Transformada de laplace Calculo III

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Transformada de Laplace
CURITIBA
Novembro - 2015
Transformada de Laplace
Em matemática, particularmente na análise funcional, a transformada de Laplace de uma função f(t) definida para todo número real t ≥ 0 é a função F(s), definida por:
As propriedades desta transformada tornam-na útil para a análise de sistemas dinâmicos lineares. A vantagem mais interessante desta transformada integral é que a integração e a derivação tornam-se multiplicações e divisões, da mesma maneira que o logaritmo transforma a multiplicação em adição. Ela permite levar a resolução de equações diferenciais à resolução de equações polinomiais, que são muito mais simples de resolver.
A transformada de Laplace tem seu nome em homenagem ao matemático francês Pierre Simon Laplace.
Um abuso às vezes conveniente de notação, que acontece principalmente entre engenheiros e físicos, exprime isso da forma seguinte:
Quando se fala de transformada de Laplace, refere-se geralmente à versão unilateral. Existe também a transformada de Laplace bilateral, que se define como segue:
A transformada de Laplace F(s) existe tipicamente para todos os números reais s > a, onde a é uma constante que depende do comportamento de crescimento de f(t).
Para que a transformada de Laplace de  exista, é preciso que  verifique as seguintes duas propriedades:
A função deverá ser parceladamente contínua, isto é, 
poderá ter alguns pontos isolados onde é descontínua, mas será contínua em cada intervalo entre dois pontos de descontinuidade..[2]
A função  deve ser uma função de ordem exponencial:
existe um número real a tal que o limite existe.
O domínio da transformada de Laplace de  será ..[2]
As transformadas de Laplace das derivadas de uma função são todas proporcionais à transformada da função original, multiplicada por , onde  é a ordem da derivada.
Esta propriedade permite transformar uma equação diferencial linear, com coeficientes constantes numa equação algébrica.[2] Por exemplo, consideremos a equação:
Transformando os dois lados da equação e usando a propriedade de linearidade, obtemos:
cada um dos termos pode ser calculado usando as propriedades da transformada de Laplace:
A transformada da equação diferencial é
onde  e  são duas constantes, iguais aos valores iniciais de  e  em .[2]
Esta equação é uma equação algébrica que pode ser facilmente simplificada, conduzindo à função :
A solução da EDO é a transformada inversa desta função. Usando a expansão em frações parciais:
onde , ,  e  são constantes que podem ser calculadas comparando as duas últimas equações:
A transformada inversa de cada uma das frações parciais é facilmente identificada, usando as transformadas calculadas em seções anteriores.[2] A resposta final é:
Quando os coeficientes de uma equação diferencial linear são polinômios, a transformada de Laplace pode ser calculada usando os seguintes resultados:
A transformada da equação diferencial será outra equação diferencial para a função , de ordem igual ao maior grau dos coeficientes da equação original. Em alguns casos a equação diferencial obtida resulta ser mais fácil de resolver do que a equação original.
A transformada de Laplace  e as suas derivadas deverão ser funções assimptoticamente decrescentes; esta propriedade das transformadas de Laplace impõe condições fronteira para a equação diferencial obtida.
O método da transformada de Laplace é principalmente útil para resolver equações diferenciais com entrada descontínua, já que a transformada de uma função parceladamente contínua é uma função contínua.
Para representar funções descontínuas é conveniente definir a função degrau unitário (também conhecida por função de Heaviside):
Se , a função:
é igual a 1 no intervalo  e 0 fora do intervalo. Assim, uma função definida em forma diferente em diferentes intervalos, por exemplo,
pode ser escrita na forma compacta:
facilitando o cálculo da sua transformada de Laplace.
Transformada de Laplace Inversa
Chama-se transformação inversa de Laplace a transformação L-1 (transformação inversa de L) que a cada função F : X→R, F(s)=e f(t) dt-st 0∫, associa a função f: (0,
∞), ou seja, se F(s) é a transformada de Laplace de f(t), então f(t) é a transformada inversa de Laplace de F(s), ou ainda, F(s) = L(f(t)).
Dessa forma a transformada inversa de Laplace de F, que será denotada por L- 1(F(s)) é f(t) :
F(s) = L(f(t)) ⇔ L-1(F(s)) = f(t).