Módulo de estudo ED 01

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Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 01 – 1 / 20
Equac¸o˜es diferenciais
Rubem Alves da Silva
UNIDADE ACADEˆMICA DE ENGENHARIA ELE´TRICA - DEE-UFCG
21 de outubro de 2014
Mo´dulo de estudo no 1
Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 01 – 2 / 20
SUMA´RIO
1. Apresentac¸a˜o da mate´ria
Objetivos;
Ementa;
Conteu´do programa´tico;
Bibliografia;
2. Introduc¸a˜o a`s equac¸o˜es diferenciais;
Conceituac¸a˜o, notac¸a˜o, terminologia;
Classificac¸a˜o;
Conceitos ba´sicos
Soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o diferencial.
Apresentac¸a˜o da mate´ria
Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 01 – 3 / 20
Objetivos
Fornecer ao estudante te´cnicas de resoluc¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais lineares de primeira
ordem, de segunda ordem e de ordens superiores a` segunda; discutir algumas aplicac¸o˜es
dessas equac¸o˜es.
Ementa
Equac¸o˜es diferenciais ordina´rias de 1a ordem e aplicac¸o˜es. Equac¸o˜es diferenciais
ordina´rias lineares de 2a ordem e aplicac¸o˜es. Equac¸o˜es lineares de ordem superior.
Resoluc¸a˜o de Equac¸o˜es diferenciais em se´ries de poteˆncia. Equac¸a˜o de Bessel. Func¸o˜es
ortogonais. Equac¸a˜o de Legendre. Polinoˆmios de Legendre.
Conteu´do programa´tico
Unidade I - Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias de 1a ordem Equac¸o˜es Diferenciais
Lineares de 1a Ordem. Circuitos Ele´tricos. Equac¸o˜es Diferenciais Na˜o Lineares.
Equac¸o˜es a Varia´veis Separa´veis. Aplicac¸o˜es Geome´tricas e F´ısicas.Trajeto´rias
Ortogonais. Equac¸o˜es Redut´ıveis a` forma Separa´vel. Me´todo da Variac¸a˜o de
Paraˆmetros. Equac¸o˜es Exatas. Fatores Integrantes. Equac¸o˜es de Bernoulli. Teorema de
Picard. Me´todo da Iterac¸a˜o de Picard.
Apresentac¸a˜o da mate´ria
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Conteu´do programa´tico (cont.)
Unidade II - Equac¸o˜es Diferenciais Lineares de 2a ordem Equac¸o˜es Homogeˆneas.
Soluc¸a˜o Geral . Existeˆncia e Unicidade de Soluc¸o˜es. Conjunto Fundamental de Soluc¸o˜es.
O Wronskiano. Me´todo de Reduc¸a˜o de Ordem. Equac¸o˜es Lineares de Segunda Ordem
com Coeficientes Constantes. Polinoˆmio. Caracter´ıstico e Soluc¸a˜o Geral. Equac¸o˜es Na˜o
Homogeˆneas. Me´todo da Variac¸a˜o de Paraˆmetros. Equac¸o˜es de Ordem Superior.
Equac¸a˜o de Euler-Cauchy. Aplicac¸o˜es: Vibrac¸o˜es Mecaˆnicas Livres (com ou sem
amortecimento) e Forc¸adas(batimento e ressonaˆncia). Circuitos Ele´tricos.
Unidade III - Resoluc¸a˜o de Equac¸o˜es Diferenciais por Se´ries de Poteˆncia Revisa˜o das
Se´ries de Poteˆncias. Soluc¸a˜o em Se´ries das Equac¸o˜es Lineares. Soluc¸o˜es nas vizinhanc¸as
de um ponto ordina´rio. Ponto Singular Regular. Soluc¸o˜es nas vizinhanc¸as de um ponto
singular regular. Equac¸o˜es de Euler, Bessel e Legendre. Func¸o˜es Ortogonais. Func¸o˜es de
Bessel. Polinoˆmios de Legendre
Apresentac¸a˜o da mate´ria
Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 01 – 5 / 20
Bibliografia
BOYCE, W. E. e DIPRIMA, R. C. Equac¸o˜es diferenciais Elementares e Problemas de Valor de
Contorno. 7a ed. Rio de Janeiro: LTC - Te´cnico e Cient´ıfico Editora, 2002.
SIMMONS, G. F. Equac¸o˜es Diferenciais: Teoria, Te´cnica e Pra´tica. 1a ed. Editora
McGraw-Hill Brasil.
ZILL, D. G. e CULLEN, M. R., Equac¸o˜es Diferenciais. Sa˜o Paulo: Makron Books, 2001.
ABELL, MARTHA L. e BRASELTON, JAMES P., Differential Equations with Mathematica.
Academic Press, 1993.
ABELL, MARTHA L. e BRASELTON, JAMES P., Modern Differential Equations - Theory,
Applications, Technology. Saunders College Publishing, 1996.
Introduc¸a˜o
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Problemas importantes da engenharia, da f´ısica, das cieˆncias biolo´gicas e sociais, e
de muitos outros ramos do conhecimento sa˜o formulados em termos matema´ticos.
A resoluc¸a˜o de muitos desses problemas requer a determinac¸a˜o de uma func¸a˜o que
satisfac¸a uma dada equac¸a˜o ou um dado sistema de equac¸o˜es.
Quando as equac¸o˜es consideradas envolvem uma ou mais derivadas da func¸a˜o
procurada, sa˜o denominadas equac¸o˜es diferenciais.
Definic¸a˜o:
Equac¸a˜o diferencial e´ uma equac¸a˜o que envolve uma certa func¸a˜o e uma ou mais de
suas derivadas.
Exemplos:
du(t)
dt = v(t)
m
d2u(t)
dt2 = F
(
t, u,
du
dt
)
Classificac¸a˜o
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Equac¸o˜es diferenciais ordina´rias: sa˜o equac¸o˜es que envolvem apenas derivadas ordina´rias de
uma ou mais varia´veis dependentes com respeito a uma varia´vel dependente;
Equac¸o˜es diferenciais parciais: sa˜o equac¸o˜es que envolvem derivadas parciais de uma ou
mais varia´veis dependentes com respeito a mais de uma varia´vel dependente;
Exemplos:
m
d2u(t)
dt2
= F
(
t, u,
du
dt
)
(equac¸a˜o diferencial ordina´ria)
∂2u(x, y)
∂x2
+
∂2u(x, y)
∂y2
= 0 (equac¸a˜o diferencial parcial)
Ordem da equac¸a˜o
A ordem de uma equac¸a˜o diferencial e´ aquela de sua derivada de mais alta ordem.
Exemplos:
du(t)
dt = v(t) e
∂u
∂t
+ u
∂u
∂x
= 0 (equac¸o˜es de primeira ordem)
∂2u(x, y)
∂x2
+
∂2u(x, y)
∂y2
= 0 e ∂
2u(x, y)
∂x2
+
∂2u(x, y)
∂y2
= f (x, y) (equac¸o˜es de segunda ordem)
Classificac¸a˜o
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Equac¸o˜es diferenciais lineares: sa˜o equac¸o˜es que envolvem apenas termos do primeiro grau
na varia´vel dependente e em suas derivadas.
Exemplos:
d2y
dx2 + x
dy
dx + 2y = 0;
d2u
dx2 + u = e
x
d2y
dx2 + x
dy
dx + 2y = cos x;
∂2u
∂x2
+ y
∂u
∂y
= 0
Equac¸o˜es diferenciais na˜o lineares: sa˜o todas as equac¸o˜es que na˜o sa˜o lineares.
Exemplos:
d2y
dx2
+ y
dy
dx + 2y = 0;
d2x
dt2
+ sen x = 0
(
dy
dx
)2
+ y = 0; ∂
2u
∂x2
+ u
∂u
∂y
= 0
Uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de ordem n e´ dita linear se e´ da forma
an(x) d
ny
dxn + an−1(x)
dn−1y
dxn−1
+ · · · + a2(x) d
2y
dx2
+ a1(x) dydx + a0(x)y = f (x)
em que as func¸o˜es a j(x), j = 0, 1, 2, · · · , n e f (x) sa˜o dadas e an(x) e´ na˜o nula.
Notac¸a˜o
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Derivadas ordina´rias
Se y representa uma func¸a˜o de x, as expresso˜es seguintes representam a derivada de y
com respeito a x:
y ′ y ′(x) dydx Dy
As expresso˜es seguintes representam a derivada segunda de y com respeito a x:
y ′′ y ′′(x) d
2y
dx2 D
2y
As derivadas de ordem 3 sa˜o expressas por:
y ′′′ y ′′′(x) d
3y
dx3 D
3y
Para derivadas de ordem 4 e superiores, usa-se a notac¸a˜o
y(4) =
d4y
dx4 y
(5)
=
d5y
dx5 · · · y
(n)
=
dny
dxn
Quando a varia´vel dependente e´ o tempo, t, utilizam-se frequentemente as expresso˜es y˙ e
y¨, para as derivadas primeira e segunda, respectivamente.
Notac¸a˜o
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Derivadas parciais
Se u representa uma func¸a˜o de x e de y, u(x, y), as expresso˜es seguintes representam a
derivada parcial de u com respeito a x e de u com respeito a y, respectivamente:
∂u
∂x
= ux
∂u
∂y
= uy
As derivadas sucessivas com respeito a x e a y sa˜o representadas por:
∂
∂y
(
∂u
∂x
)
=
∂2u
∂y∂x
= uxy
As derivadas segunda com respeito a x e com respeito a y sa˜o representadas,
respectivamente, por:
∂
∂x
(
∂u
∂x
)
=
∂2u
∂x2
= uxx
e
∂
∂y
(
∂u
∂y
)
=
∂2u
∂y2
= uyy
Sistemas de equac¸o˜es diferenciais
Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 01 – 11 / 20
No estudo da a´lgebra elementar surgiram problemasem que era necessa´rio determinar
um certo nu´mero de inco´gnitas a partir de um conjunto ou sistema de equac¸o˜es
alge´bricas. Da mesma maneira, problemas em que se pretende determinar duas ou mais
func¸o˜es de uma dada varia´vel sa˜o formulados como um sistema de equac¸o˜es diferenciais.
Por exemplo, se u e v representam func¸o˜es da varia´vel x, o problema da determinac¸a˜o de
u e v pode ser expresso na forma de um sistema de equac¸o˜es diferenciais como
{
u ′ = au + bv
v ′ = cu + dv
em que a, b, c e d sa˜o constantes e as diferenciac¸o˜es sa˜o com respeito a x.
Tais sistemas surgem naturalmente em muitas situac¸o˜es f´ısicas que sa˜o representadas
matematicamente por mais de uma equac¸a˜o diferencial envolvendo mais de uma varia´vel
dependente. Ale´m disso, pode ser muito u´til representar uma equac¸a˜o diferencial de
ordem superior por meio de um sistema de equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem.
Exemplo:
O movimento de um peˆndulo e´ representado pela equac¸a˜o na˜o linear de segunda ordem
d2x/dt2 + sen x = 0.
Escreveˆ-la como um sistema de equac¸o˜es de primeira ordem.
Sistemas de equac¸o˜es diferenciais
Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 01 – 12 / 20
Soluc¸a˜o:
Seja
y =
dx
dt = x
′
Enta˜o,
y ′ =
d2x
dt2 = − sen x
Assim, a equac¸a˜o na˜o linear de segunda ordem e´ equivalente ao sistema de equac¸o˜es de
primeira ordem dado por {
x ′ = y
y ′ = − sen x
Conceitos ba´sicos
Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 01 – 13 / 20
Muitos dos princ´ıpios e leis que descrevem os fenoˆmenos do universo conhecido sa˜o
proposic¸o˜es ou relac¸o˜es que envolvem taxas de variac¸a˜o de algumas grandezas com
respeito a outras. Em termos matema´ticos, as relac¸o˜es mencionadas sa˜o equac¸o˜es e as
taxas de variac¸a˜o sa˜o derivadas de func¸o˜es. Equac¸o˜es envolvendo derivadas sa˜o
equac¸o˜es diferenciais. Portanto, para compreender os fenoˆmenos do mundo natural e
resolver problemas relacionados com esses fenoˆmenos e´ necessa´rio um so´lido
conhecimento das equac¸o˜es diferenciais.
As equac¸o˜es diferenciais que descrevem um dado fenoˆmeno ou processo f´ısico constituem
o que se denomina modelo matema´tico do fenoˆmeno ou processo.
Apresentam-se, a seguir, alguns exemplos desses modelos.
Exemplo 1 Movimento em linha reta
Considere-se um corpo de massa m movendo-se horizontalmente, sob a ac¸a˜o de uma forc¸a
de magnitude F. A lei f´ısica que governa esse fenoˆmeno e´ a segunda lei de Newton. Ela
estabelece que a forc¸a liquida que atua sobre o corpo em movimento e´ igual ao produto
da massa do corpo por sua acelerac¸a˜o. Matematicamente, essa lei e´ expressa por:
F = ma (1)
A acelerac¸a˜o, a, na Equac¸a˜o (1) representa a taxa de variac¸a˜o da velocidade com
respeito ao tempo, isto e´, a = dv/dt. Portanto, essa equac¸a˜o pode ser escrita como
Conceitos ba´sicos
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m
dv(t)
dt = F (2)
A equac¸a˜o diferencial (2) e´ o modelo matema´tico do movimento em linha reta de um
corpo em um meio sem atrito.
Exemplo 2 Queda de um corpo na atmosfera
O movimento de queda de um corpo na atmosfera nas proximidades do n´ıvel do mar e´,
essencialmente, o movimento de um corpo ao longo de uma linha reta. Portanto, seu
modelo matema´tico e´ expresso pela Equac¸a˜o (2) e seu detalhamento e´ obtido
identificando-se as forc¸as que agem sobre o corpo. A gravidade exerce uma forc¸a igual
ao peso do corpo, dada por w = mg, em que g e´ a acelerac¸a˜o devida a gravidade. Uma
segunda forc¸a agindo sobre o corpo e´ proporcionada pela resisteˆncia oferecida pelo ar ao
seu deslocamento. Essa forc¸a, aqui denominada forc¸a de arrasto, pode ser considerada
como sendo proporcional a` velocidade, v do corpo, podendo ser representada por Fa = γv
em que γ e´ uma constante denominada constante de arrasto. Na obtenc¸a˜o da forc¸a
liquida sobre o corpo deve-se considerar que o peso atua no sentido de sua queda
enquanto que o arrasto atua no sentido oposto a ela. Desse modo, tem-se que a forc¸a
liquida agindo sobre o corpo e´ dada por
F = w − Fa = mg − γv (3)
Conceitos ba´sicos
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Portanto, o modelo matema´tico do movimento de queda do corpo e´
m
dv(t)
dt = mg − γv (4)
A resoluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial (4) e´ relativamente fa´cil e sera´ estudada mais
adiante. Ela consiste na determinac¸a˜o da func¸a˜o velocidade, v(t), capaz de satisfazer a
equac¸a˜o diferencial. A partir dessa soluc¸a˜o, outras informac¸o˜es a respeito da queda do
corpo podem ser obtidas. Entretanto, pode-se aprender alguma coisa a respeito desse
movimento sem ter que resolver a equac¸a˜o (4). Informac¸o˜es sobre o comportamento da
soluc¸a˜o podem ser obtidas a partir da construc¸a˜o de um diagrama denominado campo
de direc¸o˜es ou campo de declividades, como se mostra a seguir.
Campos de direc¸o˜es
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Considere-se a equac¸a˜o (4), obtida anteriormente. Atribuindo-se a`s constantes m, g e γ
os valores m = 10 kg, g = 9, 8 m/s2 e γ = 2 kg/s, adotando-se unidades do Sistema
Internacional (SI), obte´m-se a equac¸a˜o
dv
dt = 9, 8 −
v
5 (5)
Arbitrando-se um certo valor para v na Equac¸a˜o (5), obte´m-se o valor correspondente
para dv/dt. Por exemplo, para v = 40, tem-se que dv/dt = 1, 8. Geometricamente, isso
significa que a declividade de uma soluc¸a˜o v = v(t) tem o valor 1, 8 em qualquer ponto em
que v = 40. Isso pode ser representado graficamente trac¸ando-se segmentos de reta ou
setas com declividade 1, 8 em va´rios pontos da reta horizontal v = 40 no plano tv.
Similarmente, para v = 50, obte´m-se dv/dt = −0, 2, o que pode ser representado por
va´rios segmentos de retas ou setas com declividade −0, 2, trac¸ados em diversos pontos da
reta v = 50. Repetindo-se esse procedimento para diversos valores de v obte´m-se o
diagrama representado na Figura (1), mostrado a seguir, denominado campo de direc¸o˜es
ou campo de declividades da Equac¸a˜o (5).
Campos de direc¸o˜es
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2 4 6 8 10
t
45
50
55
60
v
Figura 1: Campo de direc¸o˜es
A importaˆncia dessa Figura e´ que cada
segmento de reta e´ tangente ao gra´fico
de uma soluc¸a˜o da Equac¸a˜o (5). Desse
modo, embora nenhuma soluc¸a˜o tenha
ainda sido determinada, pode-se tirar al-
guma conclusa˜o acerca de seu comporta-
mento. Se, por exemplo, v e´ menor que
certo valor cr´ıtico, todos os segmentos de
reta teˆm declividades positivas e a velo-
cidade do mo´vel cresce quando ele cai.
Por outro lado, se v e´ maior que certo
valor cr´ıtico, os segmentos teˆm declivi-
dades negativas e a velocidade do mo´vel
diminui quando ele cai.
O valor cr´ıtico de v que separa os movimentos de queda em que a velocidade aumenta
daqueles em que ela diminui e´ precisamente aquele que separa as declividades positivas
das negativas. Obviamente, ele e´ aquele em que dv/dt = 0. A Figura (1) sugere que esse
valor fica nas vizinhanc¸as de v = 48. Tomando-se dv/dt = 0 na Equac¸a˜o (5), obte´m-se
Campos de direc¸o˜es
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v = 49 m/s. A func¸a˜o constante v(t) = 49 e´ uma soluc¸a˜o da Equac¸a˜o (5), o que se pode
verificar pela substituic¸a˜o dessa func¸a˜o na referida equac¸a˜o. Pelo fato de na˜o variar com
o tempo, essa soluc¸a˜o e´ denominada soluc¸a˜o de equil´ıbrio. Ela e´ a soluc¸a˜o que
corresponde ao equil´ıbrio entre os efeitos da gravidade e do arrasto. Essa soluc¸a˜o e´
representada graficamente pela curva em vermelho na Figura (1).
Outra conclusa˜o importanteque se pode obter da Figura (1) e´ que todas as outras
soluc¸o˜es da Equac¸a˜o (5) parecem convergir para a soluc¸a˜o de equil´ıbrio.
Os campos de direc¸o˜es sa˜o ferramentas valiosas no estudo do comportamento das
soluc¸o˜es de equac¸o˜es diferenciais da forma
dy
dt = f (t, y) (6)
Observe-se ainda que eles podem ser obtidos sem que seja necessa´rio resolver a equac¸a˜o,
visto que seu trac¸ado requer apenas que se calcule dy/dt para diferentes valores de y
convenientemente escolhidos. Embora o trac¸ado manual dos campos de direc¸o˜es possa
ser tedioso, eles podem ser facilmente obtidos pelo uso de um computador. Programas
especializados, tais como o Mathematica, o Matlab, o Maple, o Derive, entre outros,
permitem obter facilmente esses diagramas, ale´m de se constitu´ırem em ferramentas
essenciais no estudo das Equac¸o˜es Diferenciais. E´ altamente recomenda´vel que o
estudante se familiarize com o uso de um deles.
Soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria
Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 01 – 19 / 20
Neste curso estudam-se equac¸o˜es diferenciais ordina´rias cuja forma geral pode ser escrita
como
F(x, y, y ′, y ′′, y ′′′, · · · , y(n)) = 0
Definic¸a˜o:
A soluc¸a˜o dessa equac¸a˜o diferencial, no intervalo α < x < β e´ uma func¸a˜o y cujas
derivadas existem e, juntamente com a func¸a˜o, satisfazem a equac¸a˜o para todo x em
α < x < β.
Exemplo:
A equac¸a˜o diferencial ordina´ria de segunda ordem, dada por
x2y ′′ − 3xy ′ + 4y = 0, x > 0
pode ser escrita como
F(x, y, y ′, y ′′) = 0 em que F(x, y, y ′, y ′′) = x2y ′′ − 3xy ′ + 4y
Uma soluc¸a˜o dessa equac¸a˜o e´ a func¸a˜o y(x) = x2 ln x, o que se pode facilmente verificar
substituindo-se y(x), y ′(x) e y ′′(x) na equac¸a˜o diferencial.
Soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria
Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 01 – 20 / 20
A partir daqui sera˜o apresentados me´todos sistema´ticos para a resoluc¸a˜o de equac¸o˜es
diferenciais lineares de diferentes ordens. Entretanto, no curso Ca´lculo Diferencial e
Integral I ja´ se estabeleceram as bases para a resoluc¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais
ordina´rias da forma dy/dx = f (x). Em verdade, equac¸o˜es diferenciais desse tipo estavam
sendo resolvidas todas as vezes em que se calculavam integrais da forma∫
f (x)dx
Nestes casos, a equac¸a˜o diferencial dy/dx = f (x) e´ reescrita na forma dy = f (x)dx.
Integrando-se os dois membras desta ultima equac¸a˜o, com respeito a` varia´vel livre x,
obteˆm-se
y(x) =
∫
dy =
∫
f (x)dx = F(x) +C
em que C e´ uma constante arbitra´ria. A soluc¸a˜o y = F(x) +C representa, em verdade,
uma infinidade de soluc¸o˜es poss´ıveis da equac¸a˜o diferencial dada.
As te´cnicas de integrac¸a˜o conhecidas, tais como, substituic¸a˜o de varia´veis, expansa˜o em
frac¸o˜es parciais, integrac¸a˜o por partes, etc, sa˜o empregadas nesse processo de resoluc¸a˜o.
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	dredApresentação da matéria
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	dredIntrodução
	dredClassificação
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	dredNotação
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	dredSistemas de equações diferenciais
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	dredConceitos básicos
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	dredCampos de direções
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	dredSolução de uma equação diferencial ordinária
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