Resistencia dos Materiais (APRESENTAÇÃO-4-7) [Modo de Compatibilidade]

Prévia do material em texto

Tipos de esforços nas estruturas
Compressão/Tração Cisalhamento
Tipos de esforços nas estruturas
Flexão Torção
Carregamento Axial: Tensão Normal
Cortando a barra por um plano 
perpendicular ao eixo da barra, a 
parte superior da barra reage 
sobre a parte inferior com uma 
força que equilibre a força 
exterior aplicada exterior aplicada 
Esta força dividida pela área da 
seção, é designada por tensão 
normal media
A distribuição das tensões sobre 
a seção tem como resultante a 
força de reação mencionada
Carregamento Axial: Tensão Normal
A resultante das forças distribuídas 
em uma unidade de área da seção, 
é diferente nas diferentes unidades 
de área da seção
dA
dF
A
Flim
0A
=
∆
∆
=σ
→∆
A tensão normal num ponto de 
área dA é
Tensão de Cisalhamento
As forças P e P’ são aplicadas transver-
salmente ao membro AB.
As forças internas correspondentes 
atuam no plano da secção C e 
denominam-se forças de cisalhamento.
A resultante da distribuição interna de 
forças de corte é definida como a força 
cortante na secção e iguala a força P.
A correspondente tensão de cisalhamento 
média é:
A
P
=medτ
Tensão de Cisalhamento
A distribuição de tensão de cisalhamento não pode ser 
considerada uniforme.
A distribuição de tensão de cisalhamento varia desde 
zero nas superfícies da barra até valores máximos que 
podem ser bastante superiores ao valor médio. 
Cisalhamento simples
A
F
A
P
==medτ
Cisalhamento duplo
A
F
A
P
2med
==τ
Tensão de Esmagamento em conexões
Parafusos, rebites e pinos criam tensões na superficie de 
contacto ou superfície de esmagamento dos elementos 
que eles conectam.
A resultante da distribuição de forças na superfície é igual 
em módulo e de sentido oposto à força exercida no pino.
dt
P
A
P
e ==σ
Tensões num Plano Oblíquo
Façamos passar uma secção 
através da barra, a qual forma 
um ângulo com o plano normal.
Decompondo P em uma compo-
nente normal e em outra tangen-
cial ao plano oblíquo:
θ=θ= sinPVcosPF
Tensões Máximas
θθ=τθ=σ cossin
A
P
cos
A
P
0
2
0
Tensões normal e de cisalhamento em um plano oblíquo:
A tensão normal máxima ocorre quando o plano de refe-
rência é perpendicular ao eixo do membro:
0
A
P
0
m =τ′=σ
σ′===τ
00
m A2
P45cos45sin
A
P
A tensão de corte máxima ocorre num plano orientado a 
+ 45o relativamente ao eixo:
Tensões Devidas a Carregamentos Genéricos
Um corpo sujeito a uma 
combinação genérica de 
carregamentos é cortado 
em duas partes por um 
plano que passa pelo plano que passa pelo 
ponto Q
A
V
A
V
A
F
x
z
A
xz
x
y
A
xy
x
A
x
∆
∆
=
∆
∆
=
∆
∆
=
→∆→∆
→∆
limlim
lim
00
0
ττ
σ
Estado de Tensão
0M 0M 0M
0F 0F 0F
zyx
zyx
=∑=∑=∑
=∑=∑=∑
As forças geradas pelas 
tensões devem satisfazer 
as condições de 
equilíbrio:
Considerando os momentos
em torno de z:
( ) ( )
yxxy
yxxyz aAaAM
ττ
ττ
=
∆−∆==∑ 0
zyyzzyyz e τ=ττ=τ
te,similarmen
Coeficiente de segurança
Os componentes de máquinas e estruturas são 
projetados por forma que as tensões de serviço sejam 
sempre inferiores à tensão limite do material, afetada 
de um determinado fator ou coeficiente de segurança, 
ie inferiores a uma determinada tensão admissível:
admissível tensão
material do limite tensãoCS
segurança de ecoeficientCS
adm
u
=
σ
σ
=
=
Coeficiente de Segurança
Considerações sobre o coeficiente de segurança:
• Incerteza nas propriedades dos materiais
• Incerteza nos carregamentos
• Incerteza nas análises
• Número de ciclos de carga• Número de ciclos de carga
• Tipo de falha
• Requisitos de manutenção e efeitos de deterioração
• Importância do membro para a integridade estrutural
• Risco para vidas e propriedades
• Influência na função do equipamento
Os diâmetros dos parafusos são: dB=dD=9.5 mm; dC=12.7 mm
A barra de controle tem diâmetro d=11 mm.
Sabendo que a força ascendente aplicada pelo cilindro hidráulico é de 22.75 kN,
determine:
a)a tensão normal na barra de controle
b)as tensões de cisalhamento nos parafusos B, C e D.
c)os coeficientes de segurança com que trabalham a barra de controle e os
parafusos.
MPa 400L =σ MPa 275L =τ
A barra rígida BCD está presa por um parafuso a uma barra de controle em B, a um
cilindro hidráulico em C, e a um suporte fixo em D. O material das barras e parafusos é
um aço com
Tensão e Deformação – Carregamento Axial
Extensão (deformação normal)
tensão==
A
P
δ
σ
extensão==
L
δ
ε
Ensaio de Tração Uniaxial
Diagrama Tensão-Deformação: Materiais Dúcteis
Diagrama Tensão-Deformação: Materiais Frágeis
Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade
Lei de Hooke : ε=σ E
E
σ
=ε
deElasticida de Móduloou Young de MóduloE =
A
P
=σ
Sendo a extensão dada por
L ε=δ
L
δ
=ε
AE
PL
=δ
Para situações em que há variação discreta de cargas, 
secção transversal ou propriedades dos materiais,
∑=δ
i ii
ii
EA
LP
Tensões TérmicasTensões Térmicas
Variações de temperatura resultam em variações de 
dimensões (comprimento) ou deformações térmicas.
( )LTT ∆α=δ
 térmicaexpansão de ecoeficient =α
Tensões Térmicas
Só existem tensões associadas a 
deformações térmicas no caso de a 
deformação ser constrangida
A deformação térmica e a deforma-
ção devida ao apoio fixo devem ser 
( ) 0
AE
PLLT
0PT
=+∆α
=δ+δ=δ
( )
( )TE
A
P
TAEP
∆α−==σ
∆α−=
ção devida ao apoio fixo devem ser 
compatíveis:
( ) 0
AE
PLLT
0PT
=+∆α
=δ+δ=δ
Exemplo de variação de cargas e seções 
SOLUÇÃO:
• Dividir a barra em troços, entre 
pontos de aplicação das cargas;
• Fazer uma análise de corpo livre 
em cada troço para determinar 
esforços internos;
text, p. 62 Stress & Strain: Axial Loading 24
Determine o deslocamento da 
extremidade da barra de aço, 
sob a acção das cargas 
representadas.
GPa 200=E
esforços internos;
• Calcular o deslocamento total 
somando as contribuições 
individuais de cada troço.
SOLUÇÃO:
• Dividindo a barra em 
três troços:
• Do equilíbrio em cada troço:
kN 200
kN 100
kN 400
3
2
1
=
−=
=
P
P
P
• Cálculo do deslocamento total:,
1
3
33
2
22
1
11






++==∑ A
LP
A
LP
A
LP
EEA
LP
i ii
iiδ
Exemplo - continuação
text, p. 62 Stress & Strain: Axial Loading 25
26
21
21
m 10600
m 0.300
−×==
==
AA
LL
26
3
3
m 10200
m 0.400
−×=
=
A
L
( )( ) ( )( )
( )( )
m1075.2
10200
400.010200
10600
300.010100
10600
300.010400
10200
1
3
6
3
6
3
6
3
9
321
−
−
−−
×=



×
×
+



×
×−
+
×
×
×
=
 AAAEEAi ii
 mm 2.75=δ
O conjunto mostrado na Figura junta consiste em um tubo de
alumínio AB com área de seção transversal de 400 mm2 e no
seu interior uma barra de aço com diâmetro de 10 mm. Esta
barra está presa em B. Se uma força axial de tração de 80 kN é
aplicada nesta barra, determine o deslocamento na sua
extremidade C. Considere Eac=200 GPa e Eal=70 GPa.
Problemas estaticamente indeterminados
As reacções redundantes são substi-
tuídas por cargas desconhecidas as 
quais, em conjunto com os restantes 
Uma estrutura será estaticamente
indeterminada quando existam mais
apoios do que os mínimos necessários
para garantir o equilíbrio estático.
text, p. 70 Stress & Strain: Axial Loading 27
quais, em conjunto com os restantes 
carregamentos, devem produzir defor-
mações compatíveis.
As deformações devidas ao carrega-
mento e reações redundantessão deter-
minadas separadamente e depois 
sobrepostas.
0RL =δ+δ=δ
SOLUÇÃO:
• Cálculo do deslocamento em B devido ao 
carregamento aplicado, libertando a extremidade B:
EEA
LP
LLLL
AAAA
PPPP
i ii
ii
9
L
4321
26
43
26
21
3
4
3
321
10125.1
m 150.0
m10250m10400
N10900N106000
×
=∑=
====
×==×==
×=×===
−−
δ
Exemplo de problema estaticamente indeterminado
text, p. 72 Stress & Strain: Axial Loading 28
EEAi ii
• Cálculo do deslocamento em B em função da reacção 
redundante:
( )
∑
×
−==
==
×=×=
−==
−−
i
B
ii
ii
R
B
E
R
EA
LP
δ
LL
AA
RPP
3
21
26
2
26
1
21
1095.1
m 300.0
m10250m10400
• Obrigar os deslocamentos a serem compatíveis, i.e., que a 
soma dos dois deslocamentos obtidos seja nula:
( )
kN 577N10577
01095.110125.1
0
3
39
=×=
=
×
−
×
=
=+=
B
B
RL
R
E
R
E
δ
δδδ
text, p. 72 Stress & Strain: Axial Loading 29
• Cálculo da reacção em A:
kN323
kN577kN600kN 3000
=
∑ +−−==
A
Ay
R
RF
kN577
kN323
=
=
B
A
R
R
Coeficiente de Poisson
Coeficiente de Poisson
Barra sujeita a carga axial: 0
E zy
x
x =σ=σ
σ
=ε
O alongamento na direção x é acompanhado por contração 
nas outras direções. Considerando que o material é 
isotrópico (propriedades sem dependência direcional):isotrópico (propriedades sem dependência direcional):
0zy ≠ε=ε
O coeficiente de Poisson é definido como:
x
z
x
y
ε
ε
ε
ε
ν −=−==
axial extensão
lateral extensão
Lei de Hooke Generalizada
Para um elemento sujeito a 
carregamento multi-axial, as
componentes de extensão 
resultantes das componentes
de tensão podem ser 
determinadas pelo princípio determinadas pelo princípio 
da sobreposição.
EEE
EEE
EEE
zyx
z
zyx
y
zyx
x
σ
+
νσ
−
νσ
−=ε
νσ
−
σ
+
νσ
−=ε
νσ
−
νσ
−
σ
+=ε
Dilatação: Módulo de Compressibilidade
Variação de volume:
( )( )( )[ ] [ ]
( )21
111111
++
−
=
++=
+++−=+++−=
zyx
zyxzyxe
σσσ
ν
εεε
εεεεεε
( )
 volume)de unidadepor volumede (variação dilatação 
21
=
++
−
= zyxE
σσσ
ν
Para um elemento sujeito a pressão hidrostática, fazendo
pzyx −=σ=σ=σ
( )
( ) ilidadecompressib de módulo 213
213
=
−
=
−=
−
−=
ν
ν
Ek
k
p
E
pe
DistorçãoDistorção
Um elemento cúbico sujeito a uma tensão de cisalha-
mento assumirá uma forma rombóide. A correspon-
dente deformação (distorção) quantifica-se em termos 
da variação de ângulo entre duas faces.
( )xyxy f γ=τ
Um diagrama de tensão de 
cisalhamento versus distorção 
é similar ao diagrama tensão 
normal versus deformação. 
Para pequenas deformações:
zxzxyzyzxyxy GGG γ=τγ=τγ=τ
onde G é o módulo de rigidez 
ao cisalhamento, ou módulo 
de distorção.
Um círculo de diâmetro d = 200 mm é desenhado numa 
placa de alumínio de espessura t = 18 mm. São então 
aplicadas forças no plano da placa, as quais provocam 
uma tensão normal sx = 85 MPa e sz = 150 MPa. 
Para E = 70 GPa e n = 1/3, determine as variações de:
comprimento do diâmetro AB, 
comprimento do diâmetro CD, 
espessura da placa,
volume da placa.
( ) ( )
mm/mm10500.0
MPa150
3
10MPa85
GPa 70
1
3−×+=




−−=
−−+=
EEE
zyx
x
νσνσσ
ε
Aplicando a lei de Hooke generalizada para calcular as três 
componentes da extensão:
mm/mm10738.1
mm/mm10119.1
3
3
−
−
×+=
+−−=
×−=
−+−=
EEE
EEE
zyx
z
zyx
y
σνσνσ
ε
νσσνσ
ε
•Cálculo das componentes de deslocamento:
Cálculo das componentes de deslocamento:
( )( )mm200mm/mm10500.0 3−×+== dxAB εδ m100µδ +=AB
( )( )mm200mm/mm10738.1 3−×+== dzDC εδ m348µδ +=DC
( )( )mm18mm/mm10119.1 3−×−== tyt εδ m1.20 µδ −=t( )yt
Cálculo da variação de volume:
( ) 33
333
m018.035.035.010119.1
/mmmm10119.1
×××==∆
×=++=
−
−
eVV
e zyx εεε
3mm2470+=∆V
Relação entre E, ν, e G
24
γpiβ −=
24
β −=
Aplicando a formula da tangente da diferença de dois
angulos, tem-se
2
1
2
1
24
1
24
γ
γ
γpi
γpi
β
tg
tg
tgtg
tgtg
tg
+
−
=
+
−
=
um angulo muito pequeno
2
γ
2
1
2
1
γ
γ
β
+
−
=tg
xtg
νεβ −= 1Da figura
x
tg
ε
β
+
=
1Da figura
x
x
m
m
1
1
2
1
2
1
ε+
νε−
=γ
+
γ
−
( ) ( )xmxm 1 211 21 νε−



 γ
+=ε+




 γ
−
( ) ( ) ( )xmmxxmmx 221 221 νε
γ
−
γ
+νε−=ε
γ
−
γ
−ε+
( ) ( )xxmmmxx 222 11 νε−ε
γ
+
γ
+
γ
+=νε+ε+−
)1( 
2
 )1( xmmx ν−ε
γ
+γ=ν+ε
))1(1( )1( x ν−ε+γ=ν+ε
x
x
m
ε
ν
ενγ
2
11
)1(
−
+
+
=
)
2
)1(1( )1( xmx
ν−ε
+γ=ν+ε
1« sendo e xε
xm ενγ )1( +=
Da Lei de Hooke sabemos que é
E
x
x
σ
ε =
G
m
m
τγ =
EG
xm σν
τ )1( += ⇒
x
mEG
σ
τ
ν )1( +=
e x
A
P
x =σ A
P
m 2
=τSabendo ainda que é
e
vem finalmente:
)1(2 ν+=
EG
PRINCIPIO DE SAINT-VENANT
A distribuição de tensões pode ser
considerada independente da
forma como são aplicadas as
cargas, exceto na vizinhança
imediata dos pontos de aplicação
das cargas.das cargas.
CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES
Descontinuidades de secções
transversais podem resultar em
tensões elevadas e localizadas ou
concentradas.
med
max
σ
σ
=K
Determine o maior valor que a carga axial P pode tomar, 
de forma a que a barra representada e de espessura 10 
mm não seja excedida a tensão normal admissível do 
material (165 MPa). Considere D=60 mm, d=40 mm e r = 
8 mm.
Cálculo do fator de concentração de tensões:
82.1K
20.0
mm40
mm8
d
r50.1
mm40
mm60
d
D
=
====
Cálculo da tensão normal média:
( )( )( )MPa7.90 mm10mm40AP med =σ=
MPa7.90
82.1
MPa165
K
max
med ==
σ
=σ
Cálculo da carga maxima:
( )
N103.36 
MPa7.90 
3×=
kN3.36=P