AP1 Met Estatisticos I Gabarito 2018.2

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MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
1ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
2º Semestre de 2018 
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) 
(pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
Com os dados a seguir referente ao percentual de lucro obtido com uma dada ação 
no período de 30 dias (em ordem crescente), resolva os problemas de 1 a 3. 
 
 
 
1) (1,0 pt) Construa uma tabela de distribuição de frequências simples não 
agrupadas (Absoluta e Relativa); 
2) (0,5 pt) Obtenha a moda; 
3) (0,5 pt) Obtenha a mediana. 
Solução: 
1) Para a freqüência absoluta, faz-se a contagem e para a freqüência relativa, 
divide-se as freqüências absolutas pelo total. 
Lucro Freq. Abs. Freq. Relat. 
2 3 0,10 
5 4 0,13 
8 2 0,07 
10 4 0,13 
15 5 0,17 
18 3 0,10 
20 3 0,10 
22 4 0,13 
23 2 0,07 
Total 30 1 
 
2) A moda é o valor de maior freqüência. Na ocasião, o valor 15 detém a maior 
freqüência. Logo: 
𝑥∗ = 𝟏𝟓. 
 
3) A mediana é a média dos valores centrais, uma vez que “n” é par. Assim: 
𝑄2 =
𝑥15 + 𝑥16
2
=
15 + 15
2
= 𝟏𝟓. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2 2 2 5 5 5 5 8 8 10 10 10 10 15 15 
15 15 15 18 18 18 20 20 20 22 22 22 22 23 23 
4. (1,0 pt) Considere as notas de 10 alunos de Estatística, cuja média é 6,76. 
Determine o valor de X. 
9,6 X 6,8 7,3 5,8 8,0 7,9 8,3 6,2 6,2 
Solução: 
Temos que 
�̅� =
∑𝑥𝑖
𝑛
 
E que �̅� = 6,76 e 𝑛 = 10. Assim: 
6,76 =
(9,6 + 6,8 + 7,3 + 5,8 + 8,0 + 7,9 + 8,3 + 6,2 + 6,2) + 𝑋
10
=
66,1 + 𝑋
10
 
Logo: 
6,76 × 10 = 66,1 + 𝑋 ⇒ 67,6 = 66,1 + 𝑋 ⇒ 𝑋 = 67,6 − 66,1 = 1,5. 
Então: 
𝑿 = 𝟏, 𝟓. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Use a tabela de distribuição de frequências agrupadas abaixo (onde 𝒙𝒊 são obtidas 
através dos pontos médios das classes, 𝒇𝒊(%) é a frequência relativa e FAC é a 
frequência acumulada) para resolver os problemas de 5 a 11. 
Classes 𝑥𝑖 𝑛𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 𝑓𝑖(%) FAC FAC (%) 
4 – 8 6 2 
8 – 12 10 
12 – 16 84 
 18 
 1 
Total 20 
 
5. (1,0 pt) Complete a tabela com os valores que estão faltando (inclusive os totais); 
6. (0,5 pt) Determine a média destes dados; 
7. (0,5 pt) Determine a moda; 
8. (0,5 pt) Determine o desvio-padrão, sabendo que 𝜎2 =
1
𝑛
(∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 − 𝑛�̅�2); 
9. (0,5 pt) Determine o coeficiente de assimetria; 
10. (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação; 
11. (1,0 pt) Determine a mediana. 
 
Solução: 
5. Para completar a tabela, considere que as classes são sempre com a mesma 
amplitude, logo, completa-se com as classes (16-20), (20-24). Como os xi são os 
pontos médios das classes, então, completa-se com (8+12)/2=10, (12+16)/2=14, 
(20+24)/2=22. Ou simplesmente, acrescentar 4 ao xi anterior, dado que a 
amplitude de classe é 4. Para a freqüência absoluta, devemos observar que, tendo 
xi e nixi, pode-se obter ni através da divisão: 𝑛𝑖 =
𝑛𝑖𝑥𝑖
𝑥𝑖
 e observando o total, pode-se 
encontrar a freqüência absoluta faltante. Tendo as colunas xi e ni podem-se 
completar as duas últimas facilmente através de produtos de colunas. A parte das 
três últimas colunas é obtida: 
𝑓𝑖(%) = (
𝑛𝑖
𝑛
) × 100%, a FAC é a soma das frequências absolutas anteriores e a 
FAC(%) é a soma das frequências relativas anteriores. Assim, obtemos: 
 
Classes 𝑥𝑖 𝑛𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 𝑓𝑖(%) FAC FAC (%) 
4 – 8 6 2 12 72 10 2 10 
8 – 12 10 10 100 1.000 50 12 60 
12 – 16 14 6 84 1.176 30 18 90 
16 – 20 18 1 18 324 5 19 95 
20 – 24 22 1 22 484 5 20 100 
Total 20 236 3.056 100 
 
6. Média: �̅� =
∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
𝑛
=
236
20
= 𝟏𝟏, 𝟖. 
7. Moda: a moda é o ponto médio da classe de maior freqüência: Como a maior freqüência é 
10 e a classe com esta freqüência é 8 – 12, então a moda é seu ponto médio, ou seja: 
x*=10. 
8. Para calcular o desvio padrão, usemos a fórmula da variância 𝜎2 =
1
𝑛
(∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 − 𝑛�̅�2) 
𝜎2 =
1
𝑛
(∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 − 𝑛�̅�2) =
1
20
(3.056 − 20 × (11,8)2) =
1
20
(3.056 − 20 × 139,24) 
=
1
20
(3.056 − 2.784,8) =
271,2
20
= 13,56. 
Logo: O desvio padrão será: 
𝜎 = √13,56 = 𝟑, 𝟔𝟖. 
 
9. O coeficiente de assimetria é dado por 
𝑒 =
�̅� − 𝑥∗
𝜎
=
11,8 − 10
3,68
=
1,8
3,68
= 𝟎, 𝟒𝟗. 
10. O coeficiente de variação é dado por 
 
𝐶𝑉 =
𝜎
�̅�
× 100 =
3,68
11,8
× 100 = 0,3118 × 100 = 𝟑𝟏, 𝟏𝟖%. 
 
11. Para o cálculo da mediana, incialmente encontremos a classe que possui 50% dos dados: 
É a classe de 8 – 12. Que acumula de 10% a 60% (que inclui 50%), visto na FAC(%). 
Então, fazendo as proporções adequadas, teremos: 
 
12 − 8
𝑄2 − 8
=
60% − 10%
50% − 10%
 ⇒ 
4
𝑄2 − 8
=
50
40
=
5
4
 
16 = 5(𝑄2 − 8) ⇒ 16 = 5𝑄2 − 40 
 
5𝑄2 = 16 + 40 = 56 ⇒ 𝑄2 =
56
5
= 𝟏𝟏, 𝟐. 
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Considere o seguinte experimento: “Lançar um dado honesto de seis faces 
numeradas de 1 a 6 uma única vez e verificar a face voltada para cima ao cair” e 
considere os seguintes eventos: 
A: A face voltada para cima é um número par; 
B: A face voltada para cima é um número maior que 3; 
C: A face voltada para cima é igual à 6; 
D: A face voltada para cima é um número ímpar; 
E: A face voltada para cima é um número menor que 3. 
 
Com estas informações, responda as questões de 12 a 16. 
 
12. (0,5 pt) Este experimento é determinístico ou aleatório? Justifique! 
13. (0,5 pt) Qual o espaço amostral deste experimento? 
14. (0,5 pt) Qual(is) é (são) o(s) par(es) de eventos mutuamente exclusivos? 
15. (0,5 pt) Qual(is) é (são) o(s) par(es) de eventos complementares? 
16. (0,5 pt) Obtenha o evento (𝐶 ∪ (𝐷 ∩ 𝐸)). 
 
Solução: 
 
12. Este é um experimento aleatório visto que pode ter vários resultados. 
 
13. O espaço amostral. 
 
𝛀 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔} 
 
14. São mutuamente exclusivos, ou seja, cuja interseção é vazia: 
(A e D), (B e E), (C e D) e (C e E) 
 
15. Para ser complementar, além de ser mutuamente exclusivo, a união tem que ser 
igual ao espaço amostral. Neste caso, apenas o par (A e D) obedece este 
critério. 
 
16. Este evento será: 
 
(𝐶 ∪ (𝐷 ∩ 𝐸)) = {6} ∪ ({1,3,5} ∩ {1,2}) = {6} ∪ {1} = {𝟏, 𝟔} 
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