Baricentro - Introdução com Exercícios Resolvidos

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Baricentro
O momento (ML) de uma área plana em relação a um eixo L é o produto da área A pela distância de seu centro de gravidade ao eixo. O momento de uma área composta em relação a um eixo é a soma dos momentos das áreas componentes em relação ao eixo.
Para determinarmos o momento de uma área plana em relação a um eixo coordenado é útil fazer um esboço da área em questão. Assim podemos utilizar o conceito do retângulo elementar, que tem largura infinitesimal. Formamos, então, o produto da área do retângulo pela distância do seu centro de gravidade ao eixo. Em seguida, fazemos a soma para todos os retângulos, aplicando a integral definida.
Para uma área plana A, tendo seu centro de gravidade em  e momentos denotados por Mx e My em relação aos eixos dos x e y serão dados por:
Exemplo 1: Para exemplificar e nos acostumar com o método, vamos determinar os momentos e as coordenadas do centro de gravidade da figura abaixo.
Com a geometria desta figura é simples, podemos dividi-las em vários retângulos, cujos centros de gravidade são denotados por: A, B. C e D.
Vejam que o retângulo superior (A) tem uma área A igual a 10 unidades de área (u.a.):
E o centro de gravidade será:
Vejam que a coordenada x é exatamente a metade do comprimento do retângulo e a coordenada y é a metade de sua altura. Mas para a altura, fazemos:
Para o retângulo (B), temos que:
Para o retângulo (C), temos que:
E para o retângulo (D), temos:
A área total da figura é:
Podemos agora calcular os momentos dos retângulos em relação ao eixo dos x, fazendo o produto entre a área e a distância ao eixo dos x:
Assim, o momento da área da figura em relação ao eixo dos x é a soma dos momentos dos retângulos individuais:
E analogamente, o momento da área da figura em relação ao eixo dos y é:
Logo, temos que:
Assim, o ponto de coordenadas igual a (67/34 ; 5) é o centro de gravidade da figura.
Exemplo 2: Achar os momentos em relação aos eixos coordenados da área plana limitada no 2º quadrante pela curva x = y2 – 9.
Aqui vamos introduzir o conceito do retângulo elementar, que é um retângulo de largura infinitesimal. Considere o esboço do gráfico:
Observando o retângulo elementar da figura acima, podemos ver que sua área é igual a  e seu centro de gravidade é dado por . Logo, seu momento em relação ao eixo dos x é . Então:
Da mesma forma podemos determinar o momento do retângulo elementar em relação ao eixo dos y, que é igual a . Então:
Exemplo 3: Achar o centro de gravidade da área limitada no primeiro quadrante pela parábola y = 4 – x 2.
O centro de gravidade do retângulo elementar é (x ; 1/2y).
A área sob a curva no primeiro quadrante será dada pela soma dos retângulos elementares:
Os momentos Mx e My serão dados por:
e
Para o cálculo das coordenadas do centro de gravidade, fazemos:
e
Logo, as coordenadas do centro de gravidade da área limitada pela parábola no primeiro quadrante da curva são (3/4 ; 8/5).
Exemplo 4: Achar o centro de gravidade da área sob a curva y = 2sen (3x), desde x = 0 à x = π/3.
Fazendo uso do retângulo elementar, cujo centro de gravidade é igual a (x ; 1/2y), temos que:
Para o cálculo das coordenadas do centro de gravidade, fazemos:
e
Logo, as coordenadas do centro de gravidade da área limitada pela parábola no primeiro quadrante da curva são (π/6 ; π/4)