Resoluções Lista 1 1 _ Equações Diferenciadas e Ordinárias

Prévia do material em texto

Resoluções Lista 1 
1) 
 
b)
0''' y
 
cbxaxy  2
 
A equação dada, é uma equação de 3ª ordem. Por isso devemos derivar a função dada três vezes. 
cbxaxy  2
 
baxy  2'

ay 2'' 
 
0''' y
 
 
Substituindo o resultado obtido na equação original, temos: 
0''' y
  
00 
, que é verdade. Logo a função dada é solução da equação. 
 
c) 
015'2''  yyy
 
xey 51 
 
xey 32

 
A equação dada, é uma equação de 2ª ordem. Por isso devemos derivar a função dada duas vezes, 
cada uma das equações. 
xey 51 
 
xey 51 5'

xey 51 25'' 
. 
 
Substituindo o resultado obtido na equação original, temos: 
015'2''  yyy
  
  0)(155225 555  xxx eee
 
0151025 555  xxx eee
 
00 
, 
que é verdade. Logo a função dada é solução da equação. 
 
Verificando agora 
xey 32

. 
xey 32

 
xey 32 3'


xey 32 9''

. 
 
Substituindo o resultado obtido na equação original, temos: 
015'2''  yyy
  
  0)(15329 333   xxx eee
 
01569 333   xxx eee
 
00 
, 
que é verdade. Logo a função dada é solução da equação. 
 
d) 
0'' yy
 
BsenxxAy  cos
 
A equação dada, é uma equação de 2ª ordem. Por isso devemos derivar a função dada duas vezes. 
BsenxxAy  cos
 
xBAsenxy cos' 

BsenxxAy  cos''
. 
 
Substituindo o resultado obtido na equação original, temos: 
0'' yy
  
0coscos  BsenxxABsenxxA
 
00 
, que é verdade. Logo a função dada é 
solução da equação. 
 
e) 
xyy ''
 
xeCeCy xx  21
 
A equação dada, é uma equação de 2ª ordem. Por isso devemos derivar a função dada duas vezes. 
xeCeCy xx  21
 
1' 21 
xx eCeCy

xx eCeCy  21''
. 
 
Substituindo o resultado obtido na equação original, temos: 
xyy ''
  
xxeCeCeCeC xxxx   )( 2121
 
xxeCeCeCeC xxxx   2121
 
xx 
, que 
é verdade. Logo a função dada é solução da equação. 
 
f) 
025''  yy
 
xx eCeCy 52
5
1

 
A equação dada, é uma equação de 2ª ordem. Por isso devemos derivar a função dada duas vezes. 
xx eCeCy 52
5
1

 
xx eCeCy 52
5
1 55'


xx eCeCy 52
5
1 2525''

 
 
Substituindo o resultado obtido na equação original, temos: 
025''  yy
  
0)(252525 52
5
1
5
2
5
1 
 xxxx eCeCeCeC
 

025252525 52
5
1
5
2
5
1 
 xxxx eCeCeCeC
 
00 
,que é verdade. Logo a função dada é solução 
da equação. 
 
g) 
02'  xyy
 
2xCey 
 
 
Primeiro devemos verificar se a função dada é solução da equação 
02'  xyy
. 
 
 Derivando: 
2xCey 
 
2
2' xxCey 
. 
 
Substituindo o resultado encontrado na equação, temos: 
 
02'  xyy
 
0)(22
22
  xx CexxCe
, o que é verdade, logo a função dada é solução da equação. 
 
i) 
;
2
'
x
y
y 
 
2.xcy 
 
 
;
2
'
x
y
y 
2.xcy 
 
)(22
2
2
2
'
2
Vxcxc
x
cx
xc
x
y
y



 
!
2'
. 2
Solução
xcy
xcy


 
 
OBS: No segundo passo da substituição para a verificação, substituímos o valor de y por 
2.xc
. 
 
j) 
0''' yxy
; 
2
2
1 CxCy 





4)1('
8)1(
y
y
 
Primeiro devemos verificar se a função dada é solução da equação 
0''' yxy
. 
 
 Derivando: 
2
2
1 CxCy 
 
12' xCy 
  
12'' Cy 
 
 
Substituindo o resultado encontrado na equação, temos: 
 
0''' yxy
 
  022 11  xCCx
 
022 11  xCxC
, o que é verdade, logo a função dada é solução da 
equação. 
 
Substituindo o ponto 
8)1( y
 na função 
2
2
1 CxCy 
e 
4)1(' y
 na função 
12' xCy 
, iremos obter: 
2
2
1 )1(8 CC 
 
218 CC 
. 
1)1(24 C
 
124 C
 
21 C
 
 
Levando na o valor de 
21 C
na primeira equação encontrada, temos: 
218 CC 
 
228 C
 
102 C
 
uey 
 
ueuy '.'
 
Substituindo os valores encontrados em 
1C
 e 
2C
na solução dada, obtemos: 
102 2  xy
. 
 
m) 
02'  xyy
 
2xCey 
 
2)0( y
 
 
Primeiro devemos verificar se a função dada é solução da equação 
02'  xyy
. 
 
 Derivando: 
2xCey 
 
2
2' xxCey 
. 
 
Substituindo o resultado encontrado na equação, temos: 
 
02'  xyy
 
0)(22
22
  xx CexxCe
, o que é verdade, logo a função dada é solução da equação. 
 
Substituindo o ponto 
2)0( y
 na função 
2xCey 
, iremos obter: 
2)0(2  Ce
 
C 2
. 
Substituindo o valor encontrado em C na solução dada, obtemos:
2
2 xey 
. 
 
2) 
 
a) 
 
Primeiro devemos derivar a função dada. 
 
)(' bxaseny 
. Não podemos isolar nenhuma das duas constantes, pois sempre 
sobrará uma constante, o que não resolveria o nosso problema. 
Logo, devemos derivar pela segunda vez a equação. 
)(' bxaseny 
 
)cos('' bxay 
. 
Observa-se que a expressão 
)cos( bxa 
, é o valor de 
y
inicial. Logo, podemos substituir 
y
na segunda 
derivação. Obtendo. 
)cos('' bxay 
 
yy ''
 
0'' yy
. 
 
b) 
Primeiramente devemos eliminar o Euller que acompanha a constante, para depois derivarmos. Para 
isso, multiplicamos pelo Euller com expoente inverso ao que está acompanhando a constante. 
xe2
 
2
5
1
2 CeCye xx 
 . 
Agora, podemos derivar e observando que o primeiro termo da expressão tem que se aplicar a 
derivação do produto. 
2
5
1
2 CeCye xx 
 
xxx eCyeye 51
22 52' 
 
 
Agora, devemos multiplicar a expressão toda por 
xe 5
afim de eliminarmos o 
acompanhante de 
1C
. 
xxx eCyeye 51
22 52' 
xe 5
 
1
33 52' Cyeye xx  
. Agora devemos derivar, para 
eliminarmos a constante 
1C
. E observando que assim como na primeira derivada, o primeiro membro 
deverá ser resolvido pela derivação do produto. 
1
33 52' Cyeye xx  
 
06'2'3'' 3333   yeyeyeye xxxx
. Agrupando os termos semelhantes e 
multiplicando tudo por 
xe3
afim de eliminarmos os Euller. 
)cos( bxay 
)cos( bxay 
xx eCeCy 22
3
1

xx eCeCy 22
3
1

uey 
 
ueuy '.'
 
yeeyuvvu
evev
yuyu
ye
Derivação
xx
xx
x
22
22
2
2'''
2'
''
:



06'2'3'' 3333   yeyeyeye xxxx
xe3
 
06'''  yyy
 
Resposta:
06'''  yyy
 
 
c) 
ay
y
x
Ln  1
 
ayyLnxLn  1
 
Primeiro, desfazemos a divisão dos logaritmos e agora derivamos: 
'
'1
ay
y
y
x

, isolando o valor de a na expressão encontrada, temos que: 
'
'1
y
y
y
x
a



'
1'1
yy
y
x
a 






 
yxy
a
1
'
1

, substituindo o valor de a na primeira equação teremos: 







yxy
y
y
x
Ln
1
'
1
.1
, aplicando à distributiva encontramos: 
'
1
'
1
'
1
xy
y
y
x
Ln
xy
y
y
x
Ln
y
y
xy
y
y
x
Ln 






, multiplicando cruzado, obtemos: 
y
y
x
Lnxy '.
 
 
d) 
Primeiramente devemos deixar a expressão em função de y. 
 
222 xCy 
 
 2
1
22 xCy 
, agora podemos derivar a expressão: 
 2
1
22 xCy 
 
  )2(
2
1
2
1
22' xxCy 


  )(2
1
22' xxCy 
. 
Podemos inverter a expressão com expoente negativo. 
 
  )(21
22' xxCy 
  
 2
1
22
'
xC
x
y



 
Observando o denominador, notamos que este valor é o mesmo que y, logo pode-se transformar esse 
valor por y. 
 2
1
22
'
xC
x
y



 
y
x
y

'
, multiplicando cruzado e igualando a zero, temos: 
y
x
y

'
 
xyy '

0'  xyy
. Transformando 
x
y
y


'
e eliminando o denominador, temos: 
0'  xyy
 
0


x
x
y
y
x
 
0 xxyy
 
Resposta: 
0 xxyy
 
 
e) 
Derivando a primeira vez, temos que: 
xCey 
 
xCey '
, ou seja, como sabemos que 
xCe
é 
y
, voltamos a derivada, substituímos por esse 
valor e depois manipulamos. 
xCey '
 
yy '

0' yy
 
 
f) 
 223 yxCx 
 
222 Cyx 
222 Cyx 
xCey 
Primeiramente devemos deixar a expressão em função de y. 
 223 yxCx 

22
3
yx
C
x

 
1322  Cxxy
 
2
1
132 )(  Cxxy
, agora podemos derivar a expressão: 
)32.().(
2
1 122
1
132' 

  CxxCxxy
 , multiplicamos cruzado para eliminarmos o denominador 2 e 
invertemos a base com expoente negativa encontramos: 
2
1
132
12
)(
)32(
'2





Cxx
Cxx
y
. 
Observando o denominador, notamos que este valor é o mesmo que y, logo pode-se transformar esse 
valor por y. 
y
Cxx
y
)32(
'2
12 

, multiplicando cruzado de novo, obtém-se que 
1232'2  Cxxyy
. 
Manipulando a segunda linha do desenvolvimento da questão, podemos encontrar o valor de 
1C
. 
1322  Cxxy
 
1322  Cxyx
 
3
22
1
x
yx
C


. 
Substituindo o valor de 
1C
na expressão 
1232'2  Cxxyy
, obtemos: 





 

3
22
2 .32'2
x
yx
xxyy
, aplicando à distributiva e multiplicando ambos os lados por x. Tem-se: 
222 332'2 yxxyxy 
, reduzimos os termos semelhantes e finalizamos o resultado da equação: 
22 3'2 yxyxy 
. 
 
g) . 
 
Primeiro devemos derivar a função dada. 
 
xCxsenCy 2cos222' 21 
. Não podemos isolar nenhuma das duas 
constantes, pois sempre sobrará uma constante, o que não resolveria o nosso problema. 
Logo, devemos derivar pela segunda vez a equação. 
xCxsenCy 2cos222' 21 
 
xsenCxCy 242cos4'' 21 
. 
Podemos colocar o termo 
4
em evidência na segunda derivada. Obtendo: 
)22cos(4'' 21 xsenCxCy 
. O termo obtido entre parênteses é o valor de 
y
. Portanto: 
 
xCxsenCy 2cos222' 21 
 
xsenCxCy 242cos4'' 21 
 
)22cos(4'' 21 xsenCxCy 
 
yy 4'' 
 
04''  yy
. 
 
h) 
 
Primeiramente devemos eliminar o Euller que acompanha a constante, para depois derivarmos. Para 
isso, multiplicamos pelo Euller com expoente inverso ao que está acompanhando a constante. 

xe
 
xx BeAye 
 . 
Agora, podemos derivar e observando que o primeiro termo da expressão tem que se aplicar a 
derivação do produto. 
xx BeAye 
 
xxx Beyeye   '
 
 
Agora, devemos multiplicar a expressão toda por 
xe
afim de eliminarmos o 
acompanhante de 
B
. 
xsenCxCy 22cos 21 
xsenCxCy 22cos 21 
xsenCxCy 22cos 21 
xx BeAey 2
xx BeAey 2 xx BeAey 2
yeeyuvvu
evev
yuyu
ye
Derivação
xx
xx
x






'''
'
''
:
xxx Beyeye   '
xe
 
Byeye xx   22 '
. Agora devemos derivar, para 
eliminarmos a constante 
B
. E observando que assim como na primeira derivada, o primeiro membro 
deverá ser resolvido pela derivação do produto. 
Byeye xx   22 '
 
02''2'' 2222   yeyeyeye xxxx
. Agrupando os termos semelhantes e 
multiplicando tudo por 
xe2
afim de eliminarmos os Euller. 
02''2'' 2222   yeyeyeye xxxx
xe2
 
02'3''  yyy
 
Resposta: 
02'3''  yyy
 
 
i)
CBeAey xx  2
 
Notamos que temos uma constante 
)(C
isolada, então vamos derivar a expressão e dessa forma 
eliminarmos essa constante. 
CBeAey xx  2
 
xx BeAey  22'
 
 
Agora devemos eliminar o Euller que acompanha a constante, para depois derivarmos. Para isso, 
multiplicamos pelo Euller com expoente inverso ao que está acompanhando a constante. 
xx BeAey  22'

xx BeAey  22'
xe
 
BAeey xx  2'
 . 
Agora, podemos derivar e observando que o primeiro termo da expressão tem que se aplicar a 
derivação do produto. 
BAeey xx  2'
 
xxx Aeyeye 2'''  
 
Agora, devemos multiplicar a expressão toda por 
xe
afim de eliminarmos o 
acompanhante de 
A
. 
xxx Aeyeye 2'''  
xe
 
Ayeye xx 2''' 22  
. Agora devemos derivar, para 
eliminarmos a constante 
A
. E observando que assim como na primeira 
derivada, o primeiro membro deverá ser resolvido pela derivação do produto. 
Ayeye xx 2''' 22  
 
0'2''''2''' 2222   yeyeyeye xxxx
. Agrupando os termos semelhantes e 
multiplicando tudo por 
xe2
afim de eliminarmos os Euller. 
0'2''''2''' 2222   yeyeyeye xxxx
xe2
 
0'2''3'''  yyy
 
Resposta: 
0'2''3'''  yyy
 
 
j) 
xxx eCeCeCy 3
2
2
3
1 
 
Primeiramente devemos eliminar o Euller que acompanha a constante, 
para depois derivarmos. Para isso, multiplicamos pelo Euller com expoente 
inverso ao que está acompanhando a constante. 
xxx eCeCeCy 3
2
2
3
1 
xe
 
32
2
1 CeCeCye
xxx 
 
Agora, podemos derivar e observando que o primeiro termo da expressão 
tem que se aplicar a derivação do produto. 
32
2
1 CeCeCye
xxx 
 
xxxx eCeCyeye 2
2
12' 

 
Agora, devemos multiplicar a expressão toda por 
xe
afim de eliminarmos o acompanhante de 
2C
. 
xxxx eCeCyeye 2
2
12' 

xe
 
21
22 2' CeCyeye xxx  
 
Agora devemos derivar, para eliminarmos a constante 
2C
. E observando que assim como na primeira 
derivada, o primeiro membro deverá ser resolvido pela derivação do produto. 
21
22 2' CeCyeye xxx  
 
xxxxx eCyeyeyeye 1
2222 2'2''2''  
. Basta agora multiplicar tudo por 
xe
afim de eliminarmos o acompanhante de 
1C
 e aproveitamos para agrupar os termos semelhantes. 
yeeyuvvu
evev
yuyu
ye
Derivação
xx
xx
x






'''
'
''
:
'''''
'
''''
'
:
yeeyuvvu
evev
yuyu
ey
Derivação
xx
xx
x






xxxxx eCyeyeyeye 1
2222 22''2''  
xe
 
1
333 22'3'' Cyeyeye xxx  
 Agora devemos derivar, 
para eliminarmos a constante 
1C
. E observando que assim como nas primeiras derivadas, o primeiro 
membro deverá ser resolvido pela derivação do produto. 
1
333 22'3'' Cyeyeye xxx  
 
06'2'9''3''3''' 333333   yeyeyeyeyeye xxxxxx
. Agrupando os 
termos semelhantes e multiplicando tudo por 
xe3
afim de eliminarmos os Euller. 
06'2'9''3''3''' 333333   yeyeyeyeyeye xxxxxx
xe3
 
06'11''6'''  yyyy
 
 
k) 
  321 . CexCCy
x 
 
 
Apesar de termos uma constante 
)( 3C
, isolada, vamos primeiro 
eliminar o Euller que acompanha os parênteses, de modo que possamos ficar 
com duas constantes sem o Euller para depois derivarmos. 
Para isso, multiplicamos pelo Euller com expoente 
inverso ao que está acompanhando a constante. 
  321 . CexCCy
x 
xe
 
xx eCxCCye   321
 
Agora, podemos derivar e observando que o primeiro termo da expressão 
tem que se aplicar a derivação do produto. 
  321 . CexCCy
x 
xxx eCCyeye   32'
 
Podemos derivar novamente e dessa forma eliminaremos o valor da a constante 
2C
. E observando que 
assim como na primeira derivada, o primeiro membro deverá ser resolvido pela derivação do produto. 
xxx eCCyeye   32'
 
xxxxx eCyeyeyeye   3'''''
. 
Basta agora multiplicar tudo por 
xe
afim de eliminarmos o acompanhante de 
3C
 e aproveitamos para 
agrupar os termos semelhantes. 
xxxxx eCyeyeyeye   3'''''
xe
 
3'2'' Cyyy 
 Agora devemos derivar, para eliminarmos a 
constante 
3C
. 
3'2'' Cyyy 
 
0'''2'''  yyy
. 
 
l) 
xCxsenCy 6cos6 21 
 
Primeiro devemos derivar a função dada. 
xCxsenCy 6cos6 21 
 
xsenCxCy 666cos6' 21 
. Não podemos isolar nenhuma das duas 
constantes, pois sempre sobrará uma constante, o que não resolveria o nosso problema. 
Logo, devemos derivar pela segunda vez a equação. 
xsenCxCy 666cos6' 21 
 
xCxsenCy 6cos36636'' 21 
. 
Podemos colocar o termo 
4
em evidência na segunda derivada. Obtendo: 
)6cos6(36'' 21 xCxsenCy 
. O termo obtido entre parênteses é o valor de 
y
. Portanto: 
xCxsenCy 6cos6 21 

xsenCxCy 666cos6' 21 

xCxsenCy 6cos36636'' 21 
 
 
)6cos6(36'' 21 xCxsenCy 
 
yy 36'' 
 
036''  yy
. 
 
3) 
 
b) 2º ordem 
yeeyuvvu
evev
yuyu
ye
Derivação
xx
xx
x






'''
'
''
:
)(00
0369
0)(3)3(29
03'2''
333
333
verdade
eee
eee
yyy
ttt
ttt






 
Solução
ey
ey
ety
t
t
t
3
3
3
1
9"
3'
)(






 
 
e) 2ª ordem 
)(00
0
2
3
2
1
0
2
1
.3
4
1
.2
0'3".2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
2
verdade
ttt
ttttt
ytyyt























 
Solução
ty
ty
tty
2
3
2
1
1
4
1
"
2
1
'
)(
2
1





 
)(00
034
0).(3)2.(2
0'3".2
111
1232
2
verdade
ttt
ttttt
ytyyt






 
Solução
ty
ty
tty
3
2
1
2
2"
'
)(






 
 
f) 2º ordem 
 
)(00
04106
0).(4)2.(5)6.(
,04'5''
222
2342
2
verdade
ttt
ttttt
ytyyt






Solução
ty
ty
tty
4
3
2
1
6''
2'
)(






 
)(00
0ln4ln105ln65
0)ln.(4)ln2.(5)ln65.(
,04'5''
22222
233442
2
verdade
tttttttt
tttttttttt
ytyyt






 
Solução
ttty
tttty
ttty
ttty
ln65''
ln623"
ln2'
ln)(
44
444
33
2
2








 
 
Lembrando que temos um produto, logo devemos aplicar a regra 
vuuv ''
. 
tttvuuv
t
vtv
tutu
tttvuuv
t
vtv
tutu
ln62''
1
'ln
6'2
ln2''
1
'ln
2'
44
43
33
32









