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Modelagem com Equações Diferenciais
Equação diferencial é uma equação que envolve uma função e suas derivadas . Diferente de 
Os fenômenos reais são modelados matematicamente por equações que geralmente focam as taxas de variações da grandeza envolvida( derivadas) porque num problema real normalmente notamos que mudanças ocorrem e queremos prever o comportamento futuro com base na maneira como os valores presentes variam. Essas equações que envolvem taxas de variação de uma grandeza (derivadas) são chamadas equações diferenciais.
As equações diferenciais são utilizadas na modelagem de vários fenômenos estudados nas Ciências Exatas, Biológicas Humanas e Sociais tais como: Crescimento populacional, Propagação de doenças, Radioatividade, Sistema massa-mola; pêndulo simples; Lei do resfriamento de Newton; Cabo suspenso; Drenagem por meio de orifício; Deflexão de Vigas; Capitalização Contínua.
A modelagem descreve sistemas (físicos, químicos biológicos, econômicos) em termos matemáticos. Em geral compreende os seguintes passos: identificação das variáveis e suas unidades de medida; levantamento de hipóteses razoáveis; identificação de leis empíricas que descrevem o sistema e verificação do modelo proposto. 
Os modelos podem conter uma equação diferencial (ED). ou um sistema de equações diferenciais.
As soluções das equações diferenciais são analisadas e depois verificadas se o modelo proposto é consistente com o comportamento do sistema. Na sequência, ajustes ao modelo podem ser propostos.
Como modelar um fenômeno físico por uma equação diferencial, ou seja, como escrever uma equação diferencial modelando um fenômeno ?
Exemplo:
Crescimento populacional
Um dos modelos para o crescimento de uma população baseia-se na hipótese de que uma população cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho. Essa hipótese é razoável para uma população de bactérias ou animais em condições ideais( meio ambiente ilimitado, nutrição adequada, ausência de predadores, imunidade à doenças, etc)
Vamos identificar e dar nomes às variáveis nesse modelo:
t = tempo (variável independente)
P= número de indivíduos da população ( variável dependente)
: constante de proporcionalidade
: Taxa de variação da população em relação ao tempo 
A equação diferencial que modela: = k.P ( k é a constante de proporcionalidade)
É uma equação diferencial porque contém uma função desconhecida P e sua derivada
Para resolver essa equação:
 Qual é a função cuja derivada seja o múltiplo dela mesma. Aprendemos que a derivada de = e portanto a derivada de=k .Podemos então afirmar que P(t) = pois = k.P(t)
Mas P(t) pode ser igual a qualquer múltiplo de , isto é P(t) = C pois = C.(k.) = C.k.= C’ (C’= C.k). Ou seja qualquer equação exponencial da forma P(t) = C. é uma solução da equação diferencial: = k.P(t). Como C é uma constante, fazendo C variar temos uma família de soluções. O gráfico a seguir ilustra essa família de soluções.
Como sabemos, as populações têm apenas valores positivos e, portanto estamos interessados somente nas soluções com C>0 e com valores de t maiores que o instante inicial t= 0.
O gráfico acima fica restrito ao gráfico a seguir:
Fazendo t=0, temos P(0)= C.= C.0 = C , isto é, a constante C acaba sendo a população inicial.
Agora, essa função P(t) = C é uma solução apropriada da equação diferencial = k.P, para modelagem do crescimento populacional sob condições ideais, mas temos que reconhecer que um modelo mais realista deveria considerar o fato de que um determinado ambiente tem recursos limitados. Muitas populações começam crescendo exponencialmente, mas o nível da população se estabiliza quando ela se aproxima de sua capacidade de suporte.
Acrescentamos novas premissas para aperfeiçoar o modelo:
	Premissas: 
	Os ambientes tem recursos limitados.
Algumas populações crescem exponencialmente no início e depois, ou se estabilizam quando se aproximam do valor (capacidade de suporte) ou, estando acima de diminuem em sua direção.
Considerando essas premissas, reescrevemos o modelo: . Esse modelo é conhecido como Equação Diferencial Logística, proposto como modelo populacional mundial.
	
Análise:
	Soluções de Equilíbrio:
Se , então (se a população for zero, permanecerá zero).
Se , então (se a população for , permanecerá na capacidade suporte).
Se , então ( a população diminui).
Se , então (a população aumenta).
, ou seja, se , então (a população se estabiliza).
Referência: STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage, 2011. V.2. p.537.
Analisamos um exemplo de modelagem de um fenômeno real por uma equação diferencial.
Exemplos de equações diferenciais:
y” + 2y’ = 3y
f’(x) + 2 f’(x) = 3 f(x)
 + 2. = 3 y
As soluções dessa equação são funções: y = f(x).
Antes de aprender como determinar as soluções dessa equação diferencial, vamos conferir se a função f(x) = é solução da equação diferencial acima:
Calculemos : f’(x) = 
	 f”(x) = -3. 
Substituindo na equação:
 + 2.) = 3. 
3. 
3. = 3. (V)
Logo f(x) = é solução da equação: f’(x) + 2 f’(x) = 3 f(x)
Exercício:
Verifique se f(x) = também é solução da equação diferencial y”+2y’ = 3y
Mostre que y = cosx+2 senx é solução da equação diferencial: y’’+y = 0
Mas como escrever a equação diferencial que modela os fenômenos?
Alguns exemplos de modelagem: Qual equação descreve as seguintes relações:
Um material radioativo decai a uma taxa de variação proporcional à quantidade presente ,Q, do material radioativo.dQ/dt= -kQ
Uma partícula se move ao longo de uma linha reta. Sua velocidade é inversamente proporciona ao quadrado da distância S que ela viajou. 
A taxa de variação de um estímulo percebido p em relação à intensidade medida do estímulo s é inversamente proporcional à intensidade do estímulo
Dp/ds = k/s
Um cateter distribui medicação na corrente sanguínea de um paciente à taxa de 3 centímetros cúbicos por hora.
Ao mesmo tempo, o corpo do paciente remove a medicação da corrente sanguínea do paciente a uma taxa proporcional ao volume atual V de medicação na corrente sanguínea.
dV/dt= 3-kV
Suponha que a taxa de crescimento populacional de uma comunidade, devido aos nascimentos seja de 15% ao ano. Sabe-se que o número médio de óbitos é de 7000 pessoas ao ano. O número médio de pessoas que migram para outras comunidades é de 1500 pessoas ao ano. Como varia a população da referida comunidade com o tempo?
Supondo uma população inicial de 100.000 habitantes, qual é a taxa de variação
Uma substância química é diluída em um recipiente bombeando água pura para dentro dele ao mesmo tempo que se bombeia a solução existente para fora do recipiente, de modo que o volume em qualquer instante t é 20 +2t. O volume V da substância química decresce a uma taxa proporcional a V e inversamente proporcional ao volume da solução no recipiente. Qual é a equação que melhor descreve esta relação?
Definição de Equação Diferencial (E.D.): Uma equação diferencial é aquela que contém uma função desconhecida e uma ou mais de suas derivadas.
A ordem da equação é igual à ordem da derivada mais alta que ocorre na equação.
A equação diferencial é dita ordinária (EDO)se contém somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes, com relação a uma única variável dependente. Exemplo: 
. Exemplo: é uma E.D.O. de primeira ordem.
Soluções de uma E.D.:
Qualquer função definida em algum intervalo , que, quando substituída na E.D., reduz a equação a uma identidade, é chamada de solução para a equação no intervalo.
Solução Geral: variando a constante arbitrária temos infinitas soluções (família de funções). 
Problemas de Valor Inicial (P.V.I.): 
Quando aplicamos as equações diferenciais, geralmente não estamos tão interessados em encontrar uma família de soluções (a solução geral) quanto em encontrar uma solução que satisfaça algumas condições adicionais. Em muitos problemas físicos precisamos encontrar umasolução particular que satisfaça uma condição dada do tipo y( . Essa é chamada de condição inicial e o problema de encontrar uma solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial é chamado de problemas de valor inicial (PVI) 
Exemplo:
 tem por solução geral: no intervalo .
Dado o valor inicial , temos:
	
	
	
Portanto, a solução do P.V.I. é 
Verificando a solução do P.V.I.
	
	
	
Equação Diferencial de Variáveis Separáveis
Uma E.D. é dita separável se puder ser escrita na forma h(y)dy= g(x) dx
Exemplo: 
Para calcular o valor de y:
y= 
y= .
y= C.
Acrescentando uma condição inicial à questão, temos um problema de valor inicial. Para solucioná-lo determinamos o valor da constante .
No exemplo acima, supondo que y(0) =2
2= C. = C. ou 2 =C
Logo a solução é y = 2.
, Condição inicial: 
	
	
P.V.I.:
Portanto, a solução do P.V.I. é: 
 ;y>0
 dy= dx
ln = ln +C
=
	ou y=Cx
	
 
= xdx
Arctg y= +C
Y = tg ( +C)
Exercícios
1. Resolva as equações diferenciais de variáveis separáveis
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
2. Resolva as equações diferenciais dadas 
2.1., 
2.2., e 
2.3., 
2.4.
3. Resolva o problema do valor inicial dado.
3.1. , 
3.2. , 
3.3. , 
3.4. , 
Respostas:
	
1.1. 
	
1.2. 
	
1.3. 
	
1.4. 
	
2.1. 
	
2.2. 
	
2.3. e 
	
2.4. e 
	
	
	
3.1. 
	
3.2. 
	
3.3. 
	
3.4. 
	
	
Aplicações
	RESUMO
	NOME
	EQUAÇÃO DIFERENCIAL
	
CRESCIMENTO POPULACIONAL
	
: Taxa de variação da população em relação ao tempo 
: População
: constante de proporcionalidade
	
MEIA-VIDA
	
: Taxa de variação da quantidade do elemento radioativo em relação ao tempo 
: Quantidade presente do elemento radioativo no instante 
: constante de proporcionalidade
	
MISTURAS
	
: quantidade de substância no tanque no instante .
: taxa obtida pela diferença entre a Taxa de Entrada e a Taxa de Saída . 
 : Taxa na qual a substância entra no tanque, obtida pelo produto da concentração pela taxa de entrada.
. Taxa na qual a substância, depois de misturada, sai do tanque, obtida pelo produto da concentração pela taxa de saída.
	
LEI DO RESFRIAMENTO DE NEWTON
	 
: Taxa de variação da temperatura do corpo
: Temperatura de um corpo no instante 
: Temperatura do meio ambiente
: constante de proporcionalidade
	
TAXA DE JUROS
	 = kC
: Taxa de variação do capital em relação ao tempo 
C: Capital inicial investido
: taxa de juros (n.p.)
O
CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO POPULACIONAL
Na introdução das E.D. foi exposto o modelo do crescimento populacional.
Equação Diferencial de 1ª ordem: 
: Taxa de variação da população em relação ao tempo 
: População
: constante de proporcionalidade
Solução Geral:
	
	
Como é uma constante ,podemos escrever que P(t) = C
EXERCÍCIOS:
1. Em uma cultura, há inicialmente bactérias. Uma hora depois, , o número de bactérias passa a ser . Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, determine o tempo necessário para que o número de bactérias triplique.
2. Sabe-se que a população de certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante. Se a população duplicou em 5 anos, quando ela triplicará? Quando quadruplicará?
3. A população de uma cidade cresce a uma taxa proporcional à população em qualquer tempo. Sua população inicial de 500 habitantes aumenta 15% em 10 anos. Qual será a população em 30 anos?
4. Uma partícula desloca-se sobre o eixo x de modo que, em cada instante t, em segundos, a velocidade é o triplo da posição. Qual é a função posição?
Respostas
	
1 horas
	
2. 7,9 anos e 10 anos aproximadamente
	3. 760 habitantes
	
	
m
MEIA-VIDA:
Em física, meia-vida é uma medida de estabilidade de uma substância radioativa. A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento.
Quanto maior a meia-vida de uma substância, mais estável ela é.
Exemplos:
O Radio, Ra-226 possui meia-vida de 1700 anos, ou seja, em 1700 anos, metade de uma dada quantidade de Ra-226 é transmutada em radônio, Rn-222. 
O Isótopo de Urânio, U-238, tem meia-vida de aproximadamente 4.500.000.000 anos, ou seja, após esse período de anos, metade de uma dada quantidade de U-238 é transmutada em chumbo, Pb-206.
O carbono radioativo C-14, considerado na datação de fósseis, pergaminhos, madeira de túmulos egípcios e pinturas rupestres, tem meia-vida de cerca de 5.728 anos.
Equação Diferencial de 1ª ordem: 
: Taxa de variação da quantidade do elemento radioativo em relação ao tempo 
: Quantidade presente do elemento radioativo no instante 
: constante de proporcionalidade ( significa que há decréscimo)
Solução Geral:
	
	
Portanto, 
	
Considerando o P.V.I: 
Solução: 
Meia-vida : tempo decorrido a partir de um instante qualquer para que a massa se reduza a metade de seu valor.
	
	
EXERCÍCIOS:
1. Um material radioativo se desintegra a uma taxa de proporcional a , onde é a quantidade de matéria no instante . Supondo que a quantidade inicial (em ) de matéria seja e que 10 anos após já tenha se desintegrado da quantidade inicial, pede-se o tempo necessário para que metade da quantidade inicial se desintegre.
2. Um reator converte urânio 238 em isótopo de plutônio 239. Após 15 anos, foi detectado que 0,043% da quantidade inicial de plutônio se desintegrou. Encontre a meia-vida desse isótopo, se a taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente.
3. Um osso fossilizado contém da quantidade original do C-14. Determine a idade do fóssil. Considere que a meia vida do C-14 é de 5728 anos.
4. O isótopo radioativo de chumbo, Pb-209, decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente em qualquer tempo. Sua meia-vida é 3,3 horas. Se 1 grama de chumbo está presente inicialmente, quanto tempo levará para 90% de chumbo desaparecer?
Respostas:
	
1. 
	
2. 
	
3. 
	
4. aproximadamente 11 horas
LEI DO RESFRIAMENTO DE NEWTON: 
A taxa de variação de temperatura () em relação ao tempo de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura () do corpo e a temperatura constante do meio ambiente (), ou seja = -k(T(t)-), em que
: Taxa de variação da temperatura do corpo
(t): Temperatura de um corpo no instante 
: Temperatura do meio ambiente
: constante de proporcionalidade
Solução Geral:
= -kdt
ln(T(t)-) = -kt +C
T(t)- = 
T(t) =
T(t)= .
T(t)= .C
	Solução:T(t)= .C
Se t, então T(t) ou seja, a temperatura do corpo tende à temperatura ambiente
Essa é a Lei do Resfriamento de Newton
	
EXERCÍCIOS:
1. Um objeto aquecido a 100º C é colocado em um quarto a uma temperatura ambiente de 20º C; um minuto após a temperatura do objeto passa a 90º C. Admitindo (lei do resfriamento de Newton) que a temperatura do objeto esteja variando a uma taxa proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a do quarto, isto é , constante, determine a temperatura do objeto no instante (em minutos)
2. Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de 300º F. Três minutos depois, sua temperatura passa para 200º F. Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a 70 graus, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for de exatamente 70º F?
3. Um termômetro é removido de uma sala, em que a temperatura é de 70º F, e colocado do lado de fora, em que a temperatura é de 10º F. Após 0,5 minuto, o termômetro marcava 50º F. Qual será a temperatura marcada no termômetrono instante t=1 minuto? Quanto tempo levará para o termômetro marcar 15º F?
4. Um corpo resfria-se de 300ºC a 150ºC em 30 minutos quando imerso em um meio de temperatura constante, igual a 15º C. Determine a temperatura do corpo 30 minutos depois de a temperatura ter atingido 150º C.
Respostas:
	
1. 
	
2. ; aproximadamente 30 minutos
	3. 36,67º F ; 3,06 min.
	4. Aproximadamente 78,9º C
	
	
Mm
a
MISTURAS: (reações químicas, descarga de poluentes em lagos, injeção de medicamentos na corrente sanguínea).
Dado um tanque com capacidade fixa, com solução completamente misturada de alguma substância (sal).
Entra no tanque uma substância com certa concentração a uma determinada taxa fixa.
Sai no tanque uma substância com uma concentração a uma determinada taxa fixa.
Equação Diferencial de 1ª ordem que modela a quantidade de substância no instante : .
: quantidade de substância no tanque no instante .
: taxa obtida pela diferença entre a Taxa de Entrada e a Taxa de Saída . 
 : Taxa na qual a substância entra no tanque, obtida pelo produto da concentração pela taxa de entrada.
. Taxa na qual a substância, depois de misturada, sai do tanque, obtida pelo produto da concentração pela taxa de saída.
Se a mistura tem mesma taxa de entrada e saída, temos a solução geral:
	
	
Portanto, 
EXERCÍCIOS:
1. Um tanque contém kg de sal dissolvido em 5000 L de água. Água salgada com 0,03 kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 25 L/min. A solução é misturada completamente e sai do tanque à mesma taxa. Qual a quantidade de sal que permanece no tanque depois de meia hora?
2. Um tanque contém 1000 L de água salgada com 15 kg de sal dissolvido. Água pura entra no tanque a uma taxa de 10 L/min. A solução é mantida bem misturada e escoa do tanque à mesma taxa. Quanto sal há no tanque a. após minutos; b. após 20 minutos.
3. Inicialmente 50 gramas de sal são dissolvidos em um tanque contendo 300 litros de água. Uma solução salina é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 litros por minuto, e a solução bem misturada é então drenada na mesma taxa. Se a concentração da solução que entra é 2 gramas por litro, determine a quantidade de sal no tanque em qualquer instante. Quantos gramas de sal estão presentes após 50 minutos? E depois de um longo tempo?
Respostas:
	
1. kg
	
2a. kg
	
2b. kg
	
3. 
	
	
TAXA DE JUROS:
Os juros poderiam ser capitalizados continuamente, embora as instituições financeiras determinem momentos particulares para creditar o rendimento (diário, mensal, semestral).
Assumindo capitalização contínua, a taxa de crescimento é proporcional ao capital.
Equação Diferencial de 1ª ordem: 
: Taxa de variação do capital em relação ao tempo 
: Capital inicial investido
: taxa de juros (n.p.)
Solução Geral:
	
	
Portanto, 
	
Considerando o P.V.I: 
Solução: 
EXERCÍCIOS:
1. Um investidor aplica seu dinheiro em uma instituição financeira que remunera o capital investido de acordo com a equação .
a. Supondo que o capital investido no instante seja , determine o valor do capital aplicado no instante .
2. Um capital está crescendo a uma taxa proporcional a . Sabe-se que o valor do capital no instante era de R$ 20.000,00 e um ano após, R$ 60.000,00. Determine o valor do capital no instante . Suponha em anos.
Respostas:
	
1. 
	
2. 
FÍSICA - MOVIMENTO:
EXERCÍCIOS:
1. Uma partícula desloca-se sobre o eixo com aceleração proporcional à velocidade. Admitindo-se que , e , determine a posição da partícula no instante .
2. Uma partícula move-se sobre o eixo dos com aceleração proporcional ao quadrado da velocidade. Sabe-se que no instante a velocidade é de 2 m/s e, no instante , 1 m/s.
a. Determine , 
b. Determine a função de posição supondo 
Respostas:
	
1. , 
	
	
2.a. , 
	
2.b.