Programação Não Linear em Pesquisa Operacional

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Pesquisa Operacional - Programação Não Linear 
Fernando Nogueira 1
Lista 10 
qualquer erro, favor enviar e-mail para fernog@engprod.ufjf.br 
1) Alguns especialistas consideram que o custo C(x) da produção de x unidades é geralmente 
dado por um polinômio de terceiro grau: 
 
( ) 32 kxdxbxaxC +++= 
 
onde: 
a é um custo fixo (aluguel, luz,...) e os demais parâmetros são de mais complicadas 
interpretações. 
 
Assim, um fabricante de móveis estima que o custo semanal da fabricação de x mesas coloniais é 
dado por: 
 
( ) 500x80x3xxC 23 +−−= 
 
Cada mesa é vendida por R$2.800,00. Que produção semanal maximizará o lucro? Qual o 
máximo lucro semanal possível? 
2) Deseja-se construir um galpão cuja área deve ver igual a 80 m2 (base retangular). O material 
empregado no chão custa R$20,00/m2 e o material empregado nas paredes custa R$15,00/m2. 
Que dimensões minimizarão o custo ? Considere a altura h =3. 
 
3)300 metros de gradeado vão ser usados para cercar 6 áreas conforme a figura. Determine as 
dimensões que maximizam a área cercada. 
4) Minimizar ( ) 22112 X3XXX2X,1Xf ++= , sujeita a 3XX 221 =+ 
5) Implementar um programa, na linguagem de sua escolha, que forneça a localização ótima de 
N origens a fim de abastecer M destinos e os fluxos ótimos de cada origem para cada destino. 
x
y
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Considere a oferta em cada origem, bem como a localização e a demanda dos destinos 
conhecida. 
Respostas 
1) 
Podemos expressar o lucro como: 
 ( ) ( ) ( )xCxRxP −= 
onde: 
P(x) é a função lucro 
R(x) é a função receita 
( ) x2800xR = 
 
( ) ( )500x80x3xx2800xP 23 +−−−= 
 
( ) 500x2880x3xxP 23 −++−= 
 
( ) 02880x6x3xP 2 =++−=′ 
x = -30 (sem sentido x negativo, portanto, desprezado) 
ou 
x = 32,00 
Lucro = 61964,00 
 
 
 
 
 
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2) 
 
80x = 
x = y = 8.944271 
 
 
x 
y 
h 
( ) )yh15(2)xh15(2xy20y,xC ++=
x
80y
80y.x
3h
=
=
=
( ) )h
x
8015(2)xh15(2
x
80x20xC ++=
( ) h
x
8030xh3080.20xC ++=
3h =
( )
x
8090x901600xC ++=
( ) 0
x
720090xC
2
=−=′
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3) 
x = 50 
y = 37.5 
4) 
( ) ( ) ( )212121 x,xgx,xf,x,xh λ−=λ com 0x,x 21 ≥ 
( ) ( )3xxx3xxx2,x,xh 221221121 −+λ−++=λ 
0x2x2
x
g
x
f
x
h
12
111
=λ−+=∂
∂λ−∂
∂=∂
∂ 
03x
x
g
x
f
x
h
1
222
=λ−+=∂
∂λ−∂
∂=∂
∂ 
03xxgh 2
2
1 =+−−=−=λ∂
∂ 
Resolvendo para x1, x2 e λ, fica: 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
=
−=
=+
4
x3300.x)x(A
y.x)y,x(A
4
x3300y
300y4x3
2x
4
3x75)x(A −=
0x
2
375)x(A =−=′
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7093.10Z
6
3
4
3
2x
6
3
21x
6
3
22
2
1
=
+−=
+−=
+=λ
 
 
ou 
7093.6Z
6
3
4
3
2x
6
3
21x
6
3
22
2
1
−=
−−=
−−=
−=λ
 
Mínimo