regras_primitivação_completas

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Departamento de Matema´tica da Universidade de Coimbra
Ana´lise Infinitesimal II
Primitivac¸a˜o Imediata
Na lista de primitivas que se segue considera-se uma func¸a˜o f : I → R diferencia´vel em I, onde
I e´ um intervalo de R. Ale´m disso, denotamos por C a constante de primitivac¸a˜o (arbitra´ria) e
por a uma constante.
Func¸a˜o Primitiva
a ax+ C
fm · f ′ f
m+1
m+ 1
+ C (m ∈ R\{−1})
f ′
f
ln |f |+ c
af · f ′ a
f
ln a
+ C, (a ∈ R+\{1})
f ′ · sin f − cos f + C
f ′ · cos f sin f + C
f ′ · tan f − ln | cos f |+ C
f ′ · cot f ln | sin f |+ C
f ′ · sec f ln | sec f + tan f |+ C
f ′ · csc f ln | csc f − cot f |+ C
f ′ · sec2 f tan f + C
f ′ · csc2 f − cot f + C
f ′ · sec f · tan f sec f + C
f ′ · csc f · cot f − csc f + C
f ′√
1− f2 arcsin f + C
ou: − arccos f + C
f ′
1 + f2
arctan f + C
ou: -arccotf + C
f ′
|f | ·
√
f2 − 1 arcsecf + C
−f ′
|f | ·
√
f2 − 1 arccscf + C
Func¸a˜o Primitiva
f ′ · sinh f cosh f + C
f ′ · cosh f sinh f + C
f ′ · tanh f ln | cosh f |+ C
f ′ · coth f ln | sinh f |+ C
f ′ · sech2f tanh f + C
f ′ · csch2f − coth f + C
f ′ · sechf · tanh f −sechf + C
f ′ · cschf · coth f −cschf + C
f ′√
1 + f2
argsinhf + C
−f ′√
f2 − 1 argcoshf + C
f ′
1− f2 argtanhf + C, se x ∈ (−1, 1)
ou: argcothf + C, se |x| > 1
f ′
|f | ·
√
1− f2 -argsechf + C
f ′
|f | ·
√
1 + f2
argcschf + C
Primitivac¸a˜o de poteˆncias de func¸o˜es trigonome´tricas e hiperbo´licas
1. Poteˆncias ı´mpares de sinx, cosx, sinhx e coshx.
Destaca-se uma unidade a` poteˆncia ı´mpar e o factor resultante passa-se para a co-func¸a˜o
atrave´s das fo´rmulas fundamentais:
cos2 x+ sin2 x = 1
cosh2 x− sinh2 x = 1.
2. Poteˆncias pares de sinx, cosx, sinhx e coshx.
Passam-se para o arco duplo atrave´s das fo´rmulas:
sin2 x =
1
2
(1− cos 2x)
cos2 x =
1
2
(1 + cos 2x)
sinh2 x =
1
2
(cosh 2x− 1)
cosh2 x =
1
2
(cosh 2x+ 1)
3. Poteˆncias pares e ı´mpares de tanx, cotx, tanhx e cothx.
Destaca-se tan2 x (tanh2 x) ou cot2 x (coth2 x) e aplica-se uma das fo´rmulas:
tan2 x = sec2 x− 1 tanh2 x = 1− sech2x
cot2 x = csc2 x− 1 coth2 x = 1 + csch2x.
4. Poteˆncias pares de secx, cscx, sechx e cschx.
Destaca-se sec2 x (sech2x) ou csc2x (csch2x) e ao factor resultante aplica-se uma das
fo´rmulas:
sec2 x = 1 + tan2 x sech2x = 1− tanh2 x
csc2 x = 1 + cot2 x csch2x = coth2 x− 1.
5. Poteˆncias ı´mpares de secx, cscx, sechx e cschx.
Destaca-se sec2 x (sech2x) ou csc2 x (csch2x) e primitiva-se por partes comec¸ando por esse
factor.
6. Poteˆncia ı´mpar de sinx (sinhx) por qualquer poteˆncia de cosx (coshx).
Destaca-se sinx (sinhx) e passa-se o factor resultante para a co-func¸a˜o, atrave´s da fo´rmula
fundamental
sin2 x = 1− cos2 x
sinh2 x = cosh2 x− 1.
7. Poteˆncia ı´mpar de cosx (coshx) por qualquer poteˆncia de sinx (sinhx).
Destaca-se cosx (coshx) e passa-se o factor resultante para a co-func¸a˜o, atrave´s da fo´rmula
fundamental
cos2 x = 1− sin2 x
cosh2 x = 1 + sinh2 x.
8. Poteˆncia par de sinx (sinhx) por poteˆncia par de cosx (coshx).
Aplicam-se as fo´rmulas
sin 2x = 2 sinx cosx sinh 2x = 2 sinhx coshx
sin2 x =
1− cos 2x
2
sinh2 x =
cosh 2x− 1
2
cos2 x =
1 + cos 2x
2
cosh2 x =
cosh 2x+ 1
2
.
9. Produtos em que aparecem factores do tipo sinmx e cosnx, ou produtos em que aparecem
factores do tipo sinhmx ou coshnx.
Aplicam-se as fo´rmulas
sinx sin y = 12(cos(x− y)− cos(x+ y)) sinhx sinh y = 12(cosh(x+ y)− cosh(x− y))
cosx cos y = 12(cos(x+ y) + cos(x− y)) coshx cosh y = 12(cosh(x+ y) + cosh(x− y))
sinx cos y = 12(sin(x+ y) + sin(x− y)) sinhx cosh y = 12(sinh(x+ y) + sinh(x− y)).
Primitivac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais
Consideremos a fracc¸a˜o
f(x)
g(x)
, em que f(x) e g(x) sa˜o dois polino´mios.
1. Se o grau do numerador for maior ou igual ao grau do denominador, efectua-se a divisa˜o
de f(x) por g(x); obte´m-se enta˜o
f(x)
g(x)
= Q(x) +
R(x)
g(x)
,
sendo agora
R(x)
g(x)
uma fracc¸a˜o pro´pria.
2. Decompo˜e-se o denominador da fracc¸a˜o pro´pria em factores; os factores obtidos sa˜o da
forma (x−a)α, correspondendo a ra´ızes reais a de multiplicidade α, ou da forma [(x−p)2 +
q2]β, correspondendo estes a`s ra´ızes imagina´rias p± qi de multiplicidade β.
3. Decompo˜e-se enta˜o a fracc¸a˜o pro´pria numa soma de elementos simples, de acordo com os
factores obtidos:
(a) cada factor do tipo (x− a)α da´ origem a
A1
(x− a)α +
A2
(x− a)α−1 + · · ·+
Aα
x− a,
com A1, A2, ..., Aα constantes a determinar;
(b) cada factor do tipo [(x− p)2 + q2]β da´ origem a
P1x+Q1
[(x− p)2 + q2]β +
P2x+Q2
[(x− p)2 + q2]β−1 + · · ·+
Pβx+Qβ
(x− p)2 + q2 ,
com P1, Q1, ..., Pβ, Qβ constantes a determinar.
4. Ca´lculo das constantes
As constantes Ai, Pi e Qi podem ser determinadas conjuntamente pelo me´todo dos coefi-
cientes indeterminados. Ha´ no entanto uma forma alternativa de calcular essas constantes,
que descrevemos em seguida.
(a) Ca´lculo dos coeficientes relativos a factores do tipo (x− a)α (seja ψ(x) tal que g(x) =
ψ(x) · (x− a)α):
i. se α = 1, apenas temos que determinar uma constante A, que e´ dada por:
A =
[
R(x)
ψ(x)
]
x=a
.
ii. se α > 1, efectua-se a divisa˜o [
R(x)
ψ(x)
]
x=a+h
dispondo os polino´mios por ordem crescente dos seus mono´mios, ate´ chegar ao
grau α− 1: [
R(x)
ψ(x)
]
x=a+h
= A1 +A2h+A3h
2 + · · ·+Aαhα−1 + · · ·
onde A1, A2, ..., Aα sa˜o as constantes que pretendemos determinar.
(b) Ca´lculo dos coeficientes relativos a factores do tipo [(x− p)2 + q2]β (seja ψ(x) tal que
g(x) = ψ(x) · [(x− p)2 + q2]β):
i. se β = 1, obtemos as constantes P1 e Q1 fazendo[
P1x+Q1 =
R(x)
ψ(x)
]
x=p+qi
.
ii. se β > 1, as constantes calculam-se pelo me´todo dos coeficientes indeterminados
(as constantes P1 e Q1 ainda podem ser obtidas como em i.).
Nota: Caso aparec¸am elementos simples da forma
1
[(x− p)2 + c]n , estes podem ser primitiva-
dos usando a seguinte fo´rmula de recorreˆncia:
P
(
1
[(x− p)2 + c]n
)
=
1
c
[
1
2n− 2 ×
x− p
[(x− p)2 + c]n−1 +
2n− 3
2n− 2P
(
1
[(x− p)2 + c]n−1
)]
.
Primitivac¸a˜o por Substituic¸a˜o
Sejam a, b, c e d constantes reais. A notac¸a˜o R(...) indica que se trata de uma func¸a˜o racional
(envolvendo apenas somas, diferenc¸as, produtos e quocientes) do que se encontra entre pareˆntesis.
Tipo de Func¸a˜o Substituic¸a˜o
1
(x2 + a2)k
, k ∈ N, k > 1 x = a tan t
P (x)
(ax2 + bx+ c)k
, k ∈ N, k > 1, b2 − 4ac < 0,
onde P (x) e´ um polino´mio de grau inferior a 2k ax+
b
2
= t
P (x)
((x− p)2 + q2)k , k ∈ N, k > 1,
onde P (x) e´ um polino´mio de grau inferior a 2k x = p+ qt
R(arx, asx, ...) amx = t onde m = m.d.c.(r, s, ...)
R(loga x) t = loga x
R(x, (
ax+ b
cx+ d
)
p
q , (
ax+ b
cx+ d
)
r
s , ...)
ax+ b
cx+ d
= tm onde m = m.m.c.(q, s, ...)
R(x, (ax+ b)
p
q , (ax+ b)
r
s , ...) ax+ b = tm onde m = m.m.c.(q, s, ...)
R(x, x
p
q , x
r
s , ...) x = tm onde m = m.m.c.(q, s, ...)
R(x,
√
a2 − b2x2) x = a
b
sin t ou x =
a
b
cos t ou x =
a
b
tanh t
R(x,
√
a2 + b2x2) x =
a
b
tan t ou x =
a
b
sinh t
R(x,
√
b2x2 − a2) x = a
b
sec t ou x =
a
b
cosh t
Tipo de Func¸a˜o Substituic¸a˜o
R(x,
√
x,
√
a− bx) x = a
b
sin2 t ou x =
a
b
cos2 t
R(x,
√
x,
√
a+ bx) x =
a
b
tan2 t
R(x,
√
x,
√
bx− a) x = a
b
sec2 t
R(x,
√
ax2 + bx+ c) se a > 0 faz-se
√
ax2 + bx+ c = x
√
a+ t
se c > 0 faz-se
√
ax2 + bx+ c =
√
c+ tx
se ax2 + bx+ c = a(x− r1)(x− r2),√
ax2 + bx+ c = (x− r1)t ou
√
ax2 + bx+ c = (x− r2)t
xm(a+ bxn)
p
q se
m+ 1
n
∈ Z faz-se a+ bxn = tq
se
m+ 1
n
+
p
q
∈ Z faz-se a+ bxn = xntq
R(sinx,cosx):
(a) se R e´ ı´mpar em sinx, isto e´,
R(− sinx, cosx) = −R(sinx, cosx) cosx = t
(b) se R e´ ı´mpar em cosx, isto e´,
R(sinx,− cosx) = −R(sinx, cosx) sinx = t
(c) se R e´ par em sinx e cosx, isto e´,
R(− sinx,− cosx) = R(sinx, cosx) tanx = t, sendo enta˜o (supondo x ∈ (0, pi2 ))
sinx =
t√
1 + t2
, cosx =
1√
1 + t2
(d) nos restantes casos (e ate´ nos anteriores) tan
x
2
= t, sendo enta˜o sinx =
2t
1 + t2
, cosx =
1− t2
1 + t2
R(sinmx, cosmx) mx = t
R(ex, sinhx, coshx) x = ln t
R(sinhx, coshx):
(a) R e´ ı´mpar em sinhx coshx = t
(b) R e´ ı´mpar em coshx sinhx = t
(c) R e´ par em sinhx e coshx tanhx = t, sendo enta˜o sinhx =
t√
1− t2 , coshx =
1√
1− t2
(d) nos restantes casos (e ate´ nos anteriores) tanh
x
2
= t, sendo enta˜o sinh t =
2t
1− t2 , coshx =
1 + t2
1− t2
R(sinhmx, coshmx) mx = t
Observac¸a˜o: Quando se efectua uma substituic¸a˜o, aparece frequentemente uma expressa˜o do tipo√
f2(t). No caso geral tera´ de se escrever√
f2(t) = |f(t)|.