Séries de Fourier - PUC-RS1

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Tópico: Serie de Fourier 
Referência: Capitulo 6 do livro Sinais e Sistemas Lineares, B. P. Lathi 
Professor José Felipe Haffner PUCRS: 
Essa apresentação contem figuras extraídas do livro. 1 
Disciplina Sinais e Sistemas 
Tópico: Serie de Fourier 
Referência: Páginas 528 a 584 
do livro Sinais e Sistemas Lineares, B. P. Lathi 
 
Professor José Felipe Haffner PUCRS 
1 
Serie de Fourier 
 
 O Analise espectral de sinais periódicos. 
 
 Sinais periódicos podem ser representado como 
uma soma de senóides de varias freqüências. 
 
 No lugar de senóides, podemos utilizar 
exponenciais. 
 
 
 
2 
 
 São sinais que se repetem em intervalos de tempo 
chamados de período do sinal 
 Por exemplo o sinal senoidal 
tem freqüência angular ω [rad/s] e período T= ω / 2π [s] 
 Logicamente o sinal x(t) = t não é periódico, mas x(t) = t 
definido no intervalo -1< T< +1 e com período de 
repetição T=2s é periódico. 
 Descrição matemática: x(t) = x(t+T ) para todo t 
 Pode ser gerado pela extensão periódica de qualquer 
segmento de x(t) com duração T. 
 Por definição é um sinal de duração infinita que existe em 
todo intervalo -∞ < t < +∞. 
 
)()(   tasentx
Sinais periódicos 
3 
 
 Condição de periodicidade 
 
 
 Período fundamental de x(t) 
 É o menor valor de T0 que satisfaz a condição de 
periodicidade. 
 
 
 
 t todopara )()( 0Ttxtx 
Sinais periódicos 



0
00
)()()(
T
Tb
b
Ta
a
dttxdttxdttx
4 
Tópico: Serie de Fourier 
Referência: Capitulo 6 do livro Sinais e Sistemas Lineares, B. P. Lathi 
Professor José Felipe Haffner PUCRS: 
Essa apresentação contem figuras extraídas do livro. 2 
 
 Toda a freqüência de um sinal periódico é um múltiplo 
inteiro da freqüência fundamental. 
 
 Portanto a freqüência fundamental é o maior numero no 
qual todas as freqüências presentes no sinal são 
múltiplos inteiros. 
 
 Quando a razão entre duas freqüências é um numero 
racional, as freqüências são ditas serem harmonicamente 
relacionadas. Deste conceito surge o termo harmônicas 
da freqüência fundamental do sinal. 
 
 
 
Como identificar se uma soma de 
senóides é periódica 
5 
 
 Exemplo de soma de senóides que é um sinal periódico: 
 
 
 
 
 Frequência fundamental: 1/6 pois 
 Frequências harmônicas: 
 Terceira harmônica: 1/2 pois 3(1/6) 
 Quarta harmônica: 2/3 pois 4(1/6) 
 Sétima harmônica: 7/6 pois 7(1/6) 
Como identificar se uma soma de 
senóides é periódica 


















 321
6
7
cos5
3
2
cos3
2
1
cos72)(  ttttx
6 
6
7
6
4
6
3
6
7
3
2
2
1

 
 Exemplo de soma de senóides que não é um sinal 
periódico: 
 
 
 Pois a razão entre as duas freqüências é 2/ π, que não é 
um numero racional. Mas 
 
 
 
 é um sinal periódico pois: 
Como identificar se uma soma de 
senóides é periódica 
   21 32cos2)(   tsenttx
     ttsentx 26cos7233)(
23226 
7 
Determine para o sinal abaixo: 
 
 
i) Comprove que esse sinal é periódico: 
 
 
i) Determine a freqüência e o período fundamental: 
 
 
 
 
ii) Quais as harmônicas estão presentes neste sinal: 
 quinta e sexta harmônicas 
 
Exercício E6.2 












 00 45
5
4
330
3
2
cos)( tsenttx
8 
15
12
15
10
5
4
3
2

segundos 15
2
15
12
15
2
6 e 
15
10
15
2
5 pois rad/s
15
2
0
0
0






T
Tópico: Serie de Fourier 
Referência: Capitulo 6 do livro Sinais e Sistemas Lineares, B. P. Lathi 
Professor José Felipe Haffner PUCRS: 
Essa apresentação contem figuras extraídas do livro. 3 
Serie de Fourier 
 Qualquer sinal periódico pode ser reconstruído 
por um somatório de sinais senóidais. 
 
 
   tnsenbtnaatx n
n
n 00
1
0 cos)(   


9 
Serie de Fourier 
 Independentemente dos valores das amplitudes 
an e bn ,x(t) é um sinal periódico com período 
fundamental T0 = 2π/ωo, se n for um numero 
inteiro. 
 
 
   tnsenbtnaatx n
n
n 00
1
0 cos)(   


10 
Calculo dos Coeficientes da Serie de Fourier 
 
a0 :Valor médio do sinal x(t) ou componente DC 
 
 
 
 
 
     











1
000
0 000
cos)(
n T T
nn
TT
dttnsenbdttnadtadttx 
nula é inteiro periodo um sobre
cos esen funções das integral a pois
 , )(
00
0 
TT
dtadttx

0
)(
1
0
0
T
dttx
T
a
11 
Calculo dos Coeficientes da Serie de Fourier 
 an 
 
 
 
 
 
   
    0)cos( e
0mn para
2
 mn para 0
)cos(cos
:como
)cos()cos(cos)cos()()cos(
: temosigualdade, da lados ambos em t)cos(mω termoo se-multiplica
00
0 000
00000
1
0000000
0


















  


TT
n T T
nn
TT
dttmtnsenTdttmtn
dttmtnsenbdttmtnadttmadttxtm



0
)cos()(
2
0
0 T
n dttntx
T
a 
12 
Tópico: Serie de Fourier 
Referência: Capitulo 6 do livro Sinais e Sistemas Lineares, B. P. Lathi 
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Essa apresentação contem figuras extraídas do livro. 4 
Calculo dos Coeficientes da Serie de Fourier 
 bn 
 
 
 
 
 
   
    0)sen(cos e
0mn para
2
 mn para 0
)sen(
:como
)sen()sen(cos)sen()()sen(
: temosigualdade, da lados ambos em t)sen(mω termoo se-multiplica
00
0 000
00000
1
0000000
0


















  


TT
n T T
nn
TT
dttmtnTdttmtnsen
dttmtnsenbdttmtnadttmadttxtm



0
)()(
2
0
0 T
n dttnsentx
T
b 
13 
Calculo dos Coeficientes da Serie de Fourier 

0
)()(
2
0
0 T
n dttnsentx
T
b 

0
)(
1
0
0
T
dttx
T
a

0
)cos()(
2
0
0 T
n dttntx
T
a 
   tnsenbtnaatx n
n
n 00
1
0 cos)(   


14 
 Serie de Fourier 
Forma trigonométrica: 
 
 
Forma Compacta: 
 
 
Forma Exponencial: 
 
 
 
 
   tnsenbtnaatx n
n
n 00
1
0 cos)(   


   


tnCCtx
n
n 0
1
0 cos)(




1
0)(
n
tjn
neDtx

15 
 Serie de Fourier 
16 
Tópico: Serie de Fourier 
Referência: Capitulo 6 do livro Sinais e Sistemas Lineares, B. P. Lathi 
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Essa apresentação contem figuras extraídas do livro. 5 
 Serie de Fourier de sinais com simetria par 

0
)(
1
0
0
T
dttx
T
a

0
)cos()(
2
0
0 T
n dttntx
T
a 

0
)()(
2
0
0 T
n dttnsentx
T
b 

2
00
0
0
)(
2
T
dttx
T
a
dttntx
T
a
T
n )cos()(
4
2
0
0
0
0
 
0nb
 Para sinais em geral Para sinais com simetria par 
 
 
 
 
 
17 
 Serie de Fourier de sinais com simetriaimpar 

0
)(
1
0
0
T
dttx
T
a

0
)cos()(
2
0
0 T
n dttntx
T
a 

0
)()(
2
0
0 T
n dttnsentx
T
b 
00 a
dttnsentx
T
b
T
n )()(
4
2
0
0
0
0
 
0na
 Para sinais em geral Para sinais com simetria impar 
 
 
 
 
 
18 
 Serie de Fourier de sinais com simetria de 
meia-onda 
)(
2
0 tx
T
tx 






nulas são pares harmôicas as todas
 Um sinal tem simetria de meia onda quando possuir a 
informação em meio período, equivalente, mas com sinal 
invertido em relação ao outro meio período. 
 Exemplo: 
 
 
 
 
 
19 
Série Exponencial de Fourier 
 Usando a igualdade de Euler, 
 
 temos que: 
 
 logo 
 
 
 pode ser rescrita como 
 
 onde 
   jxjxjxjx ee
j
senxeex  
2
1
 e 
2
1
cos
jsenxcosx  jxe
   tnsenbtnaatx n
n
n 00
1
0 cos)(   






n
tjn
neDtx
0)(



0
0)(
1
0 T
tjn
n dtetx
T
D

20 
Tópico: Serie de Fourier 
Referência: Capitulo 6 do livro Sinais e Sistemas Lineares, B. P. Lathi 
Professor José Felipe Haffner PUCRS: 
Essa apresentação contem figuras extraídas do livro. 6 
 Integrais uteis para o calculo dos coeficientes 
da Serie de Fourier 
21 
 Mais Integrais uteis para o calculo dos 
coeficientes da Serie de Fourier 
22 
 Relações trigonométricas uteis 
 cos(nπ/2) = +1 para n = 0,4,8,12... 
 cos(nπ/2) = -1 para n = 2,6,10,14... 
 cos(nπ/2) = 0 para n =1,3,5,7,... 
 
 sen(nπ/2) = +1 para n = 1,5,9,13... 
 sen(nπ/2) = -1 para n = 3,7,11,15... 
 sen(nπ/2) = 0 para n =2,4,6,8... 
 
 sen(θ) = cos(θ-90) 
 
 
 
 
 
23 











 
 
a
b
babasen 122 tancos)cos()( 
Modulo Fase 
 Exemplo resolvido: Calculo da serie de 
Fourier 
 
Onde triangular 
 
 
 
 
Dados do gráfico: 
 
Sinal periódico: x(t) = t/2π período T = 2 π seg. 
Logo: frequência ω= 2π/T= 1 rad/s 
 
 
24 
Tópico: Serie de Fourier 
Referência: Capitulo 6 do livro Sinais e Sistemas Lineares, B. P. Lathi 
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Essa apresentação contem figuras extraídas do livro. 7 
 Exemplo resolvido: Calculo da serie de 
Fourier 
 
Calculo do valor médio: 
 
 
 
25 
2
1
2
4
4
1
24
1
22
1
)(
1
2
20
2
0
2
2
2
0
0







 




a
t
dt
t
dttx
T
a
T
 Exemplo resolvido: Calculo da serie de 
Fourier 
 
Calculo dos termos an: 
 
 
 
 
 
Pois o sinal tem simetria impar 
 
 
 
26 
0)cos(
22
2
)cos()(
2
2
0
00  

 dttn
t
dttntx
T
a
T
n
 Exemplo resolvido: Calculo da serie de 
Fourier 
 
Calculo dos termos bn: 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 










n
sennnnsen
n
b
ntntntsen
n
b
dtnttsenb
dtntsen
t
dttnsentx
T
b
n
n
n
T
n
1
)0)0()2cos(22(
)(2
1
)cos()(
1
2
1
partespor integração usando )(
2
1
)(
22
2
)()(
2
2
2
0
22
2
0
2
2
0
0






 Exemplo resolvido: Calculo da serie de 
Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
 o
n
o
n
n
nt
n
tx
nt
n
tx
ntsen
n
tx
90cos
1
2
1
)(
180 insere 1- como 90cos
1
2
1
)(
cosenos termosem compacta Forma
1
2
1
)(
cosenos e senos de termosem geral Forma
1
0
1
1


















Tópico: Serie de Fourier 
Referência: Capitulo 6 do livro Sinais e Sistemas Lineares, B. P. Lathi 
Professor José Felipe Haffner PUCRS: 
Essa apresentação contem figuras extraídas do livro. 8 
 Exemplo resolvido: Calculo da serie de 
Fourier - Desenho dos espectros: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
0.5 
0.32 
0.16 
0.11 
 1 2 3 nω 
Modulo 
Fase 
 1 2 3 nω 
90º 
Valor 
médio 
não tem 
fase 
 Exemplo resolvido: Calculo da serie de 
Fourier exponencial 
 
Calculo de Dn: 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
 
0
2
22
2
2
22
2
2
2
0
22
2
0
2
2
0
90 :fase e 
2
1
:modulo logo 
2
1 como
)1(
)(
1
12
)()2(
1
)1(
)(
1
12
)()2(
1
1
)()2(
1
partespor integração usando 
)2(
1
22
1
)(
1
0
nn
j
D
e
n
nj
n
e
D
n
nj
n
e
D
jnt
jn
e
D
dtteD
dte
t
dtetx
T
D
n
nj
nj
n
nj
n
jnt
n
jnt
n
jnt
T
tjn
n

























































T
dttx
T
a
)(
1
D
portanto 0,nD para
2
1
D
parte a
calculadoser deve e
medio valor o é
D esqueça Não
0
0
00
0
 Exemplo resolvido: Calculo da serie de 
Fourier exponencial 
31 






n
jnt
n
tjn
n e
n
j
eDtx 

2
)( 0
 Exemplo resolvido: Calculo da serie de 
Fourier exponencial - Desenho dos espectros: 
32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0.5 
0.16 
0.08 
0.05 
 -3 -2 -1 1 2 3 nω 
Modulo 
Fase 
90º 
0.16 
0.08 0.05 
 1 2 3 nω 
 -3 -2 -1 
-90º Valor 
médio 
não tem 
fase 
Tópico: Serie de Fourier 
Referência: Capitulo 6 do livro Sinais e Sistemas Lineares, B. P. Lathi 
Professor José Felipe Haffner PUCRS: 
Essa apresentação contem figuras extraídas do livro. 9 
 Exemplo resolvido: Calculo da serie de 
Fourier 
33 
 
Relações entre os espectros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
nn
j
n
j
jDDjb
n
j
n
j
DDa
nnn
nnn


1
)(22
0
)(22













 
Sinal no tempo: 
 
 
 
Espectro do sinal 
em freqüência 
 
 
 
 
 Exemplo 6.1 
34 
 
Sinal no tempo: 
 
 
 
Espectro do sinal 
em freqüência 
 
 
 
 
 Exemplo 6.2 
35 
 
Sinal no tempo: 
 
 
 
Espectro do sinal 
em freqüência 
 
 
 
 
 Exemplo 6.3 
)1507cos()303(2242cos32)( 00  ttsentsenttx
36 
Tópico: Serie de Fourier 
Referência: Capitulo 6 do livro Sinais e Sistemas Lineares, B. P. Lathi 
Professor José Felipe Haffner PUCRS: 
Essa apresentação contem figuras extraídas do livro. 10 
 
Sinal no tempo: 
 
 
 
Espectro do sinal 
em freqüência 
 
 
 
 
 Exemplo 6.4 
37 
 Exercício E6.1 
38 
 
Sinal no tempo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 6.5: Usando a serie de FourierExponencial 
nj
D
nj
dtdteD
eTT
n
tnj
tnjntj
n
ntj
41
504.0
2
2
1
e1
e
1
e
1
D x(t)e 2/2,
0
)2(1/2-
0
)2(1/2-2
0
t/2-
-n
2
n000




























39 
 
Sinal no tempo: 
 
 
 
 
 
Observe: Dn e D-n são termos complexos conjugados 
 
 
 
 Exemplo 6.5 
40 
Tópico: Serie de Fourier 
Referência: Capitulo 6 do livro Sinais e Sistemas Lineares, B. P. Lathi 
Professor José Felipe Haffner PUCRS: 
Essa apresentação contem figuras extraídas do livro. 11 
Para calcular o espectro: 
 
 
 
 
 
 
 É lógico que para n negativos os valores de D 
são conjugados e somente altera o sinal da 
fase. 
 Exemplo 6.5 
0
000
0
000
000
83D e 0625.0D logo 
81
504.0
2
76D e 122.0D logo 
41
504.0
1
0D e 504.0D logo 504.00
41
504.0









j
Dn
j
Dn
Dn
nj
Dn
41 
Espectro do sinal em freqüência 
 
Serie exponencial 
 
Serie compacta 
42 
Conclusões sobre o espectro exponencial: 
 
 O espectro de modulo é uma função par e o 
espectro de fase é uma função impar. 
 Por uma questão de representação exponencial, 
surge artificialmente a idéia de freqüência 
negativa. 
 C0 = D0 
 |Cn|=|D+n|+|D-n| para n > 0 
 A fase de Cn é igual a fase de Dn para n>0 
 Exemplo 6.5 
43 
 
 A largura de faixa de um sinal é a diferença 
entre a mais alta componente e a mais alta 
componente. 
 
 É lógico que as freqüências negativas não são 
consideradas para avaliar a largura de faixa de 
um sinal. 
 Largura de faixa de um sinal 
44 
Tópico: Serie de Fourier 
Referência: Capitulo 6 do livro Sinais e Sistemas Lineares, B. P. Lathi 
Professor José Felipe Haffner PUCRS: 
Essa apresentação contem figuras extraídas do livro. 12 
1) Determinar o sinal no tempo em termos de 
cosenos 
2) Determinar o sinal no tempo em termos de 
exponenciais. 
 Exemplo 6.6 
45 
Como um sinal 
descontinuo pode 
ser representado 
por uma soma de 
sinais senóidais que 
são sinais suaves? 
Papel do espectro na Forma de onda 
46 
As freqüências baixas contribuem para a 
formação do sinal enquanto as 
freqüências mais altas fazem o ajuste fino. 
 
Mudanças buscas do sinal requer altas 
freqüências presentes no espectro. 
Portanto sinais suaves tem a taxa de 
decaimento em amplitude mais rápida 
que sinais que alteram bruscamente. 
Papel do espectro na Forma de onda 
47 
Espectro do sinal em freqüência 
 
Sinal com variações buscas 
 
Sinal mais suave 
48 
Tópico: Serie de Fourier 
Referência: Capitulo 6 do livro Sinais e Sistemas Lineares, B. P. Lathi 
Professor José Felipe Haffner PUCRS: 
Essa apresentação contem figuras extraídas do livro. 13 
 Portanto sinais suaves tem a taxa de decaimento 
em amplitude mais rápida que sinais que alteram 
bruscamente. 
 
Alterações bruscas no sinal exigem componentes em alta 
freqüência. 
 
O papel das amplitudes dos harmônicos é evidente na 
formação do sinal, mas o papel da fase é igualmente 
importante. 
 
O ajuste da fase entre os harmônicos é fundamental para 
obtermos sinais com saltos de descontinuidade. 
1 
 
 
Papel do espectro na Forma de onda 
49 
Papel do espectro na Forma de onda 
50 
51 
 Para garantir a existência da serie de Fourier os 
coeficientes da serie de Fourier devem serem finitos. 
Para tal é necessário que: x(t) seja absolutamente integrável 
, ou seja: 
 
 
 
 
 
Mas como converge a serie de Fourier? 
 
 
 
 
 
 
Condições de convergência da serie de Fourier 

0
)(
T
dttx
52 
Tópico: Serie de Fourier 
Referência: Capitulo 6 do livro Sinais e Sistemas Lineares, B. P. Lathi 
Professor José Felipe Haffner PUCRS: 
Essa apresentação contem figuras extraídas do livro. 14 
 Um numero finitos de termos pode garantir uma 
boa aproximação do sinal, com um erro arbitrário 
pequeno para todo tempo? 
Se sim, essa serie é chamada uniformemente convergente. 
 
Se para garantir esse erro pequeno para todo t, for necessário 
utilizar um numero de termos distintos para diferentes tempos, 
então a serie converge no ponto. 
 
Se a serie se recusa a convergir em um ou mais pontos do 
sinal independentemente dos numero de termos considerados, 
mas converge na media ou seja, a energia do erro tende a zero 
quando utilizado grande numero de termos 
 
 
 
Condições de convergência da serie de Fourier 
53 
 Uma serie que converge na media não precisa 
convergir para todo o valor de tempo. A serie de 
Fourier converge na média se x(t) possuir energia 
finita em um período, ou seja: 
 
 
 
Condições de Dirichlet: 
A função x(t) deve ser absolutamente integrável. 
A função x(t) deve ter um numero finito de 
descontinuidades finitas em um período. 
A função deve conter apenas um numero finitos de 
máximos e mínimos em um período. 
 
 
 
Condições de convergência da serie de Fourier 

0
2
)(
T
dttx
54 
 Independentemente do grande numero de termos 
utilizados para realizar a aproximação da onda 
quadrada em torno dos pontos de descontinuidade 
surgem uma oscilação com sobre-sinal constante em 
torno da descontinuidade: 
 
 
 
 
 
 
Fenômeno Gibbs 
 
 
O Fenômeno Gibbs 
55 
 O fenômeno Gibbs está presente quando existe 
saltos de descontinuidade no sinal x(t). 
 
 
 
 
 
Quando um sinal continuo x(t) é sintetizado 
usando apenas os primeiros termos N da seria de 
Fourier, o sinal sintetizado aproxima-se de x(t) para 
todo t. Nesse caso não existe o fenome 
 
 
 
O Fenômeno Gibbs 
56 
Tópico: Serie de Fourier 
Referência: Capitulo 6 do livro Sinais e Sistemas Lineares, B. P. Lathi 
Professor José Felipe Haffner PUCRS: 
Essa apresentação contem figuras extraídas do livro. 15 
 A potencia de um sinal periódico é igual a soma 
das potencias de suas componentes de Fourier 
 
 
 
 
Cada termo da serie de Fourier é um sinal de 
potencia, portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema de Parseval – serie trigonométrica 
   


tnCCtx
n
n 0
1
0 cos)(




1
22
0
2
1
n
ns CCP
57 
 A potencia de um sinal periódico é igual a soma 
das potencias de suas componentes de Fourier 
 
 
 
 
Cada termo da serie de Fourier é um sinal de 
potencia, portanto: 
 
 se x(t) é real-> 
 
 
 
 
Teorema de Parseval – serie exponencial 




n
ns DP
2




n
tjn
neDtx
0)(





1
22
0 2
n
ns DDP
58 
 Um amplificador de áudio ceifa todas as 
amplitudes de um sinal acima de um patamar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6.8 
59 
 Sinal de distorção: diferença entre o sinal não 
distorcido e o sinal efetivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6.8 
60 
Tópico: Serie de Fourier 
Referência: Capitulo 6 do livro Sinais e Sistemas Lineares, B. P. Lathi 
Professor José Felipe Haffner PUCRS: 
Essa apresentação contem figuras extraídas do livro. 16 
 Sinal de distorção: diferença entre o sinal não 
distorcido e o sinal efetivo. 
 
 
 
 
 
 
Esse sinal é par é seu valor médio é zero, portantoExemplo 6.8 
nn aCCa  0b e 0 n00
61 
 Sinal de distorção: diferença entre o sinal não 
distorcido e o sinal efetivo. 
 
 
 
 
 
 
Logo, podemos escrever 
 
 
 
 
 
Exemplo 6.8 
 ttttyd 000 5cos311.03cos733.0cos04.1)( 
 tnCty
n
nd 0
1
cos)( 



62 
 Calculo da distorção harmônica. 
 
Potencia do sinal desejado: 
 
 
 
Potencia da distorção harmônica 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6.8 
5010
2
1
2
1 2
1
22
0  

n
ns CCP
63 
 Calculo da distorção harmônica. 
 
Potencia do sinal desejado usando o teorema: 
 
 
 
Distorção total: 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6.8 
  857.0311.0733.004.1
2
1
2
1 222
1
22
0  

n
ns CCP
%73.1100
50
865.0
100 
s
sd
total
P
P
D
%5372.0100
50
2
733.0
100
2
3
3 
s
d
P
P
D
64 
Tópico: Serie de Fourier 
Referência: Capitulo 6 do livro Sinais e Sistemas Lineares, B. P. Lathi 
Professor José Felipe Haffner PUCRS: 
Essa apresentação contem figuras extraídas do livro. 17 
 A resposta de um sistema com função de 
transferência H(s) a uma entrada exponencial de 
duração infinita é a exponencial de duração 
infinita 
 
 
 
Usando o conceito de linearidade 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta temporal a entradas periódicas 
tje 
tjejH )(
65 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo B1 
66