AP1 GAI 2018.2 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP1 – Geometria Anal´ıtica I – 2018.2
Considere os pontos A = (−1, 3) e B = (4, 1) pontos do plano para responder a` questo˜es 1, 2 e 3.
Questa˜o 1 (1,0 ponto): Encontre as equac¸o˜es parame´tricas da reta r que passa pelos pontos A
e B e fac¸a um esboc¸o de r.
Observac¸a˜o: Na˜o se esquec¸a de fazer o esboc¸o em um sistema de eixos coordenados OXY .
Questa˜o 2 (1,0 ponto): Encontre a equac¸a˜o cartesiana da reta s que e´ perpendicular a` reta r e
passa por C = (2, 0) e fac¸a um esboc¸o de s.
Observac¸a˜o: Na˜o se esquec¸a de fazer o esboc¸o em um sistema de eixos coordenados OXY .
Questa˜o 3 (1,5 pontos): Determine as equac¸o˜es cartesianas das retas t1 e t2 que sa˜o paralelas
a` reta r e distam
√
29 de r.
Soluc¸a˜o:
(1) Para encontrar equac¸o˜es parame´tricas de uma reta e´ preciso encontrar um vetor paralelo a` reta
e um ponto pertencente a` reta. Como o vetor
−→
AB = (5,−2) e´ paralelo a` reta r e A = (−1, 3) ∈ r,
temos que
r :
{
x = 5t− 1
y = −2t+ 3 ; t ∈ R
sa˜o as equac¸o˜es parame´tricas da reta r.
Figura 1: Reta r da questa˜o 1.
(2) Para encontrar a equac¸a˜o cartesiana de uma reta e´ preciso encontrar um vetor perpendicular a`
reta e um ponto pertencente a` reta. Note que, se (5,−2) ‖ r, enta˜o (5,−2) ⊥ s. Logo, a equac¸a˜o
cartesiana de s tem a seguinte forma:
5x− 2y = k,
Geometria Anal´ıtica I AP1 2
para algum k ∈ R. Como C = (2, 0) ∈ s, suas coordenadas satisfazem a equac¸a˜o de s, ou seja,
5 · 2− 2 · 0 = 10 = k.
Assim, a equac¸a˜o cartesiana de s e´ 5x− 2y = 10.
Figura 2: Reta s da questa˜o 2.
(3) Se
−→
AB = (5,−2) ‖ r, enta˜o (2, 5) ⊥ r. Logo, a equac¸a˜o cartesiana de r tem a seguinte forma:
2x+ 5y = k,
para algum k ∈ R. Como A = (−1, 3) ∈ r, suas coordenadas satisfazem a equac¸a˜o de r, ou seja,
2(−1) + 5 · 3 = 13 = k.
Assim, a equac¸a˜o cartesiana de r e´ 2x+ 5y = 13.
Seja t uma reta paralela a` reta r cuja distaˆncia a` reta r e´
√
29. Neste caso, a reta t possui a seguinte
forma:
2x+ 5y = k,
para algum k ∈ R. Agora, como d(r, t) = √29, enta˜o
|k − 13|√
29
=
√
29⇐⇒ |k − 13| = 29⇐⇒ k = 42 ou k = −16.
Assim, conclu´ımos que as equac¸o˜es cartesianas das retas t1 e t2 sa˜o
t1 : 2x+ 5y = 42 e t2 : 2x+ 5y = −16.
Considere as retas r :
{
x = t
y = 3t+ 1 , t ∈ R e s :
{
x = 3 + 3k
y = 2 + k , k ∈ R e o ponto A = (3, 2) para
responder as questo˜es 4 e 5.
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Geometria Anal´ıtica I AP1 3
Questa˜o 4 (1,0 ponto): Mostre que as retas r e s sa˜o concorrentes e encontre o ponto B de
intersec¸a˜o entre r e s.
Questa˜o 5 (1,5 pontos): O triaˆngulo ABP possui a´rea 4, sendo A o ponto dado no enunciado, B
o ponto encontrado na questa˜o anterior e P pertencente a` reta r. Encontre o ve´rtice P do triaˆngulo.
OBS.: Existem dois pontos P que satisfazem as propriedades da questa˜o 5. Encontre os dois!
Soluc¸a˜o: (a) Pelas equac¸o˜es parame´tricas das retas r e s, sabemos que −→u = (1, 3) ‖ r e −→v =
(3, 1) ‖ s. Como −→u e −→v na˜o sa˜o mu´ltiplos, as retas r e s na˜o podem ser paralelas nem coincidentes.
Logo, r e s sa˜o concorrentes.
Para encontrar o ponto B de intersec¸a˜o entre r e s, basta resolver o seguinte sistema:{
t = 3 + 3k
3t+ 1 = 2 + k .
Substituindo o valor de t dado pela primeira equac¸a˜o na segunda equac¸a˜o encontramos que 3(3+3k)+
1 = 2+k ⇐⇒ k = −1. Substituindo o valor de k na primeira equac¸a˜o, obtemos t = 3+3(−1) = 0.
Utilizando o valor de t na equac¸a˜o de r, conclu´ımos que B = (0, 1).
(b) Como P ∈ r, existe um valor de t ∈ R tal que P = (t, 3t + 1). Assim, −→BA = (3, 1) e−−→
BP = (t, 3t). Assim, temos:
‖−→BA‖2 = 10, ‖−−→BP‖2 = 10t2 e 〈−→BA,−−→BP 〉 = 6t.
Assim, como a a´rea do triaˆngulo ABP e´ 4 temos:
4 = 12
√
10 · 10t2 − 36t2 = 12
√
64t2 = 4|t|.
Portanto, t = 1 ou t = −1.
Se t = 1, temos que P = (1, 4). Se t = −1, enta˜o P = (−1,−2).
Questa˜o 6 (2,0 pontos): Encontre a equac¸a˜o da para´bola P que possui a reta r : x = −1 como
diretriz e o ponto F = (0, 0) como foco. Fac¸a um esboc¸o da para´bola.
Observac¸a˜o: Na˜o se esquec¸a de fazer o esboc¸o em um sistema de eixos coordenados OXY .
Soluc¸a˜o:
Como a para´bola possui diretriz a` esquerda do foco, sua concavidade sera´ para direita. Logo, sua
equac¸a˜o e´ da forma:
(y − y0)2 = 4p(x− x0),
onde V = (x0, y0) e´ o ve´rtice da para´bola e p =
1
2d(r, F ). Como d(r, F ) = 1, temos que p =
1
2 .
Ale´m disso, como V = (0− p, 0), obtemos que V =
(
−12 , 0
)
. Assim, a equac¸a˜o da para´bola e´
y2 = 412
(
x+ 12
)
⇐⇒ y2 = 2
(
x+ 12
)
.
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Geometria Anal´ıtica I AP1 4
Figura 3: Para´bola P .
Questa˜o 7 (2,0 pontos): Determine os pontos sobre o c´ırculo C de centro C = (2, 1) e raio
R =
√
20 que sa˜o equidistantes dos pontos A = (3, 4) e B = (−1, 2). Fac¸a um esboc¸o contendo o
c´ırculo, A, B e os pontos do c´ırculo C que sa˜o equidistantes a` A e B.
Observac¸a˜o: Na˜o se esquec¸a de fazer o esboc¸o em um sistema de eixos coordenados OXY .
Soluc¸a˜o:
O c´ırculo C centrado em C = (2, 1) e de raio √20 possui a seguinte equac¸a˜o:
C : (x− 2)2 + (y − 1)2 = 20.
Na figura abaixo, temos o c´ırculo C e os pontos A e B dados no enunciado.
Figura 4: C´ırculo C e pontos A e B.
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Geometria Anal´ıtica I AP1 5
Sabemos que a mediatriz r do segmento AB conte´m todos os pontos equidistantes dos pontos A e
B. Portanto, para encontrar os pontos do c´ırculo C que sa˜o equidistantes dos pontos A e B, basta
fazer a intersec¸a˜o da reta r com o c´ırculo C. A reta mediatriz r e´ uma reta que passa pelo ponto
me´dio M do segmento AB e e´ perpendicular ao segmento AB. Como
M = A+B2 =
(3− 1, 4 + 2)
2 =
(2, 6)
2 = (1, 3)
e´ o ponto me´dio de AB e
−→
AB = (−4,−2) ⊥ r =⇒ (2,−4) ‖ r =⇒ (1,−2) ‖ r,
temos que
r :
{
x = 1 + t
y = 3− 2t , t ∈ R,
sa˜o as equac¸o˜es parame´tricas de r.
Agora, basta fazer a intersec¸a˜o do c´ırculo C com a reta r. Para isso vamos substituir as equac¸a˜o de
r na equac¸a˜o de C:
(1 + t− 2)2 + (3− 2t− 1)2 = 20 ⇐⇒ (t− 1)2 + (2− 2t)2 = 20
⇐⇒ 1− 2t+ t2 + 4− 8t+ 4t2 = 20
⇐⇒ 5t2 − 10t− 15 = 0
⇐⇒ t2 − 2t− 3 = 0
⇐⇒ t = −1 ou t = 3.
Substituindo os valores de t em r, encontramos os seguintes pontos:
C = (0, 5) e D = (4,−3),
que sa˜o os pontos procurados.
Na figura abaixo, temos o todos os elementos pedidos no enunciado.
Figura 5: Pontos C e D pertencentes ao c´ırculo C e equidistantes de A e B.
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