Aula 3 teste 2 ponto fixo metodo Newton Raphson

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Considere a função f(x) = ex - 10 e o intervalo (0, 3). Utilizando o método de Newton Raphson, com uma única iteração, determine 
aproximadamente a raiz real da equação f(x) =0 no intervalo considerado. 
Dados: x0 = 2 / e2 = 7,3875 
 
 
2,354 
 
 
2.154 
 
 
3,254 
 
 
2,854 
 
 
3,104 
 
Explicação: 
f(x) = ex - 10 / f '(x) = ex 
f(2) = e2 - 10 = -2,6124 / f '(2) = e2 = 7,3875 
x1 = x0 - f(x0)/f '(x0) 
x1 = 2 - (-2,6124)/(7,3875) = 2,354 
 
 
2. 
 
 
Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x2 - 3 utilizando o Método de Newton-
Raphson. Realize 1 iteração. Além disso, temos x0=1 e f'(x)= 2x. Após a realização da iteração diga o 
valor encontrado para x1. 
 
 
-1 
 
 
1 
 
 
-2 
 
 
1.75 
 
 
2 
 
Explicação:Como f'(x)= 2x. e x0 =1 , temos após a realização dessa iteração : x1 = 2x = 2x0 = 2 .1 = 2 . 
 
 
 
3. 
 
 
Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva. 
 
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como: 
 
 
 
Ponto fixo 
 
 
Bisseção 
 
 
Gauss Jacobi 
 
 
Newton Raphson 
 
 
Gauss Jordan 
 
Explicação:O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação 
gráfica da derivada como tangente , é também conhecido como Método das Tangentes . 
 
 
 
4. 
 
 
Uma equação f(x) = 0 é resolvida por um método iterativo. Dois valores consecutivos, a quinta e sexta 
iterações, valem, respectivamente 1,257 e 1,254. Considerando como critério de parada o erro 
absoluto igual a 0,01, marque a afirmativa correta. 
 
 
É verdade que f(0) = 1,254 
 
 
O valor 1,254 não pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01. 
 
 
Qualquer um dos dois valores pode ser arbitrado para ser raiz aproximada da equação f(x) = 0. 
 
 
É verdade que f(1,257) - f(1,254) = 0,01 
 
 
O valor 1,254 pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01. 
 
Explicação:Se o critério de parada é o erro, devemos sempre que encontrarmos uma nova solução aproximada comparar com a anterior e 
avaliar se é menor que o critério. No exercício, x5 = 1,257 e x6 = 1,254. Assim, como módulo (1,257 - 1,254) = 0,003 é menor que o erro 
(0,01), 1,254 é uma raiz aproximada de f(x) = 0. 
 
 
5. 
 
 
Utilize o Método de Newton para encontrar a sua raiz aproximada x2 na função f(x) = 2 - 3ln(x) dado 
x0=0,5. 
 
 
1,17 
 
 
1,70 
 
 
1,67 
 
 
1,87 
 
 
1,77 
 
Explicação: 
xn+1 = xn - [ f(xn) / f' (xn) ] 
x1 = x0 - [f(x0) / f"(x0)] 
( obs para os cálculos : ln x = 2,3.log x ; se y = lnx então y ' = 1/x .) 
então f(x0) = f(0,5) = 2 - 3ln0,5 = 2 - 3.(-0,69) = 2 + 2,07) = 4,07 e f '(x0) = - 3 .1/x0 = -3 /0,5 = - 6. 
daí : x1 = 0,5 - (4,07) / (-6) = 0,5 + 0,678 = 1,178 
x2 = x1 - [f(x1) / f"(x1)] 
onde f(x1) = 2 - 3 ln 1,178 = 2 - 3. (0,163 ) = 2 - 0,489 = 1,511 e f '(x1) = - 3.1/x1= -3 / 1.178 = - 2,546 
daí x2 = 1,178 - (1,511) / (-2,546) = 1,178 + 0,593 = 1,771 
 
 
6. 
 
 
Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, 
indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DO PONTO FIXO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Explicação: Como exemplificado no gráfico da quarta figura, no método do ponto fixo a raiz da função g(x) mostrada é encontrada através da 
raiz de uma outra função próxima y =x , que podemos resolver, ao invés da g(x) . 
 
 
7. 
 
 
Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-
x-3 utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. 
(Utilize quatro casas decimais para as iterações) 
 
 
 
1.0245 
 
 
1.9876 
 
 
1.0909 
 
 
1.0800 
 
 
1.0746 
 
 
 
 
 
Explicação: 
f(x) = 3x4-x-3 , utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações para a raiz . 
xn+1 = xn - [ f(xn) / f' (xn) ] 
x1 = x0 - [f(x0) / f"(x0)] 
f '(x) = 12x3 - 1 
f(x0) = f(1) = 3.14- 1 - 3 = -1 ... f '(x0 ) = 12.13 - 1 = 11 
daí : x1 = 1 - (-1) / 11 = 12/11 = 1,0909 
x2 = x1 - [f(x1) / f"(x1)] 
 f(x1) = 3. 1,09094 - 1,0909 - 3 = 0,1578 ... f '(x1 ) = 12.(1,0909) 3 - 1 = 14,578 
daí x2 = 1,0909 - ( 0,1578 ) / 14,578 = 1,0909 - 0,0108 = 1,0801 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) através de: 
 
 
 
Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x). 
 
 
Uma expressão fi(x) baseada em f(x). 
 
 
Uma aproximação da reta tangente f(x). 
 
 
Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x). 
 
 
Uma reta tangente à expressão f(x). 
 
 
 
Explicação: A raiz da equação é encontrada através da raiz de uma função fi(x) que podemos resolver ao invés da f(x). Assim o valor x é 
chamado um ponto fixo da segunda equação.