RELATORIO MOMENTO LINEAR

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1. INTRODUÇÃO 
 
O presente trabalho tem por finalidade comprovar à partir de experimentos 
laboratoriais a teoria da conservação do momento linear, a qual representa que 
se um sistema está isolado e fechado e ocorre uma colisão elástica, a energia 
cinética e o momento são conservados. O momento linear p (composto pela 
massa m e velocidade v) é uma grandeza vetorial, de mesma direção e mesmo 
sentido do vetor velocidade, onde quando a resultante das forças externas 
atuante sobre um sistema for nula, significa que o momento total p→ deste 
sistema se conserva. 
As colisões, sem a presença de uma força externa, são divididas em dois 
grupos: As elásticas e as inelásticas, onde esta última é subdividida em 
parcialmente inelásticas e perfeitamente inelásticas. Nesse experimento será 
comprovado se há ou não a conservação do momento linear. 
 
2. OBJETIVOS 
 
Nesse experimento será comprovado por processos experimentais se há ou 
não a conservação do momento linear a partir dos princípios teóricos da mesma 
e por meio de um teste de compatibilidade entre os membros (x1 e x2). 
 
3. FUNDAMENTOS TEÓRICOS. 
3.1 Princípio fundamental da dinâmica e segunda Lei de 
Newton 
 
Na mecânica newtoniana a grandeza física denominada como quantidade de 
movimento é definida como o produto da velocidade pela massa do objeto, como 
na fórmula a seguir: 
 
�⃗� = 𝑚. 𝑣 
 
A partir dessa formula podemos descrever a segunda lei de Newton, a 
qual diz que a força resultante (F) é igual ao produto da massa (m) pela 
aceleração (a), que nada mais é que a derivada da quantidade de movimento 
(Q) em função do tempo (t), como demonstrado a seguir: 
 
𝐹 = 
𝑑�⃗� 
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚. 𝑣 ) 
 
 
𝐹 = 𝑚. 𝑎 
 
 
Este é o princípio fundamental da dinâmica, e demonstra que a aceleração 
de um corpo é diretamente proporcional à força resultante aplicada nele, e 
também que a aceleração de um objeto é inversamente proporcional à sua 
massa. 
 
 
3.2 Colisões elásticas e conservação do momento linear e 
energia 
 
Para início e posterior aplicação no segundo teste, temos o primeiro 
experimento, onde é abandonada uma esfera de massa M sobre um trilho há 
uma altura H. Quando a esfera deixa o trilho, seu momento linear horizontal se 
conserva e o vertical não, pois o objeto sofre interferência da força peso. Logo, 
a velocidade final quando o objeto deixa o trilho pode ser interpretada como 
quociente da distância horizontal pelo tempo gasto para atingir o solo. 
𝑣 =
𝑥
∆𝑡
 
 
O momento linear (ou quantidade de movimento) é definido a partir da 
resultante do produto da massa m pela velocidade v de determinado corpo. 
𝑝 = 𝑚. 𝑣 
 
Durante uma colisão elástica ocorre a conservação de energia e da 
quantidade de movimento. A conservação de energia ocorre quando antes e 
após uma determinada colisão, o seu módulo permanece o mesmo. A 
conservação da quantidade de movimento ocorre em um processo interno e 
isolado, ou seja, onde não há forças externas atuando no sistema, mantendo 
assim a quantidade de movimento constante. 
 
Conservação de energia: 
 
𝑚𝐴. 𝑣 ²𝐴𝑖
2
+
𝑚𝐵. 𝑣 ²𝐵𝑖
2
=
𝑚𝐴. 𝑣 ²𝐴𝑓
2
+
𝑚𝐵. 𝑣 ²𝐵𝑓
2
 
 
Conservação da quantidade de movimento: 
 𝑚𝐴. 𝑣 𝐴𝑖 + 𝑚𝐵. 𝑣 𝐵𝑖 = 𝑚𝐴. 𝑣 𝐴𝑓 + 𝑚𝐵. 𝑣 𝐵𝑓 
 
Como no caso do segundo experimento aqui realizado, temos duas esferas, 
onde uma se encontra sem movimento (v = 0) e a outra é solta de uma altura H 
sobre um trilho e colide posteriormente com a esfera que se encontrava em 
repouso. A formula para isso é tida como: 
 
𝑚𝐴. 𝑣 𝐴𝑖 + 0 = 𝑚𝐴. 𝑣 𝐴𝑓 + 𝑚𝐵. 𝑣 𝐵𝑓 
 
Sendo a colisão ser unidimensional, não é necessário decompor o 
deslocamento. Quando executada a colisão, esfera 𝑚𝐴 atinge um ponto x1 
enquanto a esfera 𝑚𝐵 atinge um ponto x2. Podemos reescrever a equação 
anterior como: 
 
𝑚𝐴.
𝑥1
∆𝑡
= 𝑚𝐴.
𝑥1′
∆𝑡
+ 𝑚𝐵.
𝑥2′
∆𝑡
 
 
E como os tempos de queda das esferas independe das massas, 
podemos substituir as velocidades pelos quocientes entre o deslocamento e o 
tempo (
𝑥
∆𝑡
), tendo agora: 
 
𝑊 = 𝑥1
′ + 
𝑚𝐵
𝑚𝐴
. 𝑥2′ 
 
3.3 Cálculos das respectivas incertezas 
 
Para cada valor obtido é necessário que se calcule a sua incerteza para 
que o valor fique completo e mais próximo possível do real. 
 
Utilizamos o cálculo de incertezas do tipo A, aquela que avalia à partir de 
análises da estatística clássica, onde para uma quantidade de medidas (como 
os deslocamentos) teremos: 
𝜇 = √
∑ (𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 − 𝑥𝑚 )²
𝑁
 
 
E para incertezas do tipo B, por métodos que não utilizem as análises da 
estatística clássica, aquelas como massa m1 e m2, onde R é a resolução do 
equipamento usado na medição: 
 
 
𝜇𝑚
𝑅
√3
 
3.4 Cálculo da propagação da incerteza (ou incerteza 
combinada) 
 
Para a realização desse método, aplicas a derivada parcial em relação ao 
primeiro momento e ao segundo. Sua forma é expressa como a raiz quadrada 
da soma das derivadas parciais ao quadrado de cada variável. 
 
 
 
𝜇 = √∑(
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
2
𝑥1,𝑥2,𝑥3..𝑥𝑛
 
 
 
3.5 Cálculo do teste de compatibilidade 
 
Utiliza-se também o teste da compatibilidade, o qual comprova a teoria do 
momento linear, para isso deve-se usufruir da seguinte fórmula: 
 
𝐴 − 𝐵
√(𝜇𝑎)2 + (𝜇𝑏)²
≤ 𝐾 
 
4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
4.1 Metodologia Experimental e materiais 
Para a realização do experimento utilizou-se um trilho encaixado sobre as 
mesas do laboratório, no qual este serviu de caminho para o deslocamento das 
esferas metálicas; duas esferas metálicas, com massas distintas (M= 44,0g e m= 
11,0g); para aferição dos valores das massas foi utilizado uma balança digital 
com resolução de 0,1g; para demarcar o local de impacto das esferas, utilizou-
se papel de carbono fixado ao chão diretamente com fitas e sobreposto por 
folhas A4, e uma fita métrica com resolução de 1 mm para medir as distâncias 
horizontais do ponto abaixo do fim do trilho (ponto de origem horizontal) ao local 
de impacto, além da altura do trilho até o chão. 
O experimento foi realizado de duas formas distintas (Figuras 1 e 2). Na 
primeira etapa, solta-se a esfera de massa maior (M) do topo do trilho, e mede-
se com a fita métrica a posição de sua queda, para esse método foram realizadas 
36 medidas (tabela 1), que foram aferidas ao final dos lançamentos. Na segunda 
etapa, posiciona-se a bolinha de massa menor (m) na ponta do trilho, estando 
em repouso, e novamente solta-se a esfera de massa M do topo do trilho, 
provocando assim, uma colisão entre elas. Com a fita métrica obtêm-se a 
posição em que ambas caíram demarcados no papel carbono, atentou-se para 
que a bola grande não atingisse o papel mais de uma vez, para esta etapa 
também foram realizadas 36 medidas que novamente foram aferidas ao final dos 
lançamentos, mostrados nas tabelas 2 e 3. 
Etapa I 
 
 
Figura 1: Demonstração do instante inicial para primeira etapa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 1. Tabela com valores de ∆𝑥1, para o lançamento da esfera de massa maior. 
Etapa II 
 
Figura 2: Demonstração do instante inicial para a segunda etapa. 
Tabela 2 – valores do deslocamento ∆𝑥1′, equivalente a esfera maior na segunda etapa. 
 
63,0 cm 64,0 cm 65,0 cm 
63,0 cm 64,0 cm 65,0 cm 
63,0 cm 64,0 cm 65,2 cm 
63,2 cm 64,2 cm 65,2 cm 
63,2 cm 64,2 cm 65,3 cm 
63,5 cm 64,3 cm 65,3 cm 
63,5 cm 64,4 cm 65,4 cm 
63,5 cm 64,5 cm 65,7 cm 
63,5 cm 64,5 cm 65,7 cm 
63,7 cm 64,7 cm 66,0 cm 
63,7 cm 64,7 cm 66,5 cm 
63,8 cm 64,8 cm66,6 cm 
44,6 cm 46,1 cm 47,0 cm 
45,0 cm 46,1 cm 47,0 cm 
45,7 cm 46,3 cm 47,5 cm 
45,7 cm 46,3 cm 47,5 cm 
45,7 cm 46,3 cm 47,5 cm 
45,8 cm 46,5 cm 47,5 cm 
45,8 cm 46,5 cm 48,0 cm 
45,9 cm 46,5 cm 48,5 cm 
45,9 cm 46,6 cm 48,5 cm 
46,0 cm 46,6 cm 49,0 cm 
46,0 cm 46,8 cm 49,0 cm 
46,0 cm 46,8 cm 49,0 cm 
Tabela 3. Valores de deslocamento para a esfera pequena na segunda etapa. 
70,0 cm 75,0 cm 80,6 cm 
70,6 cm 76,8 cm 83,7 cm 
70,8 cm 79,3 cm 83,8 cm 
70,8 cm 78,3 cm 82,8 cm 
71,2 cm 78,6 cm 82,5 cm 
71,4 cm 79,2 cm 74,8 cm 
71,9 cm 80,0 cm 73,9 cm 
72,1 cm 79,8 cm 74,5 cm 
72,0 cm 79,6 cm 84,3 cm 
72,3 cm 79,7 cm 84,6 cm 
73,0 cm 80,4 cm 81,0 cm 
73,4 cm 77,0 cm 79,6 cm 
 
 
5. RESULTADOS E DISCUSSÕES 
 
5.1 INCERTEZA DO TIPO A 
 
Calculando o valor da média aritmética (∆𝑥1̅̅ ̅̅ ̅) dos resultados através da 
equação 5.1 obtém-se o valor médio dos comprimentos referentes ao 
lançamento da esfera maior na primeira fase do experimento. 
∆𝑥̅̅̅̅ = ∑
𝑛 = 1 + 𝑛 = 2 + 𝑛 = 3 + ⋯𝑛 = 36
𝑛
𝑛=36
𝑛=1
, (5.1) 
Onde, 
 n = número de lançamentos, indo de 1 a 36. 
∆𝑥1̅̅ ̅̅ ̅ = 64,44 𝑐𝑚 
Através da equação da incerteza do tipo A, calcula-se o valor da incerteza 
média associada ao deslocamento da esfera maior, para a primeira etapa. 
𝜇 = √
∑ (𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 − 𝑥𝑚 )²
𝑁
 (5.2) 
𝜇 = 0,16 𝑐𝑚 
 
Para a primeira etapa do experimento obtém-se os seguintes dados, 
associados ao tempo médio de queda da esfera grande e a sua respectiva 
incerteza. 
 
∆𝑥1̅̅ ̅̅ ̅ + 𝜇 = 64,44 ± 0,16 𝑐𝑚 
 
Para a segunda etapa, calcula-se o valor da média aritmética (∆𝑥1̅̅ ̅̅ ̅′) dos 
resultados através da equação 5.1 obtendo o valor médio dos comprimentos 
mostrado a seguir: 
∆𝑥1̅̅ ̅̅ ̅′ = 46,71 𝑐𝑚 
Através da equação 5.2, calcula-se o valor da incerteza média associada 
ao deslocamento da esfera maior: 
𝜇 = 0,18 𝑐𝑚 
 
Obtém-se os seguintes dados, associados ao deslocamento médio de 
queda da esfera grande e a sua respectiva incerteza. 
∆𝑥1′̅̅ ̅̅ ̅̅ + 𝜇 = 46,71 ± 0,18 𝑐𝑚 
 
 
Para a esfera menor, também utilizando as equações 5.1 e 5.2 foram 
obtidos os seguintes dados referentes ao deslocamento médio e a incerteza 
associada, respectivamente: 
∆𝑥2̅̅ ̅̅ ̅ = 76,92 𝑐𝑚 
𝜇 = 0,77 𝑐𝑚 
 
∆𝑥2̅̅ ̅̅ ̅ + 𝜇 = 76,92 ± 0,77 𝑐𝑚 
 
5.2 INCERTEZA DO TIPO B 
Para a incerteza do tipo B referente a resolução da balança utilizada para 
medição, obteve-se o seguinte resultado: 
𝜇𝑏 =
1
√3
= 0,58 𝑔 
5.3 INCERTEZA DO TIPO C OU COMBINAÇÃO DE INCERTEZAS 
 
 A partir dos cálculos da incerteza do tipo C, obteve-se os 
seguintes dados: 
 
𝑍 = (
𝑚2
𝑚1
) × 𝑥2, 𝑍 = (
11
44
) × 72,92 𝒁 = 𝟏𝟖, 𝟐𝟑 
 
𝑊 = 𝑥1′ + (
𝑚2
𝑚1
) × 𝑥2 (5.3.1) 
 
𝑊 = 46,71 + (
11
44
) × 72,92 , 𝑾 = 𝟔𝟒, 𝟗𝟒 ≠ 𝟒𝟔, 𝟕𝟏 
 
𝜇𝑧 = �̅�√(
𝜇𝑚1
𝑚1̅̅ ̅̅ ̅
)
2
+ (
𝜇𝑚2
𝑚2̅̅ ̅̅ ̅
)
2
+ (
𝜇𝑥2
𝑥2̅̅̅̅
)
2
 (5.3.2) 
𝜇𝑧 = �̅�√(
0,58
44
)
2
+ (
0,58
11
)
2
+ (
0,77
76,92
)
2
 
𝜇𝑧 = 18,23 𝑥 √1,74 𝑥 10−04 + 2,78 𝑥 10−03 + 1 𝑥 10−04 
𝝁𝒛 = 𝟏, 𝟎𝟏 
 
𝜇𝑤 = √𝜇2𝑥1′ + 𝜇2𝑧 (5.3.3) 
𝜇𝑤 = √0,182 + 1,012 
𝝁𝒘 = 𝟏, 𝟎𝟐 
 
𝑊 + 𝜇𝑤 = 64,94 ± 1,02 𝑐𝑚 
 
5.4 TESTE DE COMPATIBILIDADE 
 
Aplicando o teste de compatibilidade, foram obtidos os seguintes 
resultados: 
 
|64,94 − 46,71|
√1,022 + 0,162
 ≤ 2,5, para que haja conservação do momento linear 
17,53 > 2,5 portanto não há conservação do momento linear para o experimento 
 
Portanto, o valor observado de K, 17,53 ocorre devido ao valor 
discrepante deste com a médias dos deslocamentos, associado a diferença 
considerável entre as massas das esferas. 
 
6. Conclusão 
 
Como para k>2,5 os valores são ditos discrepantes, não foi possível 
comprovar a conservação do momento linear do experimento. As causas podem 
ser possíveis fatores externos no momento do experimento, como por exemplo 
a impossibilidade de se colocar a esfera no mesmo local para ser liberada e 
executar o movimento, tornando assim, os dados do experimento como 
incompatíveis.