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31 CAPÍTULO V1 CLASSIFICAÇÃO DOS SOLOS 1 - Introdução Tem havido na Mecânica dos Solos um considerável esforço no sentido de criar um sistema de classificação que, de fato, permita o agrupamento de solos dotados de características similares, quer sob o aspecto genético, quer de comportamento. A grande variedade de sistemas de classificação existente procura, quase sempre, em bases mais ou menos arbitrárias, encontrar um princípio qualificador universal que possibilite agrupar a grande variedade de solos existentes em classes, com o objetivo de não se facilitar os estudos de caracterização, senão também antever o comportamento diante das solicitações, a que serão submetidos. Diferentemente das outras ciências, deve interessar à Mecânica dos Solos um sistema de classificação que prefira o comportamento dos solos à 'sua constituição, à origem, à formação etc. Não se quer, com isso, criar um desinteresse por estes ultimes aspectos. Eles terão uma considerável importância, à medida que interferirem de forma significativa no comportamento do solo. Sob o aspecto mais prático pode-se dizer que e necessário lia ver várias classificações, que possam atender mais especificamente aos vários campos da Geotecnia. Pode-se imaginar que um sistema de classificação que atenda aos interesses da área de estradas não pode atender com a mesma eficiência à área de fundações. Em resumo, deve-se utilizar os sistemas de classificação existentes, com certa reserva, tendo em conta para que fim o sistema foi proposto e sobre que solos o processo foi elaborado. Ainda sob este último aspecto pode-se dizer que nós brasileiros devemos ter um cuidado maior, visto que os países criadores destes sistemas de classificação possuem climas bem diferentes do nosso, e portanto solos com condições particulares. Vale ainda lembrar as palavras de Nogami, quando se refere aos sistemas de classificação. Diz ele que nos países de origem, geralmente do Hemisfério Norte com climas temperados, a fração areia e silte é quase totalmente composta por quartzo, enquanto nos solos tropicais podem ocorrer minerais como feldspatos, micas, limonitas, magnetita, ilmenita etc., além de fragmentos de rochas e concreções lateríticas e que, por vezes, o mineral quartzo pode mesmo estar ausente da fração areia de muitos destes solos. De acordo com o que se espera dos sistemas de classificação, eles devem obedecer aos seguintes quesitos. a. ser simples, facilmente memorizável e permitir uma rápida determinação do grupo a que o solo pertence, permitindo a classificação por meio de processos simples de análise visual-táctil. b. ser flexível, para tornar-se geral ou particular, quando o caso exigir. c. ser capaz de permitir, uma expansão a "posteriori", permitindo subdivisões. Dentre os vários sistemas de classificação existentes vale citar: - classificação por tipos de solos; - classificação genética geral; 1 Mecânica dos Solos - vol. 1 – Benedito de Souza Bueno & Orencio Monje Vilar – Depto de Geotecnia – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo 32 - classificação granulométrica; - classificação unificada (U.S. Corps of Engineers); - classificação H.B.R. (Highway Research Board). 2 - Classificação Por Tipos De Solos É um sistema classificação descritivo em que o reconhecido a que determinado grupo pertence é baseado em análise visual-táctil (Capítulo II). 3 - Classificação Genética Geral É um sistema de classificação também de natureza descritiva, sendo necessário para a sua utilização um conhecimento da gênese dos solos, ou de uma forma que seja mais simples, fazer uma análise de sua macroestutura da cor e da posição de coleta da amostra no perfil do subsolo. Foi proposta com a finalidade de ser usada em problemas de estradas: divide os solos em três categorias, isto é: a. Solo Superficial Solo que constitui o horizonte superficial, normalmente contendo matéria orgânica. Nesse horizonte concentra-se o campo de estudo da pedologia. Possui estrutura, cor e constituição mineralógica diferentes das camadas inferiores. A espessura varia de alguns decímetros a alguns metros. b. Solo de Alteração Solo proveniente da decomposição das rochas graças aos processos de jntemperismo. Em condições normais, acha-se subjacente ao solo superficial. r um solo residual e pode, freqüentemente, no Brasil, atingir até dezenas de metros. São solos de granulometria crescente com a profundidade. c. Solo Transportado Solo originado do transporte e deposição de material, por meio dos processos geológicos de superfície. A granulometria é mais ou menos uniforme, de acordo com o agente transportador. Em condições normais, pode constituir as camadas aflorantes ou estar subjacente ao solo superficial. Atinge, por vezes, espessuras de centenas de metros. 4 - Classificação Granulométrica A composição granulométrica do solo, como foi visto no Capítulo lll, não só corresponde à sua aparência visual e sensível, como determina, especialmente para os solos grossos, as características de seu comportamento. 33 A determinação da curva granulométrica de um solo é tarefa simples e os métodos atuais conduzem a uma exatidão razoável. NeIa os solos são designados pelo nome da fração preponderante. Esta última afirmação deve ser analisada com maior rigor, pois sabe-se que as definições não deveriam ser baseadas simplesmente nas frações preponderantes, porquanto nem sempre são elas que ditam o comportamento de um solo. Neste caso, preferindo-se agrupar os solos quanto ao comportamento em detrimento das constituições, a classificação deveria denominá-lo de acordo com a fração mais ativa, no seu comportamento. Embora hoje recomendada mais para os solos grossos, a classificação granulométrica tornou-se universalmente empregada. Não existe, entretanto uma concordância entre os geotécnicos quanto ao intervalo de variação dos diâmetros de cada uma das frações que compõem os solos. A Figura 25 dá uma idéia deste fato2. Além das escalas granulométricas, foram grandemente utilizados no passado os diagramas triangulares (triângulo de FERET), Figura 26, em que o solo era dividido em três classes, isto é, areia, silte e argila. A soma das porcentagens destas três frações é 100%, e conduzem a um ponto no interior do triângulo. Este ponto cai em áreas, nas quais o triângulo é dividido, e que fornece a classificação do solo. 2 A faixa granulométrica especificada pela ABNT 6502/95 é diferente da antiga apresentada na Figura 26 e é semelhante à do MIT da mesma figura. Considerar, adicionalmente, que entre 0,06 e 0,2mm situam-se as areias finas; entre 0,2 e 0,6mm, as areias médias e entre 0,6 e 2mm, as areias grossas. 34 5 - Classificação do U.S. Corps of Engineers (Unificada) Esta classificação apresentada por Arthur Casagrande, em 1942, visava classificar os solos com o propósito de utilizá-los na construção de aeroportos, razão pela qual é conhecida também como classificação para aeroporto. Foi depois adotada pelo U.S. Corps of Engineers que lhe deu o nome e a divulgou. Além da granulometria, os limites de consistência são utilizados como elementos qualificadores. Cada solo é representado por duas letras: um prefixo e um sufixo. O prefixo é uma das subdivisões ligada ao tipo; o sufixo, as características, granulométricas e à plasticidade. Os materiais terrosos são divididos em duas grandes classes: material grosso (solos tendo mais de 50% retidos na # 200) e material fino (solos tendo mais de 50% passando na # 200): A classe dos materiais grosseiros foi dividida em dois grupos: pedregulhos e areias, representados pelos prefixos G (gravel) e S (sand) - iniciais de suas classificações em Inglês, respectivamente. Cada um destes dois grupos foi dividido em quatrosubgrupos, representados pelos seguintes sufixos: W (well) = material limpo, bem graduado P (poor) = material limpo, mal graduado C (clay) = material bem graduado com bom aglutinante argiloso F (fine) = material com excesso de finos Os materiais W possuem diferentes coeficientes de não uniformidade, com valores até acima de 20 e os materiais P, geralmente inferiores a 5. Podem-se obter por meio da combinação destas letras os seguintes subgrupos: GW; GP; GC; GF; SW; SP; SC; SF. A classe dos materiais finos foi dividida em três grupos: silte e areia muito fina, argila inorgânica e silte e argilas orgânicas, representados pelo prefixo M (Mo) ; C (Clay) e O (Organic) , respectivamente. Cada um destes grupos são subdivididos em dois subgrupos representados pelos sufixos: H (High) - solos com alta compressibilidade, apresentando LL acima de 50. L (Low) - solos com baixa compressibilidade, apresentando LL abaixo de 50. 35 Podem-se obter com a combinação destas letras os seguintes subgrupos: ML; MH; CL; CH; OF; e OH. Além dos subgrupos já citados existe um outro tipo de solo que não se enquadra em nenhum deles, e são os solos turfosos, constituídos pelo elevado teor de matéria orgânica, tendo alta compressibilidade. Este subgrupo foi designado pela sua abreviatura em Inglês Pt (peat). Para uma visualização mais fácil da classificação dos solos finos, pode-se lançar mão da carta de plasticidade. Nela, apresenta-se uma variação do limite de liquidez, em abscissas, e, em função do índice de plasticidade, em ordenadas. A carta 6 dividi da em regiões limitadas por duas linhas. A primeira, linha A com a equação IP = 0,73 (LL-20) separa os solos orgânicos dos inorgânicos. A segunda, linha B, paralela ao eixo das ordenadas, tem equação LL = 50. A sua direita situam-se os solos de alta compressibilidade; à sua esquerda, os de baixa compressibilidade. Quando um material cai em uma zona fronteiriça, entre duas regiões, pode-se classificá- lo com letras dobradas (como CL - ML, por exemplo), uma vez que ele não possui características específicas de determinada região. Os Quadros IV, V e VI resumem a classificação do U.S. Public Roads (Unificada) e a Figura 27 mostra a carta de plasticidade. 6 - Classificação HBR A classificação HBR provém de uma adaptação da classificação do U.S. Public Roads. Ela fundamenta-se na granulometria, limite de liquidez e índice de plasticidade dos solos. Tal como a classificação do Public Roads, ela foi proposta com o objetivo de ser usada na área de estradas. Algumas modificações foram introduzidas na classificação original, entre as quais a criação do chama do índice de grupo, número inteiro com intervalo de variação entre 0 e 20. O índice de grupo estabelece a ordenação dos solos dentro d um grupo, conforme suas aptidões, sendo pior o solo que apresentar maior índice de grupo, como, por exemplo, o solo A4(7) e melhor do que o solo A4(9). Pode-se determinar o IG por meio da fórmula abaixo ou com uso dos gráficos da Figura 28. 36 QUADRO IV: Classificação Unificada - Guia Classificação do Solo Critérios para determinação dos símbolos e nomes dos grupos usando ensaios de laboratório Grupo Nome do Grupo (2) Pedregulhos: Pedregulhos Limpos CU ≥ 4, 1 ≤ Cc ≤ 3 GW Pedregulho bem graduado (5) mais que 50% da fração Pp, 200 < 5% (3) CU < 4, e/ou 1 > Cc > 3 GP Pedregulho mal graduado (5) Solos grossa, re- tido na Pedregulhos com finos Finos clas sificados ML, MH GM Pedregulho siltoso (5, 6, 7) grossos # 4 Pp, 200 > 12% (3) como CL CH GC Pedregulho argiloso (5, 6, 7) Pr, 200 > 50% Areias: Areias lim- pas (4) CU ≥ 6, 1 ≤ Cc ≤ 3 SW areia bem graduada (8) mais que 50% da fração Pp, 200 < 5% CU < 6, e/ou 1 > Cc > 3 SP areia mal graduada (8) grossa passa na # 4 Areias com finos (4) Finos clas sificados ML, MH SM areia siltosa (6, 7, 8) Pp, 200 > 12% como CL, CH SC areia argilosa (6, 7, 8) Siltes e Inorgâ- IP >, 7 pontos sobre ou acima da linha A (9) CL argila pouco plás- tica (10, 11, 12) argilas nicos IP < 4, pontos abaixo da linha A (9) ML silte (10, 11, 12) Solos LL < 50% Orgânicos (LL)s < 0,75 (LL)n OL argila orgânica (10,11,12,13) silte orgânico (10, 11, 12, 14) Finos Siltes e Inorgâ- Pontos sobre ou acima da linha A CH argila muito plás- tica (10, 11, 12) Pp, 200 > 50% argilas nicos Pontos abaixo da linha A MH silte elástico (10,11,12) LL ≥ 50% Orgânicos (LL)s < 0,75 (LL)n OH argila orgânica (10,11,12,15)silte orgânico (10,11,12,16) Solos altamente orgânicos Principalmente matéria orgânica, cor escura e cheiro PT Turfa 37 1: Válido para material passando na peneira de 75mm abertura 2: Se contiver seixos e matacões acrescentar “com seixos e matacões”. Solos com Pp, 200 entre 5-12% exigem símbolo duplo. 3: Pedregulhos 4: Areias GW - GM: Pedregulho bem graduado com silte SW - SM: Areia bem graduada com silte GW - GC: Pedregulho bem graduado com argila SW - SC: Areia bem graduada com argila GP - GM: Pedregulho mal graduado com silte SP - SM: Areia mal graduada com silte GP - GC: Pedregulho mal graduado com argila SP - SC: Areia mal graduada com argila 5: Se % Areia ≥ 15, acrescentar “com areia” 6. Se finos: CL - ML, usar símbolo duplo: GC - GM; SC - SM 7: Se finos são orgânicos, acrescentar, “com finos orgânicos” 8. Se % Pedregulho ≥ 15, acrescentar “com pedregulho” 9: Se pontos estão na área hacgurada, é CL - ML (argila - siltosa) 10: Se Pr, 200 : 15-29%, por: “com areia” ou “com pedregulho” Se Pr, 200 ≥ 30%: 11: % Pedregulho < 15%, acrescentar arenoso 12: % Areia < 15%, acrescentar pedregulhoso 13: Para IP > 4, e pontos sobre ou acima da linha A. 14: Para IP ≤ 4 ou pontos abaixo da linha A. 15: Para pontos sobre ou acima da linha A. 16: Para pontos abaixo da linha A Obs.: CU = D60/D10 Cc = D230/D10 x D60 38 39 IG = 0,2 a + 0,005 a.c + 0,01 b.d a = porcentagem do solo que passa na malha 200 (ASTM) menos 35. Se a porcentagem for menor do que 35, adota-se 35 e se for maior do que 75, adota-se 75. Desta forma, estabelece-se um número inteiro cujo intervalo de variação é de 0 a 40. a = (% φ < # 200) - 35 b = porcentagem do solo que passa na malha 200 (ASTM) menos de 15. Se a porcentagem for menor do que 15, adota-se 15, e se for maior do que 55 adota-se 55. Desta forma, cria-se um número inteiro com intervalo de variação entre 0 e 40. b = (% φ < # 200) - 15 40 c = valor do limite de liquidez do material menos valor de LL for maior do que 60, adota-se 60 e se for menor do que 40, adota-se 40. Assim, cria-se um número inteiro, variando de O a 20. c = LL - 40 d = valor do índice de plasticidade do material menos 10. Se este valor for menor do que 10, adota-se 10 e se for maior do que 30, adota-se 30. Estabelece-se, deste modo, um número inteiro com intervalo de variação entre O e 20. d = lP - 10 Os solos são classificados em 7 grupos, de acordo com a granulometria (# 10, 50, 100, 200) e de conformidade com os intervalos de variação dos limites de consistência e índice de grupo. O Quadro VII fornece um resumo das características de cada grupo. A classificação é feita da esquerda para a direita do quadro. Nele pode-se notar: a. Os solos grossos foram divididos em três grupos, A1; A2 e A3. Grupo A1: Pedregulho e areia grossa bem graduados, com pouca ou nenhuma plasticidade. Grupo A2: Pedregulho e areia grossa bem graduados, com material cimentante de natureza friável ou plástica. Grupo A3: Areias finas não plásticas. b. Os solos finos foram divididos em quatro grupos, A4, A5, A6 e A7. Grupo A4: Solos siltosos com pequena quantidade de material grosso e de argila. Grupo A5: Solos siltosos com pequena quantidade de materialgrosso e de argila, rico em mica e diatomita. Grupo A6: Argilas siltosas medianamente plásticas com pouco ou nenhum material grosso. Grupo A7: Argilas plásticas com presença de matéria orgânica. 41 42 CAPÍTULO V3I O PRINCÍPIO DAS TENSÕES EFETIVAS 1- Definições O comportamento de um solo quando submetido a carregamentos, pode ser mais bem visualizado, quando se imagina o solo composto das três fases físicas (sólida, líquida e/ou gasosa ocupando os poros). De imediato, decorre que as tensões de cisalhamento induzidas pela necessidade deverão ser suportadas pelo esqueleto sólido, uma vez que a água (ar) não oferece resistência ao cisalhamento. Por outro lado, as tensões normais, que se desenvolvem em qualquer plano, serão suportadas, parte pelo esqueleto sólido e parte pela fase fluida. Particularmente, no caso dos solos saturados, teríamos uma parcela da tensão normal atuando nos contatos interpartículas e a outra parcela atuando como pressão na água situada nos vazios. A pressão que atua na água intersticial é chamada de pressão neutra (u) e a sua origem pode-se dar pelas mais variadas razões, algumas delas bastante complexas, como, por exemplo, pelo cisalhamento ou adensamento do solo. A situação mais simples é que ocorre pela submersão do solo (Figura 29). Neste caso, como os poros se interligam, a água intersticial está em contato com a água situada sobre o solo e, portanto, a pressão neutra em qualquer ponto do plano a-a será igual à pressão hidrostática. u = γw hw = γw (h1 + h2) A pressão que atua nos contatos interpartículas é denominada tensão efetiva (σ’) e é a que responde por todas as características de deformação e resistência do arcabouço sólido do solo. A seguinte relação constitui um princípio da Mecânica dos Solos e vale para qualquer solo saturado, independente da área de contacto entre as partículas: σ'= σ - u 3 Mecânica dos Solos - vol. 1 – Benedito de Souza Bueno & Orencio Monje Vilar – Depto de Geotecnia – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo 43 Portanto, a tensão efetiva (σ') corresponde à diferença entre a tensão total (σ) e a pressão neutra (u). Vale ressaltar ainda que as considerações, aqui feitas, se aplicam somente no caso em que não haja movimento de água no solo, e que a pressão neutra, sendo hidrostática, num ponto qualquer, tenha a mesma intensidade, em qualquer direção. 2 - lmplicações As principais conseqüências da distinção entre as tensões to tais e as tensões efetivas estão diretamente ligadas à compressão e à resistência do solo. Seja o elemento de solo da Figura 30, comprimido por tensões iguais, em todas as faces. A variação de volume a que o elemento de solo estará sujeito não fica determinada pela tensão normal total (∆σ) aplicada, como poderia ser à primeira vista, mas sim pela tensão efetiva. Isso pode ser exposto por meio da seguinte expressão: ( )uC v V ∆−∆−=∆ σ ∆V /V - variação de volume C - compressibilidade do esqueleto do solo Como se pode notar, uma variação de volume pode ocorrer sem que haja aumento de tensão total sobre o solo; basta que haja uma variação da pressão neutra. Tal conclusão permite explicar os recalques a que estão sujeitas estruturas apoiadas sobre solos de baixa permeabilidade, e que ocorrem ao longo do tempo. A tensão total aplicada pelo peso da estrutura e suportada primeiramente pela água intersticial, e só à medida que esse acréscimo de pressões na água for dissipado (pela expulsão da água dos vazios, que se dá lentamente) é que o arcabouço sólido passa a suportar as tensões. Assim, ocorre uma variação na pressão neutra, o 44 que provoca uma variação de volume do solo e, conseqüentemente o recalque da estrutura (Capítulo IX). No tocante à resistência dos solos (Capítulo XIII), temos que ela é diretamente influenciada pelo atrito que se desenvolve nos contatos interpartículas. Tal atrito, é obviamente função das forças normais interpartículas, em vez de força normal total (que atua também na água intersticial). 3 - Massa Específica Submersa Seja o perfil de solo esquematizado na Figura 29. A tensão total (σ) no plano a-a se deverá à contribuição do peso de água e do peso de solo: σ = γw. h1 + γsat . h2 A pressão neutra (u) no plano considerado corresponde à pressão hidrostática: u = γw (h1 + h2) Dessa forma a tensão efetiva será: σ‘ = σ - u = γw . h1 + γsat . h2 - γw (h1 + h2) σ' = (γsat - γw) h2 = γ' h2 A massa específica submersa ou efetiva (γ'), que corresponde à diferença entre a massa especifica saturada do solo e a massa específica da água, permite calcular a tensão efetiva, em qualquer plano de um solo submerso. O valor de γ‘ pode ser obtido, também, tendo em conta o Princípio de Arquimedes. Veja a Figura 31 em que se fez o volume dá amostra igual a 1. A massa de sólidos é (1 - n) ys e pelo volume de sólidos é (I - n) YW. Dessa forma, temos, pelo Princípio de Arquimedes: γ' = (l -n) γs - (l - n) - γw ou γ' = (I -n) (γs - γw) 45 46 CAPÍTULO Vll4 TENSÕES ATUANTES NUM MACIÇO DE TERRA l - Introdução Os esforços no interior de certa massa de solo são produzidos, genericamente, pelas cargas externas aplicadas ao solo o pelo peso do próprio solo. As considerações acerca dos esforços introduzidos por um carregamento externo são bastante complexas e o seu tratamento, normalmente se dá, a partir das hipóteses formuladas pela teoria da elasticidade, conforme se verá no item 3. 2 - Esforços Geostáticos No caso das tensões ocasionadas pelo peso próprio do solo (tensões geostáticas), é fácil verificar que, se a superfície do terreno for horizontal, as tensões totais, a uma profundidade qualquer, são obtidas considerando apenas o peso do solo sobrejacente (Figura 32.a). Sendo a superfície do terreno, horizontal, não existem tensões de cisalhamento nos planos horizontais, e dessa forma a tensão vertical total causada pelo solo é uma tensão principal. Freqüentemente, a massa específica varia com a profundidade. Se o solo é estratificado e a massa específica de cada estreita é diferente (Figura 32.b), podem-se calcular as tensões verticais totais da seguinte forma: σv = ∑ γi . zi O valor de γi a considerar será a massa específica natural ou a saturada dependendo das condições em que o solo se encontre. Estando o solo submerso, pode-se calcular a tensão total (σ), a pressão neutra (u) e a tensão efetiva (σ') conforme se mostrou no item 3 do Capítulo VI. Vale lembrar que a tensão efetiva (σ') num plano qualquer, poderá ser calculada diretamente, utilizando as massas específicas submersas dos solos sobrejacentes ao plano considerado. E de fundamental importância notar que no elemento de solo (da Figura 3-'.a), além da tensão vertical por causa do peso próprio, também ocorrem tensões horizontais, que são uma parcela da tensão vertical atuante, ou seja: σh = K . σv , na qual K é denominado coeficiente de empuxo. Quando não ocorrem deformações na massa do solo, temos o coeficiente de repouso (K = K0), que pode ser determinado pela Teoria da Elasticidade, admitindo o solo como homogêneo e isótropo. Veja a Figura 32.a. Se não ocorrem deformações horizontais, então podemos escrever, por exemplo: 4 Mecânica dos Solos - vol. 1 – Benedito de Souza Bueno & Orencio Monje Vilar – Depto de Geotecnia – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo 47 0=−−= E h EE hv x σµσµσε µ = coficiente de Poisson E = módulo de Elasticidade vh K σσ ⋅= 0 ou 000 =−− E K E K E vvv σµσσµ , portanto, µ µ −= 10K O conhecimento do coeficiente de empuxo é de fundamental importância para resolução de muitos problemas da Engenharia de Solos (muros de arrimo, escavações, etc.), pois permitedeterminar as tensões horizontais em massa de solo e, por extensão a resultante dessas tensões é denominada empuxo. O estudo dos empuxos será efetuado em outro capítulo. No caso de a superfície do terreno não ser horizontal, considerando o caso de um talude infinito, como se mostra na Figura 33.a, tem-se que o peso da coluna de soIo (P) tem a mesma linha de ação da resultante (R), uma vez que Fe e Fd são iguais, por estarem a mesma profundidade, e têm a mesma linha de ação para que haja equilíbrio estático. Disso resulta que R = P. O valor de P, considerando largura infinita no plano normal ao papel, será: hbP ⋅= γ Porém, como b = bo cos i, P = γ bo h cos i Tem-se ainda que N = P cos i e T = P sen i . 48 Tais forças agem numa seção igual a bo x 1 , portanto, (Figura 3.3.b): 0b P v =σ σv = γ h cos i 0b N n =σ σn = γ h cos2 i 0b T=τ τ = γ h sen i cos i 3 - Propagação de Tensões no Solo Os carregamentos aplicados à superfície de um terreno induzem tensões que se propagam no interior da massa de solo. A distribuição desses esforços é calculada, empregando as soluções tidas a partir da Teoria da Elasticidade. Conquanto sejam muitas as críticas que se levantem às hipóteses formuladas na T.E., a sua aplicação aos casos práticos é bastante freqüente, dada a sua simplicidade, quando comparadas a outros tipos de solução. Existem soluções para uma grande variedade de tipos de carregamento, entretanto, consideraremos apenas os casos mais freqüentes, sem nos preocuparmos com o seu desenvolvimento matemático. 3.1- A Solução de Boussinesq Os esforços induzidos por uma carga concentrada atuando na superfície horizontal de um semi-espaço infinito homogêneo, isótropo e elástico linear foram calculados primeiramente por Boussinesq, em 1885. A Figura 34 representa a carga concentrada P, atuando num ponto O, que é a origem de um sistema cartesiano ortogonal. O ponto A, em que se deseja calcular as tensões, tem 49 coordenadas x, y e z, sendo ainda r a distância radial de A'O; R o vetor posição de A, e θ o ângulo entre R e z. As tensões verticais, radiais e de cisalhamento serão: 2 5 2 25 3 2 5 1 2 3 2 3cos 2 3 − +=⋅== z r z P R zP z P z ππ θ πσ ( ) ⋅ −−−= 25 2 213 2 rR zR R zrP r µπσ É fácil verificar pela fórmula de σz, que há distribuição de tensões simétricas em cada pIano horizontal, no interior da massa de solo. Em determinado pIano, a uma profundidade z, a tensão máxima ocorre na mesma vertical de aplicação P (θ = 0o); por outro Iado, a medida que nos distanciamos horizontalmente do ponto de aplicação de P (aumento de r) diminui a intensidade das tensões aplicadas, até um ponto em a carga P, praticamente não exerce mais influência. Essa situação é esquematizada na Figura 35, para alguns planos horizontais. 50 Unindo-se os pontos da massa de solo solicitadas por igual tensão, conforme vem esquematizado na Figura 36, temos as ISÓBARAS. O corpo sólido constituindo de conjunto de isóbaras forma o que se chama de bulbo de tensões. As tensões se propagam até grandes profundidades, entretanto, para fins práticos, costuma-se arbitrar que o solo é efetivamente solicitado até a profundidade delimitada, pela isóbara de IO% dá carga aplicada à superfície. 3.2 - Extensão da Solução de Boussinesq Além da carga concentrada, soluções para outros tipos de carregamentos, muito freqüentes na prática, foram estipuladas a partir da solução proposta por Boussinesq. a. Carregamento Uniformemente Distribuído sobre uma Placa Retangular 51 Para o caso de uma área retangular de lados a e b uniformemente carregada (Figura 37), as tensões em ponto situado a uma profundidade z, na mesma vertical do vértice O são dadas pela seguinte fórmula. ( ) ( ) +⋅−+ +++++ ++⋅+⋅++ ++= 1 12 1 2 1 12 4 2222 2 1 22 22 22 2222 2 1 22 nmnm nmmnarctg nm nm nmnm nmmnP z πσ em que z am = e c bn = A mesma expressão pode ser escrita adimensionalmente, resultando: ( ) ( ) +⋅−+ +++++ ++⋅+⋅++ ++= 1 12 1 2 1 12 4 1 2222 2 1 22 22 22 2222 2 1 22 nmnm nmmnarctg nm nm nmnm nmmn P z π σ Chamando o segundo termo dessa expressão de Iσ, a tensão vertical (σz) será: σσ IPz ⋅= Os valores de Iσ podem ser determinados em um gráfico, em função de m e n. Esse Gráfico é apresentado na Figura 38 e dessa forma, para calcular zσ em um ponto, sob um 52 vértice de uma área uniformemente carregada, basta determinar a e b e os valores de m e n, e obter σI do gráfico. É importante salientar que todas as deduções estão referenciadas a um sistema de ordenadas, no qual o vértice O coincide com a origem. Para calcular o acréscimo de tensões em um ponto que não passe pela vertical por O, deve-se adicionar e subtrair convenientemente áreas carregadas ao problema em questão ' Uma situação desse tipo e esquematizada na Figura 39. Seja calcular a tensão vertical no ponto R produzida pela placa carregada ABDE: EFHRDFGRBCHRACGRR IIIII σσσσσ +−−= 53 A Figura 40 mostra o bulbo de tensões para uma placa quadrada uniformemente carregada. b. Carregamento Uniforme Sobre uma Placa Retangular de Comprimento Infinito (Sapata Corrida) Em se tratando de uma placa retangular em que uma das dimensões é muito maior que a outra (como, por exemplo, no caso das sapatas corridas, fundação bastante comum em residências), os esforços introduzidos na massa de solo podem ser calculados por meio da fórmula desenvolvida por Carothers e Terzaghi. Veja o esquema da Figura 41, em que a placa tem largura 2 b, e está carregada uniformemente com p. As tensões num ponto A situado a uma profundidade z e distante x do centro da placa são dadas pelas seguintes expressões: 54 ( )βααπσ 2cossen ⋅+= P ( )βααπσ 2cossen ⋅−= P x ( )βαπτ 2sensen ⋅= P xy 55 O bulbo de pressões correspondentes a esse tipo de carregamento é mostrado na Figura 42. 56 c. Carregamento Uniformemente Distribuído sobre uma Área Circular Os esforços produzidos por uma placa uniformemente carregada, na vertical que passa pelo centro da placa, podem ser calculados por meio da integração da equação de Boussinesq, para toda a Área circular. Tal integração foi realizada por Love, e na Figura 43 têm-se as características geométricas da área carregada. A tensão efetiva vertical produzida no ponto A, situado a uma profundidade z é dada por: + −= 2 3 2 1 11 z r pzσ Essa expressão na prática é simplificada com a introdução de um fator de influência, o qual é tabelado em função de r/z. Dessa forma, a expressão para cálculo de zσ fica: σσ Ipz ⋅= sendo 2 3 2 1 11 + −= z r Iσ 57 No Quadro Vlll têm-se alguns valores de Iσ para distintas relações r/z. R/z 0,10 0,25 0,5 0,75 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 Iσ 0,014 0,087 0,284 0,488 0,646 0,829 0,910 0,949 0,968 R/z 3,50 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 ∞ Iσ 0,979 0,986 0,992 0,995 0,997 0,9980 0,9986 0,999 1 d. Carregamento Triangular de Comprimento Infinito A solução para este tipo de carregamento encontra grande aplicação na avaliação de tensões produzidas interior de certa massa de solo por aterros, barragens etc. Conquanto existam soluções para diversas formas geométricas de carregamento (triângulos retângulo, escaleno; trapézios etc.), apontaremos a solução para o caso de carregamento em forma de um triângulo isósceles e em forma de um trapézio retângulo A soluçãopara esses casos foi proposta Carothers, a disposição geométrica do carregamento triangular é mostrada na Figura 44. ( ) −++= 2121 ααααπσ b xP z ( ) −−++= 2212121 ln2 o x r rr b z b xP ααααπσ A Figura 45 apresenta a geometria do carregamento, em forma de trapézio retângulo de comprimento infinito. O acréscimo de tensão provocado pelo carregamento será: 58 ( ) −−+= bx r z a xP z 2 2 αβπσ ( ) −+⋅++= bx r z r r a z a xP o x 2 21 ln2αβπσ 3.3 - O Gráfico de Newmark Baseado na equação de Love, que fornece o acréscimo de tensões ocasionadas por uma placa circular uniformemente carregada, Newmark desenvolveu um método gráfico que permite obter os esforços verticais produzidos por qualquer condição de carregamento uniforme, atuando na superfície do terreno. A aplicação desse gráfico é bastante útil e simples, sobretudo quando se tem várias placas, de diferentes formas, as quais aplicam ao terreno diferentes carregamentos. A equação de Love pode ser escrita da seguinte forma: 59 σσ I z rP z = + −−= 2 3 2 1 11 Para construir o gráfico de Newmark atribuem-se valores a σI , e calcula-se o raio da placa necessário para produzir o acréscimo de pressões a profundidade z. Exemplificando: Ao fazer 1,0=σI , resulta que r/z = 0,27, ou seja, tendo-se um círculo de raio r = 0,27 z (Figura 46) este produziria num ponto A, situado na vertical que passa pelo centro, um acréscimo de tensão: ppz 005,020 1,0 ==σ Se o círculo de r = 0,27z for dividido em partes iguais (nas cartas de Newmark, geralmente 20 partes), cada uma delas contribuíra com a mesma fração para o esforço final zσ ; no caso de 20 partes, cada uma delas contribuirá com: ppz 005,020 1,0 ==σ Fazendo 2,0=σI , resulta r/z = 0,40, ou seja, para que no ponto A haja uma tensão zσ = 0,2 p é necessário que a area carregada tenha r = 0,4 z. Na Figura 46, concêntrico com o círculo anterior, pode-se desenhar outro circulo de r = 0,40 z. Como o primeiro circulo produzia um acréscimo de 0,1p, é evidente que a coroa circular agora gerada produz outro acréscimo igual a 0,1p: Prolongando-se os raios que dividiam o primeiro círculo em partes iguais, teremos a coroa circular dividida em partes cuja influência 6 também 0,005 P. A parcela de contribuição de cada uma das partes é chamada de unidade de influência, e no exemplo dado vale 0,005. 60 Na Figura 47 , apresenta-se um gráfico de Newmark com a respectiva escala (z) a partir do qual foi construído. Para calcular o acréscimo de tensões ocasionadas por placa uniformemente carregada, faz-se coincidir o centro do gráfico de Newmark com o ponto em que se deseja calcular esse acréscimo. A área carregada é desenhada numa escala tal que a profundidade, em que se deseja conhecer o acréscimo, fique representada pelo valor de z, a partir do qual foi elaborado o gráfico. Em seguida, contam-se as unidades de, influência englobadas pelo contorno da área, e calcula-se a tensão vertical, que é dada por: INpz ⋅⋅=σ , em que: N - número de fatores de influência T - unidade de influência (geralmente 0,005 ) 61 3.4 A Solução de Westergaard Nos depósitos sedimentares em que aparecem entre meadas camadas de material fino e lentes de areia, a solução de Boussinesq não se aplica, uma vez que esses depósitos têm capacidade de oferecer grande resistência a deformações laterais. Para simular esta condição de anisotropia, Westergaard introduziu um novo modelo matemático, baseado nas mesmas condições de carregamento de Boussinesq (Figura 48), e no qual as deformações laterais são totalmente restringidas. Segundo Westergaard, a tensão vertical a uma profundidade z é dada por: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 22/21 22/21 2 +−− −−= z r z p z µµ µµ πσ em que µ é o coeficiente de Poisson. Quando µ = 0, a equação se simplifica para: 2 3 2 2 21 1 + = z r z p z πσ 62 Da mesma forma que ocorreu na solução de Boussinesq, a de Westergaard pode ser estendida para outros tipos de carregamento. A Figura 49 mostra os bulbos de tensão para placa quadrada e retangular de comprimento infinito, de acordo com Westergaard. 3.5 - Comparação entre as Soluções de Boussinesq e Westergaard e Algumas Simplificações. Na comparação das duas soluções, para acréscimo de tensões verticais, pode-se concluir que: a. para pequenas relações r/z, a solução de Boussinesq fornece valores maiores; b. para r/z, cerca de 1,8, as duas soluções fornecem valores aproximadamente iguais; e. para r/z, maior que 1,8, a equação de Westergaard fornece valores maiores; d. para uma placa retangular uniformemente carregada, quando a maior dimensão (l) for maior que três vezes a menor dimensão (b) (l > 3b),pode-se considerar essa placa como de comprimento infinito; e. para uma profundidade (z) maior que três vezes a largura da placa uniformemente carregada (z >3b), pode-se considerar a carga concentrada atuando no centro de gravidade ela placa e calcular o acréscimo de tensões, aplicando a fórmula de Boussinesq para carga pontual. 63 Para obtenção de estimativas de produção de tensões, ao longo da profundidade, pode- se admitir que haja uma distribuição uniforme de tensões e arcas que aumentam progressivamente com a profundidade.Costuma-se arbitrar que essas tensões se propagam segundo uma inclinação de 2:1 ou segundo algum angulo (geralmente 30o). De acordo com a Figura 50, teríamos, se admitirmos uma distribuição de 2:1: ( )( )zLzB Pq ++= No caso de placa de forma quadrada: ( )2zB Pq += 64 3.6 - Limitações da Teoria da Elasticidade Ao tratar da aplicação das soluções da Teoria da Elasticidade ao problema de propagações de tensões no solo, deve-se atentar para três discrepâncias que surgem das hipóteses daquela teoria, quando se refere a solos: a. O solo pode ser admitido como elástico somente para pequenas deformações. Dessa forma não há proporcionalidade exata entre tensão e deformação, sobretudo quando as deformações são grandes. Nesse caso, é necessário dividir o carregamento, que provoca a deformação, em estádios sucessivos e obter para cada carregamento parâmetros elásticos diferentes. Portanto, para a aplicação da Teoria da Elasticidade, necessário que os acréscimos de tensão sejam pequenos e que o estado final de tensões esteja muito aquém da ruptura. b. O solo não apresenta um comportamento isótropo, conforme estipulado nas hipóteses da Teoria da Elasticidade. Geralmente, os módulos de elasticidade são diferentes nas várias direções, em se tratando de solos. Essa anisotropia não se prende ao fato de o subsolo ser constituído por camadas de diferentes solos, visto que solos essencialmente diferentes, como por exemplo, uma argila rija e uma areia compacta podem apresentar um comportamento elástico semelhante. A restrição que se faz à homogeneidade do solo é que nos solos arenosos, a resistência aumenta com o confinamento (e portanto com a profundidade); o mesmo ocorre nas argilas normalmente adensadas, e dessa forma é fácil notar que o módulo de elasticidade varia com a profundidade, o que elimina as características de homogeneidade desses solos. c. Segundo a Teoria da Elasticidade, o solo deve constituir um semi-espaço infinito homogêneo. Essa condição pode ser satisfeita, quando o solo se apresenta uniforme numa área compreendida por distâncias de cerca de quatro a cinco vezes a menor dimensão da placa carregada.