qual a observação se processa; em 
Economia, temos a descrição da demanda de um produto em função do preço do mesmo, entre 
outros exemplos. Com relação a função matemática que segue a lei algébrica f(x)=ax+b, com 
"a" e "b" representando números reais ("a" diferente de zero), PODEMOS AFIRMAR: 
 
 
O coeficiente "b" é denominado de linear e nos fornece informação sobre a angulação 
da reta. 
 O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre o 
ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal. 
 O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a 
angulação da reta. 
 
O coeficiente "a" é denominado de coeficiente linear e nos fornece informação sobre o 
ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal. 
 
O coeficiente "b" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a 
angulação da reta. 
 
O número binário (10000111101)2 tem representação na base decimal igual a: 
 
 1085 
 
1084 
 10860 
 
1086 
 
10085 
 
 
 
 
 
-3 
 
 
3 
 
 
-5 
 
 
-11 
 
 
2 
 
Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 - 1, 
calcule f(1/2). 
 
 
4/3 
 
 
3/4 
 
 
- 4/3 
 
 
- 3/4 
 
 
- 0,4 
 
 
 
 
 
-3 
 
 
-7 
 
 
3 
 
 
2 
 
 
-11 
 
4. 
 
 
Uma loja vende um produto por R$50,00, cada unidade, e cobra 
a taxa de R$5,00 pela entrega, independentemente da quantidade comprada pelo cliente. 
Determine a expressão do valor total a ser pago em reais, V(x), em função da quantidade x 
comprada incluindo a taxa de entrega. 
 
 
V(x) = 50(x+5) 
 
 
V(x) = 50x +5 
 
 
V(x) = x50 + 5 
 
 
V(x) = 50x + 5 
 
 
V(x) = 55 
 
5. 
 
 
Arredonde para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536 
 
 
 
3,1415 
 
 
3,14159 
 
 
3,1416 
 
 
3,142 
 
 
3,141 
 
6. 
 
 
Em cálculo numérico é necessário o conhecimentos de 
várias funções. Por exemplo, que função é definida pela 
sentença: função f definida de R em R na qual a 
todo x pertencente ao domínio R associa o 
elemento y de valor igual 
a ax2+bx+cx (onde a  R*, b e c  R) 
 
 
 
Função linear. 
 
 
Função logaritma. 
 
 
Função exponencial. 
 
 
Função quadrática. 
 
 
Função afim. 
 
7. 
 
 
As funções matemáticas aparecem em diversos campos do 
conhecimento, descrevendo o comportamento da variável em 
estudo. Por exemplo, em Física, temos a descrição da velocidade 
de uma partícula em função do tempo no qual a observação se 
processa; em Economia, temos a descrição da demanda de um 
produto em função do preço do mesmo, entre outros exemplos. 
Com relação a função matemática que segue a lei algébrica 
f(x)=ax+b, com "a" e "b" representando números reais ("a" 
diferente de zero), PODEMOS AFIRMAR: 
 
 
O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação 
sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal. 
 
 
O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação 
sobre a angulação da reta. 
 
 
O coeficiente "b" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação 
sobre a angulação da reta. 
 
 
O coeficiente "a" é denominado de coeficiente linear e nos fornece informação sobre 
o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal. 
 
 
O coeficiente "b" é denominado de linear e nos fornece informação sobre a 
angulação da reta. 
 
 
8. 
 
 
Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 2x - 7, calcule f(2). 
 
 
 
-3 
 
 
3 
 
 
-7 
 
 
2 
 
 
-11 
 
 1a Questão 
 
 
Suponha a função contínua, definida por f(x) = x3 -10 . Marque o intervalo em que existe pelo 
menos uma raiz real da equação f(x) = 0. 
 
 
[-1,0] 
 [2,3] 
 [0,1] 
 
[-2,-1] 
 
[1,2] 
 
 
Explicação: 
f(-2) = -18 f(-1) = -11 f(0) = -10 f(1) = -9 f(2) = -2 f(3) = 17 
Então apenas o intervalo [2,3] atende à condição f(2) .f(3) < 0 para que tenha ao menos 
uma raiz nesse intervalo. 
 
Sejam os vetores u = (0,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para que w = 3u + v, devemos ter x 
+ y igual a: 
 
 
2 
 10 
 
18 
 
5 
 9 
 
 
 
Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual 
o erro absoluto associado? 
 
 
0,992 
 
1,008 m2 
 
0,2% 
 99,8% 
 0,2 m2 
 
Em Cinemática Física, temos funções matemáticas que nos fornecem informações da posição, 
velocidade e aceleração em função do tempo e que se relacionam entre si através de operações 
matemáticas denominas de derivação e integração. Entre os diversos métodos numéricos para 
se obter a integral definida de uma função, podemos citar, com EXCEÇÃO de: 
 
 
Regra de Simpson. 
 Método da Bisseção. 
 
Método do Trapézio. 
 
Extrapolação de Richardson. 
 
Método de Romberg. 
 
 
Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x3 - 9x + 3 utilizando o Método da 
Bisseção. Realize 2 iterações. Intervalo inicial de x0=0 e x1=0.5. Após a realização das iterações 
diga o valor encontrado para x3. 
 
 
1 
 
0,4 
 
0.765625 
 
0.25 
 0, 375 
 
Suponha um polinômio P(x) = x18 - 3x6 + 1. Sobre a equação P(x) = 0, é possível afirmar que 
existe ao menos uma raiz real em qual dos intervalos abaixo? 
 
 (3; 4) 
 
(4, 5) 
 (0; 1) 
 
(1,5; 2) 
 
(2,5; 3) 
Analisando a função y = 3x4 - 1 , usando o teorema de Bolzano, a conclusão correta 
sobre suas raízes no intervalo [ -1, 0 ] é: 
 
 
tem nº par de raízes pois f(-1) .f(0) > 0 
 
tem nº ímpar de raízes pois f(-1) .f(0) > 0 
 
não tem raízes nesse intervalo 
 tem nº ímpar de raízes pois f(-1) .f(0) < 0 
 
tem nº par de raízes pois f(-1) .f(0) < 0 
 
Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva. 
 
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como: 
 
 
 Ponto fixo 
 Gauss Jacobi 
 Bisseção 
 Newton Raphson 
 Gauss Jordan 
 
 
Explicação: 
O Métodode Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da 
função . Devido à interpretação gráfica da derivada como tangente , é também conhecido 
como Método das Tangentes . 
 
O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) 
através de: 
 
 
Uma reta tangente à expressão f(x). 
 
Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x). 
 Uma aproximação da reta tangente f(x). 
 Uma expressão fi(x) baseada em f(x). 
 
Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x). 
 
 
Explicação: A raiz da equação é encontrada através da raiz de uma função fi(x) que podemos 
resolver ao invés da f(x). Assim o valor x é chamado um ponto fixo da segunda equação. 
 
Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x2 - 3 utilizando o Método de 
Newton-Raphson. Realize 1 iteração. Além disso, temos x0=1 e f'(x)= 2x. Após a 
realização da iteração diga o valor encontrado para x1. 
 
 
1 
 
1.75 
 
-1 
 2 
 
-2 
Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de 
um valor arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo 
ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." 
Esse método é conhecido como: 
 
 Método de Newton-Raphson 
 
Método de Pégasus 
 
Método do ponto fixo 
 
Método da bisseção 
 
Método das secantes 
 
Utilize o Método de Newton para encontrar a sua raiz aproximada x2 na função f(x) = 2 - 
3ln(x) dado x0=0,5. 
 
 
1,87 
 
1,17 
 1,77 
 
1,70 
 
1,67 
Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o 
gráfico que corresponde aos MÉTODO DO PONTO FIXO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o 
gráfico que corresponde aos MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 
utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (Utilize quatro 
casas decimais para as iterações) 
 
 
 
1.9876 
 1.0800 
 
1.0909 
 
1.0245 
 
1.0746 
 
Considere um sistema linear 2 x 2, isto é, duas equações e duas incógnitas. Ao fazer a 
representação no plano cartesiano xy tem-se duas retas concorrentes. A respeito deste 
sistema podemos afirmar que: 
 
 
nada pode ser afirmado. 
 
apresenta ao menos uma solução 
 apresenta uma única solução 
 
não apresenta solução 
 apresenta infinitas soluções 
A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com 
relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que: 
 
 
As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo. 
 Sempre são convergentes. 
 
Apresentam um valor arbitrário inicial. 
 
Consistem em uma sequência de soluções aproximadas 
 
Existem critérios que mostram se há convergência ou não. 
A Pesquisa Operacional é uma forte ferramenta matemática que se utiliza basicamente de 
sistemas lineares para "modelar" uma determinado contexto em que temos um problema físico, 
econômico, financeiro etc. Entre as opções oferecidas a seguir, identifique qual método 
numérico PODE ser utilizado para a resolução de sistemas lineares. 
 
 Método de Gauss-Jordan. 
 Método de Newton-Raphson. 
 
Método da falsa-posição. 
 
Método do ponto fixo. 
 
Método da bisseção. 
Dado o seguinte sistema linear: 
x + y + 2z = 9 
2x + 4y -3z = 1 
3x + 6y - 5z = 0 
Determine utilizando o método de Gauss -Jordan os valores de x, y e z. 
 
 x=1, y=2, z=3. 
 x=-2, y=4, z=-6. 
 
x=-3, y=1, z=-2. 
 
x=2, y=4, z=6. 
 
x=3, y=1, z=2. 
 
Os sistemas lineares com duas equações e duas incógnitas apresentam uma interpretação 
geométrica para as diversas possibilidades de solução. Assinale a opção incorreta. 
 
 
O sistema linear 2 x 2 possível e indeterminado é representado por duas retas 
coincidentes 
 O sistema linear 2 x 2 nem sempre tem solução 
 O sistema linear 2 x 2 possível e determinado é representado por duas retas 
paralelas 
 
O sistema linear 2 x 2 possível e determinado é representado por duas retas 
coincidentes 
 
O sistema linear 2 x 2 impossível é representado por duas retas paralela 
Resolva o sistema de equações abaixo e enconte x1 e x2: 
5x1 + 4x2 = 180 
4x1 + 2x2 = 120 
 
 
 x1 = 20 ; x2 = 20 
 
x1 = 10 ; x2 = -10 
 
x1 = -10 ; x2 = 10 
 x1 = -20 ; x2 = 15 
 
x1 = 18 ; x2 = 18 
 
Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial de 
funções quando conhecemos alguns pontos das mesmas. Considerando este método como 
referência, determine o "polinômio" que melhor representa os pontos (1,3), (4,9), (3,7) e (2,5). 
 
 
y=2x-1 
 y=2x+1 
 y=2x 
 
y=x2+x+1 
 
y=x3+1 
 
O sistema de equações lineares abaixo pode ser representado em uma matriz estendida como: 
2x+3y-z = -7 
x+y+z = 4 
-x-2y+3z = 15 
 
 
 1 0 0 | -7 
 0 1 0 | 4 
 0 0 1 | 15 
 2 3 -1 | -7 
 1 1 1 | 4 
-1 -2 3 | 15 
 2 3 1 | -7 
 1 1 1 | 4 
 1 2 3 | 15 
 
 2 3 1 | -7 
 1 1 1 | 4 
-1 -2 3 | 15 
 
 2 1 1 | -7 
 3 1 -2 | 4 
-1 1 3 | 15 
 
Considere o valor exato 1,126 e o valor aproximado 1,100. Determine respectivamente o erro 
absoluto e o erro relativo. 
 
 0,026 E 0,023 
 
0,023 E 0,026 
 
0,026 E 0,026 
 
0,013 E 0,013 
 
0,023 E 0,023 
 
Em Cálculo Numérico, existem diversos métodos para a obtenção de raízes de uma equação 
através de procedimentos não analíticos. Considerando a equação x2+x-6=0 e a técnica 
utilizada no método do ponto fixo com função equivalente igual a g(x0)=6-x2 e x0=1,5, verifique 
se após a quarta interação há convergência e para qual valor. Identifique a resposta CORRETA. 
 
 
Há convergência para o valor -59,00. 
 
Há convergência para o valor 2. 
 Não há convergência para um valor que possa ser considerado raiz. 
 
Há convergência para o valor -3. 
 
Há convergência para o valor - 3475,46. 
 
Durante a coleta de dados estatísticos referente ao número médio de filhos das famílias de uma 
comunidade em função do tempo, verificamos a obtenção dos seguintes pontos (x,y), nos quais 
"x" representa o tempo e "y" representa o número de filhos: (1, 2), (2, 4), (3,5) e (4,6). Caso 
desejemos representar estes pontos através de uma função, que ramo do Cálculo Numérico 
deveremos utilizar? Assina a opção CORRETA. 
 
 
Verificação de erros. 
 
Derivação. 
 
Integração. 
 Interpolação polinomial. 
 
Determinação de raízes. 
 
 
 
A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio de grau igual ou menor que n 
que melhor se ajuste aos n +1 pontos dados. Existem várias maneiras de encontrá-lo, dentre 
as quais podemos citar: 
 
 
o método de Pégasus 
 
o método de Raphson 
 o método de Lagrange 
 
o método de Euller 
 
o método de Runge Kutta 
 
Você é estagiário de uma empresa de engenharia que trabalha com testes em peças para 
grandes motores. Em um ensaio laboratorial você gera 10 pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., 
(x9,f(x9))). Suponha que se você tenha encontrado o polinômio P(x) interpolador desses 
pontos. A respeito deste polinômio é verdade que: 
 
 
Nunca poderá ser do primeiro grau 
 
Sempre será do grau 9 
 
Poderá ser do grau 15 
 
Pode ter graumáximo 10 
 Será de grau 9, no máximo 
 
Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o 
gráfico que corresponde aos MÉTODO DAS SECANTES: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio que melhor se ajuste aos pontos 
dados. Suponha que você tenha que determinar por interpolação o polinômio P(x) que se ajuste 
aos pontos pontos A (1,2), B(-1,-1), C(3, 5).e D(-2,8). Qual dos polinômios abaixo pode ser 
P(x) 
 
 
Um polinômio do décimo grau 
 Um polinômio do terceiro grau 
 
Um polinômio do quinto grau 
 Um polinômio do quarto grau 
 
Um polinômio do sexto grau 
 
 
Numa situação experimental, um engenheiro sabe que o carregamento distribuído sobre uma 
viga é um arco de parábola dado pela equação w(x) = a.x2 + b.x, onde x é dado em metros e 
W(x) em kN/m. A viga tem comprimento l = 2 m e, nas extremidades, o carregamento é zero. 
Além disso, no ponto médio da viga W vale 2 kN/m. Encontre a função para W(x) 
 
 W(x) = 2.x2 + 4x 
 
 
W(x) = -2.x2 + 2x 
 
W(x) = - x2 + 4x 
 
W(x) = x2 + 4x 
 W(x) = -2.x2 + 4x 
Se u = (5,4,3) e v = (3,5,7), calcule u + 2v 
 
 (11,14,17) 
 
(8,9,10) 
 
(6,10,14) 
 
(13,13,13) 
 
(10,8,6) 
 
A dedução do método da secante utiliza qual método para encontrar a raiz de uma função? 
 
 
Semelhança de círculos. 
 
Semelhança de retângulos. 
 
Semelhança de quadrados. 
 
Nenhuma das anteriores. 
 Semelhança de triângulos. 
 
Considere o conjunto de instruções: If A > B then C = A x B Else C = A/B Se os valores de A e B 
são, respectivamente, 10 e 2, determine o valor de C após esse conjunto de instruções ser 
executado. 
 
 
Qualquer valor entre 2 e 10 
 
5 
 20 
 
Indefinido 
 
0 
 
 
 
 
 
 
 
Experimentos laboratoriais visando a obtenção de pares ordenados (x,y) e posterior interpolação 
de funções é uma das aplicações do Cálculo Numérico. Por exemplo, empiricamente foram 
obtidos os seguintes pontos (-3,9), (-2,4), (0,0), (3,9), (1,1) e (2,4) que devem fornecer uma 
função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, 
qual é a mais adequada? 
 
 
Função cúbica. 
 Função quadrática. 
 
Função logarítmica. 
 
Função exponencial. 
 
Função linear. 
 
Se u = (5,4,3) e v = (3,5,7), calcule u + 2v 
 
 
(8,9,10) 
 
(6,10,14) 
 
(13,13,13) 
 (11,14,17) 
 
(10,8,6) 
 
 
Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos 
utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração 
conhecido como regra dos trapézios. A aplicação deste método consiste em dividir o intervalo de 
integração (de a a b) em trapézios com mesma altura h = (b ¿ a)/n. Quando se aumenta n, ou 
seja, o número de trapézios, o valor da integral definida: 
 
 
Varia, podendo aumentar ou diminuir a precisão 
 
Nunca se altera 
 
Nada pode ser afirmado. 
 Varia, aumentando a precisão 
 
Varia, diminuindo a precisão 
Dada a função f através do tabelamento a seguir, complete a tabela, e calcule, 
aproximadamente, o valor de usando o método dos trapézios com 3 
casas decimais. 
 
 
 
 
 13,000 
 13,900 
 
 13,500 
 
 13,857 
 
 13,017 
 
Dados os pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x20,f(x20)) ) extraídos de uma situação real de 
engenharia. Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A 
respeito deste polinômio são feitas as seguintes afirmativas: 
 
 I - Pode ser de grau 21 
II - Existe apenas um polinômio P(x) 
III - A técnica de Lagrange permite determinar P(x). 
 
Desta forma, é verdade que: 
 
 Apenas II e III são verdadeiras. 
 
 Apenas I e III são verdadeiras 
 Todas as afirmativas estão corretas 
 Apenas I e II são verdadeiras 
 Todas as afirmativas estão erradas 
 
Trunque para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536 
 
 3,1415 
 
3,141 
 
3,142 
 
3,14159 
 
3,1416 
Ao realizar uma medida o técnico encontrou o valor 12 cm, mas o valor correto era 13 
cm. Qual o erro relativo desta medição? 
 
 0,77% 
 
0,83% 
 
8,3% 
 
0,077% 
 7,7% 
 
Suponha que tenhamos um valor aproximado de 16700 para um valor exato de 16650. Marque 
o item que possui o erro absoluto, relativo e percentual respectivamente, 
 
 
 
50 , 0.0003 , 0.3% 
 
Nenhum dos itens anteriores 
 
500 , 0.003 , 0.3% 
 
50 , 0.003 , 0.003% 
 50 , 0.003 , 0.3% 
 
 
 
Suponha que uma pessoa esteja realizando a medição de um terreno utilizando uma fita 
métrica à Laser. Marque a opção que contém os erros que ela poderá cometer na execução 
desta atividade, na seguinte sequencia: ERRO DO OPERADOR, ERRO DO SISTEMA (PROCESSO) 
e ERRO ALEATÓRIO, respectivamente. 
 
 
Nenhuma das Anteriores 
 
marcação errada por tremor de terra, mal posicionamento da trena, marcação errada 
por baterias fracas. 
 
marcação errada por radiação solar intensa, marcação errada por baterias fracas, mal 
posicionamento da trena. 
 mal posicionamento da trena, marcação errada por baterias fracas, marcação errada 
por radiação solar intensa. 
 
marcação errada por baterias fracas, mal posicionamento da trena, marcação errada 
por radiação solar intensa. 
 
Um aluno no Laboratório de Física fez a medida para determinada grandeza e encontrou o 
valor aproximado de 1,50 mas seu professor afirmou que o valor exato é 1,80. A partir 
dessas informações, determine o erro relativo. 
 
 
 0,1667 
 0,1266 
 0,6667 
 0,30 
 0,2667 
 
Ao medir uma peça de 100cm o técnico anotou com erro relativo de 0,5% . Qual o 
valor do erro absoluto? 
 
 0,5 cm 
 
0,05 cm. 
 
5 cm 
 99,5 cm 
 
 95 cm 
Com respeito a propagação dos erros são feitas trê afirmações: 
I - o erro absoluto na soma, será a soma dos erros absolutos das parcelas; 
II - o erro absoluto da multiplicação é sempre nulo. 
III - o erro absoluto na diferença é sempre nulo. 
É correto afirmar que: 
 
 todas são falsas 
 apenas III é verdadeira 
 todas são verdadeiras 
 apenas II é verdadeira 
 apenas I é verdadeira 
 
Considere o valor exato x = 3,1415926536 e o valor aproximado x¿ = 3, 14, o erro absoluto 
neste caso é: 
 
 
3,14 
 
3,1416 
 
0,14 
 0.0015926536 
 
0,1415926536 
 
 
 
Polinômio de Newton 
 Newton-Raphson 
 
Método dos Trapézios Repetidos 
 
Método de Lagrange 
 Método de Euler 
 
Considere a situação em que você disponha de 20 pares ((x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., 
(x19,f(x19)) ) de dados distintos no plano cartesiano. Suponha que você utilize o método de 
Newton para a determinação do polinômio interpolador. Qual dos polinômios abaixo pode 
representar este polinômio? 
 
 X19 + 5X + 9 
 
X20 + 7X - 9 
 
X30 + 8X + 9 
 
X21 + 3X + 4 
 
X20 + 2X + 9 
 
as funções podem ser escritas como uma série infinita de potência. O cálculo do valor de sen(x) 
pode ser representado por: sen(x)= x - x^3/3! +x^5/5!+⋯ Uma vez que precisaremos 
trabalhar com um número finito de casas decimais, esta aproximação levará a um erro 
conhecido como: 
 
 
erro relativo 
 
erro absoluto 
 
erro de arredondamento 
 erro de truncamento 
 
erro booleano 
 
Considere f (x) = x3 − 9x + 3. Considerando o teorema do valor intermediário, podemos 
afirmar que: 
 
 
Existe raiz no intervalo [-4,-3], pois f(-4) * f(-3) > 0 
 
Existeraiz no intervalo [-3,-2], pois f(-3) * f(-2) > 0 
 
Existe raiz no intervalo [-3,-2], pois f(-3) * f(-2) < 0 
 
Existe raiz no intervalo [-2,-1], pois f(-2) * f(-1) > 0 
 Existe raiz no intervalo [-4,-3], pois f(-4) * f(-3) < 0 
 
Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique 
o gráfico que corresponde aos MÉTODO DA BISSEÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Método de Euler é um dos métodos mais simples para a obtenção de pontos de uma curva 
que serve como solução de equações diferenciais. Neste contexto, geramos os pontos, 
utilizando a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a 
equação diferencial y'=y com y(0)=2, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 0,5. 
Assinale a opção CORRETA. 
 
 
-2 
 
1 
 
-3 
 3 
 
0 
 
Na descrição do comportamento de sistemas físicos dinâmicos, frequentente utilizamos 
equações diferenciais que, como o nome nos revela, podem envolver derivadas de funções. Um 
método comum para resolução de equações diferenciais de primeira ordem é o Método de 
Euler, que gera pontos da curva aproximada que representa a resolução do sistema. Para 
gerarmos os pontos, utilizamos a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo 
adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=1, gere o ponto da curva para k=1 
e passo igual a 1. Assinale a opção CORRETA. 
 
 2 
 
0 
 
-1 
 
-2 
 
1 
 
 
 
 
A Matemática traduz as ideias desenvolvidas em diversas ciências, como a Física, a Química e as 
Engenharias, em uma linguagem algébrica clara, que nos possibilita a manipulação de equações 
matemáticas e, desta forma, o descobrimento e entendimento dos fenômenos naturais que nos 
rodeiam. Neste universo de conhecimento matemático, existem as funções que seguem o padrão 
f(x)=ax2+bx+c, onde "a", "b" e "c" representam números reais, com "a" diferente de zero. Com 
relação a este tipo de função, PODEMOS AFIRMAR: 
 
 Estas funções possuem em suas representações gráficas pontos que são 
denominados vértice da parábola. 
 
A forma gráfica destas funções sempre apresentam interseções com o 
eixo horizontal. 
 
O coeficiente "a" está relacionado a forma crescente ou decrescente da 
forma gráfica associada a função. 
 
Estas funções apresentam comportamento crescente ou decrescente, 
porém nunca ambos. 
 
Estas funções são adequadas a representação de fenômenos constantes 
ao longo do tempo. 
 
As equações diferenciais ordinárias (EDOs) têm grande aplicação nos diversos 
ramos da engenharia. Em algumas situações as EDOs precisam de um método 
numérico para resolvê-las. Um dos métodos é o de Runge - Kutta de ordem " n". 
Em relação a este método são feitas as seguintes afirmações: 
I - é um método de passo dois 
II - há a necessidade de se calcular a função derivada 
III - não é necessário utilizar a série de Taylor 
É correto afirmar que: 
 
 todas estão erradas 
 
apenas I e II estão corretas 
 apenas I e III estão corretas 
 todas estão corretas 
 
apenas II e III estão corretas 
 
Qual o resultado da seguinte operação: 
0,68723 x 10-1 - 0,4559 x 10-2 
 
 
0,6416 x 10-1 
 
6,4164 x 10-3 
 6,4164 x 10-2 
 
Nenhuma das anteriores. 
 
5,4164 x 10-3 
 
 
 
Aprendemos que a Matemática é a linguagem que utilizamos para expressar o conhecimento de 
várias ciências como a Física, a Química, a Economia e diversas outras. Associadas a 
Matemática estão as técnicas numéricas que nos facilitam a obtenção de soluções, inserindo os 
computadores na execução de rotinas de cálculo. Com relação ao cálculo numérico, podemos 
afirmar as seguintes sentenças, com EXCEÇÃO de: 
 
 Em cálculo numérico, erro é a diferença entre dois valores gerados por métodos não 
analíticos de obtenção do resultado. 
 
Os métodos analíticos conduzem a soluções exatas para os problemas; os métodos 
numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas. 
 
Nos métodos numéricos é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se 
pretende obter a solução numérica desejada. 
 
Um método numérico é um método não analítico, que tem como objetivo determinar 
um ou mais valores numéricos, que são soluções de determinado problema. 
 
A precisão dos cálculos numéricos é também um importante critério para a seleção de 
um algoritmo na resolução de um dado problema. 
 
 
Dentre os conceitos apresentados nas alternativas a seguir, assinale aquela que NÃO pode ser 
enquadrada como fator de geração de erros: 
 
 
Uso de dados de tabelas 
 
Uso de dados provenientes de medição: sistemáticos (falhas de construção ou 
regulagem de equipamentos) ou fortuitos (variações de temperatura, pressão) 
 
Uso de dados matemáticos inexatos, provenientes da própria natureza dos números 
 Execução de expressão analítica em diferentes instantes de tempo. 
 
Uso de rotinas inadequadas de cálculo 
 
Sendo as matrizes M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe, é possível determinar M+N, 
NxP e P- Q, se: 
 
 
 b - a = c - d 
 
 b = a + 1, c = d= e = 4 
 a x b = 6, a + 1 = b = c= d= e - 1 
 2b = 2c = 2d = a + c 
 a = b = c = d= e - 1 
 
 
A resolução de sistemas lineares é fundamental em alguns ramos da engenharia. O cálculo 
numérico é uma ferramenta importante e útil nessa resolução. Sobre os sistemas lineares 
assinale a opção CORRETA. 
 
 
O método da Eliminação de Gauss é um método iterativo para a resolução de sistemas 
lineares. 
 
Um sistema é dito linear quando pelo menos uma variável tem expoente unitário. 
 
Para o mesmo sistema linear e para um mesmo chute inicial, o método de Gauss-Seidel 
tende a convergir para a resposta exata do sistema numa quantidade maior de 
iterações que o método de Gauss-Jacobi. 
 
Nos métodos diretos para a resolução de sistemas lineares utilizamos o escalonamento 
que consiste em transformar a matriz incompleta em uma matriz identidade 
 Ao se utilizar um método iterativo para solucionar um sistema de equações lineares 
deve tomar cuidado pois, dependendo do sistema em questão, e da estimativa inicial 
escolhida, o método pode não convergir para a solução do sistema. 
 
Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual 
o erro relativo associado? 
 
 
1,008 m2 
 0,8% 
 
0,992 
 
0,2 m2 
 
99,8% 
 
Considere o Método de Romberg para cálculo da integral. Assim, o valor de R2,1 da integral de 
f(x) = cos(x) no intervalo entre 0 e  
é dado por: 
 
 
 
 
 
 
2 
 
- 
 - 
 
O método da bisseção é uma das primeiras aquisições teóricas quando estudamos Cálculo 
Numérico e se baseia na sucessiva divisão de intervalo no qual consideramos a existência de 
raízes até que as mesmas (ou a mesma) estejam determinadas. Considerando a função f(x)= 
x3-3x2+4x-2, o intervalo [0,5], identifique o próximo intervalo a ser adotado no processo 
reiterado do método citado. 
 
 
[0; 1,5] 
 [0; 2,5] 
 
[3,5] 
 
[2,5 ; 5] 
 
[3,4] 
 
Em algumas modelagens físicas, nos deparamos com diversas situações em que devemos 
expressar condições de contorno através de equações lineares, que se organizam em um 
sistema. Considerando as opções a seguir, identifique aquela que NÃO se relaciona a relação 
destes sistemas. 
 
 Método de Newton-Raphson. 
 
Método de Gauss-Jacobi. 
 
Método de Gauss-Seidel. 
 
Método de Decomposição LU. 
 
Método de Gauss-Jordan. 
 
Suponha que você tenha determinado umas das raízes da função f(x) = 0 pelo método da 
bisseção e tenha encontrado o valor 1,010 maso valor exato é 1,030. Assim, os erros 
absoluto e relativo valem, respectivamente: 
 
 0,020 e 2,0% 
 0,030 e 3,0% 
 0,030 e 1,9% 
 2.10-2 e 1,9% 
 3.10-2 e 3,0% 
 
Sendo as matrizes M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe, é possível determinar M+N, 
NxP e P- Q, se: 
 
 
 a x b = 6, a + 1 = b = c= d= e - 1 
 b - a = c - d 
 
 b = a + 1, c = d= e = 4 
 2b = 2c = 2d = a + c 
 a = b = c = d= e - 1 
 
A resolução de sistemas lineares é fundamental em alguns ramos da engenharia. O cálculo 
numérico é uma ferramenta importante e útil nessa resolução. Sobre os sistemas lineares 
assinale a opção CORRETA. 
 
 
O método da Eliminação de Gauss é um método iterativo para a resolução de sistemas 
lineares. 
 
Para o mesmo sistema linear e para um mesmo chute inicial, o método de Gauss-Seidel 
tende a convergir para a resposta exata do sistema numa quantidade maior de iterações 
que o método de Gauss-Jacobi. 
 
Um sistema é dito linear quando pelo menos uma variável tem expoente unitário. 
 
Nos métodos diretos para a resolução de sistemas lineares utilizamos o escalonamento 
que consiste em transformar a matriz incompleta em uma matriz identidade 
 Ao se utilizar um método iterativo para solucionar um sistema de equações lineares deve 
tomar cuidado pois, dependendo do sistema em questão, e da estimativa inicial escolhida, 
o método pode não convergir para a solução do sistema. 
 
Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual 
o erro relativo associado? 
 
 
99,8% 
 0,8% 
 
0,992 
 
0,2 m2 
 
1,008 m2 
 
 
Considere o Método de Romberg para cálculo da integral. Assim, o valor de R2,1 da integral de 
f(x) = cos(x) no intervalo entre 0 e  
é dado por: 
 
 - 
 
 
 
 
 
2 
 
- 
 
Dentre os conceitos apresentados nas alternativas a seguir, assinale aquela que NÃO pode ser 
enquadrada como fator de geração de erros: 
 
 Execução de expressão analítica em diferentes instantes de tempo. 
 
Uso de dados provenientes de medição: sistemáticos (falhas de construção ou regulagem 
de equipamentos) ou fortuitos (variações de temperatura, pressão) 
 
Uso de rotinas inadequadas de cálculo 
 
Uso de dados matemáticos inexatos, provenientes da própria natureza dos números 
 
Uso de dados de tabelas