Relatório Pêndulo Físico

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Análise das oscilações de um pêndulo físico 
Ágatha Vaz da Cruz Costa, Joice de Oliveira Bueno, Marcela Oliveira de Carvalho, 
Rayssa Silva Aguiar. 
Turma 31A do curso de Engenharia Civil. 
25 de outubro de 2016. 
Resumo 
Com o estudo do pêndulo físico observam-se várias vantagens, dentre as quais, pode-se 
compreender os diferentes métodos para cálculo do momento de inércia de corpos que 
não possuem forma definida. Este trabalho consistiu em avaliar diferenças entre valores 
teóricos e valores práticos obtidos experimentalmente, muitas delas devido a erros 
envolvidos que, no entanto, não interferiram na conclusão do mesmo, sendo que foi 
observada uma relação entre o período de oscilação do pêndulo físico e a distância entre 
o eixo de rotação e o centro de massa dos corpos envolvidos. 
1 Introdução 
Qualquer objeto que oscila em um plano vertical em torno de um eixo horizontal fora 
de seu centro de massa, é considerado um pêndulo físico. Este experimento teve como 
objetivo obter o momento de inércia de dois corpos rígidos por meio do estudo do 
movimento do pêndulo físico. Tal tema é de grande importância, pois torna-se útil no 
entendimento dos diferentes métodos que existem para encontrar o momento de inércia 
de um corpo. Um pêndulo físico pode, também, ser usado para medição da aceleração 
da gravidade local e, como um relógio por manter um período oscilatório que 
praticamente independe da amplitude. 
2 Métodos 
2.1 Modelo teórico 
Um pêndulo simples pode ser caracterizado como um instrumento que oscila em 
torno de um eixo. Sendo que este instrumento executa movimentos alternados em torno 
da posição central, chamada de posição de equilíbrio. Análogo a ele têm-se o pêndulo 
físico que foi objeto de estudo neste experimento. 
O pêndulo físico também pode ser chamado de pêndulo real por não ter uma 
distribuição de massa uniforme e oscilar em torno de um eixo que é chamado de eixo de 
rotação sempre perpendicular ao plano em que se movimenta. Logo pode-se estudar o 
movimento oscilatório por meio de conceitos de rotação. 
Primeiramente verifica-se que a segunda Lei de Newton também se aplica a corpos 
extensos, porém com algumas modificações. [1]. ​Ao invés de analisar as forças 
1 
 
externas resultantes atuantes em uma partícula analisa-se o torque que essas forças 
produzem em um corpo em movimento de rotação, e tem-se que: 
ατ
→
= I
→
 
Sendo a aceleração angular que o objeto adquiri e I o momento de inércia, que é α
→
 
definido como a quantidade de resistência que o objeto tem para realizar o movimento 
de rotação. E sendo torque uma grandeza vetorial definida como o resultado da τ)(
→
 
multiplicação vetorial de uma força ,responsável por fazer com que o corpo F )(
→
 
efetivamente gire em torno do eixo de rotação, pela distância entre o eixo de rotação r)(→ 
e o ponto em que essa força atua. 
r x Fτ
→
= →
→
 
 Primeiramente sabe-se que o momento de inércia é definido como: 
 (1a) dmI = ∫
 
 
L2 
Para momento de inércia sabe-se por meio da literatura do teorema dos eixos 
paralelos. [2]. Pode-se supor que num ​sistema de coordenadas cartesiano​ a distância 
perpendicular entre os eixos está sobre o eixo x e que o centro de massa se encontra na 
origem. E sendo dm um elemento de massa de um corpo. O momento de inércia relativo 
ao eixo z, passando sobre o centro de massa, será: 
 (1b)(x y ) dmICM = ∫
 
 
2 + 2 
O momento de inércia relativo ao novo eixo ao longo do eixo x, a uma distância L do 
centro de massa, será, então: 
 (1c)((x ) y ) dmIz = ∫
 
 
− L 2 + 2 
 Expandindo o quadrado dentro da integral, tem-se: 
 (1d)(x y ) dm L m L dmIz = ∫
 
 
2 + 2 + 2∫
 
 
d − 2 ∫
 
 
x 
 
Como o primeiro termo é o segundo se torna e o terceiro se anula uma vez ICM mL
2 
sendo o centro de massa localizado na origem. Com isso obtém-se a definição do 
teorema dos eixos paralelos como sendo: 
 (1e)I LI = CM + m
2 
 
 
2 
 
2.2 Métodos experimentais 
Materiais utilizados: 
● Tripé suporte para os pêndulos; 
● Presilha com pivô; 
● Placa retangular com furos; 
● Placa circular maciça; 
● Trena; 
● Transferidor; 
● Cronômetro de celular. 
Este experimento foi dividido em duas partes. Sendo que na primeira parte foi 
determinado o centro de massa da placa retangular com auxílio de uma trena e, logo 
após, a mesma placa foi pendurada por um de seus orifícios no pivô preso ao tripé. 
Posteriormente ela foi retirada da sua posição de equilíbrio até que formasse um ângulo 
de aproximadamente 10° com a vertical. Tal angulação foi medida com o transferidor. 
Neste momento a placa foi solta e o cronômetro acionado. Após a contagem de 10 
oscilações foi anotado o tempo total gasto. O mesmo procedimento foi repetido por 5 
vezes no mesmo orifício e mais 5 vezes em outro orifício mais próximo do centro de 
massa. 
A segunda parte do experimento consistiu nos mesmos procedimentos da primeira 
parte, porém, com a diferença de que a placa utilizada foi circular e maciça e as 
oscilações foram verificadas em apenas um orifício. Foram medidas também as 
distâncias (L) de cada orifício ao centro de massa e as massas de cada objeto. 
 
3 Discussão e resultados 
Primeiramente todas as medidas obtidas com a realização dos experimentos foram 
alocadas nas tabelas 1, 2 e 3. 
Tabela 1. Valores experimentais para o período de 10 oscilações da placa retangular 
 
3 
 
 
Tabela 2. Período experimental para 10 oscilações do disco uniforme 
 
 
Tabela 3 Massa dos objetos, posições dos furos e centro de massa. 
 
A incerteza associada às medidas feitas em laboratório foram obtidas através do 
desvio amostral, dado por (3). 
 (3) σ =√ n−1(x−xi)²∑
n
i=0 
Definiu-se por meio do teorema dos eixos paralelos, a fórmula relativa ao momento 
de inércia da placa retangular utilizada neste experimento: 
 (4a)LI = m 2 
Neste caso m é a massa do objeto em questão e L a distância entre o eixo de rotação 
e o centro de massa do mesmo. Chegou-se nessa fórmula sabendo-se que o centro de 
massa dos objetos se encontravam a uma distância L/2 do eixo de rotação. Ainda 
através do Teorema dos eixos paralelos, pela equação 1e descobriu-se a fórmula para o 
momento de inércia cujo eixo de rotação está localizado no centro de massa ( )ICM 
 (4b)mLICM = 2
1 2 
 
4 
 
Tabela 4. Valores dos momentos de inércia para cada objeto em orifícios distintos 
 
 
Pôde-se perceber uma relação entre a posição do eixo rotacional e o momento de 
inércia. Quanto mais longe o eixo estava do centro de massa do objeto, maior foi a 
dificuldade para realizar o movimento de rotação. O momento de inércia foi maior o 
que implica no aumentodo módulo do torque necessário para que o movimento ocorra. 
Por meio das definições inseridas no modelo teórico foi possível chegar ao que se 
queria que é comparar o período (T) medido experimentalmente de cada oscilação do 
pêndulo com os valores teóricos encontrados por meio da fórmula: 
 (5) 
No que diz respeito ao tempo (T) experimental para uma oscilação, obteve-se o 
mesmo dividindo o tempo total pelo número de oscilações. Os resultados teóricos e 
experimentais foram representados na tabela 5. 
 
Os erros associados às medidas do momento de inércia e período foram calculados 
através do método derivativo da propagação de erros dado pela equação abaixo e 
desenvolvidos detalhadamente em anexo. 
 (6) σ = √[ ( ) σᵪ )σᵤ ]∂f∂x 2 2 + ( ∂f∂u 2 
 
Tabela 5. Comparação entre período teórico e experimental dos objetos 
 
T1= Período no furo 1 da régua 
T2=Período no furo 2 da régua 
T3= Período no furo do disco 
5 
 
 
Ao analisar os resultados percebeu-se que houve uma diferença considerável entre 
valores teóricos e práticos, isto deve-se às incertezas observacionais dos usuários e ao 
uso de equipamentos pouco precisos. A trena e o cronômetro do celular, por exemplo, 
têm precisões muito baixas quando comparados a instrumentos como paquímetro e 
cronômetro de laboratório, o que consequentemente gera desvios do resultado esperado. 
Quanto a erros observacionais, pode-se destacar a metodologia para cronometrar as 
oscilações, que demanda concentração e reflexo rápido daqueles que realizam a prática. 
 
Apesar dos erros encontrados o objetivo principal da prática foi alcançado, pôde-se 
estudar o comportamento do período de oscilação (T) em função da distância L (que 
liga o eixo de rotação ao centro de massa do objeto). Através da análise da tabela 3 e 5, 
percebe-se que estas grandezas estabelecem uma relação diretamente proporcional. 
Sendo assim, um eixo de rotação mais próximo do centro de massa obtém um período 
menor do que outro que tenha uma distância L maior. E ainda, verificou-se que se caso 
o eixo coincidisse com o centro de massa, o sistema não se comportaria como um 
pêndulo, e passaria a realizar o movimento de rotação. 
 
Conclusão 
Com base nos resultados obtidos foi possível estabelecer uma relação entre o período 
e a distância L (distância entre o eixo de rotação e o centro de massa). Observou-se que 
quanto maior foi a distância do centro de massa (L), maior foi o tempo gasto pelo 
sistema para concluir as 10 oscilações. Pode-se constatar também que essa distância L 
influencia no momento de inércia. O momento de inércia foi menor para distâncias mais 
próximas do centro de massa, isso implica que, se o eixo coincidisse com o centro de 
massa, o sistema não se comportaria como um pêndulo, e passaria a realizar o 
movimento de rotação. Comparando os valores teóricos e experimentais adquiridos para 
o período do sistema, notamos valores discrepantes. Isso pode ser explicado por erros 
cometidos durante a execução do experimento, como a falta de precisão e erro de 
observação por parte dos operados na hora de acionar o cronômetro, ou de liberar o 
objeto para oscilação sempre com o mesmo ângulo. 
 
 
 
 
 
6 
 
 
Referências 
[1] HALLIDAY, David et al. Fundamentos de Física – Vol.2- Gravitação, Ondas, 
Termodinâmica - 9​ª EDIÇÃO. RIO DE JANEIRO, ED. LTC-2013. 
[2] Teorema dos eixos paralelos. Disponível em: 
<http://www.angelfire.com/planet/marvinsc/mecanica2001/node72.html> Acesso em: 
18 de outubro de 2016, às 11:20. 
 
 
 
 
 
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