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República de Moçambique 
Escola Secundária de Liúpo 
 
 
Trigonometria 
Texto de apoio – Matemática_10a classe 
 
 
 
 
 
 
 
 
“A matemática é a rainha das ciências” Carl Friedrich Gauss 
Prof: Quisito J. Pahar 
 
Email: quisitopahar@gmail.com 
Contacto: +258847436888 
 
 
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Introdução: Breve historial da Trigonometria 
 
A palavra Trigonometria tem origem grega: TRI (três), GONO (ângulo) e METRIEN 
(medida). Etimologicamente, significa medida de triângulos. Trata-se, assim, do estudo das 
relações entre os lados e os ângulos de um triângulo. 
Apesar dos egípcios e dos babilónios terem utilizado as relações existentes entre lados e 
ângulos dos triângulos, para resolver problemas, foi a atracção pelo movimento dos astros que 
impulsionou a evolução da Trigonometria. Daí que, historicamente a Trigonometria apareça 
muito cedo associada à Astronomia. 
No séc. III a.C., Arquimedes de Siracusa no seguimento 
do trabalho que desenvolveu para calcular o perímetro de 
um círculo dado o respectivo raio, calculou o 
comprimento de grande número de cordas e estabeleceu 
algumas fórmulas trigonométricas. 
 As medições e os resultados dos cálculos feitos pelos 
astrónomos eram registados em tábuas. As tábuas 
babilónicas revelam algumas semelhanças com as tábuas 
trigonométricas. 
Surgiu então, na segunda metade do século dois a.C., um 
marco na história da trigonometria: Hiparco de Nicéia (180-125 a.C.). Influenciado pela 
matemática da Babilónia, acreditava que a melhor base de contagem era a 60. Não se sabe 
exactamente quando se tornou comum dividir a circunferência em 360 partes, mas isto parece 
dever-se a Hiparco, assim como a atribuição do nome arco de 1 grau a cada parte em que a 
circunferência ficou dividida. Ele dividiu cada arco de 1° em 60 partes obtendo o arco de 1 
minuto. Hiparco baseava-se numa única função, na qual a cada arco de circunferência de raio 
arbitrário, era associada a respectiva corda. 
Hiparco construiu o que foi presumivelmente a primeira tabela trigonométrica com os valores 
das cordas de ângulos de 0° a 180°. 
 
Assim, Hiparco representou um grande avanço na Astronomia e por isso recebeu o título de 
“Pai da Trigonometria”. 
Outra tábua, também de cordas, mas mais completa foi 
construída por Ptolomeu (séc. II). Esta já possuía 
cordas para ângulos crescentes, desde 0º até 180º, em 
intervalos de 1/2 graus. O raio usado era diferente do 
de Hiparcus, sendo também fixo e muito grande. Note-
se que o facto de usar um raio muito grande diminui o 
uso de fracções. 
Foi Ptolomeu (séc. II) quem influenciou o 
desenvolvimento da Trigonometria, durante muitos 
séculos. A sua obra Almagesto contém uma tabela de 
cordas correspondentes a diversos ângulos, por ordem 
crescente e em função da metade do ângulo, que é 
equivalente a uma tabela de senos, bem como uma 
série de proposições da actual disciplina. No 
Almagesto reuniu os conhecimentos existentes na 
época sobre Astronomia e Trigonometria e a que os 
árabes tiveram acesso. Estes introduziram os conhecimentos de Trigonometria para a Europa 
através de Espanha. 
A relação da Astronomia com a Trigonometria fez com que esta se desenvolvesse aplicada a 
triângulos curvos de lados curvilíneos que se formam sobre a superfície esférica. Assim, a 
Trigonometria Esférica desenvolveu-se anteriormente à Trigonometria Plana, o que se deveu 
ao facto de a Trigonometria Esférica ser muito utilizada nos cálculos astronómicos e na 
 
 
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navegação, sendo sistematizada por árabes e hindus até meados do séc. XIII. A contribuição 
destes foi bastante grande, tendo calculado tabelas de senos para intervalos com variação 
de 15’. A palavra sinus – seno – é a tradução, em latim, da grafia árabe do sânscrito jyã. O 
seno correspondia a metade da corda do arco duplo e os árabes e os hindus usavam, 
geralmente, círculos de raio unitário. 
 O recurso constante ao círculo trigonométrico e a aplicação da Trigonometria à resolução de 
problemas algébricos é feita por Viète– séc. XVI – que estabeleceu também alguns resultados 
importantes. 
Contudo, foi Euler (séc. XVIII) que, ao usar invariavelmente o círculo de raio um, introduziu 
o conceito de seno, de co-seno e de tangente como números, bem como as notações 
actualmente utilizadas. 
 O primeiro vestígio do tratamento funcional da Trigonometria surgiu em 1635, quando 
Roberval fez o primeiro esboço de uma curva do seno. Mas, a ligação da Trigonometria à 
Análise só é feita por Fourier (séc. XIX), como consequência do estudo dos movimentos 
periódicos por ele efectuado. 
As funções trigonométricas como o seno, o coseno e a tangente, relacionam medidas de 
ângulos, a medidas de segmentos de recta a eles associados. 
 Actualmente a trigonometria não se limita a estudar os triângulos. Encontramos aplicações 
na mecânica, electricidade, acústica, música, astronomia, engenharia, medicina, enfim, em 
muitos outros campos da actividade humana. Essas aplicações envolvem conceitos que 
dificilmente lembram os triângulos que deram origem à trigonometria: 
 Há métodos actuais de análise em medicina, onde são enviadas ondas ao coração, de 
forma que efectuem interacções selectivas com os tecidos a observar 
 Geodésia: estudo da forma e dimensão da Terra 
 Método do momento eléctrico para cálculo de linhas de transporte de energia eléctrica: 
permite calcular com grande sensibilidade a potência de transporte de linhas, as perdas 
e a distância a que ela poderá ser transportada 
 Estudo da intensidade luminosa: calcula-se a intensidade luminosa irradiada por uma 
fonte luminosa para uma determinada direcção 
 Instrumentos de medidas de ângulos: topografia, ciência náutica e cartografia 
 Numa pesquisa realizada em 1997, com engenheiros que actuam em empresas de 
grande porte da região da Serra Gaúcha, foi constatado que a trigonometria é o 
conceito de matemática básica mais utilizado por eles no seu quotidiano 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Licção no 39 
Tema: Teorema de Pitágoras 
 
Num triângulo rectângulo, chamamos os lados que formam o ângulo reto de catetos. O lado 
oposto ao ângulo recto (lado de maior medida) chama-se hipotenusa. 
 
Teorema de Pitágoras 
Em todo triângulo rectângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao 
quadrado da medida da hipotenusa. 
Exemplo: 
 
 
Exercicios 
Determine a medida x em cada triângulo: 
 
 
 
 
a: medida da hipotenusa 
b: medida de um cateto 
c: medida de outro cateto 
�� = �� + �� 
Observe a relação entre os quadrados dos catetos e o 
quadrado da hipotenusa: 
 
 
 
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Licção no 40 
Tema: Triângulos semelhantes 
 
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes 
e os lados homólogos proporcionais. 
 
 
 
 
Exercícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Licção no 41 
Tema: Critérios de semelhança 
 
Critérios de semelhança de triângulos 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo: 
 
Exercícios 
 
 
 
 
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Licção no 42 
Tema: Razões trigonométricas de um ângulo agudo 
 
No triângulo rectângulo, os lados recebem nomes específicos: catetos e hipotenusa. A 
hipotenusa é o lado oposto ao ângulo recto, e os catetos são os lados opostos aos ângulos 
agudos. 
 
Sabendo identificar os catetos, podemos definir as razões trigonométricas: seno (sen), cosseno 
(cos) e tangente (tg). Sendo � o ângulo, podemos definir as seguintes relações: 
 
Exemplo: 
 
Exercícios 
 
 
 
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Licção no 43 
Tema: Relações entre as razões trigonometria de ângulos agudo 
 
 
 
 
Exercícios 
 
 
 
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Licção no 44 
Tema: Razões trigonométricasde ângulos especiais 
 
Os ângulos notáveis são: 30°, 45° e 60°. O conhecimento do seno, cosseno e tangente desses 
ângulos constitui-se em uma importante ferramenta no estudo da trigonometria. 
 
Exercícios 
 
 
 
 
 
 
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Licção no 45 
Tema: Identidade fundamental da trigonometria 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
 
 
 
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Licção no 46 
Tema: Uso de tabelas trigonométricas de 0º a 90º 
 
ângulo sen cos tan ângulo sen cos Tan 
1o 0,017 1,000 0,017 46o 0,719 0,695 1,036 
2o 0,035 0,999 0,035 47o 0,731 0,682 1,072 
3o 0,052 0,999 0,052 48o 0,743 0,669 1,111 
4o 0,070 0,998 0,070 49o 0,755 0,656 1,150 
5o 0,087 0,996 0,087 50o 0,766 0,643 1,192 
6o 0,105 0,995 0,105 51o 0,777 0,629 1,235 
7o 0,122 0,993 0,123 52o 0,788 0,616 1,280 
8o 0,139 0,990 0,141 53o 0,799 0,602 1,327 
9o 0,156 0,988 0,158 54o 0,809 0,588 1,376 
10o 0,174 0,985 0,176 55o 0,819 0,574 1,428 
11o 0,191 0,982 0,194 56o 0,829 0,559 1,483 
12o 0,208 0,978 0,213 57o 0,839 0,545 1,540 
13o 0,225 0,974 0,231 58o 0,848 0,530 1,600 
14o 0,242 0,970 0,249 59o 0,857 0,515 1,664 
15o 0,259 0,966 0,268 60o 0,866 0,500 1,732 
16o 0,276 0,961 0,287 61o 0,875 0,485 1,804 
17o 0,292 0,956 0,306 62o 0,883 0,469 1,881 
18o 0,309 0,951 0,325 63o 0,891 0,454 1,963 
19o 0,326 0,946 0,344 64o 0,899 0,438 2,050 
20o 0,342 0,940 0,364 65o 0,906 0,423 2,145 
21o 0,358 0,934 0,384 66o 0,914 0,407 2,246 
22o 0,375 0,927 0,404 67o 0,921 0,391 2,356 
23o 0,391 0,921 0,424 68o 0,927 0,375 2,475 
24o 0,407 0,914 0,445 69o 0,934 0,358 2,605 
25o 0,423 0,906 0,466 70o 0,940 0,342 2,747 
26o 0,438 0,899 0,488 71o 0,946 0,326 2,904 
27o 0,454 0,891 0,510 72o 0,951 0,309 3,078 
28o 0,469 0,883 0,532 73o 0,956 0,292 3,271 
29o 0,485 0,875 0,554 74o 0,961 0,276 3,487 
30o 0,500 0,866 0,577 75o 0,966 0,259 3,732 
31o 0,515 0,857 0,601 76o 0,970 0,242 4,011 
32o 0,530 0,848 0,625 77o 0,974 0,225 4,331 
33o 0,545 0,839 0,649 78o 0,978 0,208 4,705 
34o 0,559 0,829 0,675 79o 0,982 0,191 5,145 
35o 0,574 0,819 0,700 80o 0,985 0,174 5,671 
36o 0,588 0,809 0,727 81o 0,988 0,156 6,314 
37o 0,602 0,799 0,754 82o 0,990 0,139 7,115 
38o 0,616 0,788 0,781 83o 0,993 0,122 8,144 
39o 0,629 0,777 0,810 84o 0,995 0,105 9,514 
40o 0,643 0,766 0,839 85o 0,996 0,087 11,430 
41o 0,656 0,755 0,869 86o 0,998 0,070 14,301 
42o 0,669 0,743 0,900 87o 0,999 0,052 19,081 
43o 0,682 0,731 0,933 88o 0,999 0,035 28,636 
44o 0,695 0,719 0,966 89o 1,000 0,017 57,290 
45o 0,707 0,707 1,000 90o 1,000 0,000 (infinito) 
 
 
 
 
12 
 
Exercícios: 
 
 
 
 
 
 
 
13 
Licção no 47 
Tema: Resolução de triângulos rectângulos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
Licção no 48 
Tema: Resolução de equações trigonométricas 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
 
Exercícios 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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“Não há ramo da Matemática, por abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos 
fenômenos do mundo real.” Lobachevsky 
 
Quisito João Pahar 
Licenciado em Ensino de Matemática e Física pela 
Universidade Pedagógica – Delegação de Nampula - 2015. 
Formação em Histórias Digitais – 2013. Participou em 
workshops organizados pelo MCTESTP em parceria com a 
Universidade Pedagógica sobre o programa “Criando os 
Cientistas Moçambicanos do Amanhã”. Leccionou as 
cadeiras de Bioestatística e Estatística Geral no IPET 
(Instituto Politécnico de Empreendedorismo e Tecnologia) - 
II semestre de 2015. Docente de Matemática na Escola 
Secundária de Liúpo desde 2016. 
Bibliografia recomendada 
CUAMBE, Vasco, Matemática 10a classe (M10), 1a ed, Texto Editora, 
Maputo – 2011 
DANTE, Luiz Roberto, Matemática: contexto & aplicações (Livro do 
professor), 2a ed. São Paulo, Editora Ática, 2013 
LEZZI, Nelson et all, Matemática – Volume Único, Atual Editora