Aula 3 teste 1 ponto fixo metodo Newton Raphson

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No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos iterativos ou os métodos diretos. É uma 
diferença entre estes métodos. 
 
 
no método direto o número de iterações é um fator limitante. 
 
 
o método iterativo apresenta resposta exata enquanto o método direto não. 
 
 
Os métodos iterativos são mais simples pois não precisamos de um valor inicial para o problema 
 
 
não há diferença em relação às respostas encontradas. 
 
 
o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não conseguir. 
 
Explicação: Os métodos iterativos são aqueles em que determinamos a solução, aproximada ou exata, a partir de um determinado valor. São 
feitas iterações por meio de relações matemáticas e novos valores vão sendo alcançados, até que estejamos próximo da solução (estima-se 
um critério de parada). Já nos métodos diretos, existem relações matemáticas que determinam diretamente o valor da solução. 
 
 
 
2. 
 
 
Qual método procura a aproximação para o valor da raiz usando a derivada da função? 
 
 
 
Gauss Jordan 
 
 
Ponto fixo 
 
 
Newton Raphson 
 
 
Bisseção 
 
 
Gauss Jacobi 
 
Explicação: Pelo método de Newton Raphson escolhe-se uma aproximação inicial para a raiz e após isso calcula-se a função da reta tangente 
aplicando a derivada da função nesse ponto e a interseção dela com o eixo das abcissas, buscando encontrar uma aproximação para a raiz. 
Repete-se o processo, em um método iterativo, para encontrar a raiz da função . 
 
 
3. 
 
 
O método de Newton-Raphson utiliza a derivada f´(x) da função f(x) para o cálculo da raiz desejada. 
No entanto, existe um requisito a ser atendido: 
 
 
A derivada da função deve ser negativa em todas as iterações intermediárias. 
 
 
A derivada da função não deve ser positiva em nenhuma iteração intermediária. 
 
 
A derivada da função não deve ser negativa em nenhuma iteração intermediária. 
 
 
A derivada da função não deve ser nula em nenhuma iteração intermediária. 
 
 
A derivada da função deve ser positiva em todas as iterações intermediárias. 
 
Explicação: Como no Método de Newton as aproximações para a raiz são obtidas por xn+1 = xn - [ f(xn) / f' (xn) ] em que f' (x) está no 
denominador , então f' (x) não pode ser zero . 
 
 
4. 
 
 
Considere a equação x3 - 3x2 + 3x - 3 = 0. É possível afirmar que existe uma raiz real desta equação 
em que intervalo? 
 
 
(2, 3) 
 
 
(-1, 0) 
 
 
(-2, -1) 
 
 
(1, 2) 
 
 
(0, 1) 
 
Explicação: Determinação dos valores numéricos do polinômio P(x) para os extremos de cada intervalo: 
P(-2) = (-2)3 - 3.(-2)2 + 3.(-2) - 3 = - 29 
P(-1) = (-1)3 - 3.(-1)2 + 3.(-1) - 3 = - 10 
P(0) = (0)3 - 3.(0)2 + 3.(0) - 3 = - 3 
P(1) = (1)3 - 3.(1)2 + 3.(1) - 3 = - 2 
P(2) = (2)3 - 3.(2)2 + 3.(2) - 3 = - 1 
P(3) = (3)3 - 3.(3)2 + 3.(3) - 3 = 6 
Como P(2) x P(3) = -6 < 0, o teorema de Bolzano afirma que existe um número ímpar de raízes reais no intervalo considerado, isto é, (2, 3) 
 
 
 
5. 
 
 
Considere a função polinomial f(x) = 4x3 - 5x. Existem vários métodos iterativos para se determinar as 
raízes reais, dentre eles, Método de Newton Raphson - Método das Tangentes. Se tomarmos como 
ponto inicial x0= 1, a próxima iteração (x1) será: 
 
 
1,143 
 
 
1,243 
 
 
2,143 
 
 
3,243 
 
 
2,443 
 
Explicação: Newton_Raphson: 
x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0) 
x0 = 1 
f(x) = 4x3 - 5x 
f'´(x) = 12x2 - 5 
Para x0 = 1 
f(1) = 4.13 - 5.1 = -1 
f'´(1) = 12.12 - 5 = 7 
Assim, x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0) = x1 = 1 - (-1)/ 7 = 1,1428 = 1,143 
 
 
6. 
 
 
Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, 
indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Explicação: 
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica da 
derivada da função como a tangente , é também conhecido como Método das Tangentes , exemplificado na segunda figura. 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) através de: 
 
 
 
Uma expressão fi(x) baseada em f(x). 
 
 
Uma aproximação da reta tangente f(x). 
 
 
Uma reta tangente à expressão f(x). 
 
 
Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x). 
 
 
Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x). 
 
 
 
Explicação: A raiz da equação é encontrada através da raiz de uma função fi(x) que podemos resolver ao invés da f(x). Assim o valor x é 
chamado um ponto fixo da segunda equação. 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de um valor 
arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, f(x0)) e 
encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido 
como: 
 
 
Método de Pégasus 
 
 
Método do ponto fixo 
 
 
Método da bisseção 
 
 
Método das secantes 
 
 
Método de Newton-Raphson 
 
 
 
Explicação: 
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica da 
derivada como tangente , é também conhecido como Método das Tangentes .