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Modelagem de Sistemas Dinaˆmicos I
Aula 1
Professor: Rafael Valada
Versa˜o: 2018/2
1 Conteu´do
1.1 Motivac¸a˜o
EXPERIMENTO FI´SICO - Vı´deo Experimento: Garrafa Pet
Quanto tempo a garrafa demora para ficar completamente vazia?
1.1.1 Me´todo cient´ıfico - resoluc¸a˜o de problemas na engenharia
Me´todo cient´ıfico
• observar a natureza
• formular hipo´teses e modelar
• teste das hipo´teses
• elaborar teoria
Soluc¸a˜o de problemas na engenharia
• problema pergunta
• modelagem
• teste do modelo
• resolver o problema
1.1.2 Construc¸a˜o e resoluc¸a˜o
Problema: Tempo para a garrafa esvaziar?
Matema´ticamente procuramos a relac¸a˜o entre
∆V
∆t
ou
∆h
∆t
Hipo´teses f´ısicas:
1
1. ∆V∆t , depende da a´rea de sa´ıda
2. ∆V∆t , depende da velocidade de sa´ıda
3. Lei de Torricelli da Hidrosta´tica: v =
√
2gh
4. V (0) = V0, ou h(0) = h0
5. volume de a´gua esta diminuindo
Modelagem: Admita que
∆V
∆t
∝ A0, ∆V
∆t
∝ v ⇒ ∆V
∆t
∝ A0v,
e como o volume esta diminuindo, acrescentamos um sinal negativo para que nosso modelo expresse
esse resultado, chegando a
∆V
∆t
∝ −vA0 (1)
Para transformar a proporcionalidade (1) em uma equac¸a˜o, devemos acrescentar uma constante e
ja´ usando a hipo´tese de Torricelli para a velocidade, temos
∆V
∆t
= −αA0
√
2gh, (2)
onde α e´ uma constante de proporcionalidade.
Finalmente, fazendo o tempo ser ta˜o pequeno quanto se queira, ou seja, t→ 0, obte´m-se
dV
dt
= −αA0
√
2gh. (3)
No entanto e´ muito mais fa´cil medir a altura da coluna de a´gua do que o volume, pois para o
volume devemos fazer “contas”, logo, com este intuito faremos uma troca de varia´veis entre V e h.
Para tanto, observe que V = Ah, onde A representa a a´rea do cilindro.
Assim, usando a regra da cadeia, temos
dV
dt
=
dV
dh
dh
dt
,
e como, dVdh = A, obte´m-se
dh
dt
= −A0
A
√
2gh, (4)
onde admitimos α = 1. Ou ainda
dh
dt
= −A0
A
√
2gh1/2, (5)
Fazendo separac¸a˜o das varia´veis da equac¸a˜o (5), temos
h
−1
2 dh = −A0
A
√
2gdt. (6)
Por outro lado, aplicando a integral em ambos os lados da equac¸a˜o (6)∫
h
−1
2 dh =
∫
−A0
A
√
2gdt, (7)
2
que resulta em
2h
1
2 = −A0
A
√
2g t+ C1, (8)
onde C1 e´ uma constante de integrac¸a˜o.
Como podemos determinar C1 ?
Utilizando a condic¸a˜o h(0) = h0. Logo aplicando essa condic¸a˜o obtemos que
C1 = 2h0
1
2 ,
e substituindo esse resultado em (8), obte´m-se
h(t) =
(
h0
1
2 − A0
A
√
g
2
t
)2
. (9)
Observe que A0 e A, sa˜o a´reas de c´ırculos, logo podemos escrever A0 = piR0
2 e A = piR2, levando
a equac¸a˜o (9) a seguinte forma
h(t) =
(
h0
1
2 −
(
R0)
R
)2√g
2
t
)2
. (10)
Teste do modelo
Observe que
h(0) = h0. (11)
Resoluc¸a˜o do problema
Isolando t da equac¸a˜o (10), temos
t =
(
R
R0
)2√2
g
(
h0
1
2 − h 12
)
, (12)
e para h = 0, temos
tE =
(
R
R0
)2√2h0
g
,
onde tE , representa o tempo quando h = 0.
Desta maneira o tempo para esvaziar a garrafa e´ dado por
tE =
(
R
R0
)2√2h0
g
, (13)
onde r,R, representam, respectivamente, o raio do furo e o raio do cilindro.
Podemos organizar os dados de nosso modelo na tabela abaixo
Quais sa˜o as falhas e restric¸o˜es do nosso modelo?
1. o modelo na˜o considera a viscosidade do fluido
2. a equac¸a˜o (9), mostra que se t cresce indefinidamente, a altura de liquido comec¸a a crescer
levando a uma inconsisteˆncia f´ısica.
3
Grandeza Medida
R
R0
h0
g
Tabela 1: Dados do modelo
3. Pelo item (2), vemos que nosso modelo possui uma restric¸a˜o quanto ao intervalo de tempo que
podemos usar na equac¸a˜o (9), pois vimos que em tE a altura era nula e para um tempo maior
continuara´ sendo nula, independente de quanto tempo passar.
Conclusa˜o final
Func¸a˜o h(t)
h(t) =
(
h0
1
2 −
(
R0
R
)2√g
2
t
)2
, (14)
para t < tE , onde tE e´ o tempo para que o cilindro fique completamente vazio.
Tambe´m podemos concluir que o tempo, como func¸a˜o da altura e´ dado por
t =
(
R
R0
)2√2
g
(
h0
1
2 − h 12
)
. (15)
Perceba que nosso modelo permite inverter a ordem do problema, ou seja, medir a altura da coluna
de liquido atrave´s da medida de tempo.
Um problema real: Considere um tanque de combust´ıveis e levantamos a pergunta: Sera´ poss´ıvel
apenas medindo tempo para enchermos um pequeno volume saber a quantidade de l´ıquido que conte´m
o tanque?
Observe que da equac¸a˜o (14), sabemos que
h(0) = h0, (16)
e escolhendo um tempo adequado, t∗, temos
h(t∗) =
(
h0
1
2 −
(
R0
R
)2√g
2
t∗
)2
. (17)
Admitindo a variac¸a˜o da altura do combust´ıvel temos
∆h = h(t∗)− h(0) =
(
h0
1
2 −
(
R0
R
)2√g
2
t∗
)2
− h0, (18)
sabendo que ∆h = ∆V
piR2
, podemos ainda escrever(
h0
1
2 −
(
R0
R
)2√g
2
t∗
)2
− h0 = ∆V
piR2
, (19)
4
ou
f (h0) =
(
h0
1
2 −
(
R0
R
)2√g
2
t∗
)2
− h0 − ∆V
piR2
. (20)
A equac¸a˜o (20), e´ uma equac¸a˜o na˜o linear, podendo ser resolvida por alguma te´cnica nume´rica,
onde a procura por uma soluc¸a˜o sera´ entre 0 < h0 < H e H representa a altura ma´xima do tanque
cil´ındrico.
1.2 Definic¸a˜o informal de equac¸a˜o diferencial
Uma equac¸a˜o diferencial e´ uma igualdade, onde aparece a derivada da inco´gnita na equac¸a˜o. Logo
e´ uma equac¸a˜o que existe derivada.
1.3 Primeiro aspecto: concisa˜o de informac¸o˜es
Uma equac¸a˜o diferencial possui a caracter´ıstica de resumir informac¸o˜es e conceitos. Um exemplo
desse poder de concisa˜o sa˜o as equac¸o˜es da cinema´tica, que podem ser resumidas em uma u´nica
equac¸a˜o diferencial, a saber
a =
dv
dt
.
Podemos derivar o MRU, apenas adicionando as condic¸o˜es de contorno adequadas, bem como o
MRUV.
1.3.1 MRU
Admitindo que
a =
dv
dt
, (21)
e introduzindo as condic¸o˜es que definem o MRU, v = const e x(0) = x0, temos
dv
dt
= 0⇒ v = V,
dx
dt
= V ⇒ dx = V dt⇒ x(t) = V t+ C1.
E utilizando x(0) = x0, temos que
x(t) = x0 + V t.
1.3.2 MRUV
Admitindo que
a =
dv
dt
, (22)
e introduzindo as condic¸o˜es que definem o MRUV, a = const, x(0) = x0 e v(0) = v0 temos
dv
dt
= a⇒ dv = a dt⇒ v(t) = at+ C2,
utilizando v(0) = v0, temos
5
dv
dt
= a⇒ dv = a dt⇒ v(t) = at+ v0.
Mas
dx
dt
= at+ v0 ⇒ dx = (at+ v0) dt⇒ x(t) = v0t+ at
2
2
+ C3,
e utilizando x(0) = x0, temos
x(t) = x0 + v0t+
at2
2
.
 
Equações Diferenciais
Descrição de 
modelos na 
ciência e 
engenharia
Consisão de 
conceitos
Leis gerais da 
naturezas
1.4 Segundo aspecto: a natureza e´ modelada por equac¸a˜os diferenciais
No livro Escritos Populares, o f´ısico Ludwig Boltzmann, um dos criadores da Termodinaˆmica e
teoria cine´tica dos gases, escreveu sobre a filosofia da cieˆncia e a descric¸a˜o da natureza pela matema´tica.
Nos cap´ıtulos introduto´rios Boltzmann levanta a pergunta de por queˆ a natureza pode ser descrita por
equac¸o˜es diferenciais ? Na˜o existe uma resposta precisa para a pergunta feita por Boltzmann, mas
sabemos que a natureza parece ser descrita por equac¸o˜es diferenciais. A seguir enumeramos alguns
exemplos famosos:
Segunda lei de Newton
F = m
dv
dt
6
Lei de resfriamento de Newton
dT
dt
= −k (T − Tm)
Leis de crescimento
dN
dt
= kN
Circuito RC
R
dq
dt
+
1
C
q = E(t)
Circuito LR
L
di
dt
+Ri = E(t)
Sistema Massa-mola
mx′′ + cx′ + kx = f(t)
Circuito LRC
L
d2q
dt2
+R
dq
dt
+
1
C
q = E(t)
Equac¸a˜o da onda
∂2u
∂x2
− ∂
2u
∂t2
= 0
Equac¸a˜o do calor
∂2u
∂x2
− ∂u
∂t
= 0
Equac¸a˜o de Laplace
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
= 0
1.5 Revisa˜o sobre ca´lculo diferencial - integral
• definic¸a˜o dederivada
f ′(x) = y′ =
dy
dx
= lim
∆x→0
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
• regra da cadeia
– func¸o˜es polinomiais
y = (u(x))p ⇒ y′ = p(u(x))p−1u′(x)
– func¸o˜es trigonometricas
y = sin(u)⇒ y′ = cos(u) · u′
y = cos(u)⇒ y′ = − sin(u) · u′
y = tan(u)⇒ y′ = sec2(u) · u′
– func¸o˜es logaritmicas
y = ln(u)⇒ y′ = 1
u
· u′
7
– func¸o˜es exponenciais
y = eu ⇒ y′ = eu · u′
• Regra do produto e quociente
y = u · v ⇒ y′ = u′v + uv′
y =
u
v
⇒ y′ = u
′v − uv′
v2
• Integrais indefinidas - tabelas
• Integrais definidas - teorema fundamental do ca´lculo
b∫
a
f(x)dx = F (b)− F (a)
• Substituic¸a˜o de varia´veis
– escolher u
– calcular dudx
– isolar dx
– substituir na integral
– resolver a integral
– volta para varia´vel x
1.5.1 Exemplos
1) Calcule a derivada das func¸o˜es abaixo:
a) f(x) = x2 + 2x
b) y =
(
x2 + 2x
)2
c) y =
(
x2 + 2x
)29
d) Vı´deo Exemplo: y = (x+ 1)
(
2x2 + 4
)
e) Vı´deo Exemplo: y = (x+1)
(2x2+4)
f) y = cos2
(
x2 + 2x
)
g) y = ex
2
h) y = ln
(
x2 + x
)
2) Resolva as integrais:
a)
∫
(x+ 1)2dx
8
b) Vı´deo Exemplo:
∫
(x+ 1)19dx
c) Vı´deo Exemplo:
∫ (
2+x2
x
)
dx
d) Vı´deo Exemplo:
∫ [(
4x3 + 2x2
) · (x4 + 23x3)] dx
e)
∫
xexdx
f)
∫
x5exdx
g)
∫
sin3 (x) cos (x) esin
2(x)dx
Refereˆncias
[1] Kreyszig, E.; Matema´tica Superior para Engenharia Vol. 1, ed 9, Ed. LTC, 2009.
[2] Zill, D. G, Cullen, M. R; Equac¸o˜es Diferenciais; vol 1, ed 3, Ed. Makron Books, 2001.
[3] Zill, D. G, Cullen, M. R; Matema´tica Avanc¸ada para Engenharia Vol. 1, ed 3, Ed.
Bookman, 2009
[4] Plataforma de simulac¸o˜es da Universidade do Colorado: http://phet.colorado.edu/pt
BR/
[5] Plataforma Maplesoft: http://www.maplesoft.com/index.aspx
9
2 Lista 1
1) Resolva as derivadas:
a) y =
(
x5 − x4 + x3 − 1x + 9
)2
b) y =
√
x
c) y =
√
x3 + 9x2 − 3x+ 2
d) y =
(
x3 + 9x2 − 3x+ 2) 13
e) y =
(
x2 + x
)3 (
x2 − 9)
f) f(x) = sin(2x3 + x2 + 3)
g) Vı´deo Problema: y = sin(x+1)
tan(2x2+4)
h) y = ln
[
sin
(
x2 + x
)]
i) y = ex
3+2x
2) Resolva as integrais:
a)
∫ (
2x+ 3x2
)
dx
b)
∫ (√
x+ 1x +
1
x2
+ 4
)
dx
c)
∫ (
3
√
x+ −1
x3
+ 8
x5
+ 14
)
dx
d)
2∫
1
(
2x+ 3x2
)
dx
e)
1∫
−1
(xex)dx
f)
∫
1
3+x
g)
∫
6x2
3+x3
h)
∫
x7exdx
i)
∫
sin3 (x) cos (x) esin
2(x)dx
j)
∫ sin(y)−cos3(y)
cos(y) dy
10
2.1 Respostas
1)
a) y′ = 2
(
x5 − x4 + x3 − 1x + 9
) (
5x4 − 4x3 + 3x2 + 1
x2
)
b) y′ = 1
2
√
x
c) y′ = 3x
2+18x−3
2
√
x3+9x2−3x+2
d) y′ = 13
(
x3 + 9x2 − 3x+ 2)− 23 (3x2 + 18x− 3)
e) y′ = 8x7 + 21x6 − 36x5 − 130x4 − 108x3 − 27x2
f) f ′ (x) =
(
6x2 + 2x
)
cos
(
2x3 + x2 + 3
)
g) y′ = cos(x+1) tan(2x
2+4)−4x sin(x+1)sec2(2x2+4)
tan2(2x2+4)
h) y′ = (2x+ 1) cot
(
x2 + x
)
i) y′ =
(
3x2 + 2
)
ex
3+2x
2)
a) x2 + x3 + C
b) 23x
3
2 + ln(x)− 1x + 4x+ C
c) 34x
4
3 + 1
2x2
− 2
x4
+ 14x
d) 10
e) 2e−1
f) ln (x+ 3) + C
g) ln
(
x3 + 3
)2
+ C
h)
(
x7 − 7x6 + 42x5 − 210x4 + 840x3 − 2520x2 + 5040x− 5040) ex + C
i) e
sin2(x)
2
[
sin2 (x)− 1]+ C
j) ln |sec (y)| − 12
(
y + sin(2y)2
)
+ C
11