Resumo Amplo de matemática financeira

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CENTRO DE ENSINO UNIVERSITARIO ANHANGUERA
CURSO GESTÃO DE RECURSOS HUMANOS
Pedro Calil Barbosa
Matemática Financeira
Brasília – DF
2018
Estudo e revisão
Pedro Calil
Unidade de ensino 1 – Matemática Financeira.
Capital – Montante – juros
Os significados destas palavras devem ser muito bem entendidos, para isso é importantíssimo o estudo subjacente de cada uma delas e suas aplicações.
Imaginando que uma pessoa tomou emprestado uma quantia de R$ 1000 a uma taxa de juros simples de 4% ao mês para pagar após dois meses. Pegando esse exemplo eis seus significados:
- R$ 1000 é o capital porque é o valor atual que devera ser pago no futuro.
- O valor a ser pago a dois meses é o montante, pois ocorrera no futuro.
- A taxa de 4% é divida por 100, oque resultara em 0,04 que é a taxa de juros do empréstimo.
Nesta unidade será visto que o parcelamento em juros simples se da a equação geral do montante.
Também o regime de juros compostos, este, é o mais comum nos sistemas financeiros e o mais útil para cálculos e problemas do dia a dia, aplicado em financiamentos, investimentos e compras parceladas em longo prazo.
No regime de capitalização composta/exponencial, os juros são incorporados a cada período de pagamento, que é chamado de período de capitalização, esse regime considera o resgate dos juros a cada período, sendo calculado sobre o valor corrigido do período anterior e taxa de juros varia exponencialmente em função do tempo.
Umas das vantagens em trabalhar com os juros compostos é que se podem calcular parcelas iguais e diferentes em períodos regulares e irregulares.
A pergunta ideal seria: como fazer escolhas inteligentes para fugir das taxas excessivas?
O percentual de juros pode ser calculado como juros simples ou composto:
 - De um modo geral os juro simples são aplicados sobre um saldo devedor constante, que se mantem estável.
 - Já os juros compostos são somados ao saldo devedor, o mais citado, juros sobre juros.
Observando e citando singelamente hoje umas das maiores influencias as taxas, são os cartões de credito. No brasil o percentual é de 12%, sendo uma taxa altíssima que nem mesmo a maioria da população brasileira esta ciente.
Juros e Parcelamentos.
Uma duvida inevitável que é necessária ser abrandada é o motivo do estudo de matemática financeira, por essa duvida é essencial saber que a matemática financeira possui diversas aplicações no sistema econômico.
Colocando em pratica o exemplo para ampliar o entender, coloquemos um exemplo: “Sr.Alberto realizou uma compra de R$ 900,00 e ao chegar ao caixa solicita á atendente que apresente o quanto ele ira pagar no prazo de 10 dias em cada situação:”
1 – Compras com o pagamento ate 10 dias sem entrada sob taxa de juros simples de 3,0% a.m. r: R$270,00
2 – Compras com entrada de 25% e pagamentos ate 10 dias sob taxa de juros simples de 2,7% a.m.”
Oque o atendente precisa saber para resolver esse problema usando juros de simples e taxa equivalentes em juros simples?
Juros: Uma quantia de dinheiro que você vai pagar sobre o dinheiro emprestado.
Juros simples é pouco utilizado, mas ainda assim é utilizado então se faz necessário esse entendimento. Para que seja calculado se tem cinco elementos fundamentais:
C = Capital – é o dinheiro que se tem – Principal – Dinheiro.
J = Juros – Oque vai ser pago por cima do capital – Dinheiro.
M = Montante – é a soma do capital mais o juros. Dinheiro que será ganho. 
I = Taxa de juros – é uma porcentagem que será cobrada por cima do capital qu vai gerar o dinheiro. %.
T = Tempo – Tempo é tempo.
Assim se tem a formula: (j = c.i.t) ou (j = c.i.t/100) caso seja taxa de juros.
Se tratando de juros simples essa formula é muito importante: ( m = c + j).
Financiamento é um dinheiro emprestado, simples e resumidamente falando. Já um pouco mais profundo. Financiamento é uma operação financeira em que a parte financiadora, em geral uma instituição financeira, fornece recursos para outra parte que está sendo financiada, de modo que esta possa executar algum investimento específico previamente acordado. Ao contrário dos empréstimos, os recursos do financiamento precisam necessariamente ser investidos do modo acordado em contrato.
Taxa proporcional em juros simples – Essa taxa é simplesmente calculada a regra de três simples, aplicando a porcentagem, por exemplo:
(Qual é a taxa anual equivalente a taxa mensal de 2%, em regime de juros simples?)
Primeiramente e essencial saber que taxa de juros simples é a menos utilizada no mercado econômico financeiro.
a.m – Ao mês
a.n – Ao ano
a.d - ao dia
Utilizando regra de três simples, oque deve ser feito é multiplicar a taxa mensal que é 2% com 12 que é um ano, oque significa que, cada mês do ano é 2%, e cada ano tem 12 meses, então o calculo seria 2x12= 24%, se fosse 42x15, significaria que a taxa mensal seria 42% multiplicando por um ano e três meses que ficaria 5,04%.
Serie de juros simples.
Serie de juros simples nada mais é que o parcelamento e financiamento em regime de juros simples. 
E essência que se entenda essas situações:
Compras sem entrada com duas parcelas quinzenais e iguais sob taxa de juros simples 4,2 % a.m.
Compras com entrada e com duas parcelas quinzenais e iguais sob taxa de juros simples de 3,6% a.m.
Relembrando e utilizando oque já se foi entendido, no sistema de financiamento será considerado que cada parcela ira gerar um capital, teremos:
Suponha que uma pessoa queira financiar um carro no valor de R$ 10.000,00, financiado à taxa de 1,5% a.m. durante 12 meses. Qual o valor mensal da prestação?
Vamos, através da fórmula, calcular o coeficiente de financiamento:
Multiplicando o valor do financiamento, R$10.000,00, pelo coeficiente de financiamento, assim, teremos o valor essencial e indispensável da prestação.
10.000x0,091679993=916,80
Logo, o valor da prestação será de R$ 916,80.
Juros composto e taxa equivalente.
Juros compostos
C = Capital
J = juros
M = montante
T = tempo
I = taxa de juros
A formula Necessária para que se calcule juros composto é:
J = m – c M = c. (1+i)t
Colocando um exemplo para á pratica:
*
*
*
Calcule o montante de um capital de R$ 6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês. (use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788).
Resolução:
P=R$6.000,00
t=1ano=12meses
i=3,5%a.m.=0,035
M = ?
Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:
M  =  6000.(1+0,035)12  =  6000. (1,035)12 = 9066,41
Portanto o montante é R$ 9.066,41.
Taxa equivalente
 
Duas taxas de juros são equivalentes se:
 
• aplicadas ao mesmo capital;
 
• pelo mesmo intervalo de tempo.
 
Ambas produzem o mesmo juro ou montante.
 
No regime de juros composto, as taxas de juros não são proporcionais, ou seja, uma taxa de 12% ao ano é não é equivalente a 1% ao mês.
 
Partido do principio acima, se tomarmos um capital inicial VP e aplicarmos a juro composto no período de um ano teremos VF = VP(1+ ia) aplicando o mesmo capital inicial no mesmo período mas capitalizado mensalmente temos VF = VP(1+ im)12
 
Para que as taxas sejam equivalentes os montantes terão que ser iguais, assim:
 
VP(1 + ia) = VP(1 + im)12
 
Da igualdade acima, deduz-se que:
 
(1+ia) = (1+ im)12
 
Para determinar a taxa anual, conhecida a taxa mensal.
 
ia = (1+ im)12 -1
 
Para determinar a taxa mensal, quando se conhece a anual.
 
Da mesma forma, dada uma taxa mensal ou anual, determina-se à taxa diária e vice-versa.
 
Exemplos:
 
1)    Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês:
 
ia = (1 + im)12 – 1 = (1,02)12 - 1 = 1,2682 - 1 = 0,2682 ou 26,82%
 
2)    Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano:
 
im = (1 + ia)1/12 –1 = (1,60103)1/2 –1 = 1,04 - 1 ou  4% ao mês
 
3)    Determinar a taxa anual equivalente a 0,19442% ao dia:
 
ia = (1 + id)360 - 1 = (1,0019442)360 - 1 = 2,0122 – 1 = 1,0122 ou 101,22% ao ano
 
Serie (financiamento) de juros compostos.
Vamos considerar uma simulação realsem citar o nome do banco.
 A simulação deste empréstimo pessoal foi feita em 24 de julho de 2017, adotando as taxas fornecidas pelo próprio banco em seu site.
 Então, o valor do empréstimo é R$ 10.000,00, a taxa de juros ao mês é 11,62% (anual 139,51%) e o prazo para devolução é de 36 meses (3 anos). Utilizando a fórmula que já citei aqui, temos:
M = C x (1 + T)t
 M = 10.000 x (1 + 0,116)36
M = 10.000 x (1,116)36 
M = 10.000 x (1,116)36 
M = 29.343
Vamos dividir o valor total por 36 para saber quanto seria o valor das parcelas para pagamento. 
Assim: P = 29.343/36 P = 815,08.
Ao final, temos os seguintes resultados: Do capital inicial de R$ 10.000,00, o montante para pagamento em 36 parcelas é R$ 29.343,00.
 O valor dos juros alcança R$ 19.343,00.
 O pagamento será feito em 36 prestações de R$ 815,08.
Unidade de ensino 02 – Aplicações dos conceitos básicos.
Estudo em negociação com juros simples e compostos – Capital de giro – Descontos bancários com IOF – Taxa efetiva e nominal.
2.1 Capital de giro – Desconto bancário.
Desconto bancário é ate então uma operação muito comum entre pessoas jurídicas (empresas de grande, médio e pequeno porte) e também pessoas físicas nós.
Sendo a antecipação em dias de recebimentos de um titulo (promissória ou boleto) realizado por um banco; nos, pessoas físicas também podemos fazer uso dessa operação financeira, pois podemos negociar a antecipação do pagamento da restituição do imposto de renda e do13 salário.
A antecipação de juros é uma alternativa para o empréstimo relacionado à capital de giros.
Para uma boa gestão financeira os prazos de pagamento médios e recebimentos médios precisam ser equilibrados. Esses prazos servem para monitorar o tempo que o dinheiro fica fora da empresa. Quanto menos o ciclo de vendas (compra, ajusta o valor para ganho e venda por divida) será melhor para a produtividade.
E essencial que seja entendido que existem vários produtos utilizados nas operações financeiras, como: Duplicata, nota promissória, letra de cambio. 
Ao descontar um dos títulos citados ou qualquer outro produto do mercado financeiro, são levadas em conta algumas condições que estabelecem uma organização mais fluida: 
Dia do vencimento: O dia estabelecido para vencimento do título e contem ligação com tempo.
Tempo ou prazo: Diferença entre o dia do vencimento e o dia da negociação. Essa diferença costuma ser definida em dias e que não deixam de ser essenciais. 
Valor nominal: valor mostrado no título e que deve ser pago no dia do vencimento. 
Valor atual: valor a ser pago ou recebido em data anterior ao vencimento. Comumente efetuado com desconto, sendo esse o valor que não pago no prazo, será elevado. 
O desconto simples comercial pode ser calculado aplicando a seguinte expressão matemática: 
d=N*i*n 
Na expressão para cálculo do desconto simples temos: 
d = valor do desconto 
N = valor nominal do título 
i = taxa de desconto 
n = tempo (antecipação do desconto) 
Com base na expressão para o cálculo do desconto, podemos estabelecer outra expressão matemática capaz de determinar o valor atual comercial, que é dado por: 
A = N – d, lembrando que d = N * i * n.
A = N – N * i * n 
A = N*(1 – i * n) 
É importante ressaltar que as operações de desconto comercial devem ser efetuadas em períodos de curto prazo, já que em períodos longos o valor do desconto pode ser maior que o valor nominal do título. 
Exemplo 1 
Um título de R$ 10 000,00 é descontado à taxa de 1,5% ao mês, faltando 25 dias para o vencimento. Determine: 
a) o valor do desconto simples comercial. 
b) o valor atual comercial do título. 
Temos: 
N = 10 000 
n = 25 
i = 1,5% = 1,5/100 = 0,015 ao mês = 0,0005 ao dia 
a) d = N * i * n 
d = 10 000 * 0,0005 * 25 
d = 125 
Desconto comercial de R$ 125,00. 
b) A = 10 000 – 125 
A = 9875 
Valor atual, o desconto simples comercial será de R$ 9 875, 00. 
2.2 Desconto bancário com IOF.
Este, tem como objetivo aplicar o conteúdo aprendido no resumo anterior (Conceitos de desconto bancário.
O desconto simples racional (por dentro), também denominado de desconto verdadeiro ou desconto por dentro, é o desconto aplicado sobre o valor atual do título utilizando-se a para o cálculo a taxa efetiva (no conceito do valor inicial tomado como base do cálculo). O cálculo deste desconto funciona análogo ao cálculo de juro simples. O cálculo do desconto racional é feito sobre o valor atual ou presente do título.
Conforme oque foi apresentado que és meio difícil para iniciantes, a operação de desconto liga, basicamente, a negociação de um título que representa um credito em algum momento antes da data de seu vencimento. Em singelas palavras é “como uma cessão de direitos existentes sobre um título em troca de alguma compensação financeira.”. 
Sabendo que valor nominal é o valor declarado ou valor de face, IOF que significa (imposto sobre operações financeiras) de maneira idêntica a taxa de desconto, este percentual é calculado linearmente sobre o valor nominal do titulo e cobrado na liberação dos recursos.
Sabendo disso, um exemplo e importante:
1.        Um título de R$ 40.000,00 foi descontado dois meses antes do seu vencimento. Sendo 3,8% a.m. a taxa de desconto bancário, o IOF é de 0,0041% a.d., determine o valor líquido liberado.
SOLUÇÃO
Valor Nominal do Título R$ 40.000,00
Desconto: d = N i n = 40.000x0, 038x2... R$  3.040,00
IOF: 40.000 x 0,000041 x 60...R$     98,40
            Valor Líquido Descontado  R$ 36.861,60
O custo efetivo é determinado por:
Valor Nominal = VLL x (iab x n + 1)   Þ     = 1 + iab x 1
iab =  – 1 Þ iab = 0,0851    ou    8,51% a.b.
Em termos mensais  , o custo efetivo atinge:
1 + iab = (1 + iam)2         iam = (1 + iab)1/2 – 1
iam =  (1,0851)1/2 – 1 = 0,0417      ou     4,17% a.m.
CONCLUSÃO: A taxa efetiva é de 4,17% a.m., maior que o anunciado de 3,8% a.m. (taxa nominal).
2.3 Taxa efetiva e nominal
As taxas de juros são fundamentais na matemática financeira, sabendo disto observe as taxas aplicadas, com adição da taxa real:
Taxa Nominal 
A taxa nominal é aquela em que o período de formação e incorporação dos juros ao capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. 
Exemplos: 
a) Uma taxa de 12% ao ano com capitalização mensal. 
b) 5% ao trimestre com capitalização semestral. 
c) 15% ao semestre com capitalização bimestral. 
Taxa Efetiva 
A taxa efetiva é aquela que o período de formação e incorporação dos juros ao capital coincide com aquele a que a taxa está referida. 
Exemplos: 
a) Uma taxa de 5% ao mês com capitalização mensal. 
b) Uma taxa de 75% ao ano com capitalização anual. 
c) Uma taxa de 11% ao trimestre com capitalização trimestral. 
Taxa Real 
A taxa real é aquela que expurga o efeito da inflação no período. Dependendo dos casos, a taxa real pode assumir valores negativos. Podemos afirmar que a taxa real corresponde à taxa efetiva corrigida pelo índice inflacionário do período. 
Existe uma relação entre a taxa efetiva, a taxa real e o índice de inflação no período. Vejamos: 
1+ief=(1+ir )(1+iinf ) 
Onde,
ief→é a taxa efetiva 
ir→é a taxa real 
iinf→é a taxa de inflação no período 
Seguem alguns exemplos para compreensão do uso da fórmula. 
Exemplo 1. Certa aplicação financeira obteve rendimento efetivo de 6% ao ano. Sabendo que a taxa de inflação no período foi de 4,9%, determine o ganho real dessa aplicação. 
Solução: A solução do problema consiste em determinar o ganho real da aplicação corrigido pelo índice inflacionário do período, ou seja, determinar a taxa real de juros dessa aplicação financeira. Temos que:
Aplicando a fórmula que relaciona os três índices, teremos:
Portanto, o ganho real dessa aplicação financeira foi de 1% ao ano.
Taxa efetiva é a taxa de juros compostos, já a taxa nominal é a taxa de juros simples, apresentadas anteriormente.
2.4 Negociações com juros simples e compostos.
Em algumas situações relacionadas à Matemática Financeira temos que realizaroperações de equivalência das taxas de juros. Em situações de longo prazo conhecemos a taxa mensal de juros, mas desconhecemos o valor da taxa anual ou dos juros acumulados no período estabelecido. A expressão matemática que fornece a taxa de juros equivalente a um período é a seguinte: 
(1 + ia) = (1 + ip)n 
ia = taxa atual equivalente 
ip = taxa do período dado 
n = número de períodos 
Exemplo 1 
Qual a taxa anual de juros de um financiamento que cobra juros mensais de 4,5%. 
Temos que 4,5% = 4,5 / 100 = 0,045 
(1 + ia) = (1 + 0,045)12 
1 + ia = 1,04512 
1 + ia = 1,6959 
ia = 1,6959 – 1 
ia = 0,6959 
ia = 69,59 % ao ano 
Exemplo 2 
Determine a taxa mensal equivalente a 0,2% ao dia. 
Sabemos que 0,2% = 0,2 / 100 = 0,002 
(1 + ia) = (1 + 0,002)30 
1 + ia = 1,00230 
1 + ia = 1,0618 
ia = 1,0618 – 1 
ia = 0,0618 
ia = 6,18% ao mês 
Finalizando estes resumos fica claro como a junção e todos os aspectos de juros simples e composto tem um origem e aplicação não muito complexa mas nem tão simples assim.
Unidade de ensino 03 – Analise de financiamentos 
Apresentado singelamente a unidade será citado:
Financiamento tradicional, esta, é feita a aquisição e as prestações que são geralmente pagas em 30 dias.
Financiamentos com entradas, este, já a pessoa faz a aquisição do bem e o percentual do valor desse bem e pago de forma antecipada e financiasse o saldo devedor.
Financiamento em condições especiais diferentemente do financiamento tradicional, as parcelas podem ser pagas após 30 dias, elas podem ser pagas em 60, 90, 120 dias após a aquisição.
E também a determinação da taxa de juros.
Valor presente – Financiamento.
Fórmula do cálculo do coeficiente de financiamento:
Essa fórmula permite calcular o valor da prestação do empréstimo de acordo com a taxas de juros (i) e o período (n), levando assim á uma organização direta de calculo.
Suponha que uma pessoa queira financiar um carro no valor de R$ 10.000,00, financiado à taxa de 1,5% a.m. durante 12 meses. Qual o valor mensal da prestação?
Vamos, através da fórmula, calcular o coeficiente de financiamento:
Multiplicando o valor do financiamento, R$10.000,00, pelo coeficiente de financiamento, teremos o valor da prestação.
10.000 x 0,091679993 = 916,80
Logo, o valor da prestação será de R$ 916,80.
O financiamento tem como base serie de juros compostos.
Valor presente – financiamento com entrada.
Cálculo Detalhado do Financiamento para a Obtenção do Valor da Entrada 
Seguindo os exemplos de principio, Temos um veiculo com tais informações:
Preço do veiculo: R$ 30.000,00.
Valor das prestações: R$ 1000,00.
Numero de parcelas mensais do financiamento: 36 meses.
Taxa de juros: 2 %.
Segundo os dados informados queremos financiar um automóvel que custa R$ 30.000,00, com prestação mensal no valor de R$ 1.000,00. A taxa de juros é 2% a.m. e 36 é o número de parcelas do financiamento:
Agora iremos calcular qual é o valor que financiado a uma taxa de juros de 2% a.m. pode ser quitado em 36 prestações de R$ 1.000,00.
Para obtermos este valor precisamos primeiramente calcular o coeficiente de financiamento:
Agora que sabemos que o coeficiente de financiamento é igual a 0,039232853, basta dividirmos os R$ 1.000,00 da prestação por este coeficiente:
Então quitamos um financiamento de R$ 25.488,84 em 36 meses, com uma taxa de juros de 2% a.m. e com prestações de R$ 1.000,00.
O valor da entrada será a diferença entre o valor do financiamento e o preço do automóvel:
Portanto o valor da entrada deverá ser de R$ 4.511,16.
Valor presente – Condições especiais.
Condições especiais são bastante aplicadas, mas quase nunca visíveis aos olhos cegos do conhecimento desta matemática magnifica.
Já vimos anúncios em que diz “Compre seu veiculo de desejo e comece a pagar daqui a três meses” neste caso o calculo do financiamento é direcionado, sendo este, um reajuste no valor a vista do produto.
Sabendo os conceitos dos dois cálculos já estudos que se dirige a em que financiamento usa a base de:
AV = Valor a vista do produto.
K = Carência ou período em que ocorrera o principio do pagamento do financiamento.
 I = Taxa de juros simples.
N = Numero total de parcelas do financiamento.
Parc = Valor da parcela do financiamento.
E a entrada usa:
AV = Valor a vista do produto.
E = Valor da entrada.
K = Carência.
I = Taxa.
N = Numero de parcelas.
Parc = Valor da parcela.
Determinação da taxa de juros do valor presente.
A determinação da taxa de juros compostos de um financiamento em series uniforme tem como base os métodos numéricos, por que para obter o resultado esperado e necessário que seja repedido os cálculos algumas vezes. Um método majestoso para tal é o de: Newton-Raphson. E não somente em finanças esse método e aplicado.
Em análise numérica, o método de Newton (ou método de Newton-Raphson) tem o objetivo de estimar as raízes de uma função. Para isso, toma-se um ponto qualquer do domínio da função, calcula-se a equação da tangente (derivada) da função nesse ponto, calcula-se o intercepto da tangente ao eixo das abcissas a fim de encontrar um novo ponto do domínio da função e repete-se o processo, que deve tender a uma das raízes da função rapidamente, ou não tender a nada, deixando isso claro logo. Em notação matemática representa-se desta forma:
,
onde n indica a n-ésima iteração do algoritmo e  é a derivada da função f em xn.
Para que se obtenha sucesso na iteração deve-se primeiramente delimitar um intervalo, a fim de escolher um valor estimado inicial adequado, para que a convergência de (xn) seja propícia. Para tanto existem apenas quatro condições a serem satisfeitas:
O intervalo delimitado deve conter a raiz de f;
A função f deve ser diferençável em todo o intervalo;
A primeira derivada no intervalo não deve trocar de sinal;
A segunda derivada no intervalo não deve trocar de sinal.
Uma vez delimitado um intervalo que cumpra tais exigências, escolhe-se para o valor-inicial o ponto mais à esquerda se o produto da primeira pela segunda derivada for negativo, ou escolhe-se o ponto mais à direita se ocorrer o contrário, se o produto for positivo.
Este é considerado por muitos autores o melhor método para encontrar sucessivas melhores aproximações de raízes (ou zeros) de uma determinada função real. A convergência frequentemente é rápida, em especial se a estimativa inicial (ou chute inicial) está "suficientemente próxima" da raiz da função. O método é atribuído a Sir Isaac Newton (1643-1727) e Joseph Raphson (1648-1715).
Em 1984, Allan J. Macleod num artigo da International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, mostrou que o método iterativo de Newton-Raphson para equações não lineares pode ser considerado um membro da família geral de um parâmetro de métodos de segunda ordem [1].
Unidade de ensino 04 – Matemática financeira – Investimentos
Valor futuro – Newton Raphson – Amortização 
Será visto nesta unidade: Valor futuro – aplicações, determinação do valor futuro da taxa de juros do valor futuro, amortização, Conta garantida – chegue especial. 
A Situação para ser solucionada com o os conhecimentos de tais é: Você como sócio proprietário da empresa Metalúrgica A&C, devera gerenciar as finanças do novo pátio de distribuição da empresa. Com os recursos de duas aplicações de valor futuro e a conta bancaria com garantia especial ilimitada.
4.1 Valor futuro – aplicações.
Valor futuro esta embasado no resultado de uma aplicação com depósitos iguais e periódicos, uma pratica muito comuns aos bancos.
Valor Futuro
O estudo do Valor Futuro (siglas VF ou FV) permite estimar como valores irão evoluir ao longo do tempo, levando em consideração uma taxa de juros para a correção do dinheiro no tempo. É importante no planejamento da aposentadoria e em investimentos em geral.
Fórmula do Valor Futuro
A fórmula F = P.(1 + i)n dos juros compostos precisa ser estendida para contemplar mensalidades:
Fórmula Completa do ValorFuturo:
F = P.(1+i)n + M.[(1+i)n - 1]/i.
Onde: F = valor futuro (também chamado VF ou FV).
P = valor presente (também chamado VA ou PV).
M = mensalidade (ou outro pagamento periódico, também chamado PGTO ou PMT).
n = número de períodos (em dias, meses, anos, ..., também chamado NPER).
i = taxa de juros (normalmente na forma percentual, também chamado TAXA ou RATE).
Demonstração / Dedução:
F1 = P + P.i + M  (é o valor futuro após 1 mês).
Colocando o termo P em evidência:
F1 = P.(1+i) + M
F2 = P.(1+i)2 + M.(1+i) + M  (é o valor futuro após 2 meses)
F3 = P.(1+i)3 + M.(1+i)2 + M.(1+i) + M  (é o valor futuro após 3 meses)Repetindo para n meses, pode ser escrita como:
F = P.(1+i)n + M.(1+i)n-1 + M.(1+i)n-2 + ... + M.(1+i) + M
De onde podemos observar que os termos em M formam a soma de uma P.G. de razão (1+i), então pela fórmula Sn = a1.(qn - 1)/(q - 1) da soma de uma P.G. teremos:
F = P.(1+i)n + M.[(1+i)n - 1]/i
Por outro lado, o Excel e outras planilhas eletrônicas oferecem a função VF (ou FV no Excel em inglês) que implementa a fórmula acima e simplifica a vida do usuário:
Função Valor Futuro no Excel:
VF(i; n; -M; -P)
Observe que o sinal de menos no M e no P trata-se de uma convenção do Excel e é necessário atentar para ela.
4.2 Determinação da taxa de juros do valor futuro.
 
A técnica utilizada nesta determinação é a já estudada, o método de Newton – Raphson é literalmente eficaz para esta determinação.
Para que seja feita e preciso conhecer:
Função da taxa de juros;
Função marginal da taxa de juros;
Função de Newton – Raphson;
Função é a relação entre dois conjuntos que abrange todos os elementos do primeiro e associa a cada elemento deste primeiro conjunto somente um elemento do segundo.
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Em Administração e Economia, dada uma função , costuma-se utilizar o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado em  por uma pequena variação de . 
Chama-se função marginal de  à função derivada de. Assim, a função custo marginal é a derivada da função custo, a função receita marginal é a derivada da função receita, e assim por diante. Nesta seção veremos algumas funções marginais.
Suponha que  seja o custo total de produção de  unidades de certo produto, com  e . A função  é chamada de função custo total e temos a seguinte definição.
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O valor de um fluxo em uma data futura, levando em
conta a taxa de desconto, o prazo, e o valor presente. O processo
portanto, para obtenção do valor futuro é o inverso daquele que se obtém
o valor presente de um fluxo.
Segue abaixo a fórmula:
VF = VP.(1+i)n
Onde,
VF= Valor futuro.
VP= Valor presente.
i= Taxa de desconto.
n= prazo.
4.3 Amortização.
“Um sistema de amortização nada mais é do que um plano de pagamento de uma dívida, ou seja, de um empréstimo ou financiamento.” Ora, de quantas maneiras você pode quitar uma dívida? Resposta: infinitas!
O pagamento para se amortizar (quitar) uma dívida podem ser feitos em parcelas iguais ou diferentes, com periodicidade mensal, trimestral, anual, quinzenal ou em períodos variáveis. Para facilitar o entendimento vamos considerar apenas a periodicidade mais comum no mundo: a mensal.
Os sistemas de amortização mais utilizados em todos os países implicam em prestações mensais compostas por duas parcelas distintas: uma de capital (chamada de amortização) e outra de juros. E neste caso, os sistemas mais utilizados no mundo são o Sistema de Prestações Iguais (ou uniformes) e o Sistema de Amortização Constante (SAC). No primeiro sistema, as parcelas de amortização são crescentes e os juros decrescentes; já no caso do SAC, como o próprio nome já diz, as parcelas de amortização são iguais (ou constantes) e os juros decrescentes.
Observações importantes:
1. Apenas no Brasil o Sistema de Prestações Iguais (ou uniformes) é conhecido por Sistema Price;2. Em todos os sistemas de pagamentos a taxa de juros incide sempre sobre o saldo devedor existente no final do período imediatamente anterior; e por essa razão, os juros serão sempre decrescentes caso se amortize qualquer valor.
Para melhor entendimento, vamos a um exemplo mostrando como se obtém as prestações através dos dois sistemas mencionados. Vamos considerar os seguintes dados:
Valor do empréstimo: R$ 1.000,00;Número de prestações: 10Taxa mensal de juros: 10%.
(NESTE TEXTO NÃO VAMOS CONSIDERAR OS EFEITOS DA CORREÇÃO MONETÁRIA).
Sistema de Prestações Iguais (PRICE)
Este é o sistema mais adotado no mundo. Acredito que represente pelo menos 80% dos planos de liquidação de um empréstimo ou financiamento. O valor das prestações é obtido através da seguinte fórmula, cuja validade é universal:
Em que VF é o valor financiado, n o número de prestações e i a taxa mensal de juros.
Substituindo, temos:
O valor da prestação pode também ser facilmente obtido através da conhecida calculadora financeira HP-12C, fazendo-se como segue:
DIGITAR
VISOR
SIGNIFICADO
10 n
10,00
Número de prestações
10 i
10,00
Taxa mensal de juros
1000 CHS PV
-1.000,00
Valor do empréstimo
PMT
162,75
Valor das prestações mensais.
É importante destacar que a calculadora, ao apresentar no visor o valor R$162,75, utilizou um programa que resolve a fórmula acima especificada. Portanto, o PMT da calculadora informa o valor da prestação de acordo com a Tabela Price.
A decomposição de cada uma dessas prestações em parcelas de amortização e de juros, bem como os respectivos saldos devedores após o seu pagamento, estão discriminados no quadro a seguir.
É importante observar três regras fundamentais, válidas para quaisquer sistemas de amortização, inclusive para o SAC:
O valor da parcela de juros resulta sempre da aplicação da taxa de juros sobre o saldo devedor correspondente ao mês imediatamente anterior; O valor da parcela de amortização referente a cada mês é dado pela diferença entre o valor da prestação e o valor da parcela de juros; O saldo devedor de um mês é sempre igual ao saldo devedor do mês anterior, subtraída a parcela de amortização do mês.
“Como já mencionado anteriormente, o quadro acima nos mostra que num sistema de prestações iguais, que no Brasil chamamos de PRICE, os valores das parcelas de amortização são crescentes e as de juros decrescentes.”
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Em um cálculo de amortização pelo sistema PRICE, as parcelas são fixas. A maior parte das primeiras prestações são formadas por juros, e não o pagamento do principal. Ao longo do período de pagamento, os juros pagos caem e o valor de amortização sobre, mas o valor da parcela continua o mesmo.
A fórmula do sistema PRICE é a seguinte:
P = PV * { [ ( 1+i )^n ] * i } / { [ ( 1+i ) ^ n ] – 1}.
4.4 Conta garantida – Cheque especial.
Quando você precisa usar mais dinheiro do que tem na conta corrente e fica com o saldo negativo, isso significa que você entrou no cheque especial.
Também chamado de limite da conta corrente, o cheque especial é um crédito que o banco deixa aprovado. Então, se você quiser cancelar esse serviço ou aumentar o limite, precisa ligar no atendimento do seu banco e fazer a solicitação.
Mas cuidado: esse crédito custa bem caro porque tem uma das maiores taxas de juros entre os empréstimos.
 Os bancos cobram juros no cheque especial porque como o cheque especial é fácil de pegar – você entra automaticamente no limite da conta quando usa mais dinheiro do que tem – o banco sobe a taxa de juros porque não sabe se você pagará essa dívida em pouco tempo. Normalmente, quando você precisa de um empréstimo, o banco faz uma análise de crédito e decide se vai emprestar algum valor e qual o prazo de pagamento. No cheque especial é diferente.
 Você usa o dinheiro e paga de volta assim que fizer algum depósito na conta corrente. Então, sem saber quando receberá esse valor, o banco cobra taxas altas e o que você deve sobe rapidamente.
Alguns bancos aindaliberam esse limite por dez dias sem cobrar taxa alguma. Por isso, se precisar de dinheiro, preste bastante atenção para devolver o empréstimo antes desse prazo.
Como o estudo está virado a conta garantida utilizasse o método hamburguês:
O Método Hamburguês introduz uma simplificação nos cálculos de juros simples, quando há diversos valores de principal, aplicados por diversos prazos, à uma mesma taxa de juros.
Suponha que um aplicador tenha efetuado a movimentação mostrada no quadro a seguir, remunerada a juros simples de 12% ao ano. Considere o ano civil contendo 365 dias.
 
 
	Datas
	Histórico
	D/C
	Saldo
	Dias
	Dias x saldo
	VP.i.n
	15/01/2002
	Depósito
	100.000
	100.000
	11
	1.100.000
	361,64
	26/01/2002
	Saque
	(30.000)
	70.000
	18
	1.260.000
	414,25
	13/02/2002
	Saque
	(15.000)
	55.000
	15
	825.000
	271,23
	28/02/2002
	Depósito
	40.000
	95.000
	5
	475.000
	156,16
	05/03/2002
	Saque
	(95.000)
	-
	 
	-
	 
	 
	 
	 
	TOTAL
	 
	3.660.000
	1.203,29
Observe que a última coluna mostra o valor dos juros simples, para os períodos em que cada valor de principal permaneceu aplicado. O primeiro depósito de $100.000 permaneceu inalterado por 11 dias. Logo, produziu juros de $361,64.
J = $ 361,54.
E assim, sucessivamente. Os juros totais entre 15/01/2002 e 05/03/2002, seriam de $1.203,29.
Pelo método hamburguês basta multiplicar a soma do produto dos dias pelos saldos, pela taxa de juros diária de 0,0329% ao dia, obtendo-se o mesmo total:
J = $ 3.660.000 . 0,000329 = 1.203,29.
No exemplo k = 4, sendo para t = 1:
VP = $ 100.000.
n1 = 11 dias.
VP x n1 = $1.100.000.
Juros sobre o primeiro depósito
J1 = $ 1.100.0000 x 0,000328767 = $ 361,64.
Fontes:
http://www.vps.com.br/MatFin/jur1_3.htm.
https://ead.avaeduc.com.br/course/view.php?id=493
http://pet.ecv.ufsc.br/arquivos/apoio-didatico/Eng%C2%AA%20Economica~AULAS~2013.pdf
http://www.crc-ce.org.br/crcnovo/download/matematica_financeira.pdf
http://www.matematicadidatica.com.br/TaxaNominalEfetivaEquivalente.aspx
https://www.mindmeister.com/pt/620110320/matem-tica-financeira?fullscreen=1