Prova G2 2018 1

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Professor: Rafael Valada
Data: 25/06/2018
Turma: 1847
Nota:
Modelagem de Sistemas Dinaˆmicos I
AVALIAC¸A˜O DE GRAU 2
2018/1
Aluno:
Q1: 1.6 pt Q2: 1.1 Q3: 1.2 Q4: 1.1 Q5: 2.0 ED: 1.8 TE: 1.0 VR: 0.8
Q1) Calcule as TRANSFORMADAS de Laplace abaixo:
a) L
{
e−
5
4
t cos
(
3t
2
)}
b) L {(t+ pi) ·U (t− pi)}
c) L
{
1 + t4 − 4e 56 t − 1
2
sinh (t)
}
d) L {t · [sin (2t) + cos (t)]}
Q2) Um determinado cena´rio fenomenolo´gico associado ao escoamento de flu´ıdos levou ao seguinte
problema de valor inicial:
dy
dt
+ 2y = 3 cos (5t) ; y (0) = 3.
Obtenha a soluc¸a˜o particular para este PVI.
Q3) Calcule as transformadas de Laplace INVERSAS abaixo:
a) L −1
{
s
s2−8s+80
}
b) L −1
{
3
s+
√
5
− 5
s3
+ 4s
7s2+3
}
c) L −1
{
3e−s
s2+6
}
Q4) Sabemos que um PVI e´ a associac¸a˜o de uma equac¸a˜o diferencial e ao menos um condic¸a˜o associada
a sua func¸a˜o soluc¸a˜o.
Abaixo sa˜o listadas informac¸o˜es sobre os treˆs momentos que aparecem na obtenc¸a˜o da soluc¸a˜o de
um determinado PVI atrave´s da transformada de Laplace:
I) Ao calcularmos a transformda de Laplace de y′, obtemos sY (s)− 1;
II) Ao isolarmos Y(s), obtemos a expressa˜o:
Y (s) =
f (s)
(s+ 1) (s− 2) + g (s) ,
onde f(s) e g(s) sa˜o func¸o˜es de s;
III) Para o ca´lculo da inversa e´ utilizado a te´cnica estudada de frac¸o˜es parciais.
Qual das func¸o˜es abaixo e´ a u´nica que pode representar a soluc¸a˜o deste PVI:
A) y (t) = 23e
−t − 13e2t
B) y (t) = t3 sin (t) + e2t cos (t) +U (t− 2pi)
C) y (t) = 23e
−t + 13e
2t
D) y (t) = 23e
t + 13e
−2t
E) y (t) = e−t + e2t
Q5) A equac¸a˜o diferencial que modela a associac¸a˜o de uma massa m, a uma mola de constante ela´stica
k e posta a oscilar em um meio que possui atrito viscoso de intensidade c, proporcional a velocidade
instantaˆnea da massa e´ dada por:
mx′′ + cx′ + kx = f(t).
Adicionando as condic¸o˜es iniciais associadas a posic¸a˜o inicial, x(0) = x0 e a velocidade inicial, x
′(0) =
v0 temos a formac¸a˜o de um PVI para o sistema massa mola. Admitindo valores nume´ricos para as
constantes e para a func¸a˜o, chega-se a EDO na˜o homogeˆnea:
x′′ + 5x′ + 6x = 2 sinh (t) ,
admita que o objeto foi abandonado do repouso da posic¸a˜o inicial x0 = 1 m.
a) (0.3 pt) Aplique a transformada de Laplace sobre este PVI.
b) (0.3 pt) Isole X(s) que aparece em (a).
c) (1.4) Obtenha x(t), calculando a transformada inversa de X(s) obtido em (b).
CONJUNTO DE EQUAC¸O˜ES
y = up ⇒ y′ = pup−1u′, y = u
v
⇒ y′ = u
′v − uv′
v2
y = u · v ⇒ y′ = u′v + uv′
L {f(t)} =
∞∫
0
e−stf(t) dt, L {αf(t) + βg(t)} = αL {f(t)}+ βL {g(t)}
L {αf(t) + βg(t)} = αL {f(t)}+ βL {g(t)}
p(s)
(s+ a)(s+ b) · · · (s+ z) =
A
(s+ a)
+
B
(s+ b)
+ · · ·+ Z
(s+ z)
p(s)
(s2 + a)(s2 + b) · · · (s2 + z) =
As+B
(s2 + a)
+
Cs+D
(s2 + b)
+ · · ·+ Zs+K
(s2 + z)
L
{
eatf(t)
}
= L {f(t)}s→s−a L −1 {F (s− a)} = eatL −1 {F (s)}
U (t− a) =

0, 0 ≤ t < a
1, t ≥ a
1−U (t− a) =

1, 0 ≤ t < a
0, t ≥ a
L {f(t− a)U (t− a)} = e−asL {f(t)} L −1 {e−asF (s)} = U (t− a)L −1{F (s)}t→t−a
L {tnf(t)} = (−1)n d
n
dsn
L {f(t)}
L
{
y(n)(t)
}
= snY (s)− sn−1y(0)− sn−2y′(0)− · · · − yn−1(0)
L
{
y′′
}
= s2Y (s)− sy(0)− y′(0), L {y′} = sY (s)− y(0), L {y} = Y (s)
A =
 Esquerda da igualdade
Sem o denominador do A

∣∣∣∣∣∣∣∣
s=valor que zera o denominador do A
f (t) L {f (t)} = F (s)
1 1s
tn n!
sn+1
ekt 1s−k
sin (kt) k
s2+k2
cos (kt) s
s2+k2
sinh (kt) k
s2−k2
cosh (kt) s
s2−k2