referência AV 1 - Grimaldo

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CURSO DE ENGENHARIA 
 
MODELAGEM E ANALISE DE SISTEMAS DINÂMICOS 
 
REFERÊNCIA PARA 1ª AVALIAÇÃO 
 
PROF. GRIMALDO 
 
1) Resolva as seguintes questões com Números Complexos: 
Letra Questão Resposta 
a) 
Se m - 1 + ni = (3+i).(1 + 3i). 
Determine os respectivos valores de m e n. 1 e 10 
b) 
A soma de um número complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a 
 -8 - 6i. Qual o módulo de z ? √ 13 
c) Qual o valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i ? 1 - i 
d) 
Se os números complexos z e w são tais que z = 2-5i e w = a+bi , sabendo 
que z+w é um número real e z.w .é um imaginário puro , pede-se calcular o 
valor de b2 - 2a. 
50 
e) Sendo a = - 4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , determine o valor de a c + b. - 2 + 18i 
 
2) Determine a transformada de Laplace das seguintes funções: 
 
a) 3 3cos 2x x+ Resposta: 4 2
6 3
4
s
s s
+
+
 
b) 25 7x xe e−+ Resposta: 5 7
2 1s s
+
− +
 
c) 22 cos x x 
Resposta:
2
2 3
4 ( 3)
( 1)
s s
s
−
+
 
d) 22 cos xx e x− 
Resposta:
2
2 3
4( 1)[( 1) 3]
[( 1) 1]
s s
s
+ + −
+ +
 
e) 2 4x sen x 
Resposta:
2
2 3
8(3 16)
( 16)
s
s
−
+
 
f) 2xxe Resposta: 3/ 21 ( 2)
2
spi −−
 
 
3) Utilizando a tábua das transformadas de Laplace, determine a transformada inversa de: 
 
a) 
2
1
+s
 Resposta: xe 2− 
b) 
4
1
2 +s
 Resposta: xsen 2
2
1
 
c) 
9)2(
2
2 +−s
 Resposta: xsene x 3
3
2 2
⋅ 
d) 
5)1( 2 ++s
s
 Resposta: xsenexe xx 5
5
15cos ⋅⋅−⋅ −− 
e) 
7)1(
12
2 +−
+
s
s
 Resposta: xsenexe xx 7
7
37cos2 ⋅⋅+⋅ 
f) 
12
1
2 +s
 Resposta: xsen
2
1
2
1
 
 
 
 
 
CURSO DE ENGENHARIA 
 
MODELAGEM E ANALISE DE SISTEMAS DINÂMICOS 
 
REFERÊNCIA PARA 1ª AVALIAÇÃO 
 
PROF. GRIMALDO 
 
4) Determine as transformadas inversas de Laplace utilizando o Método das Frações Parciais: 
 
letra Função na Frequência Resposta: 
a) )134(
132
2 +−⋅
−
sss
s
 
xe x 3cos1 2 ⋅+− 
b) 1
)1(2
2 +−
−⋅
ss
s
 xsenexe xx
2
3
3
2
2
3
cos2 )2/1()2/1( ⋅⋅−⋅ 
c) 22 )9( +s
s
 
xsenx 3
6
1
⋅ 
d) )1()1(
2/1
)1()1(2
1
22
−−⋅−
=
−−⋅−⋅ ssssss
 xsenhexee xxx
2
5
52
1
2
5
cosh
2
1
2
1 )2/1()2/1(
⋅⋅++− 
e) 
4/52
)2/1(
2/542 22 ++
⋅
=
++ ss
s
ss
s
 xsenexe xx
2
1
2
1
cos
2
1
⋅−⋅
−−
 
 
5) Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de Valor Inicial: 
 
letra Função na Frequência Resposta: 
a) 1)0(;02' ==+ yyy xey 2−= 
b) 1)0(;22' ==+ yyy 1=y 
c) 1)0(;2' ==+ yeyy x xx eey
3
1
3
2 2 += − 
d) 1)1(;02' ==+ yyy )1(2 −−= xey 
e) 0)1(;05' ==+ yyy 0=y 
f) 1)0(',1)0(;0" ===− yyyy
 
xey =
 
g) 1)0(',0)0(;" ===− yyxsenyy
 
xseneey xx
2
1
4
3
4
3
−−=
−
 
h) 0)0(',1)0(;" ===− yyeyy x
 
xxx xeeey
2
1
4
3
4
1
++= −
 
i) 0)0(',0)0(;23'2" ===−+ yyxsenyyy
 
xsenxeey xx 2
65
72cos
65
4
26
1
10
1 3
−−−=
−
 
j) 2)0(',0)0(;" ===+ yyxsenyy
 
xxxsen cos
2
1
2
5
−
 
 
 
 
 
 
CURSO DE ENGENHARIA 
 
MODELAGEM E ANALISE DE SISTEMAS DINÂMICOS 
 
REFERÊNCIA PARA 1ª AVALIAÇÃO 
 
PROF. GRIMALDO 
 
Solução de uma Equação Diferencial Ordinária Linear 
Pela propriedade K da tabela, temos que: 
L[f(n)] = sn F(s) -sn-1 f(0)-sn-2 f '(0) -sn-3 f "(0) -...-f(n-1)(0) 
Em particular, tomando n = 2 e n = 1 e usando f(t) = y(t) e F(s) = Y(s), 
temos que: 
L[y"]= s².Y(s)- s.y(0)- y'(0) 
L[y']= s.Y(s)- y(0) 
Ordem Propriedade 
A L[f+g] = L[f] + L[g] 
B L-1[F+G] = L-1[F) + L-1[G) 
C L[k f] = k L[f] 
D L-1[kF] = k L-1[F] 
E L[e-atf(t)] = F(s+a) 
F L-1[F(s+a)] = e-at L-1[F(s)] 
G L[-t.f(t)] = F ' (s) 
H L[(-t)k.f(t)] = F(k)(s) 
I F(s).G(s) = L[(f*g)(t)] 
J 
F(s) 
 
s 
= L[ 
t 
 
0 
f(u) du] 
 
K L[f(n)] = snF(s) - sn-1f(0) -sn-2f '(0) -sn-3f "(0) -...-f (n-1)(0) 
L L[ 
f(t) 
 
t 
] = 
 
 
s 
F(u) du 
 
 
 
 
 
 
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Tábua de Transformadas 
 ( )f x { }( ) ( )F s f x= L 
01. 1 0)(s 
s
1
> 
02. x 
0)(s 
s
1
2 > 
03. ( 0,1, 2,3,..)nx n = 0)(s ! 1 >+ns
n
 
04. x 
0)(s s.
2
1 2
3
>pi
−
 
05. 
x
1
 
0)(s s.
 
2
1
>pi
−
 
06. 
...)3,2,1(2/1 =− nx n 0)(s .
2
)12)...(5).(3).(1( 2/1 >− −−n
n
s
n pi
 
07. axe a)(s 
as
1
>
−
 
08. sen ax 
0)(s 
as
a
22 >+
 
09. cos ax 
0)(s 
as
s
22 >+
 
10. 
 senh ax ) a (s 
as
a
22 >
−
 
11. cosh ax ) a (s 
as
s
22 >
−
 
12. . x sen ax 
0)(s 
)as(
as2
222 >+
 
13. .cos x ax 
0)(s 
)as(
as
222
22
>
+
−
 
14. 1,2,....)(n e.x ax1n =− a)(s 
)as(
)!1n(
n
>
−
−
 
15. ax sen.ebx b)(s 
a)bs(
a
22 >+−
 
16. ax cos.ebx b)(s 
a)bs(
bs
22 >+−
−
 
17. .cos sen ax ax ax− 
0)(s 
)as(
a2
222
3
>
+